Spotkanie X
MODELE ARCH/GARCH - prognozowanie
Spotkanie X
MODELE ARCH/GARCH - prognozowanie
Modele GARCH:
Zacznijmy od prostego przykÃladu:
Na wykresach przedstawiono funkcj
,
e ACF i PACF zwykÃlych jednodniowych st´op
zwrotu (net returns: R
t
= (P
t
− P
t−1
)/P
t−1
) oraz ich kwadrat´ow dla sp´oÃlki
ORBIS S.A. w okresie 27.11.1997 - 16.11.2005 (2000 obserwacji):
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
2
Modele GARCH:
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
3
Modele GARCH:
Ponadto:
Stopy zwrotu: LB(10)=15.07, p-value: 0.13
Kwadraty st´op zwrotu: LB(10)=600.69, p-value: 0.00
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
4
Modele GARCH:
Bazuj
,
ac na powy˙zszych statystykach, za pomoc
,
a pseudo-MNW (normalny rozkÃlad
skÃladnika losowego ε
t
) na podstawie pierwszych 1900 obserwacji oszacowano model
GARCH(1,1) o postaci:
r
t
= −0.0002 + ˆa
t
(1)
ˆa
t
=
ˆ
σ
t
ε
t
(2)
ˆ
σ
2
t
= 0.000 + 0.0955ˆa
2
t−1
+ 0.8905ˆ
σ
2
t−1
(3)
ε
t
∼ i.i.d.N (0, 1)
(4)
Uwaga: ´srednie bÃl
,
edy szacunku nale˙zy oszacowa´c wykorzystuj
,
ac formuÃl
,
e sandwich
(QML).
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
5
Modele GARCH:
Na podstawie oszacowa´
n parametr´ow uzyskano standaryzowane reszty o postaci:
˜a
t
=
ˆa
t
ˆ
σ
t
(5)
=
(r
t
+ 0.0002)
ˆ
σ
t
ˆ
σ
2
t
= 0.000 + 0.0955ˆa
2
t−1
+ 0.8905ˆ
σ
2
t−1
(6)
Nale˙zy sprawdzi´c, czy speÃlnione jest zaÃlo˙zenie:
˜a
t
∼ i.i.d.N (0, 1)
(7)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
6
Modele GARCH:
Na wykresach przedstawiono funkcj
,
e ACF i PACF standaryzowanych reszt i reszt
do kwadratu:
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
7
Modele GARCH:
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
8
Modele GARCH:
Ponadto:
Reszty: LB(10)=15.52, p-value: 0.11
Kwadraty reszt: LB(10)=5.14, p-value: 0.88
Jest O.K.!
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
9
Modele GARCH:
Predykcja zmienno´sci
Na podst. Tsay R.S. (2005):
Niech r
t
= const. + a
t
. Model GARCH(1,1):
a
t
= σ
t
ε
t
(8)
ε
t
∼ i.i.d.(0, 1)
(9)
σ
2
t
= ω
0
+ α
1
a
2
t−1
+ β
1
σ
2
t−1
(10)
Zatem w momencie t = h + 1 proces σ
2
h+1
ma posta´c:
σ
2
h+1
= ω
0
+ α
1
a
2
h
+ β
1
σ
2
h
(11)
Oznaczmy przez σ
2
h
(k) prognoz
,
e zmienno´sci na k okres´ow w przyszÃlo´sci od
momentu h.
Poniewa˙z σ
2
h
(1) = E(a
2
h+1
|F
h
) = E(σ
2
h+1
|F
h
) prognoz
,
e jednookresow
,
a mo˙zemy
zapisa´c jako:
σ
2
h
(1) = ω
0
+ α
1
a
2
h
+ β
1
σ
2
h
(12)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
10
Modele GARCH:
W przypadku prognozy na jeden okres do przodu zachodzi zatem σ
2
h
(1) = σ
2
h+1
.
