Za rozwiàzanie
wszystkich zadaƒ
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów.
PRZYK¸ADOWY ARKUSZ
EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy: 170 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1.
Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.
2.
W zadaniach od 1. do 25. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.
3.
Rozwiàzania zadaƒ od 26. do 33. zapisz starannie i czytel-
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu-
mowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.
4.
Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5.
Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.
6.
Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7.
Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymal-
na liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.
8.
Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
˚yczymy powodzenia!
ARKUSZ 16
MATURA 2010
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON
na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà
ZADANIA ZAMKNI¢TE
W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.
Zadanie 1. (1 pkt)
W tabelce wpisano dwie wartoÊci funkcji liniowej f dla dwóch argumentów.
x
0
6
( )
f x
2
-
1
Funkcja f opisana jest wzorem:
A. f x
x
2
2
= -
+
_ i
B. ( )
f x
x
2
1
2
=
-
C. ( )
f x
x
2
=
-
D. ( )
f x
x
2
1
=
-
Zadanie 2. (1 pkt)
OdwrotnoÊç liczby b´dàcej rozwiàzaniem równania
x
x
1
4
2
+
-
=
jest równa:
A. 6
B.
6
1
C.
6
1
-
D.
2
1
Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba
3
1
3 27
1
6
3
1
$ $
-
c m
jest równa:
A. 3
2
4
a k
B. 3 3
2
4
$
C. 3
3
4
4
+
D. 3 3
8
$
Zadanie 4. (1 pkt)
Liczba
log
log
a
49
2
2
7
2
=
-
. Wynika z tego, ˝e:
A. <
a
0
B. < <
a
0
1
C. a
1
=
D. >
a
1
Zadanie 5. (1 pkt)
Trójkàt prostokàtny ma boki d∏ugoÊci ,
,
6 12 6 3
i kàty ostre ,
a b. Kàt a le˝y naprzeciw boku d∏ugoÊci
6 3
. Zatem:
A. =
a b
B.
2
=
a
b
C.
45c
-
=
a b
D.
2
=
b
a
Zadanie 6. (1 pkt)
Suma pierwiastków wielomianu ( )
(
)(
)(
)
W x
x
x
x
2
1
9
5
2
=
-
-
+
jest równa:
A. 5
B. 8
C. 4
D. 4
-
Zadanie 7. (1 pkt)
Wska˝ równanie prostej przechodzàcej przez punkt ( ,
)
1
6
-
i równoleg∏ej do prostej
.
y
x
5
9
= -
+
A. y
x
5
1
6
5
1
=
-
B. y
x
5
1
= -
+
C. y
x
5
1
= -
-
D. y
x
5
1
5
5
4
= -
-
Zadanie 8. (1 pkt)
W trójkàt równoboczny wpisano okràg o równaniu (
)
(
)
x
y
1
8
2
2
-
+
+
= 9. WysokoÊç tego trójkàta jest
równa:
A. 9
B. 27
C. ,
4 5
D. 1
Matematyka. Poziom podstawowy
3
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 9. (1 pkt)
W grupie 100 osób 40 w∏ada j´zykiem angielskim, 50 – j´zykiem niemieckim, 26 – j´zykiem
francuskim, 6 – angielskim i niemieckim, 9 – angielskim i francuskim, 5 – niemieckim i francuskim.
Ile osób w∏ada wszystkimi trzema wymienionymi j´zykami?
A. 4
B. 16
C. 6
D. 20
Zadanie 10. (1 pkt)
W kapeluszu sà tylko króliki bia∏e i szare. Królików szarych jest dwa razy wi´cej ni˝ bia∏ych.
Prawdopodobieƒstwo wyciàgni´cia z kapelusza królika bia∏ego jest równe
6
2. Zatem
prawdopodobieƒstwo wyciàgni´cia z kapelusza królika szarego jest równe:
A.
2
1
B.
6
1
C.
12
4
D.
