PRZYKŁADOWE ZADANIA NA KOLOKWIUM Z EKONOMETRII

Zad.1 Na podstawie danych statystycznych

t
1	2	0	0	2,2	-0,2
2	3	0	1	2,8	0,2
3	4	1	0	3,9	0,1
4	5	1	2	5,1	-0,1

otrzymano:

1. oszacuj parametry strukturalne modelu
   oraz błędy tych ocen,

2. wyznacz
   ,

3. uzupełnij tabelkę podaną w zadaniu,

4. zbadaj istotność parametrów strukturalnych dla
   ,

5. zbadaj istotność współczynnika korelacji wielorakiej dla
   .

Rozwiązanie:

1. oszacuj parametry strukturalne modelu
   oraz błędy tych ocen,
   Uwaga: Zakładam, ze w skrypcie jest błąd i macierz
   ma być tak naprawdę macierzą
   . Nie wiem czy istnieje taki wzór z którego na podstawie którego można by wyliczyć macierz A mając daną macierz A^-1.
   Poza tym w przykładzie
   ( różnica oznaczeń )

1. dokonujemy oszacowania parametrów strukturalnych korzystając ze wzoru
   
   
   
   
   Mnożymy każdy wiersz i każdą kolumnę. Macierz wynikowa będzie miała tyle wierszy co macierz po lewej stronie mnożenia i tyle kolumn co macierz po prawej stronie równania
   
   
   Stąd mamy
   
   
   
   
   

2. Wyznaczamy błędy ocen
   Obliczamy
   podstawiając liczby pod
   ( obliczone w poprzednim podpunkcie ) oraz
   i
   
   z tabeli
   
   
   
   
   
   
   
   
   Wyniki wstawiamy do tabeli
   
   Obliczamy
   korzystając ze wzoru
   
   
   
   
   
   

3. Obliczamy wariancję resztową ze wzoru
   
   
   n - liczebność ) liczba wierszy w kolumnie t ) = 4
   k - ilość X-ów w równaniu = 2
   
   
   

4. Obliczamy macierz wariancji i kowariancji parametrów strukturalnych modelu korzystając ze wzoru
   
   
   Uwaga:
   ( różnica oznaczeń )
   
   
   Interesują nas tylko wartości leżące na przekątnej macierzy
   
   
   

5. Obliczamy odchylenie standardowe reszt
   
   

2. wyznacz
   ,
   

1. 
   ( różnica oznaczeń )
   
   
   W liczniku suma kwadratów reszt
   
   W mianowniku suma kwadratów różnicy y_t i wartości średniej y
   
   
   
   
   

2. 
   
   R²=0,981
   

3. 
   
   
   
   

3. obliczone wcześniej
   

4. zbadaj istotność parametrów strukturalnych dla
   ,

1. badamy istotność parametrów strukturalnych dla
   korzystając ze wzoru:
   
   
   
   
   
   n - liczebność ( ilość wierszy w kolumnie t )
   
   Przyjmujemy hipotezy:
   
   - parametr nie istotny
   
   - parametr istotny
   Odczytujemy wartość
   z tabeli rozkładu t-Studenta gdzie α oznacza numer kolumny, a wartość n-2 numer wiersza.
   Jeżeli
   to H₀ odrzucamy na rzecz H₁, parametr a_t jest istotny a zmienna x_t wpływa znacząco
   na zmienną objaśniającą, a w przeciwnym razie odwrotnie
   
   
   
   
   H₀: a₀= 0
   H₁: a₀≠ 0
   
   
   
   H₀ odrzucamy na rzecz H₁, parametr a₀ jest istotny,
   
   H₀: a₁= 0
   H₁: a₁≠ 0
   
   
   
   
   H₀ odrzucamy na rzecz H₁, parametr a_t jest istotny a zmienna x_t wpływa znacząco
   na zmienną objaśniającą
   
   H₀: a₂= 0
   H₁: a₂≠ 0
   
   
   
   
   Nie ma podstaw do odrzucenia H₀ parametr a₂ jest nie istotny a zmienna x₂ nie wpływa znacząco na zmienną objaśniającą
   
   

5. zbadaj istotność współczynnika korelacji wielorakiej dla
   

1. obliczamy statystykę Fishera ze wzoru
   
   
   n - ilość wierszy w kolumnie t
   k - ilość X-ów w modelu
   
   
   
   

2. Uwaga: tego punktu nie jestem pewien
   Wartość F_α odczytujemy z tablicy Fishera ( której nie mam ) jeśli F > F_α to R jest istotne, a model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych.
   Z braku tablic Fishera można się posiłkować stwierdzeniem, że im R² jest bliższe 1 tym model jest lepiej dopasowany do danych empirycznych. W przykładzie R²=0,981 więc można przyjąć, że dopasowanie jest dość dobre

Zad.2. W modelu liniowym
na podstawie n=7 obserwacji otrzymano:

oraz

1. wartość statystyki t- Studenta potrzebna do weryfikacji hipotezy
   wynosi………

2. przedział ufności dla parametru
   jest następujący
   ……………………………………………………………………

3. dla
   standardowy błąd oceny parametru
   jest równy………...........

4. parametr
   jest statystycznie istotny dla
   

□ TAK □ NIE

e) wiedząc, że
oblicz

Rozwiązanie:
Uwaga: tego zadania nie jestem pewien, więc będę improwizował

1. Na podstawie danych dokonujemy oszacowania modelu
   
   
   
   oraz
   
   
   
   
   
   
   
   wartość statystyki t- Studenta potrzebna do weryfikacji hipotezy
   wynosi……
   Założenie H₀ określa że parametr a₂ jest nieistotny. Aby parametr a₂ był nieistotny
   
   
   
   Aby założenie H0 było prawdziwe wartość statystyki t-Studenta musi być większa lub równa 4
   

2. przedział ufności dla parametru
   jest następujący
   
   Korzystamy ze wzoru
   
   
   
   
   
   
   
   

3. dla
   standardowy błąd oceny parametru
   jest równy
   

4. parametr
   jest statystycznie istotny dla
   

1. aby parametr a₂ był statystycznie istotny t₂ musi być większe od t_α
   
   
   
   
   Warunek jest spełniony a₂ jest statystycznie istotny dla
   

5. wiedząc, że
   oblicz
   
   
   
   
   
   

Zad.3. Oszacowano parametry strukturalne modelu postaci:

gdzie:

produkcja globalna (mln. zł),

- zatrudnienie (liczba osób),

wartość maszyn i urządzeń (mln. zł),

wartość zużycia materiałów (tys. zł),

1. dokonaj interpretacji otrzymanych wyników,
   
   Na podstawie danych mogę jedynie stwierdzić że model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych. Wskazuje na to wysoka wartość ( w stosunku do jedności ) R²
   

2. zbadaj istotność parametrów strukturalnych.
   Fakt, że dane jest tylko R₂ nasuwa przypuszczenie, że chodzi o obliczenie statystyki Fishera
   
   
   moim zdaniem brakuje wartości liczebności próby, a przy założeniu, że n=1 wartość F jest ujemna, a nie jestem pewien czy jest to możliwe

Ekonometria - ćwiczenia - zestaw 1 Strona 5 z 5