Odpowiedzi i schematy oceniania
Arkusz 16
Zadania zamknięte
Numer
zadania
Poprawna
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania
1.
B.
b
ax
x
f
+
=
)
(
– wzór ogólny funkcji liniowej
+
⋅
=
+
⋅
=
−
b
a
b
a
6
1
0
2
−
=
=
2
2
1
b
a
2
2
1
)
(
−
=
x
x
f
2.
C.
6
4
2
2
4
)
1
(
2
2
1
4
−
=
−
=
+
−
=
+
=
+
−
x
x
x
x
x
x
x
Odwrotność 6
−
to
.
6
1
−
3.
A.
( )
4
2
8
6
3
1
6
1
3
3
3
3
3
27
3
3
1
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
−
4.
C.
1
1
2
2
log
2
49
log
2
7
=
−
=
−
=
a
5.
B.
Przyprostokątne trójkąta mają długości:
3
6
,
6
. Przeciwprostokątna ma
długość 12 .
60
2
1
12
6
cos
=
⇒
=
=
α
α
(
−
α
kąt ostry)
β
α
⋅
=
⋅
=
2
30
2
6.
D.
4
5
3
3
1
−
=
−
−
+
7.
C.
b
ax
y
+
=
– równanie ogólne prostej
5
−
=
a
(z warunku równoległości prostych)
Prosta przechodzi przez punkt
)
6
,
1
(
−
:
1
5
1
1
5
6
5
−
−
=
−
=
+
⋅
−
=
−
+
−
=
x
y
b
b
b
x
y
8.
A.
3
=
r
9
3
1
3
3
1
=
=
=
h
h
h
r
9.
A.
x
– liczba osób władających trzema językami
76
3
)
5
9
26
(
)
5
6
50
(
)
9
6
40
(
+
=
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
x
x
x
x
– liczba osób
władających jednym językiem
x
x
3
20
3
5
9
6
−
=
−
+
+
– liczba osób władających dwoma językami
4
100
3
20
76
3
=
⇔
=
+
−
+
+
x
x
x
x
10.
D.
3
1
6
2
=
,
3
2
3
1
1
=
−
11.
C.
Otrzymana bryła to stoŜek.
r
h
=
π
π
π
π
72
3
1
72
3
1
3
2
=
⇔
=
⋅
r
h
r
6
=
⇒ r
,
12
2
=
=
r
d
12.
B.
24
...
2
1
=
⋅
⋅
⋅
n
i
4
=
⇔
∈
n
N
n
13.
A.
16
1
4
1
2
1
15
1
12
4
1
20
2
1
=
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
(zł)
14.
A.
4
,
3
,
2
,
1
,
+
+
+
+
a
a
a
a
a
– pięć kolejnych liczb naturalnych, z których
najmniejszą jest
a
5
7
2
=
⇔
=
+
a
a
15.
D.
24
8
16
1
3
=
+
=
+
a
a
5
,
24
4
4
=
=
+
n
n
16.
A.
2
3
6
2
3
3
3
+
=
+
+
=
EWA
L
)
2
2
(
6
2
6
12
)
2
3
6
(
2
+
=
+
=
+
=
MUR
L
17.
C.
Suma cyfr tej liczby jest równa 3 – liczba dzieli się przez 3 . Jest to liczba
parzysta (cyfrą jedności jest 2 ) – dzieli się przez 2 . Liczba podzielna przez
2 i przez 3 dzieli się przez 6 .
18.
A.
Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy graniastosłupa i krawędź
boczna (równa wysokości graniastosłupa) tworzą trójkąt prostokątny, w
którym naprzeciw kąta
α
między podstawą a przekątną graniastosłupa leŜy
przyprostokątna p dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej.
30
2
1
2
sin
=
⇒
=
=
α
α
p
p
19.
C.
4
1
4
1
4
=
⋅
=
−
q
a
a
32
1
7
1
7
=
⋅
=
−
q
a
a
Stąd:
2
,
2
1
1
=
=
q
a
2
1
1
1
2
2
2
1
−
−
−
=
⋅
=
=
n
n
n
n
q
a
a
20.
A.
4
1
)
5
)(
4
(
5
)
5
)(
4
(
5
5
4
)
5
)(
4
(
5
)
5
(
)
4
(
)
5
)(
4
(
5
4
5
2
2
−
=
−
−
−
=
−
−
−
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
21.
B.
