1

##########################################################################################       
 

                                                

Ogólna teoria względności  

                                                                       P.A. M. Dirac 

                                              John Wiley & Sons, Inc 1975 

                                                     Tłumaczenie rosyjskie Atomizdat 1975 
 
****************************************************************************************** 
Tłumaczenie :   R. Waligóra   
Pierwsze tłumaczenie 2006 
Ostatnia modyfikacja : 2020-07-10                                                                     
Tłumaczenie całości książki                    
 
****************************************************************************************** 

 

Wst

ęp własny. 

Przedstawione tłumaczenie książeczki Diraca, poświęconej Ogólnej Teorii Względności (skrót polski OTW, 
ang. General Theory of Relativity – GTR, ros. Общая Теория Относительности – ОТО) stanowi lekturę raczej  
dla przygotowanego czytelnika – tj. czytelnika na poziome zaawansowanym.  
W pierwszej kolejności należałoby znać podstawy mechaniki analitycznej – formalizm Lagrange’a, podstawy 
klasycznej teorii pola oraz, koniecznie podstawy analizy wektorowej i tensorowej, należy również dysponować 
podstawową wiedzą z zakresu Szczególnej Teorii względności (skrót polski STW, ang. Special Theory of 
Relativity – STR, ros. Специалная Теория Относительности – СТО lub również stosowana nazwa :  
Частная Теория Относительности ) 
Autora niniejszej książeczki raczej nie trzeba nikomu przedstawiać – jest (był) on, bowiem powszechnie znanym 
i uznanym fizykiem teoretykiem (można powiedzieć – teoretykiem przez duże T ). 
 
Wykład OTW niżej prezentowany można zaliczyć do klasycznego „tensorowego” wyłożenia tematu. 
 Dirac daje w pierwszych rozdziałach pewne przygotowanie matematycznego aparatu (klasyczna algebra i 
analiza tensorowa) by w końcowych rozdziałach wypełnić ten aparat fizyczną treścią.  
Głównym problemem dla niedoświadczonego czytelnika może być swoboda w operowaniu zapisem 
indeksowym, oraz pomijanie szczegółów prowadzonych rachunków – co jest raczej typowe dla 
zaawansowanych fizyków teoretyków - po co zadawać sobie trud prowadzenia „elementarnych” rachunków ? ) 
 
Wobec powyższego wydaje mi się, że przed niniejszą lekturą należałoby również poznać podstawy OTW 
zdobywając je przy bardziej „strawniejszych” podręcznikach np. takich chociażby jak : 
„Ogólna teoria względności”  -- J. Foster , J. D. Nightingale wyd.  PWN 1985 
 
Wyłożony aparat matematyczny – rachunek tensorowy na przestrzeniach Riemanna, można przećwiczyć 
zapoznając się np. z książkami : 
„Rachunek tensorowy” – J. L. Synge, A. Schild PWN 1964  
„Elementy analizy tensorowej” – Leszek M. Sokołowski ; WUW 2010  
 
R. Waligóra                                         
 
****************************************************************************************** 

 
Spis tre

ści : 

 Przedmowa redaktora przekładu  
 Przedsłowie autora 
1) Szczególna teoria względności 
2) Nie ortogonalne współrzędne kartezjańskie   
3) Współrzędne krzywoliniowe 
4) Wielkości nie tensorowe 
5) Przestrzeń zakrzywiona 
6) Przeniesienie równoległe 
7) Symbole Christoffela 
8) Geodezyjne 
9) Własność stacjonarności geodezyjnych 

 

2

10) Różniczkowanie kowariantne 
11) Tensor krzywizny 
12) Kryterium płaskiej przestrzeni 
13) Tożsamości Bianchi 
14) Tensor Ricciego 
15) Prawo grawitacji Einsteina 
16) Przybliżenie Newtonowskie 
17) Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni 
18) Rozwiązanie Schwarzschilda 
19) Czarne dziury 
20) Gęstości tensorowe 
21) Twierdzenie Gaussa i Stokesa  
22) Współrzędne harmoniczne 
23) Pole elektromagnetyczne 
24) Modyfikacja równań Einsteina w obecności materii 
25) Tensor energii-pędu materii 
26) Zasada wariacyjna dla grawitacji 
27) Działanie dla ciągłego rozkładu materii 
28) Działanie dla pola elektromagnetycznego 
29) Działanie dla naładowanej materii 
30) Zasada wariacyjna w ogólnym przypadku 
31) Pseudo tensor energii-pędu pola grawitacyjnego 
32) Jawna postać dla pseudotensora 
33) Fale grawitacyjne 
34) Polaryzacja fal grawitacyjnych 
35) Człon kosmologiczny 
 
****************************************************************************************** 
Przedmowa redaktora przekładu  
 
Nowa książka jednego z najwybitniejszych fizyków naszych czasów, zagranicznego członka AN ZSSR  
P.A.M. Diraca oparta jest na wykładach wygłoszonych przez autora na uniwersytecie stanu Floryda.  
Jest ona przeznaczona dla czytelnika rozpoczynającego naukę ogólnej teorii względności OTW Einsteina. 
Wyróżniającą się stroną tej książki jest zwarte wyłożenie materiału. W ostatnim czasie pojawiło się wiele 
monografii poświęconych OTW, zawierających oprócz jej kluczowych zagadnień szereg zastosowań np.  
w astrofizyce, kosmologii. Na tym tle książkę Diraca można nazwać „matematycznym minimum” dotyczącym 
OTW.  
Wykład zawiera się w ramach tradycyjnej geometrycznej ideologii – teoria grawitacji Einsteina oparta na 
geometrii przestrzeni Riemanna. Po przeczytaniu tej książki będzie można bez trudu zorientować się w 
zastosowaniach tej teorii. Metody za pomocą których otrzymano niektóre klasyczne rezultaty jawią się 
oryginalnymi. W szczególności otrzymano w ogólnej postaci, równania ruchu źródeł o ciągłym rozkładzie pola 
zewnętrznego, jako następstwa równań Einsteina i równań odpowiadających im pól.   
Książkę tą z zainteresowaniem przeczytają również wszyscy ci którzy pracują aktywnie na obszarze OTW, lub 
są związani z tym tematem. Oni zapewne należycie docenią jej zalety.  
 
Przedsłowie autora 
 
Zgodnie z OTW Einsteina, dla opisania fizycznej rzeczywistości potrzebujemy zakrzywionej przestrzeni.  
Żeby zagłębić się lepiej w rozumieniu fizycznych prawidłowości, należy ustanowić prawidłową postać równań 
koniecznych dla opisania zakrzywionej przestrzeni. Wobec tego należy dobrze rozwinąć złożony matematyczny 
aparat. Każdy kto chce zrozumieć teorię Einsteina powinien znać szczegóły funkcjonowania tego aparatu.    
 
Książka ta oparta jest na wykładach wygłoszonych na wydziale fizycznym uniwersytetu stanu Floryda. 
Materiał wyłożony jest w niej w dostępnej i zwartej formie. Dla jej zrozumienia nie potrzebne jest posiadanie 
wiadomości wychodzących poza fundamentalne idee szczególnej teorii względności STW, oraz rachunek 
różniczkowy funkcji pola. To pozwoli czytelnikowi rozwiązującemu zagadnienia OTW pokonać wynikające z 
niej trudności z minimalną stratą czasu i energii oraz przygotować się na rozwiązywanie o wiele głębszych i 
specjalnych aspektów tego przedmiotu. 
 
