1.
Usuni´cie niewymiernoÊci z mianowników u∏amków liczby
a
: 1
a
2
5 11 15
4
10 11
=
-
-
.
Przekszta∏cenie liczby
a
do postaci:
a
2
15
=-
.
1
Zapisanie liczby
b
w postaci odpowiedniej pot´gi:
b
7
=-
.
1
Obliczenie wartoÊci bezwzgl´dnej liczby
x
:
x
2
1
=
-
r
.
1
2.
Zapisanie uk∏adu warunków:
x
x
x
2
5
0
12
0
2
!
H
+
-
+ +
(
.
1
Rozwiàzanie pierwszego warunku:
x
2
5
!-
.
1
Rozwiàzanie drugiego warunku:
,
x
3 4
! -
.
2
(1 pkt za
metod´
i 1 pkt za
obliczenia)
Wyznaczenie dziedziny funkcji:
,
D
3 4
2
5
= -
-
&
0
.
1
3.
Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej:
y a x
x
3
1
=
-
+
^
^
h
h
.
1
U∏o˝enie równania z niewiadomà
a
:
a
5
2
3 2
1
=
-
+
^
^
h
h
.
1
Obliczenie wspó∏czynnika
a
:
a
3
5
=-
i zapisanie funkcji w postaci iloczynowej:
1
y
x
x
3
5
3
1
=-
-
+
^
^
h
h
.
Obliczenie wartoÊci wspó∏czynników
,
b c
:
1
,
b
c
3
10
5
=
=
.
Wyznaczenie wspó∏rz´dnych wierzcho∏ka paraboli dla danych parametrów:
,
W
1
4
=
-
^
h
.
1
Narysowanie wykresu funkcji dla podanych wspó∏czynników.
1
Wyznaczenie zbioru wartoÊci funkcji dla danych parametrów:
,
D
4 5
1
= -
-
h
.
1
1
w w w. o p e r o n . p l
Modele odpowiedzi
Matematyka
Poziom podstawowy
Numer
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Liczba
zadania
punktów
4.
Obliczenie liczby
x
:
x 15
=
.
1
Zapisanie zale˝noÊci pozwalajàcej obliczyç
y
:
y
x 4
15
2
$
=
.
1
Rozwiàzanie równania
y
x 4
15
2
$
=
:
y
y
2
15
2
15
0
=
=-
i podanie odpowiedzi:
y
2
15
=
.
1
5.
U∏o˝enie równania wynikajàcego z treÊci zadania:
1
n
n
48
8 0
14 1
14 2
8 3
4 4
9
2
$
$
$
$
$
+
+
+
+
+
+
=
.
Rozwiàzanie równania i wyznaczenie liczby osób, które by∏y w teatrze
9
razy:
n 2
=
.
1
Wyznaczenie mediany pobytów w teatrze:
2
.
1
6.
Analiza zadania i wprowadzenie oznaczeƒ:
x
to waga roztworu o st´˝eniu
%
6
,
1
y
to waga roztworu o st´˝eniu
%
18
,
x
y
+
to waga roztworu o st´˝eniu
%
15
.
U∏o˝enie równania wynikajàcego z treÊci zadania:
,
,
,
(
)
x
y
x
y
0 06
0 18
0 15
+
=
+
.
1
Obliczenie stosunku wagowego:
y
x
3
1
=
.
1
7.
Wykorzystanie wzorów skróconego mno˝enia i „jedynki trygonometrycznej”
2
do zapisania:
sin cos
W 4
=
a
a
.
(1 pkt za
wzory i 1 pkt
za redukcj´)
Obliczenie cosinusa kàta:
cos
13
12
=
a
.
1
Obliczenie wartoÊci wyra˝enia:
W
169
240
=
.
1
8.
Podanie pierwiastków wielomianu:
,
,
x
x
m x
13
5
1
2
3
=-
=
=
.
1
U∏o˝enie nierównoÊci wynikajàcej z treÊci zadania:
<
m
13
5 0
-
+
+
.
1
Rozwiàzanie nierównoÊci:
,
m
8 8
! -
^
h
.
1
Zapisanie zale˝noÊci pozwalajàcej wyznaczyç liczb´
m
, aby do wykresu
1
wielomianu nale˝a∏ punkt
:
( )
A W 2
45
=
.
Wyznaczenie liczby
m
:
m
m
3
3
0
=
=-
.
1
9.
Obliczenie d∏ugoÊci odcinka:
AB
10
=
.
1
Wyznaczenie wspó∏rz´dnych Êrodka odcinka:
,
S
2 1
AB
= ^
h
.
1
Wyznaczenie równania prostej
AB
:
y
x
4
3
2
5
=-
+
.
2
(1 pkt za
u∏o˝enie
uk∏adu
równaƒ
i 1 pkt za
rozwiàzanie)
2
w w w. o p e r o n . p l
Matematyka. Poziom podstawowy
Numer
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Liczba
zadania
punktów
Wyznaczenie równania prostej równoleg∏ej:
y
x
4
3
3
=-
+
.
1
10.
Analiza zadania – wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie
1
dok∏adnie opisanych oznaczeƒ, np:
ABCD
– trapez o d∏u˝szej podstawie
AB
i krótszej
CD
,
,
AB
a CD
b
=
=
,
KL
– odcinek dorysowanej prostej,
KL
x
=
DE
– wysokoÊç trapezu,
DE
h
=
,
M
– punkt przeci´cia si´ wysokoÊci
DE
i odcinka
KL
.
Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka
AE
:
AE
a
b
2
=
-
.
1
Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka
KM
:
KM
a
b
3
=
-
.
2
(1 pkt za
u∏o˝enie
proporcji
i 1 pkt za
wyznaczenie
d∏ugoÊci
odcinka)
Obliczenie d∏ugoÊci szukanego odcinka
:
KL KL
b
a
3
2
=
+
.
1
11.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych
1
oznaczeƒ:
b
– kraw´dê podstawy,
,
H h
– odpowiednio wysokoÊç ostros∏upa i wysokoÊç Êciany bocznej,
a
– kàt nachylenia Êciany bocznej do p∏aszczyzny podstawy.
Obliczenie d∏ugoÊci wysokoÊci ostros∏upa:
H
a
2
3
=
.
1
Obliczenie d∏ugoÊci kraw´dzi podstawy:
b
a
2
2
=
.
1
Obliczenie wysokoÊci Êciany bocznej ostros∏upa:
h
a
4
14
=
.
2
(1 pkt za
metod´
i 1 pkt za
obliczenia)
Obliczenie sinusa kàta
a
:
sin
7
42
=
a
.
1
3
w w w. o p e r o n . p l
Matematyka. Poziom podstawowy
Numer
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Liczba
zadania
punktów