3
2
Zadanie 11. (1 pkt)
Trójkàt prostokàtny równoramienny obrócono dooko∏a jednej z przyprostokàtnych. Obj´toÊç tak
otrzymanej bry∏y jest równa 72
r. Ârednica podstawy bry∏y ma d∏ugoÊç:
A. 6
B. 2 9
3
C. 12
D. 4 9
3
Zadanie 12. (1 pkt)
Na pó∏ce mo˝na ustawiç n s∏oików z d˝emem na 24 sposoby. Zatem:
A. n
6
=
B. n
4
=
C. n
12
=
D. n
24
=
Zadanie 13. (1 pkt)
Emilia kupi∏a pó∏ kilograma cukierków czekoladowych po 20 z∏ za kilogram, çwierç kilograma
cukierków mi´towych po 12 z∏ za kilogram i kilogram cukierków kawowych po 15 z∏ za kilogram.
Ârednia wartoÊç 1 kg cukierków, które kupi∏a Emilia, by∏a równa:
A. 16 z∏
B. ok. ,
15 70
z∏
C. ok. ,
9 30
z∏
D. 15 z∏
Zadanie 14. (1 pkt)
Mediana kolejnych pi´ciu liczb naturalnych jest równa 7. Najmniejsza z tych liczb to:
A. 5
B. 9
C. 8
D. 11
Zadanie 15. (1 pkt)
Ciàg arytmetyczny (
)
a
n
okreÊlony jest wzorem a
n
4
4
n
=
+
. Zatem suma a
a
3
1
+
jest równa:
A. a
8
B. a
6
C. a
4
D. a
5
Zadanie 16. (1 pkt)
Trójkàt prostokàtny równoramienny EWA, w którym przeciwprostokàtna jest równa 3 2, jest
podobny do trójkàta MUR w skali : .
1 2
Obwód trójkàta MUR jest równy:
A. (
)
6 2
2
+
B. 216 2
C.
2
6
3 2
+
D. 18 2
Zadanie 17. (1 pkt)
Liczba 10
2
2010
+
jest podzielna przez:
A. 10
B. 5
C. 6
D. 4
4
Zadanie 18. (1 pkt)
Przekàtna graniastos∏upa prawid∏owego czworokàtnego jest dwa razy d∏u˝sza od wysokoÊci tego gra-
niastos∏upa. Z tego wynika, ˝e miara kàta, jaki tworzy ta przekàtna z podstawà, jest równa:
A. 30c
B. 45c
C. 60c
D. 120c
Zadanie 19. (1 pkt)
W ciàgu geometrycznym rosnàcym a
n
_ i
wyraz a
4
jest równy 4, a wyraz a
7
jest równy 32. Wska˝ wzór
na n-ty wyraz ciàgu.
A. a
2
n
n
1
=
-
B. a
2
1
2
n
n
$
=
C. a
2
n
n
2
=
-
D. a
2
n
n
=
Zadanie 20. (1 pkt)
Wyra˝enie
(
)(
)
x
x
x
x
x
x
5
4
4
5
5
-
-
-
-
-
-
mo˝na zapisaç w postaci:
A.
x
4
1
-
B. x
4
-
C.
(
)(
)
x
x
4
5
5
-
-
-
D.
(
)(
)
x
x
x
4
5
9
5
-
-
-
-
Zadanie 21. (1 pkt)
Kàt
a jest kàtem ostrym i sin cos
5
3
=
a
a
. Wówczas wyra˝enie sin
cos
2
+
a
a
_
i
jest równe:
A.
5
8
B.
5
11
C.
5
6
D. 1
Zadanie 22. (1 pkt)
Wykres funkcji kwadratowej f ma dwa punkty wspólne z osià
.
OX
Wska˝ wzór tej funkcji.