W momencie t = h + 2:
σ
2
h+2
= ω
0
+ α
1
a
2
h+1
+ β
1
σ
2
h+1
(13)
Mo˙zemy zatem zapisa´c:
σ
2
h
(2) = ω
0
+ α
1
E(a
2
h+1
|F
h
) + β
1
E(σ
2
h+1
|F
h
)
= ω
0
+ α
1
σ
2
h
(1) + β
1
σ
2
h
(1)
= ω
0
+ (α
1
+ β
1
)σ
2
h
(1)
(14)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
11
Modele GARCH:
Wykorzystuj
,
ac to samo rozumowanie dla k > 2:
σ
2
h
(k) = ω
0
+ α
1
E(a
2
k−1
|F
h
) + β
1
E(σ
2
k−1
|F
h
)
= ω
0
+ α
1
σ
2
h
(k − 1) + β
1
σ
2
h
(k − 1)
= ω
0
+ (α
1
+ β
1
)σ
2
h
(k − 1)
(15)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
12
Modele GARCH:
Dokonuj
,
ac kolejnych podstawie´
n, mo˙zna pokaza´c, ˙ze powy˙zszy wz´or o charakterze
rekurencyjnym mo˙zna przedstawi´c:
σ
2
h
(k) =
ω
0
[1 − (α
1
+ β
1
)
k
]
1 − α
1
− β
1
+ (α
1
+ β
1
)
k−1
σ
2
h
(1)
(16)
Zatem, je´sli α
1
+ β
1
< 1:
lim
k→∞
σ
2
h
(k) =
ω
0
1 − α
1
− β
1
(17)
Prognozowana zmienno´s´c d
,
a˙zy zatem do warto´sci wariancji bezwarunkowej a
t
w
modelu GARCH(1,1).
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
13
Modele GARCH:
PrzykÃlad - kontynuacja: W rozwa˙zanym modelu:
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
14
Modele GARCH:
Prognoza dla modelu IGARCH(1,1).
Je˙zeli warunek α
1
+ β
1
= 1 jest speÃlniony wz´or:
σ
2
h
(k) = ω
0
+ (α
1
+ β
1
)σ
2
h
(k − 1)
(18)
dla k ≥ 0 przyjmuje posta´c:
σ
2
h
(k) = σ
2
h
(1) + ω(k − 1)
(19)
Szczeg´olne wÃlasno´sci statystyczne modeli IGARCH mo˙zna znale´z´c w Nelson. D.B.
”Stationarity and persistence in the GARCH(1,1) model” Econometric Theory 6,
1990.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
15
Modele GARCH:
A je˙zeli w modelu IGARCH(1,1) ω = 0?
σ
2
h
(k) = σ
2
h
(1)
(20)
σ
2
h+1
= (1 − β
1
)a
2
h
+ β
1
σ
2
h
(21)
= (1 − β
1
)a
2
h
+ β
1
[(1 − β
1
)a
2
h−1
+ β
1
σ
2
h−1
]
= (1 − β
1
)a
2
h
+ β
1
(1 − β
1
)a
2
h−1
+ β
2
1
σ
2
h−1
= (1 − β
1
)[a
2
h
+ β
1
a
2
h−1
+ β
2
1
a
2
h−2
+ ...]
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
16
Modele GARCH:
Prognoza dla modelu EGARCH(1,1).
R´ownanie wariancji w modelu EGARCH(1,1) ma posta´c:
ln(σ
2
h+1
) = ω + α (ε
h
) + λ
"
|ε
h
| −
r
2
π
#
+ βln(σ
2
h
)
Zatem warunkowa wariancja ma posta´c:
σ
2
h+1
= σ
2β
h
exp(ω
0
)exp
"
αε
h
+ λ
"
|ε
h
| −
r
2
π
##
Zatem, tak jak w modelu GARCH(1,1), w modelu EGARCH(1,1) σ
2
h
(1) = σ
2
h+1
.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
17
Modele GARCH:
Z uwagi na nieliniowo´s´c r´ownania wariancji, sprawa komplikuje si
,
e dla k > 1.
σ
2
h+2
= σ
2β
h+1
exp(ω
0
)exp
Ã
αε
h+1
+ λ
"
|ε
h+1
| −
r
2
π
#!
