1 Przykªady zada« z geometrii
Oznaczenia: ~v = (a, b) wektor o wspóªrz¦dnych a, b, ~
AB
, A = (x
1
, y
1
)
, B =
(x
2
, y
2
)
wektor o pocz¡tku w punkcie A i ko«cu w punkcie B, ~v ◦ ~u - iloczyn
skalarny wektorów. 1. Dla wketorów ~v = (−1, 2), ~u = (2, 4), ~w = (2, 3) wyz-
naczy¢ wektor
~z = 3~v + 2~u − 5 · (~v ◦ ~u) ~
w,
obliczy¢ ~w ◦ ~v − 3
oraz obliczy¢ kosinus k¡ta pom¦dzy wektorami ~u, ~w.
2. Dla jakiej warto±ci p wektory (p − 1, 2), (p, 3) s¡ prostopadªe a dla jakiej
równolegªe.
3. Dla punktów A = (1, 2), B = (−2, 3), C = (3, 1) wyznaczy¢ wektory ~
AB
,
~
BC
, wyznaczy¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkty B, C.
4. Dla prostych l : 3x + 2y − 1 = 0 oraz k : −x + y + 3 = 0 wyznaczy¢ ich punkt
wspólny oraz k¡t pomi¦dzy nimi.
5. Dla punktu A = (−1, 2) oraz prostej l : −x + 5y − 1 = 0 obliczy¢ odlegªo±¢
punktu A od prostej l.
2 Algebra liniowa
6. Przykªadowe ukªady równa« liniowych do rozwi¡zania
(
2x + 3y = 7
x + 2y
= −2
3x + 6y − z
= −4
−2x − 4y + z = 3
z =
1
x + y
= −2
5x + 2y = 5
x + 2y
= −7
7. Stosuj¡c algorytm Gaussa-Jordana (metoda macierzy doª¡czonej) rozwi¡za¢
ukªady równa«
(
x + 3y = 7
x + 2y = 1
(
2x + 6y
= 2
−2x + y = 1
x + y
= −2
5x + 2y = 5
x + 2y
= −7
8. Wykona¢ podanie dziaªania je±li to mo»liwe (zaznaczy¢ wyra¹nie je±li nie jest
mo»liwe)
(a)
·
1 2 −1
0 2
2
¸
−
·
3 1 0
1 1 1
¸
(b) 2
·
1
3
¸
−5
·
2
2
¸
+3
·
4
1
¸
(c) 2
·
1 4
0 0
¸
+3
·
0 0
2 1
¸
(d) 3
·
1 1
1 1
¸
+ 2
·
1
1
¸
(e)
1 2 −1
0 0
2
0 2 −2
+ 2
3 1 0
5 2 1
1 1 1
9. Dla ka»dej pary macierzy, obliczy¢ ich iloczyn lub zaznaczy¢, »e iloczyn jest
nieokre±lony
(a)
·
1 0
0 1
¸
,
·
3
−2 0
−2
5
8
¸
(b)
·
2 1 0
0 8 2
¸
,
·
1 1
2 2
¸
(c)
3 1 2
1 0 0
4 3 2
,
−5 4 −2
−2 3
1
1
0
4
1