****************************************************************************************** 

 

3

1) Szczególna teoria względności 

 
Dla opisania fizycznej przestrzeni –czasu potrzebne są cztery współrzędne: czas t i trzy współrzędne 
przestrzenne x, y, z. Przedstawmy je w formie  

t = x0, x = x1, y = x2, z = x3   

tak więc te cztery współrzędne można zapisać w formie x

µ

 gdzie wskaźnik 

µ

 przybiera wartości 0,1, 2, 3.  

Indeks 

µ

 zapisujemy w górnej pozycji aby uczynić zadość regule równowagi indeksów we wszystkich ogólnych 

równaniach teorii. Dokładne znaczenie reguły „balansu (równowagi) indeksów” stanie się jasnym nieco później.  
 

Weźmy punkt bliski punktowi rozpatrywanemu czyli x

µ

, niech jego współrzędne będą dane jako x

µ

 + dx

µ

.  

Cztery wielkości dx

µ

, opisujące przemieszczenie, można rozpatrywać jako składowe wektora.  

Prawa STW pozwalają wprowadzić jednorodne liniowe przekształcenie dx

µ

.  

 
To przekształcenie ma taką postać, aby wielkość  

(dx0)2 - (dx1)2 – (dx2)2 – (dx3)2                                                                                                               (1.1) 
była inwariantna (wybieramy jednostki w których prędkość światła jest równa : c = 1). 
 

Wszystkie wielkości A

µ

, które przy przekształceniu współrzędnych przekształcają się tak jak dx

µ

, nazywamy 

wektorem kontrawariantnym. Inwariantną wielkość  

(A0)2 – (A1)2 – (A2)2 – (A3)2 = (A, A)                                                                                                      (1.2) 

można nazwać kwadratem długości wektora. Jeśli mamy drugi kontrawariantny wektor B

µ

, to istnieje 

inwariantny iloczyn skalarny : 

 A0 B0 – A1 B1 – A2 B2 – A3 B3 = (A, B).                                                                                                (1.3) 
 
Dla wygody takiego zapisu inwariantów wprowadzimy indeksy dolne.  
Definiując : 

A0 = A

0 ; A

1 = 

−

 A1 ; A2 = 

−

 A2 ; A3 = 

−

 A3 .                                                                                            (1.4) 

Tak więc, wyrażenie w lewej części (1.2) możemy zapisać w postaci : A

µ

 A

µ

, gdzie domyślnie sumujemy dla 

czterech wartości indeksu 

µ

.  

W takich oznaczeniach wzór (1.3) można przedstawić w postaci: 

 A

µ

 B

µ

  lub  A

µ

 B

µ

 . 

 
Cztery wielkości A

µ

 wprowadzone za pomocą wyrażeń (1.4) można również rozpatrywać jako składowe 

wektora. Prawa transformacji tych wielkości przy zmianie współrzędnych niewiele się różnią od praw 

transformacji A

µ

 za wyjątkiem znaków. Taki wektor nazywamy wektorem kowariantnym. 

 

Z dwóch kowariantnych wektorów A

µ

 i B

µ

  można utworzyć szesnaście wielkości A

µ

 B

ν

 ( indeks 

ν

, tak jak 

wszystkie greckie indeksy w tej książce przebiegają wartości 0, 1, 2, 3 ).  
Te szesnaście wielkości obrazują składowe tensora drugiego rzędu. Nazywa się je zwykle „iloczynem 

zewnętrznym” wektorów A

µ

 B

µ

 w odróżnieniu od iloczynu skalarnego (1.3) który nazywa się „iloczynem 

wewnętrznym”. 
 

Tensor A

µ

 B

ν

 stanowi tensor specjalny, ponieważ jego składowe związane są  wzajemnie określonymi 

zależnościami. Dokonując sumowania wielu tensorów przedstawionych w ten sposób, można otrzymać bardziej 
ogólniejszy tensor drugiego rzędu, przykładowo : 

T

µν

  = A

µ

 B

ν

 + A’

µ

 B’

ν

  + A’’

µ

 B’’

ν

 + ......                                                                                             (1.5) 

 
Tensor ten charakteryzuje się ważną cechą : przy transformacjach współrzędnych jego składowe przekształcają 

się tak jak wielkości A

µ

 B

ν

. Można obniżyć  jeden z indeksów w T

µν

 przyjmując zasadę obniżania indeksów w 

każdym członie w prawej części (1.5). Tak otrzymamy : T

µν

 lub T

µν

 . 

 
 

 

4

Obniżając oba indeksy otrzymamy wielkość T

µν

 . 

W tensorze T

µν

 można przyjąć 

ν

 = 

µ

, co prowadzi do T

µµ

 . 

Wtedy należy przeprowadzić sumowanie po czterech wartościach 

µ

. W dalszej części książki zawsze kiedy 

występują dwa powtarzające się indeksy będziemy stosować sumowanie po tych indeksach  
(tzn. wykorzystujemy umowę sumacyjną Einsteina – przypis własny).  

To znaczy, że stosując się do tej zasady,  T

µµ

 - będzie skalarem tożsamościowo równym  T

µµ

 . 

 
Można kontynuować tą procedurę i przemnożyć więcej niż dwa wektory z różnymi indeksami. 
Takim sposobem zbudujemy tensory wyższego rzędu. Jeśli wszystkie mnożone wektory będą kontrawariantne, 
to otrzymany tensor będzie miał tylko górne indeksy. Jeśli natomiast wektory będą posiadać również dolne 
indeksy to otrzymamy ogólnie tensor z szeregiem dolnych i szeregiem górnych indeksów.  
(tj. tensor mieszany – przypis). Kiedy przyjmiemy, że indeks górny jest równy dolnemu, wtedy zgodnie z 
przyjęta umową  sumujemy po wszystkich wartościach tego indeksu. Indeks ten to tzw. indeks niemy.  
 
Otrzymamy w tym przypadku tensor który będzie miał dwa swobodne (wolne – przypis własny) indeksy mniej 
w stosunku do tensora wyjściowego. 
Taką procedurę nazywamy „zawężaniem tensora”. 

Tym sposobem, jeśli wychodzimy od tensora czwartego rzędu T

µνρσ

, to zawężając go po indeksach 

σ

 i 

ρ

 

otrzymamy tensor drugiego rzędu T

µνρρ

, który ma tylko szesnaście składowych odpowiadającym czterem 

znaczeniom indeksów 

µ

 i 

ν

.  

Dokonując zawężenia jeszcze raz dochodzimy do skalara T

µµρρ

 składającego się z jednej składowej.  

Teraz staje się jaśniejsze wyrażenie o tzw. „balansie indeksów”. 
Każdy swobodny  indeks pojawia się w równaniach jeden i tylko raz w każdym członie (składowej ) tego 
równania jako indeks dolny lub górny. Indeks, pojawiający się podwójnie w jednym członie równania jest 
indeksem niemym i powinien znajdować się jeden raz u góry i jeden raz u dołu składnika. 
Taki indeks można zamienić na dowolny inny grecki indeks jeszcze nie wykorzystany w tym członie równania.  

Takim sposobem : T

µνρρ

  = T

µναα

 . Indeks nie powinien pojawiać się więcej niż dwa razy w jednym członie. 

 

2) Nieortogonalne współrz

ędne kartezjańskie   

 
Zanim przejdziemy do matematycznego aparatu OTW, wygodnie jest rozpatrzyć pośredni formalizm STW 
zapisany w nieortogonalnych współrzędnych kartezjańskich . 