Prognoza zmienno´sci ma zatem posta´c:
σ
2
h
(2) =
ˆ
σ
2β
h
(1)exp(ω
0
)E
"
exp
Ã
αε
h+1
+ λ
"
|ε
h+1
| −
r
2
π
#!#
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
18
Modele GARCH:
Jak obliczamy E
h
exp
³
αε
h+1
+ λ
h
|ε
h+1
| −
q
2
π
i´i
?
Z definicji warto´sci oczekiwanej funkcji zmiennej losowej g(ε) (poniewa˙z
f (ε
h+1
) = f (ε):
E [g(ε)] =
∞
Z
−∞
exp
Ã
αε + λ
"
|ε| −
r
2
π
#!
f (ε)dε
= exp
Ã
−λ
r
2
π
! ·
exp
µ
(α + λ)
2
2
¶
Φ(α + λ) + exp
µ
(α − λ)
2
2
¶
Φ(α − λ)
¸
Wyprowad´z powy˙zsz
,
a formuÃl
,
e samodzielnie. Rekurencyjnie otrzymujemy:
σ
2
h
(k) =
ˆ
σ
2β
h
(k − 1)exp(ω
0
)E [g(ε)]
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
19
Modele GARCH:
Ocena jako´sci prognoz zmienno´sci:
1. Minzer - Zarnowitz Regression. W odniesieniu do prognoz zmienno´sci na 1
okres do przodu konstruuje si
,
e regresj
,
e pomocnicz
,
a:
ˆa
2
h+1
= κ
1
+ κ
2
ˆ
σ
2
h
(1)
Testujemy restrykcj
,
e H
0
: (κ
1
, κ
2
) = (0, 1).
2. BÃl
,
edy ex post. Zdefiniujmy bÃl
,
ad prognozy (na 1 okres do przodu) dla
zmienno´sci jako: e
h
(1) = ˆa
2
h+1
− ˆ
σ
2
h
(1).
BÃl
,
ad ´sredniokwadratowy (Mean Squared Prediction Error, MSPE )
M SP E
=
1
m
m
X
i=1
e
h+i
(1)
2
(22)
BÃl
,
ad absolutny (Mean Absolute Prediction Error, MAPE )
M AP E
=
1
m
m
X
i=1
|e
h+i
(1)|
(23)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
20
Modele GARCH:
Je˙zeli interesuje nas wi
,
eksza kara za niedoszacowanie zmienno´sci to konstruujemy
Mean Mixed Error of Underprediction:
M M EU =
1
m
Ã
m
X
i=1
p
|e
h+i
(1)|(e
h+i
(1) > 0) +
m
X
i=1
|e
h+i
(1)|(e
h+i
(1) <= 0)
!
Je˙zeli interesuje nas wi
,
eksza kara za przeszacowanie zmienno´sci to konstruujemy
Mean Mixed Error of Overprediction
M M EO =
1
m
Ã
m
X
i=1
p
|e
h+i
(1)|(e
h+i
(1) <= 0) +
m
X
i=1
|e
h+i
(1)|(e
h+1
(1) > 0)
!
Wi
,
ecej w Brailsford, T. J., R. W. Faff, 1996. ”An evaluation of volatility
forecasting techniques”. Journal of Banking and Finance 20, 419-438.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
21
Modele GARCH:
Do por´ownania, czy prognozy generowane przez dwa konkurencyjne modele s
,
a
statystycznie r´o˙zne, a poprzez to, czy kt´ory´s z nich jest lepszy wykorzystuje si
,
e
test Diebolda i Mariano (1995). Test polega na zdefiniowaniu ”r´o˙znicy strat” (loss
differential):
d
h
= g(e
h
(1)
A
) − g(e
h
(1)
B
)
(24)
gdzie e
h
(1)
A
, e
h
(1)
A
s
,
a to bÃl
,
edy prognozy o horyzoncie jednookresowym, dla
1 <= h <= T
∗
, wynikaj
,
ace z modeli A i B odpowiednio. Funkcja g(.) to funkcja
straty, na przykÃlad g(x) = x
2
lub g(x) = |x|.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
22
Modele liniowe:
Test Diebolda i Mariano (1995) dla predykcji na 1 okres w przyszÃlo´sci.