(
)
5
11
5
3
2
1
cos
sin
2
cos
sin
cos
sin
2
2
2
=
⋅
+
=
+
+
=
+
α
α
α
α
α
α
22.
C.
Wierzchołek paraboli
2
)
3
(
2
+
−
−
=
x
y
znajduje się w punkcie
)
2
,
3
(
.
Ramiona paraboli skierowane są do dołu. Wykres przecina oś OX w dwóch
punktach.
23.
B.
a
a
a
a
a
a
a
a
%
112
100
112
100
28
100
140
100
140
100
20
100
140
%
140
%
20
%
140
=
=
−
=
⋅
−
=
⋅
−
24.
C.
Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ma miarę dwa razy
większą:
36
18
2
=
⋅
.
π
π
π
2
10
2
10
1
2
360
36
=
⋅
⋅
=
⋅
r
25.
D.
7
5
6
1
6
6
1
<
<
−
⇔
<
−
<
−
⇔
<
−
x
x
x
liczby pierwsze spełniające
nierówność:
5
,
3
,
2
.
2
1
2
1
>
+
⇔
>
+
x
x
lub
1
2
1
>
⇔
−
<
+
x
x
lub
3
−
<
x
liczby pierwsze
spełniające nierówność:
...
,
7
,
5
,
3
,
2
.
Liczby spełniające obie nierówności:
5
,
3
,
2
.
Zadania otwarte
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązania
Liczba
punktów
Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias po obu stronach
równania:
)
4
(
2
)
4
(
2
2
+
=
+
x
x
x
.
1
26.
Rozwiązanie równania:
2
=
x
.
1
Znalezienie pierwszej współrzędnej wierzchołka:
1
=
x
i
stwierdzenie, Ŝe liczba ta naleŜy do przedziału
2
,
1
−
.
1
27.
Obliczenie największej wartości (drugiej współrzędnej
wierzchołka):
=
)
1
(
f
7 .
1
Obliczenie wysokości rombu:
2
3
1
6
=
⇒
=
h
h
.
1
28.
Obliczenie pola rombu:
12
2
6
=
⋅
=
=
ah
P
.
1
Określenie liczby zdarzeń elementarnych:
5
1000 i określenie liczby
zdarzeń sprzyjających: 1000 .
1
29.
Zapisanie prawdopodobieństwa:
4
5
1000
1
1000
1000
)
(
=
=
A
P
.
1
30.
Obliczenie współrzędnych środka odcinka:
(
)
1
,
2
2
6
4
,
2
6
2
−
=
−
+
−
=
S
.
1
Obliczenie odległości punktu S od punktu
)
0
,
0
(
:
5
)
1
(
2
2
2
=
−
+
.
1
Zapisanie
36
16 jako
144
2
.
1
Obliczenie sumy ciągu arytmetycznego:
2
1
2
....
3
1
n
n
=
−
+
+
+
.
1
Rozwiązanie równania
144
2
=
n
:
12
12
−
=
∪
=
n
n
.
1
31.
Wskazanie rozwiązania będącego liczbą naturalną:
.
12
=
n
1
Obliczenie promienia stoŜka:
2
,
12
3
2
,
12
2
≈
≈
⋅
⋅
=
r
r
r
π
.
1
Zapisanie zaleŜności między promieniem a wysokością stoŜka:
r
h
tg
=
α
,
r
h
=
5
,
1
,
r
h
5
,
1
=
.
1
Obliczenie wysokości stoŜka:
3
=
h
.
1
Obliczenie objętości stoŜka:
12
3
2
3
3
1
2
=
⋅
⋅
⋅
=
V
(m
3
).
1
32.
Obliczenie liczby kursów cięŜarówki:
6
2
:
12
=
.
1
UłoŜenie równania opisującego treść zadania:
x
– liczba kilometrów, jaką uczniowie przebywali dziennie,
7
84
2
84
−
=
+
x
x
.
1
Sprowadzenie lewej strony równania do wspólnego mianownika i
skorzystanie z własności proporcji:
)
7
)(
2
84
(
84
−
+
=
x
x
x
.
1
Zapisanie równania w postaci:
0
588
14
2
2
=
−
−
x
x
lub w postaci
0
294
7
2
=
−
−
x
x
.
1
Obliczenie wyróŜnika:
1225
=
∆
.
1
Obliczenie pierwiastków równania:
14
1
−
=
x
,
21
2
=
x
.
1
33.
Podanie odpowiedzi: uczniowie przebywali dziennie 21 km.
1