Przy przejściu do osi nieortogonalnych każda z wielkości dx

µ

 w wyrażeniu (1.1) okazuje się być liniową funkcją 

nowych dx

µ

 i forma kwadratowa (1.1) stanowi ogólną formę kwadratową dla nowych dx

µ

, można ją zapisać w 

postaci:               

 g

µν

dx

µ

dx

ν

                                                                                                                                                       (2.1) 

gdzie w myśl umowy sumacyjnej sumujemy zarówno po 

µ

 jak i po 

ν

.  

 
Współczynniki g

µν

 zależne są od wyboru współrzędnych nieortogonalnych kartezjańskich.  

Koniecznie musi zachodzić g

µν

 = g

νµ

  (tj. zakładamy symetrię tensora metrycznego – przypis własny ), tak by 

rozróżnienie między  g

µν

 a g

νµ

 nie miało wpływu na formę (2.1).  

W takim przypadku mamy tylko dziesięć niezależnych współczynników g

µν

.  

Przy przekształceniu współrzędnych cztery współczynniki A

µ

  dowolnego kontrawariantnego wektora 

przekształcają się tak jak dx

µ

 .  

Zatem wielkość  g

µν

A

µ

 A

ν

 będzie inwariantem. 

Inwariant, ten jest kwadratem długości wektora A

µ

.  

Niech B

µ

 będzie danym drugim kontrawariantnym wektorem, wtedy A

µ

 + 

λ

B

µ

 także będzie wektorem, dla 

dowolnej wartości liczby 

λ

. Kwadrat jego długości jest dany wzorem : 

g

µν

(A

µ

 + 

λ

B

µ

) (A

ν

 + 

λ

B

ν

) = g

µν

A

µ

A

ν

 + 

λ

(g

µν

A

µ

B

ν

 + g

µν

A

µ

B

ν

) + 

λ

2g

µν

B

µ

B

ν

 

 
 

 

5

Wielkość ta powinna być inwariantem przy wszystkich wartościach 

λ

 . Stąd wnioskujemy, że współczynniki 

przy 

λ

0 , 

λ

1 , 

λ

2 są inwariantami. Współczynniki przy 

λ

1 mają postać  

g

µν

A

µ

B

ν

 + g

µν

A

ν

B

µ

  = 2g

µν

A

µ

B

ν

    

ponieważ, w drugim członie lewej części można zamienić miejscami 

µ

 i 

ν

 oraz wesprzeć się założeniem  

g

µν

 = g

νµ

 .  

W takim wypadku jasne jest, że g

µν

A

µ

B

ν

 jest inwariantem.  

Jest to oczywiście iloczyn skalarny wektorów A

µ

 i B

ν

.  

Niech g - będzie wyznacznikiem g

µν

 (tj. wyznacznikiem zbudowanym z współczynników tensora metrycznego 

– przypis własny g = det g

µν

 ).  

Wartość g nie powinna być równa zeru, w przeciwnym wypadku cztery osie nie były by liniowo niezależne w 
czasoprzestrzeni i nie mogłyby być wybrane w charakterze osi układu współrzędnych.  
We współrzędnych ortogonalnych kartezjańskich rozpatrzonych w poprzednim rozdziale elementy diagonalne  
g

µν

 równe są 1, 

−

1, 

−

1, 

−

1, a elementy nie diagonalne są równe zeru.  

Tak więc g = 

−

 1.  

 
W nieortogonalnych współrzędnych kartezjańskich g powinno być ujemne, ponieważ nieortogonalne 
współrzędne mogą być otrzymane z ortogonalnych za pomocą funkcji ciągłych, co skutkuje ciągłą zmianą g , 
oczywiście wartość g może przechodzić przez wartość zerową.  
 
Określmy wielkość A

µ

, będącą wektorem kowariantnym, następującym wzorem  :  

A

µ

 = g

µν

A

µ

                                                                                                                                                    (2.2) 

Ponieważ g nie jest zerem, to równanie pozwala wyrazić A

µ

 przez A

µ

.  

Ta zależność ma postać : 

A

ν

 =  g

µν

A

µ

   (zasada podnoszenia indeksu – przypis własny)                                                                    (2.3) 

Każda składowa g

µν

 jest równa dopełnieniu algebraicznemu odpowiadającej składowej g

µν

 w wyznaczniku 

macierzy g

µν

 podzielonemu przez g .   

Tak więc g

µν

 = g

νµ

 . (symetryczność) 

 

Podstawmy w (2.2) wyrażenie na A

ν

 z (2.3). Żeby nie otrzymać trzech jednakowych indeksów w jednym 

członie należy zamienić indeks niemy 

µ

 w (2.3) na jakikolwiek inny indeks greckim na przykład 

ρ

.  

Tak więc,  otrzymamy :   

A

µ

 = g

µν

g

νρ

A

ρ

  

To równanie musi być spełnione dla dowolnej czteroskładnikowej wielkości A

µ

, zaznaczmy, że : 

g

µν

g

νρ

 = g

ρµ

                                                                                                                                                (2.4)    

gdzie  

g

ρµ

  = 1 dla 

µ

 = 

ρ

                                                                                                                                          (2.5) 

 i 

g

ρµ

  = 0 dla 

µ

 

≠

 

ρ

     

 
Przy pomocy formuły (2.2) można opuścić, dla dowolnego tensora, dany indeks górny; przy pomocy formuły 
(2.3) można dokonać podniesienia, danego dolnego indeksu. Jeśli określony indeks podniesiemy, a następnie  
Opuścimy, to zgodnie z (2.4) i (2.5) dany tensor się nie zmieni.  

Zauważmy że w g

ρµ

 można prosto dokonać zmiany indeksu 

µ

 z indeksem 

ρ

 :   

g

ρµ

 A

µ

 = A 

ρ

  

lub zmiany indeksu 

ρ

 na 

µ

 :     

g

ρµ

A

ρ

 = A

µ

 . 

 
 
 

 

6

Stosując prawo podniesienia indeksu 

µ

 w g

µν

 otrzymamy  

g

αν

 = g

αµ

g

µν

 

To zgadza się z (2.4) jeśli przyjmiemy do wiadomości, że zgodnie z symetrią  g

µν

 indeksy  w g

αν

 można pisać 

jeden pod drugim. Idąc dalej wedle tej reguły dla indeksu 

ν

 otrzymamy : 

g

αβ

 =  g

νβ

 g

αν

 

Ten rezultat bezpośrednio wynika z (2.5). Prawa podnoszenia i opuszczania indeksów stosujemy dla wszystkich 
indeksów w :   

g

µν

,  g

µν

, g

µν

 . 

 

3) Współrz

ędne krzywoliniowe 

 
 Obecnie przejdziemy do układów współrzędnych krzywoliniowych. Rozpatrzmy wielkości które znajdują się  
w danym punkcie czasoprzestrzeni. Mogą to być wieloskładnikowe wielkości ze składnikami odniesionymi do  
osi współrzędnych w danym punkcie.  
Jeśli wielkość ta obecna jest we wszystkich punktach przestrzeni nazywamy ją wielkością polową.  
Wielkość polową Q (lub jedna z jej składników, jeśli jest ich wiele) można zróżniczkować po danej z czterech 
współrzędnych. Zapiszmy ten rezultat : 

∂

Q/

∂

x

µ

 = Q, 

µ

  

Indeks dolny po przecinku, zawsze będzie oznaczał takie różniczkowanie. Indeks 

µ

 umieszczony u dołu tak jak 

ten sam indeks umieszczony u góry w lewej części równości znajduje się w mianowniku.  