DM =
¯
d
√
ω
(25)
gdzie ω oznacza asymptotyczn
,
a wariancj
,
e ´sredniej r´o˙znicy strat: ¯
d =
P
T
∗
h=1
d
h
,
natomiast ω:
ˆ
ω =
1
T
∗
T
∗
X
h=1
(d
h
− ¯
d)(d
h
− ¯
d)
(26)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
23
Modele GARCH:
Variance targeting:
•
Warto´s´c dÃlugookresowej zmienno´sci jest bardzo wra˙zliwa na warto´sci ocen
parametr´ow modeli GARCH (zatem na zakres wykorzystanych danych
historycznych).
•
Problem kompromisu pomi
,
edzy stabilno´sci
,
a oszacowa´
n parametr´ow a
zdolno´sci
,
a modelu do odzwierciedlania aktualnych warunk´ow rynkowych.
•
Indywidualna ocena zmienno´sci σ
2
w dÃlugim okresie albo
E(a
2
t
) = σ
2
=
1
T
Σ
T
t=1
(r − µ)
2
.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
24
Modele GARCH:
Poniewa˙z wiemy, ˙ze E(a
2
t
) = σ
2
=
ω
1−α−β
, model GARCH(1,1) mo˙zna zapisa´c jako:
σ
2
t
= σ
2
(1 − α − β) + αa
2
t−1
+ βσ
2
t−1
(27)
lub:
σ
2
t
= βσ
2
t−1
+ (1 − β)σ
2
+ α(a
2
t−1
− σ
2
)
(28)
SkÃladnik [βσ
2
t−1
+ (1 − β)σ
2
)]:
[σ
2
t−1
] − − − −[βσ
2
t−1
+ (1 − β)σ
2
)] − − − − − − − − − − − − − − − − − −[σ
2
]
czyli, je´sli σ
2
t−1
< σ
2
to σ
2
t
wzrasta.
[σ
2
] − − − − − − − − − − − − − − − − − −[βσ
2
t−1
+ (1 − β)σ
2
)] − − − −[σ
2
t−1
]
czyli, je´sli σ
2
t−1
> σ
2
to σ
2
t
maleje.
SkÃladnik α(a
2
t−1
− σ
2
):
je´sli a
2
t−1
< σ
2
to σ
2
t
maleje.
je´sli a
2
t−1
> σ
2
to σ
2
t
ro´snie.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
25
Modele GARCH:
Testowanie jako´sci modelu GARCH:
Reszty z modelu GARCH:
ˆa
t
= r
t
− µ
t
˜a
t
=
ˆa
t
ˆ
σ
t
Sprawdzamy, czy dodatnie i ujemne zaburzenia maj
,
a r´o˙zny wpÃlyw na reszty
podniesione do kwadratu.
Definiujemy zmienne zerojedynkowe:
Z
−1
t−1
= 1, je´sli ˆa
t−1
< 0
Z
−1
t−1
= 0, je´sli ˆa
t−1
> 0
Z
+1
t−1
= 1, je´sli ˆa
t−1
> 0
Z
+1
t−1
= 0, je´sli ˆa
t−1
< 0
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
26
Modele GARCH:
Rozpatrujemy r´ownanie regresji pomocniczej:
˜a
2
t
= φ
0
+ φ
1
Z
−1
t−1
+ φ
2
Z
−1
t−1
ˆa
t−1
+ φ
3
Z
+1
t−1
ˆa
t−1
+ ξ
t
(29)
Jest to test obci
,
a˙zenia znak´ow (Negative or Positive Sign Bias) lub obci
,
a˙zenia
warto´sci (Negative or Positive Size Bias).
Nast
,
epnie testujemy statystyczn
,
a istotno´s´c zmiennych za pomoc
,
a statystyki
t-studenta (dla ka˙zdej ze zmiennych pojedynczo) lub za pomoc
,
a testu LM Ãl
,
acznie
[Engle i Ng (1993)].