A. ( )
(
)
f x
x
3
2
2
=
-
+
B. ( )
(
)
f x
x
3
2
2
=
+
+
C. ( )
(
)
f x
x
3
2
2
= -
-
+
D. ( )
(
)
f x
x
3
2
2
= -
-
-
Zadanie 23. (1 pkt)
Liczb´ naturalnà a najpierw zwi´kszono o
%
40
, a nast´pnie zmniejszono o
%
20
. W wyniku tych
operacji liczb´ :
a
A. zmniejszono o %
12
B. zwi´kszono o %
12
C. zwi´kszono o
%
20
D. zmniejszono o
%
30
Zadanie 24. (1 pkt)
Kàt wpisany w okràg o promieniu 10 ma miar´ 18c. D∏ugoÊç ∏uku, na którym oparty jest ten kàt, jest
równa:
A.
r
B. 10
r
C. 2
r
D. 5
r
Zadanie 25. (1 pkt)
Liczby pierwsze nale˝àce jednoczeÊnie do zbioru rozwiàzaƒ nierównoÊci
<
x
1
6
-
i do zbioru
rozwiàzaƒ nierównoÊci
>
x
1
2
+
to:
A. , , ,
1 2 3 5
B. , ,
3 4 5
C. ,
3 5
D. , ,
2 3 5
Matematyka. Poziom podstawowy
5
Matematyka. Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 26. do 33. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod
treÊcià zadania.
Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwià˝ równanie x
x
x
4
8
2
3
2
+
=
+
.
Zadanie 27. (2 pkt)
Oblicz najwi´kszà wartoÊç funkcji f okreÊlonej wzorem ( )
f x
x
x
2
6
2
= -
+
+
w przedziale
,
1 2
-
.
6
Zadanie 28. (2 pkt)
Bok rombu ma d∏ugoÊç 6, a sinus kàta ostrego tego rombu jest równy
3
1. Oblicz pole rombu.
Zadanie 29. (2 pkt)
Adam ma 1000 p∏yt CD z muzykà powa˝nà. Codziennie s∏ucha jednej p∏yty i odstawia jà na miejsce.
P∏yty wybiera w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieƒstwo, ˝e w ciàgu pi´ciu kolejnych dni
b´dzie s∏ucha∏ codziennie tej samej p∏yty.
Matematyka. Poziom podstawowy
7
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 30. (2 pkt)
Oblicz odleg∏oÊç od poczàtku uk∏adu wspó∏rz´dnych Êrodka odcinka AB, gdzie
(
, ),
( ,
)
A
B
2 4
6
6
= -
=
-
.
8
Zadanie 31. (4 pkt)
Rozwià˝ równanie
...
2 2 2
2
16
n
3
5
2
1
36
$ $ $ $
=
-
, gdy n
N
!
.
Matematyka. Poziom podstawowy
9
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 32. (5 pkt)
Koparka, pog∏´biajàc rów melioracyjny, usypa∏a kopiec w kszta∏cie sto˝ka. Tworzàca tego sto˝ka jest
nachylona do p∏aszczyzny podstawy pod kàtem, którego tangens jest równy ,
1 5
. Przyjmujàc
3
.
r
,
obliczono, ˝e obwód podstawy kopca jest równy oko∏o 12 m. Oblicz, ile kursów b´dzie musia∏a
wykonaç ci´˝arówka, aby wywieêç wykopany piasek, je˝eli jednorazowo mo˝e zabraç 2 m
3
piasku.
Przyjmij równie˝, ˝e
.
3
.
r
10
Zadanie 33. (6 pkt)
W czasie wycieczki rowerowej uczniowie mieli do przebycia tras´ d∏ugoÊci 84 km. Podzielili t´ tras´
na odcinki równej d∏ugoÊci i codziennie przeje˝d˝ali wyznaczony odcinek. Gdyby na przebycie ca∏ej
trasy zu˝yli o dwa dni wi´cej, to mogliby dziennie przebywaç o 7 km mniej. Ile kilometrów
przebywali uczniowie dziennie?
Matematyka. Poziom podstawowy
11