Zmiana Q przy przejściu od punktu  x

µ

 do punktu bliższego x

µ

 + 

δ

x

µ

 ma postać : 

 

δ

Q = Q, 

µ

 

δ

x

µ

                                                                                                                                                (3.1) 

 
Widać, że umowa o balansie indeksów jest wypełniona. Przyjdzie nam w dalszej części przypisywać danemu 
punktowi wektory i tensory z współczynnikami odniesionymi do współrzędnych osi w tym punkcie. 
Przy transformacjach współrzędnych składniki takich wielkości przekształcają się zgodnie z prawem podanym w 
poprzednim rozdziale jednak, zależnym od przekształcenia współrzędnych w rozpatrywanym punkcie. 

Otrzymamy, jak i poprzednio wielkości g

µν

 i g

µν

 z indeksami dolnymi i górnymi.  

Jednak indeksy te nie będą stałe, ale będą się zmieniać od punktu do punktu tj. będą wielkościami polowymi. 
 
Rozpatrzmy rezultat specjalnego przekształcenia współrzędnych. Niech każda z nowych współrzędnych 

krzywoliniowych x’

µ

 jest funkcją czterech x

µ

. Wygodnie jest pisać x

µ

’, gdzie przecinek stoi przy indeksie 

µ

 a 

nie przy x. Modyfikując x

µ

 otrzymujemy cztery wielkości 

δ

x

µ

 obrazujące wektor kontrawariantny.  

Składowe tego wektora w nowych współrzędnych zgodnie z (3.1) mają postać : 

δ

x

µ

’ = (

∂

x

µ

’/

∂

x

ν

) 

δ

x

ν

 = x

µ

’,

ν

 

δ

x

ν

               

Stąd otrzymujemy prawo przekształcenia danego wektora kontrawariantnego A

ν

 : 

A

µ

’ = x

µ

’,

ν

 A

ν

                                                                                                                                               (3.2) 

Przedstawiając nowy wejściowy układ współrzędnych ze zmienionymi indeksami otrzymujemy : 

A

λ

 = x

λ

’,

µ

’A

µ

’                                                                                                                                               (3.3) 

Z własności różniczkowania cząstkowego wiadomo, że (zgodnie z oznaczeniami (2.5)) : 

(

∂

x

λ

/

∂

x

µ

’)(

∂

x

µ

’/

∂

x

ν

) = g

λν

 

Tak więc  

x

λ

,

µ

’ x

µ

’,

ν

 = g

λν

                                                                                                                                           (3.4) 

To pozwala zobaczyć spójność (3.2) i (3.3), ponieważ  podstawienie (3.2) do prawej części (3.3) daje : 

x

λ

,

µ

’ x

µ

’,

ν

 A

ν

 = g

λν

A

ν

 = A

λ

  

 
 
 
 
 
 

 

7

Aby wyjaśnić jak przekształca się wektor kowariantny B

µ

 zastosujmy warunek inwariantności wielkości   

A

ν

 B

µ

. Z uwzględnieniem (3.3) zapiszemy to następująco :       

A

µ

’B

µ

’ = A

λ

  B

λ

 = x

λ

, 

µ

’ A

µ

’B

λ

’    

Ten rezultat powinien być słuszny dla wszystkich czterech wartości A

µ

’, dlatego przyrównując współczynniki 

przy A

µ

’ możemy otrzymać : 

B

µ

’ = x

λ

, 

µ

’B

λ

                                                                                                                                              (3.5) 

 
Formuły (3.2) i (3.5) pozwalają teraz na transformacje dowolnego wektora z daną liczbą indeksów górnych i 

dolnych. Współczynniki typu : x

µ

’, 

ν

  i  x

λ

, 

µ

’ za każdym razem powinny być wykorzystywane jednorazowo dla 

każdego dolnego i górnego indeksu, spełniając umowę o balansie indeksów, przykładowo : 
 T

α

’

β

’

γ

’ = x

α

’, 

λ

 x

β

’

, 

µ

 x

ν

, 

γ

’ T

γµ

 

ν

’                                                                                                         (3.6) 

 
Dowolna wielkość przekształcająca się zgodnie z takim prawem jest tensorem. Równość (3.6) można uważać za 
definicje tensora. Zauważmy, że dla tensora istotna jest symetria lub asymetria względem indeksów typu 

λ

 i 

µ

 , 

ta własność zachowana zostaje przy transformacjach współrzędnych. Wzór (3.4) można  przepisać w postaci : 

x

λ

, 

α

’ x

β

’, 

ν

 g

α

’

β

’ = g

λν

 

skąd wynika, że g

λν

 jest tensorem .  

Dla dowolnych wektorów A

µ

 i B

ν

 otrzymamy : 

g

α

’

β

’A

α

’B

β

’ = g

µν

 A

µ

B

ν

 = g

µν

 x

µ

 

, 

α

’ x

ν

, 

β

’ A

α

’B

β

’ 

Ponieważ jest to słuszne dla wszystkich wartości A

α

’ i B

β

’ wnioskujemy że : 

g

α

’

β

’ = g

µν

 x

µ

 

,

α

’ x

ν

,

β

’                                                                                                                           (3.7) 

Stąd wynika, że g

µν

 jest tensorem. Analogicznie można pokazać że  g

µν

 - jest również tensorem.  

Wielkości te nazywamy „tensorami podstawowymi” (fundamentalnymi). Dowolną skalarną wielkość polową 

można uważać za funkcje czterech x

µ

 jak i również funkcje czterech x

µ

. 

Zgodnie z własnościami operacji różniczkowania  cząstkowego otrzymamy : 

S, 

µ

’ =  S, 

λ

 x

λ

, 

µ

’ 

Odpowiednio S, 

λ

 przekształca się tak jak B

λ

 z równania (3.5) i w takim razie różniczka pola skalarnego jest 

kowariantnym polem wektorowym. 
 
  

4) Wielko

ści nie tensorowe 

 

Istnieją wielkości N

µνρ

.... - z różnymi górnymi i dolnymi indeksami, które nie są tensorami.  

Przy przekształceniu współrzędnych wielkość tensorowa powinna przekształcać się według prawa (3.6).  
W przeciwnym przypadku wielkość ta nie jest tensorem. Tensor odznacza się taką własnością, że kiedy 
wszystkie jego składowe stają się zerami w jakimś jednym układzie współrzędnych, to są one zerami również w 
innym. Dla wielkości nie będących tensorami taka własność jest nie spełniona.  
Indeksy w przypadku wielkości nie tensorowych można podnosić i opuszczać zgodnie z prawami 
obowiązującymi dla tensorów.  
Tak jak np. dla : 

g

αν

N

µνρ

 = N

µαρ

   

 
Takie zasady jednak nie są w żaden sposób związane z prawami przekształcenia do nowych układów 
współrzędnych. Przy określaniu wielkości nietensorowych w ten sposób można nie rozróżniać między dolnymi a 
górnymi indeksami. Tensory i nietensory mogą pojawiać się razem w jednym równaniu.  
Balans indeksów jest zachowany zarówno nie tensorów jak i tensorów.  
 