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
27
Modele GARCH:
Warto´s´c nara˙zona na ryzyko (Value at Risk)
Maksymalna warto´s´c straty jak
,
a mo˙zna ponie´s´c w danym okresie
z zadanym poziomem istotno´sci (w normalnych warunkach rynkowych).
Niech W
t
– warto´s´c instrumentu finansowego w momencie t,
a W
∗
t+1
– najni˙zsza warto´s´c instrumentu finansowego w momencie t + 1 z
prawdopodobie´
nstwem 0.95. Tzn. z prawdopodobie´
nstwem 0.95 warto´s´c
instrumentu finansowego b
,
edzie r´owna W
∗
t+1
lub wy˙zsza.
P (W
t+1
< W
∗
t+1
) = 0.05
W
∗
t+1
− W
t
= V aR = W
t
R
∗
t+1
(30)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
28
Modele GARCH:
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
-0
,0
9
6
8
-0
,0
8
7
1
-0
,0
7
7
3
-0
,0
6
7
6
-0
,0
5
7
9
-0
,0
4
8
2
-0
,0
3
8
5
-0
,0
2
8
8
-0
,0
1
9
1
-0
,0
0
9
3
0
,0
0
0
4
0
,0
1
0
1
0
,0
1
9
8
0
,0
2
9
5
0
,0
3
9
2
0
,0
4
8
9
0
,0
5
8
7
0
,0
6
8
4
0
,0
7
8
1
0
,0
8
7
8
0
,0
9
7
5
0
,1
0
7
2
0
,1
1
6
9
0
,1
2
6
6
Stopa zwrotu
C
zĊ
s
to
Ğü
Pi
ąty percentyl: R*=-0,036
VaR: W(0) · R*
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
29
Modele GARCH:
FormuÃl
,
e 30 mo˙zemy przeksztaÃlci´c:
P (W
t+1
− W
t
< W
∗
t+1
− W
t
) = 0.05
P (∆W
t+1
< V aR) = 0.05
(31)
Poniewa˙z wiemy, ˙ze:
∆W
t+1
= W
t
R
t+1
(32)
P (W
t
R
t+1
< V aR) = 0.05
(33)
oraz R
t+1
∼ N (µ
t+1
, σ
2
t+1
), widzimy, ˙ze prawdziwa jest zale˙zno´s´c:
P (W
t
R
t+1
− µ
t+1
σ
t+1
< W
t
(−1.65)) = 0.05
(34)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
30
Modele GARCH:
z czego wynika:
P (W
t
R
t+1
< W
t
(−1.65σ
t+1
+ µ
t+1
)) = 0.05
(35)
czyli:
V aR
t+1
= W
t
(−1.65σ
t+1
+ µ
t+1
)
(36)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
31
Modele GARCH:
Przy k-okresowym horyzoncie inwestycyjnym, przyjmuj
,
ac µ
t+1
= 0:
V aR(k) = V aR(1)
√
k
(37)
W odniesieniu do modelu GARCH ze skÃladnikiem losowym o rozkÃladzie t-studenta:
V aR
t+1
= W
t
(t
v
σ
t+1
/(v/(v − 2))
0.5
+ µ
t+1
)
(38)
gdzie: t
v
to odpowiedni kwantyl (dla zadanego poziomu 1-prawdopodobie´
nstwo), a
v to liczba stopni swobody rozkÃladu t-studenta.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
32
Modele GARCH:
PrzykÃlad - kontynuacja
W dniu 26.06.2005 (obserwacja nr 1900) dysponuj
,
e portfelem akcji Orbis S.A. o
warto´sci 100 000 zÃl. Ile mog
,
e maksymalnie straci´c w ci
,
agu jednego dnia z zadanym
prawdopodobie´
nstwem 0,01?