 

8

 
 
 
Twierdzenie  dotycz

ące kryterium wielkości tensorowej (twierdzenie ilorazowe) 

Niech wielkość P

λµν

, taka że A

λ

P

λµν

 będzie tensorem dla danego wektora A

ν

  

W takim przypadku P

λµν

 będzie tensorem. Żeby to udowodnić wprowadzimy  

Q

µν

 =  A

λ

P

λµν

  

Zgodnie z powyższym Q

µν

 jest tensorem dlatego : 

Q

βγ

 =  Q

µ

’

ν

’x

µ

’

,

β

x

ν

’

, 

γ

  

 
Wtedy: 
A

α

P

αβγ

 =  A

λ

’P

λ

’

µ

’

ν

’x

µ

’

, 

β

x

ν

’

, 

γ

  

Ponieważ A

λ

’ – jest wektorem, z (3.2) mamy: 

A

λ

’ =  A

λ

x

λ

’

, 

α

  

W takim razie : 

A

α

P

αβγ

 =  A

α

x

λ

’

,

α

P

λ

’

µ

’

ν

’x

µ

’

,

β

x

ν

’

,

γ

  

Ta równość powinna być spełniona dla wszystkich wartości A

α

 ; w szczególności: 

P

αβγ

 =  P

λ

’

µ

’

ν

’ x

λ

’

, 

α

 x

µ

’

,

β

x

ν

’

, 

γ

  

 
Widać z tego, że P

αβγ

  jest tensorem .  

Twierdzenie jest słuszne dla wielkości o dowolnej liczbie dolnych i górnych indeksów. 
 

5) Przestrze

ń zakrzywiona 

 
Dwuwymiarową, zakrzywioną przestrzeń można sobie wyobrazić jako powierzchnie w przestrzeni euklidesowej 
trójwymiarowej. Analogicznie można postąpić w przypadku zakrzywionej czterowymiarowej przestrzeni tj. 
można ją przedstawić w płaskiej przestrzeni wielowymiarowej. W tym przypadku zakrzywiona przestrzeń 
nazywa się przestrzenią Riemanna. Mały obszar przestrzeni Riemanna jest bliski przestrzeni płaskiej. 
Einstein założył, że fizyczna przestrzeń ma właśnie takie własności i dlatego założył geometrie Riemanna jako 
podstawę dla teorii grawitacji.  
 
W zakrzywionej przestrzeni nie można wprowadzić systemu współrzędnych prostoliniowych (globalnie – 
przypis własny). Musimy korzystać ze współrzędnych krzywoliniowych, takiego typu jakie rozpatrywaliśmy w 
rozdziale 3. Formalizm tego rozdziału możemy zastosować do przestrzeni zakrzywionych ponieważ wszystkie 
zastosowane tam równania są lokalne co sprawia że są nieczułe na krzywiznę.  

Inwariantny interwał ds między punktami x

µ

 i bliskim punktem x

µ

 + dx

µ

 dany jest wyrażeniem postaci (2.1): 

g

µν

dx

µ

dx

ν

    

Interwał ds dla czasopodobnych punktów jest rzeczywisty dla przestrzennopodobnych – urojony. 
 
We współrzędnych krzywoliniowych, g

µν

 zadana jest jako funkcja współrzędnych i określa wszystkie 

inwariantne odległości zatem g

µν

 zadaje metrykę .  

Wielkość g

µν

 określa zarówno układ współrzędnych jak i krzywiznę. 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

 

9

6) Przeniesienie równoległe 

 

Niech wektor A

µ

  będzie zaczepiony w punkcie P. Jeśli przestrzeń jest zakrzywiona pojęcie wektora 

równoległego zaczepionego w drugim punkcie Q traci sens, łatwo się o tym przekonać na przykładzie 
zakrzywionej powierzchni dwu wymiarowej „zanurzonej”  w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.  

Istnieje jednak w punkcie P’ bliskim punktowi P wektor równoległy do wektora  A

µ

 wyznaczony z  

dokładnością do członów drugiego rzędu względem odległości między punktami P i P’.  
 

Tak więc można nadać sens operacji przeniesienia równoległego wektora A

µ

 z punktu P do P’ pozostawiającej 

ten wektor równoległy sam do siebie i nie zmieniającej jego długości. Przy pomocy operacji przeniesienia 
równoległego można w sposób ciągły przenieś wektor wzdłuż danej trajektorii.  
Wybierając tę trajektorię (tor, krzywą - przypis własny) od P do Q otrzymamy wektor w punkcie Q, równoległy 
w znaczeniu danej wybranej trajektorii wychodzącej z punktu P.  
 
Wybór innej trajektorii może dać zupełnie inny rezultat przeniesienia równoległego. Pojęcie wektora w punkcie 
Q, równoległego do wektora wejściowego P nie jest pojęciem absolutnym. Jeśli dokonać przeniesienia 
równoległego z punktu P wzdłuż zamkniętej trajektorii to otrzymamy znów wektor w punkcie P, który ogólnie 
mówiąc będzie odmienny od wektora początkowego.  
 
Równania dla przeniesienia równoległego wektora można otrzymać zakładając, że nasza czterowymiarowa 
przestrzeń fizyczna znajduje się w płaskiej przestrzeni o wyższym wymiarze np. N wymiarowej.  

Wprowadzimy w tą N-wymiarową przestrzeń współrzędne prostoliniowe : zn  (n = 1,2,...,N ).  
Współrzędne te mogą być współrzędnymi nieortogonalnymi.  
Dla dwóch bliskich punktów istnieje inwariantna odległość : 

ds2 = hnmdz

ndzm                                                                                                                                            (6.1) 

gdzie sumowanie po n i po m prowadzimy od 1 do N.  
W odróżnieniu od g

µν

 wielkości hnm są stałymi.  

Z ich pomocą można dokonać opuszczenia indeksów w n-wymiarowej przestrzeni: 

dzn = hnmdz

m   

Przestrzeń fizyczna obrazowana jest jako czterowymiarowa „powierzchnia” w płaskiej N-wymiarowej  

przestrzeni. Każdy punkt x

µ

 tej powierzchni określa pewien punkt yn w N-wymiarowej przestrzeni.  

Każda współrzędna  yn jest funkcją czterech x

µ

 . Równania powierzchni zadajemy rugując x

µ

 z N funkcji 

postaci yn (x). Takich równań jest N- 4. Różniczkując  yn (x)  względem parametrów x

µ

 otrzymujemy: 

∂

yn (x) / 

∂

x

µ

 = yn, 

µ

  

Dla dwóch bliskich punktów powierzchni różniących się o 

δ

x

µ

 otrzymamy: 

 

∂

yn = yn,

µδ

x

µ

                                                                                                                                                (6.2) 

Zgodnie z (6.1) kwadrat inwariantnej odległości między tymi punktami ma postać : 

δ

s2 = hnm 

∂

yn

∂

ym =  hnm y

n, 

µ

 y

m, 

ν

 

δ

x

µ

 

δ

x

ν

 

 

Ponieważ  hnm – są stałymi to  

δ

s2 można zapisać w postaci : 

δ

s2 =  yn, 

µ

 yn , 

νδ

x

µ

 

δ

x

ν

  

oprócz tego  

δ

s2 = g

µνδ

x

µ

 

δ

x

ν

  

stąd otrzymujemy że : 

g

µν

 = yn, 

µ

 yn, 

ν

                                                                                                                                            (6.3) 

Rozpatrzmy w przestrzeni fizycznej wektor kontrawariantny A

µ

 umieszczony w punkcie x.  

Składowe tego wektora przekształcają się tak jak 

δ

x

µ

 z (6.2) i z nich można zbudować odpowiadający im 

kontrawariantny wektor : An , w N-wymiarowej przestrzeni przekształcający się tak samo jak :  

δ

yn  z (6.3)  

 
 

 

10

Wtedy: 

An = yn, 

µ

A

µ

                                                                                                                                                  (6.4) 

Wektor An oczywiście należy do powierzchni. 

Przemieśćmy teraz An  w sąsiedni punkt powierzchni x + dx, pozostawiając go równoległym do siebie  

(to oznacza, że składowe An pozostają nie zmienne). W skutek krzywizny przestrzeni wektor w punkcie x + dx 
już nie przynależy do powierzchni. Jednak jego rzut na powierzchnię określa pewien wektor który należy do 
powierzchni. 
Dla znalezienia tego rzutu na powierzchnię należy rozłożyć wektor na część tangencjalną (styczną) i normalną,  
a następnie część normalną odrzucić : 

 An = An tan  A

n 

nor                                                                                                                                           (6.5) 

Jeśli  oznaczyć jako K

µ

, składowe An tan w układzie współrzędnych x, przynależące do powierzchni,  

to zgodnie z (6.4) można zapisać : 

An tan  = K

µ

  yn, 

µ

(x + dx)                                                                                                                                 (6.6) 

gdzie współczynniki yn, 

µ

 wzięte są w nowym punkcie x +dx.  

 

Składowa An nor zgodnie ze swoją definicją jest ortogonalna do danego wektora stycznego w punkcie x + dx , 
zatem jest również ortogonalna do dowolnego wektora określonego w prawej części (6.6), niezależnie od  

postaci  K

µ

. Tak więc : 

An nor yn, 

µ

(x + dx) = 0           

Jeśli następnie pomnożymy (6.5)  przez :  
yn,

ν

(x + dx)  

to człon z  An nor  zniknie i z udziałem (6.3) otrzymamy :      

An  yn, 

µ

(x + dx) =  K

µ

  yn, 

µ

(x + dx)yn, 

ν

(x + dx)  = K

µ

  g

µν

(x + dx)  

W takim razie, z dokładnością do wielkości pierwszego rzędu względem dx znajdujemy : 

K

ν

 (x + dx) =   An[ yn, 

ν

(x)+  yn,

ν

,

σ

dx

σ

 ] = An yn, 

µ

[  yn,

ν

 +  yn,

ν

,

σ

dx

σ

] = A

ν

 + A

µ

  yn, 

µ

 yn,

ν

,

σ

dx

σ

   

 
Ponieważ K

ν

 jest rezultatem przeniesienia równoległego A

ν

 do punktu x + dx , można podstawić :  

K

ν

 - A

ν

 = dA

ν

  

Tak, więc dA

ν

 oznacza zmianę A

ν

 przy przeniesieniu równoległym.  

Wtedy otrzymamy : 

dA

ν

 =  A

µ

 = dA

ν

 yn, 

µ

 yn,

ν

,

σ

dx

σ

                                                                                                          (6.7) 

 
 
7) Symbole Christoffela 
 
Różniczkując (6.3) otrzymujemy  (drugi przecinek przy dwukrotnym różniczkowaniu opuszczamy)  

g

µν

, 

σ

 = yn, 

µσ

 yn, 

ν

 +  yn, 

µ

 yn, 

νσ

 = yn, 

µσ

 yn, 

µσ

 y

n,

ν

 + yn, 

νσ

 yn, 

µ

                                             (7.1) 

ponieważ indeks niemy n , w wyniku stałości hnm można podnieść i opuścić .  
 
Zmieniając miejscami 

µ

 i 

σ

 w (7.1) otrzymamy  : 

g

σν

,

µ

 = yn, 

σµ

 yn,

ν

 +  yn, 

νµ

 yn, 

σ

                                                                                                          (7.2) 

Przestawiając 

ν

 i 

σ

 w (7.1) otrzymamy : 

g

µσ

, 

ν

 = yn, 

µν

 yn, 

σ

 +  yn, 

σν

 yn, 

µ

                                                                                                        (7.3) 

Teraz dodajmy (7.1) i (7.3) a od wyniku odejmijmy (7.2), następnie podzielmy to przez dwa 
W rezultacie otrzymamy : 

½ (g

µν

, 

σ

 + g

µσ

, 

ν

 -  g

νσ

, 

µ

 ) = yn, 

νσ

 yn, 

µ

                                                                                           (7.4) 

 
 
 
 

 

11

Zdefiniujmy pewien symbol : 

Γµνσ

 = ½ (g

µν

, 

σ

 + g

µσ

, 

ν

 

−

  g

νσ

, 

µ

 )                                                                                                     (7.5) 

Tę wielkość nazywamy symbolem Christoffela pierwszego rzędu.  
 
Jest ona symetryczna względem dwóch ostatnich indeksów.  
Symbol Christoffela pierwszego rzędu nie jest tensorem. Z (7.5) bezpośrednio wynika : 

Γµνσ

 + 

Γνµσ

  = g

µν

, 

σ

                                                                                                                                 (7.6) 

Teraz jasne jest, że (6.7) można zapisać w postaci : 

dA

µ

 = A

µ

 

Γµνσ

 dx

σ

                                                                                                                                      (7.7) 

To już nie odnosi się do N-wymiarowej przestrzeni, ponieważ symbol Christoffela wyraża się tylko przez tensor 
metryczny g

µν

 przestrzeni fizycznej. Można pokazać, że długość wektora nie zmienia się przy przeniesieniu 

równoległym. W istocie : 

d(g

µν

A

µ

 A

ν

 ) = g

µν

A

µ

 dA

ν

 +  g

µν

A

ν

 dA

µ

 +A

µ

 A

ν

 g

µν

,

σ

dx

σ

 = A

ν

dA

ν

 +  A

µ

 dA

µ

 + A

α

 A

β

  g

µν

,

σ

 dx

σ

 = 

=  A

ν

 A

µ

 

Γµνσ

 dx

σ

 + A

µ

 A

ν

 

Γνµσ

 dx

σ

 + A

α

 A

β

  g

αβ

,

σ

 dx

σ

  =  A

ν

 A

µ

  g

µν

,

σ

 dx

σ

 + A

α

 A

β

  g

αβ

,

σ

 dx

σ

  

                                                                                                                                                                          (7.8) 
Dalej : 

g

αµ

, 

σ

 g

µν

 + g

αµ

 g

µν

, 

σ

 = ( g

αµ

 g

µν

), 

σ

 = g

αν

, 

σ

 = 0.  

Mnożąc to przez  g

βν

 otrzymujemy : 

g

αβ

,

σ

  = 

−

 g

αµ

 g

βν

 g

µν

,

σ

                                                                                                                                 (7.9) 

T pożyteczne wyrażenie matematyczne wyraża pochodną  g

αβ

 przez pochodną  g

µν

.  

Stąd mamy : 

A

α

 A

β

 g

αβ

, 

σ

 = 

−

 A

ν

 A

µ

  g

µν

, 

σ

  

 
Tak więc wyrażenie (7.8) staje się zerem. W takim razie długość wektora jest niezmienna.  
W szczególności, wektor zerowy (tj. wektor o długości zerowej) przy przeniesieniu równoległym pozostaje 
nadal zerowy. Stałość długości wektora przy przeniesieniu równoległym wynika również z rozważań 

geometrycznych. Przy rozłożeniu wektora A

µ

 na składowe styczne i normalne zgodnie z (6.5) składowa 

normalna jest infinitezymalna i ortogonalna do składowej stycznej.  
To znaczy, że długość wektora w pierwszym przybliżeniu równa jest długości jego składowej stycznej.  