1. Na podstawie Gaussian GARCH(1,1):
Prognoza zmienno´sci stopy zwrotu na okres 1901 wynosi 0.000177, a jej poziomu
-0.0002. 1 % kwantyl standardowego rozkÃladu normalnego wynosi -2.3262, zatem
warto´s´c VaR:
V aR
1901
= 100000(−2.3262
√
0.000177 − 0.0002) = −3100.2034
(39)
2. Na podstawie t-student GARCH(1,1):
Prognoza zmienno´sci stopy zwrotu na okres 1901 wynosi 0.000166, a jej poziomu
-0.0002. 1 % kwantyl standardowego rozkÃladu T-studenta wynosi -3.3649 (dla
v = 5), zatem warto´s´c VaR:
V aR
1901
= 100000(−3.3649
√
0.000166/(5/(5 − 2))
0.5
− 0.0002) = −3283.0873
(40)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
33
Modele GARCH:
UWAGA! A jak wyprowadzimy VaR dla logarytmicznych st´op zwrotu?
P (W
t+1
− W
t
< W
∗
t+1
− W
t
) = 0.05
P (W
t+1
− W
t
< V aR) = 0.05
P
µ
W
t+1
W
t
<
V aR + W
t
W
t
¶
= 0.05
P
µ
ln
µ
W
t+1
W
t
¶
< ln
µ
V aR + W
t
W
t
¶¶
= 0.05
P
µ
r
t
< ln
µ
V aR + W
t
W
t
¶¶
= 0.05
(41)
Je˙zeli zaÃlo˙zymy r
t+1
∼ N (µ
t+1
, σ
2
t+1
), otrzymujemy:
P
r
t+1
− µ
t+1
σ
t+1
<
ln
³
V aR+W
t
W
t
´
− µ
t+1
σ
t+1
= 0.05
(42)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
34
Modele GARCH:
Zatem VaR wyprowadzimy z zale˙zno´sci:
ln
³
V aR+W
t
W
t
´
− µ
t+1
σ
t+1
= −1.65
(43)
Czyli:
V aR = W
t
(exp(µ
t+1
− 1.65σ
t+1
) − 1)
(44)
PrzykÃlad: p=0,01, czas trwania inwestycji: 30 dni, W
t
= 500tys., ˆ
µ
t+1
= 0.0005,
ˆ
σ
t+1
= 0.014.
V aR = 500(exp(30 ∗ 0.0005 − 2.32630.014
√
30) − 1) = −75.37
(45)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
35
Modele GARCH:
VaR w odniesieniu do portfela aktyw´ow finansowych:
Niech r - wektor zwykÃlych st´op zwrotu z n akcji, a w - wektor ich wag w portfelu o
waro´sci W. Zachodz
,
a nast
,
epuj
,
ace zale˙zno´sci:
r
p
= w
0
r
(46)
µ
p
= E[r
p
] = w
0
E[r] = w
0
µ
σ
2
p
= V ar[r
p
] = V ar[w
0
r] = w
0
V ar[r]w = w
0
Σw
Zatem je´sli r
p,t+1
∼ N (µ
p,t+1
, σ
2
p,t+1
), to:
V aR
p
= (w
0
µ
t+1
+ z
α
p
w
0
Σ
t+1
w)W
(47)
Dynamiczne modele Σ
t+1
to wielowymiarowe modele GARCH.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
36
Modele GARCH:
PrzykÃlad
Rozwa˙zamy portfel skÃladaj
,
acy si
,
e z trzech akcji: 1.) A -30 % 2.) B -30 % i 3.) C
-40 %. Oblicz warto´s´c nara˙zon
,
a na ryzyko przy poziomie ufno´sci 0,95. Wiesz
ponadto, ˙ze: µ
t,1
= 0, 0012, µ
t,2
= 0, 0025, µ
t,3
= 0, 012 oraz σ
t,1
= 0, 0196,
σ
t,2
= 0, 0411, σ
t,3
= 0, 023, ρ
t,1,2
= 0, 19, ρ
t,1,3
= 0, 55, ρ
t,2,3
= 0, 22.
ˆ
Σ
t
=
0, 0196
0
0
0
0, 0411
0
0
0
0, 023
1
0, 19 0, 55
0, 19
1
0, 22
0, 55 0, 22
1
0, 0196
0
0
0
0, 0411
0
0
0
0, 023
(48)
=
0, 00038 0, 00015 0, 00025
0, 00015 0, 00169 0, 00021
0, 00025 0, 00021 0, 00053
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
37
Modele GARCH:
Przy portfelu zÃlo˙zonego z 2 instrument´ow finansowych A i B (dla µ
t+1
= 0)
uwzgl
,
edniamy stopie´
n ich skorelowania:
V aR = z
α
[w
2
A
σ
2
A,t+1
+ w
2
B
σ
2
B,t+1
+ 2w
A
w
B
σ
A,t+1
σ
B,t+1
ρ
A,B
]
0.5
W
t
(49)
= [V aR
2
A
+ V aR
2
B
+ 2ρ
A,B
V aR
A
V aR
B
]
0.5
FormuÃl
,
e mo˙zna uog´olni´c na m instrument´ow finansowych:
V aR = (
m
X
i=1
V aR
2
i
+ 2
m
X
j<i
ρ
ij
V aR
i
V aR
j
)
0.5
(50)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
38
Modele GARCH:
Szczeg´olne przypadki dla VaR:
1. ρ
A,B
= 1
V aR = [V aR
2
A
+ V aR
2
B
+ 2V aR
A
V aR
B
]
0.5
= [V aR
A
+ V aR
B
]
(51)
2. ρ
A,B
= 0
V aR = [V aR
2
A
+ V aR
2
B
]
0.5
(52)
3. ρ
A,B
= −1
V aR = [V aR
2
A
+ V aR
2
B
− 2V aR
A
V aR
B
]
0.5
= |V aR
A
− V aR
B
|
(53)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
39
Modele GARCH:
Testowanie wsteczne VaR, Backtesting:
1. Test liczby przekrocze´
n (Unconditional coverage test) – Kupiec (1995).
Dysponuj
,
ac pr´ob
,
a o liczebno´sci T, definiujemy zmienn
,
a zerojedynkow
,
a: I
t
= 1,
je˙zeli ∆W
t
< V aR oraz I
t
= 0, je˙zeli ∆W
t
> V aR. Liczba przekrocze´
n
T
1
=
P
T
t=1
I
t
powinna mie´c rozkÃlad Bernoulliego o prawdopodobie´
nstwie ”pora˙zki”
r´ownym zaÃlo˙zonemu dla VaR poziomowi istotno´sci α = π. Testujemy H
0
: π = α
vs. H
1
: π 6= α na podstawie statystyki:
LR
U C
= −2ln
(1 − π)
T
0
π
T
1
(1 − ˆ
π)
T
0
ˆ
π
T
1
(54)
gdzie: T
1
- liczba przekrocze´
n VaR, T
0
- liczba nieprzekrocze´
n VaR, ˆ
π =
T
1
T
.
Zastan´ow si
,
e, jaki b
,
edzie rozkÃlad statystyki LR
U C
.
Przegl
,
ad zaawansowanych metod testowania VaR mo˙zna znale´z´c w pracy S.D.
Campbell ”A Review of Backtesting and Backtesting Procedures” (2005).
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
40
Modele GARCH:
2. Test liczby i niezale˙zno´sci przekrocze´
n (Conditional coverage test) –
Christoffersen (1998).
Niech:
T
00
– liczba brak´ow przekrocze´
n VaR nast
,
epuj
,
acych bezpo´srednio po brakach
przekrocze´
n
T
01
– liczba przekrocze´
n VaR nast
,
epuj
,
acych bezpo´srednio po brakach przekrocze´
n
T
10
– liczba brak´ow przekrocze´
n nast
,
epuj
,
acych bezpo´srednio po przekroczeniach
T
11
– liczba przekrocze´
n VaR nast
,
epuj
,
acych bezpo´srednio po przekroczeniach
π
01
=
T
01
T
01
+T
00
– udziaÃl przekrocze´
n nast
,
epuj
,
acych po brakach przekrocze´
n
π
11
=
T
11
T
10
+T
11
– udziaÃl przekrocze´
n nast
,
epuj
,
acych po przekroczeniach
LR
cc
= −2ln
µ
π
T
1
(1 − π)
T
0
π
T
01
01
(1 − π
01
)
T
00
π
T
11
11
(1 − π
11
)
T
10
¶
(55)
LR
cc
ma asymptotyczny rozkÃlad χ
2
z DF = 2.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
41
Modele GARCH:
3. Testy zgodno´sci kwantyli (Integral Probability Transformations):
u
t
= F (r
t
) =
r
t
Z
−∞
f (z)dz
(56)
oraz z
t
= Φ
−1
(u
t
). W prawidÃlowej specyfikacji modelu u
t
∼ i.i.d.U (0, 1) oraz
z
t
∼ i.i.d.N (0, 1).