Stałość długości dowolnego wektora pociąga za sobą stałość iloczynu skalarnego g

µν

A

µ

 B

ν

 dwóch dowolnych 

wektorów A i B. Można to pokazać, wykorzystując stałość długości wektora A + 

λ

B przy dowolnej wartości 

parametru 

λ

. Często bywa wygodnie podnieść pierwszy indeks symbolu Christoffela  tak aby wyrazić wielkość : 

 

Γµ

 

νσ

 = g

µλΓλνσ

  

którą nazywamy symbolem Christoffela drugiego rzędu.  
Jest on symetryczny względem dwóch dolnych indeksów. Jak wyjaśnialiśmy w rozdziale 4, operacja 
podniesienia indeksu określona jest również dla wielkości nie tensorowych.  
Wzór (7.7) możemy przepisać w postaci :  

dA

α

  =  

Γµ

 

νσ

 A

α

dx

σ

                                                                                                                                 (7.10) 

Jest to standardowy zapis dla składowych kowariantnych.  

Wprowadzając drugi wektor B

ν

 otrzymujemy : 

d( A

α

B

ν

) = 0 

 dA

ν

 dB

ν

 = 

−

 B

ν

dA

ν

 = 

−

 B

ν

 

Γµ

 

νσ

  A

µ

dx

σ

  = 

−

 B

µ

 

Γν

 

µσ

  A

ν

dx

σ

 

 Ostatnia równość jest prawdziwa dla dowolnego A

ν

.  

Tak więc : 

 dB

ν

 = 

−

 

Γν

 

µσ

  B

µ

 dx

σ

                                                                                                                              (7.11) 

Jest to standardowy zapis dla przeniesienia równoległego w składowych kontrawariantnych. 
 
 
 
 

 

12

 
8) Geodezyjne 
 

Niech punkt o współrzędnych z

µ

  porusza się po jakiejkolwiek trajektorii, wtedy  z

µ

  będzie funkcją pewnego 

parametru 

τ

. Zapiszmy :  

dz

µ

 /d

τ

 = u

µ

 . 

Wektor u

µ

, zgodnie z powyższym będzie określony w każdym punkcie trajektorii.  

Zauważmy, że przy poruszaniu się wzdłuż trajektorii wektor u

µ

  przemieszcza się za pośrednictwem operacji 

przeniesienia równoległego. Wtedy zadanie punktu początkowego i wartości początkowej wektora u

µ

 określa 

całą trajektorię. W istocie – najpierw musimy przemieścić punkt początkowy, z  z

µ

 do z

µ

 + u

µ

d

τ

  tzn. za 

pomocą przeniesienia równoległego przenieść w ten nowy punkt wektor u

µ

, potem znowu przenieść punkt w 

kierunku zadanym przez  nowy wektor u

µ

 itd.  

W ten sposób określamy nie tylko trajektorię ale także parametr 

τ

 wzdłuż niej.  

Trajektoria określona w ten sposób nazywamy  - geodezyjną . 
 

Jeśli u

µ

 w punkcie początkowym jest wektorem zerowym to pozostaje on wektorem zerowym we wszystkich 

innych punktach, w tym przypadku trajektorię nazywamy geodezyjną zerową.  

Jeśli u w punkcie początkowym jest wektorem czasopodobnym ( u

µ

 u

µ

 > 0),  to pozostaje on czasopodobny we 

wszystkich innych punktach, a geodezyjną nazywamy czasopodobną.  

Odpowiednio, jeśli - u

µ

 w punkcie początkowym jest wektorem przestrzennopodobnym ( u

µ

 u

µ

 < 0), to 

pozostaje on przestrzennopodobny we wszystkich innych punktach, a geodezyjną nazywamy 
przestrzennopodobną..  
 

Powróćmy do równania (7.11), podstawmy B

ν

 =  u

ν

  i 

dx

σ

 = dz

σ

, otrzymujemy równanie geodezyjnej : 

dx

ν

 / d

τ

 +  

Γνµσ

  u

µ

 dz

σ

/d

τ

 = 0                                                                                                                      (8.1) 

lub  

d2z

ν

 / d

τ

2 +  

Γνµσ

 ( dz

µ

/d

τ

 ) dz

σ

/d

τ

 = 0                                                                                                        (8.2) 

Dla geodezyjnej czasopodobnej można sprowadzić długość wektora początkowego u

µ

 do jedności, mnożąc go 

przez odpowiedni czynnik. Do tego potrzebna jest tylko zmiana skali 

τ

.  

Od teraz wektor u

µ

 zawsze będzie miał długość jednostkową.  

Przedstawia on sobą wektor prędkości v

µ

  = dz

µ

 /ds, a parametr 

τ

 stanowi odpowiednik czasu s.  

Równanie (8.1) przyjmuje postać : 

dv

ν

 / ds +  

Γµνσ

  v

µ

 v

σ

  = 0                                                                                                                             (8.3) 

a równanie  (8.2) postać : 

d2z

µ

 / ds2 +  

Γµνσ

 ( dz

ν

/ds ) dz

σ

/ds = 0                                                                                                          (8.4) 

Zauważmy, że linia świata cząstek  które nie znajdują się pod działaniem jakichkolwiek sił oprócz 
grawitacyjnych jest geodezyjną czasopodobną  Jest to zamiennik pierwszego prawa Newtona.  
Równanie (8.4) jest równaniem zadającym przyspieszenie i jest równaniem ruchu. Zauważmy także, że 
trajektoria  linii świetlnej  jest geodezyjną zerową. Jest ona zadana równaniem (8.2) z pewnym parametrem 

τ

  

wzdłuż trajektorii. W tym przypadku nie należy stosować czasu własnego s ponieważ ds jest zerem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

13

9) Własność stacjonarności geodezyjnych  
 
Geodezyjna, nie będąca zerową odznacza się następującą własnością :  
całka ∫ds wzięta wzdłuż odcinka trajektorii o początku w punkcie P i końcu Q przy małych wariacjach 
trajektorii z ustalonymi punktami granicznymi pozostaje stała.  

Przemieśćmy każdy punkt trajektorii o współrzędnych z

µ

 do punktu z

µ

 + 

δ

z

µ

. 

Jeśli przemieszczenie wzdłuż trajektorii oznaczymy jako dx

µ

  

ds2  = g

µν

dx

µ

dx

ν

  

to : 

2ds

δ

(ds) = dx

µ

dx

νδ

g

µν

 +  g

µν

dx

µ

 

δ

dx

ν

  + g

µν

dx

ν

 

δ

dx

µ

 =  dx

µ

 dx

ν

g

µν

,

λδ

x

λ

 + 2g

µλ

dx

µ

 

δ

dx

λ

  

Oprócz tego :  

δ

dx

λ

 = d

δ

x

λ

    

W takim wypadku ponieważ dx

µ

 = v

µ

ds  

to: 

 

δ

(ds) = [ ½ g

µν

,

λ

v

µ

 v

νδ

x

λ

 + g

µλ

v

µ

 d

δ

x

λ

/ds] ds 

Zatem : 

δ

∫

ds = ∫

δ

(ds) = ∫[ ½ g

µν

,

λ

v

µ

 v

νδ

x

λ

 + g

µλ

v

µ

 d

δ

x

λ

/ds] ds 

Całkując przez części i wykorzystując warunek 

δ

x

λ

  = 0 w punktach granicznych P i Q otrzymujemy : 