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
42
Modele GARCH:
Intuicja:
Risk (III 2007): ”Value-at-risk is defined as the loss level that will not be exceeded
with a certain confidence level during a certain period of time. For example, if a
bank’s 10-day 99% VAR is 3 million USD, there is considered to be only a 1%
chance that losses will exceed 3 million USD in 10 days. (...) One problem with
VAR is that, when used in an attempt to limit the risks taken by a trader, it can
lead to undesirable results”.
”Suppose a bank tells a trader that the one-day 99% VAR of the trader’s portfolio
must be kept at less than 10 USD million. There is a danger that the trader will
construct a portfolio where there is a 99% chance that the daily loss is less than 10
million USD and a 1% chance that it is 500 million USD. The trader is satisfying
the risk limits imposed by the bank, but is clearly taking unacceptable risks”.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
43
Modele GARCH:
Oczekiwany niedob´
or (Expected Shortfall, Conditional VaR, Expected Tail
Loss) to oczekiwana warto´s´
c straty, pod warunkiem, ˙ze strata ta jest
wi
,
eksza ni˙z VaR. Ujmuj
,
ac V aR
α
tym razem jako procentow
,
a zmian
,
e warto´sci
portfela, oczekiwany niedob´or ma posta´c:
ES
α
= E[r
t
|r
t
< V aR
α
]
(57)
PrzykÃladowo, dla α = 0.05:
ES
α
=
V aR
α
Z
−∞
f (r)
α
rdr
(58)
Je˙zeli R
t
∼ N (µ
t
, σ
2
t
), to oczekiwany niedob´or b
,
edzie miaÃl warto´s´c:
ES
α
= −α
−1
ϕ(z
α
)σ
t
+ µ
t
(59)
gdzie ϕ oznacza funkcj
,
e g
,
esto´sci standardowego rozkÃladu normalnego.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
44
Modele GARCH:
Dow´
od:
W przypadku zmiennej Z ∼ N (0, 1), ES
α
ma posta´c:
ES
z
= α
−1
z
α
Z
−∞
ϕ(z)zdz
(60)
ES
z
= (
√
2πα)
−1
z
α
Z
−∞
exp(
−1
2
z
2
)zdz
ES
z
= −α
−1
·
1
√
2π
exp(
−1
2
z
2
)
¸
z
α
−∞
= −α
−1
ϕ(z
α
)
(61)
Je˙zeli R
t
= Zσ
t
+ µ
t
, to oczekiwany niedob´or b
,
edzie miaÃl warto´s´c:
ES
= ES
z
σ
t
+ µ
t
(62)
gdzie ϕ oznacza funkcj
,
e g
,
esto´sci standardowego rozkÃladu normalnego.
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
45
Modele GARCH:
PrzykÃlad:
ZaÃl´o˙zmy ˙ze oczekiwana stopa zwrotu z portfela wynosi 0, natomiast zmienno´s´c w
uj
,
eciu rocznym 30 %. Wyznacz (w uj
,
eciu procentowym) 10-dniowy VaR oraz ES
przy poziomie ufno´sci 0,99.
Warto´s´c odchylenia standardowego dla okresu przetrzymania r´ownego 10 dniom
ma posta´c 0, 3
p
10/250 = 0, 06.
V aR
α
= z
α
σ
t
+ µ
t
= −2, 326 ∗ 0, 06 = −13, 96%
(63)
ES
α
= −α
−1
ϕ(z
α
)σ
t
+ µ
t
= −
1
0, 01
∗ ϕ(z
α
) ∗ 0, 06 = −16, 00%
(64)
Katarzyna Bie´
n
Ekonometria finansowa
Spotkanie X
46