δ

∫

ds = 

∫

[ ½ g

µν

,

λ

v

µ

 v

νδ

x

λ

 

−

 (d/ds) (g

µλ

v

µ

 )] dx

λ

 ds                                                                              (9.1) 

Warunkiem zerowania się (9.1) przy dowolnym 

δ

x

λ

 są : 

(d/ds) (g

µλ

v

µ

 ) –  ½ g

µν

,

λ

v

µ

 v

ν

 = 0                                                                                                            (9.2) 

Dalej : 

(d/ds) (g

µλ

v

µ

 ) = g

µλ

 dv

µ

 / ds + g

µλ

 ,

ν

v

µ

 v

ν

 = g

µλ

 dv

µ

 / ds + ½ ( g

λµ

 ,

ν

 +  g

λν

 ,

µ

)  v

µ

 v

ν

  

Tak więc warunek (9.2) przyjmuje postać : 

 g

µλ

 dv

µ

 /ds +  

Γλµν

 v

µ

 v

ν

 = 0 

Mnożąc to równanie przez g

λσ

 możemy zapisać : 

dv

σ

 /ds +  

Γσµν

 v

µ

 v

ν

 = 0 

tj. tak jak warunek (8.3) dla geodezyjnej. 
 
Stąd widać ,że dla geodezyjnej wyrażenie  (9.1) staje się zerem i 

∫

ds = const.  

I odwrotnie, jeśli 

∫

ds  jest stała można pokazać, że trajektoria jest geodezyjną.  

W takim razie, warunek stałości 

∫

ds można wykorzystać jako określenie geodezyjnej, wykluczając oczywiście 

przypadek kiedy jest ona zerowa. 
 
10) Różniczkowanie kowariantne 
 
Niech  S –będzie polem skalarnym. Wtedy jak było pokazane w rozdziale 3,  S,

ν

 - jest wektorem kowariantnym 

Dalej, niech A

µ

 - będzie polem wektorowym. Czy jego pochodna - A

µ

 ,

ν

 jest tensorem ?  

Aby odpowiedzieć na to pytanie zobaczmy jak przekształca się A

µ

 ,

ν

 przy przekształceniach współrzędnych . 

‘W oznaczeniach zgodnych z rozdziałem 3 A

µ

  przekształca się zgodnie z równaniem (3.5) : 

A

µ

 , =  A

ρ

x

ρ

,

µ

’ 

I następnie : 

 A

µ

 , 

ν

’ =  (A

ρ

x

ρ

, 

µ

’), 

ν

’ = A

ρ

, 

σ

 x

σ

, 

ν

’ x

σ

, 

µ

’ + A

ρ

x

ρ

, 

µ

’

ν

’ 

To wyrażenie jest dokładnym prawem przekształcenia tensora - jeśli w prawej części nie występuje ostatni 
człon. A to oznacza, że - A

µ

, 

ν

 nie jest tensorem. Można jednak zmodyfikować operacje różniczkowania tak aby 

otrzymać tensor. Weźmy wektor A

µ

 w punkcie x i przenieśmy go za pomocą przeniesienia równoległego do 

punktu x + dx. Przy tej operacji A pozostaje wektorem.  
 
 
 

 

14

Odejmiemy go od wektora A w punkcie x +dx – różnica także będzie wektorem : 

A

µ

 (x + dx) – [A

µ

 (x) +  

Γαµν

 A

µ

 dx

ν

] = (A

µ

 ,

ν

 

−

 

Γαµν

 A

α

 )dx

ν

 

Ta wielkość jest wektorem dla dowolnego wektora dx

ν

, tak więc zgodnie z twierdzeniem ilorazowym (zobacz 

rozdział 4) współczynnik : A

µ

 ,

ν

 

−

 

Γαµν

 A

α

  jest tensorem.  

Łatwo sprawdzić bezpośrednio, że przy przekształceniu współrzędnych przekształca się on według prawa 
tensorowego. To wyrażenie nazywa się pochodną kowariantną A

µ

 i zapisywane jest w formie : 

A

µ

 : 

ν

  = A

µ

 ,

ν

 

−

 

Γαµν

 A

α

                                                                                                                           (10.1) 

Znak „ : ” (dwukropek) przed dolnym indeksem dalej będzie oznaczał pochodną kowariantną, podobnie jak 
przecinek oznacza zwykłą pochodną (tj. pochodną cząstkową – przypis własny ).  
 
Niech B

µ

 będzie pewnym drugim wektorem.  

Określimy pochodną kowariantną iloczynu wewnętrznego jako:   
(A

µ

 B

ν

 ): 

σ

 = A

µ

 : 

σ

 B

ν

 +  A

µ

 B

ν

 : 

σ

                                                                                                       (10.2)  

Oczywiście, że jest to tensor z trzema indeksami.   
 
Jego jawna postać jest następująca : 

(A

µ

 B

ν

 ): 

σ

 = (A

µ

 , 

σ

  

−

 

Γαµα

 A

α

 )B

ν

 + A

ν

(  B

ν

 : 

σ

 

−

 

Γανσ

 B

α

 ) = (A

µ

 B

ν

 ), 

σ

  

−

 

Γαµσ

 A

α

 B

ν

 

−

  

−

 

Γανσ

A

α

B

α

 

 
Niech T

µν

 - będzie tensorem z dwoma indeksami.  

Może on być wyrażony w postaci sumy członów : A

µ

 B

ν

 tak więc jego kowariantna pochodna przedstawia się 

następująco : 

T

µν

 : 

σ

 = T

µν

 , 

σ

 

−

 

Γαµσ

 T

αν

 

−

 

Γανσ

 A

µα

                                                                                             (10.3) 

Tę zasadę można uogólnić dla przypadku pochodnej kowariantnej tensora z dowolną liczbą dolnych indeksów : 
Y

µν

...... : 

σ

  =  Y

µν

...... , 

σ

  

−

  

Γ

 - człon dla każdego indeksu.                                                                   (10.4) 

 
W każdym z tych 

Γ

 - członów należy spełnić warunek balansów indeksów.  

To jest warunek konieczny dla jednoznacznego rozmieszczenia indeksów. Pochodną kowariantną  skalara 
otrzymujemy z ogólnej formuły  (10.4) gdzie ilość indeksów Y będzie równa zero : 
Y: 

σ

  =  Y , 

σ

                                                                                                                                               (10.5) 

Zastosujmy  (10.3) do tensora fundamentalnego g

µν

 .  

Z udziałem (7.6) to daje : 

g

µν

 : 

σ

  = g

µν

 , 

σ

  

−

  

Γαµσ

 g

αν

 

−

 

Γανσ

 g

µα

 = g

µν

 , 

σ

  

−

 

Γνµσ

  

−

 

Γµνσ

  = 0  

W takim wypadku przy różniczkowaniu kowariantnym  g

µν

 można rozpatrywać jako stałą. 

 
Wzór (10.2) przedstawia sobą ogólne prawo wykorzystywane przy różniczkowaniu iloczynu.  
Zauważmy, że to prawo jest słuszne również dla pochodnej kowariantnej iloczynu skalarnego dwóch wektorów. 
Wtedy: 

(A

µ

  B

µ

 ), 

σ

 = A

µ

 : 

σ

 B

µ

 +  A

µ

 B

µ

 : 

σ

                                                                                                        (10.6)  

Stąd, zgodnie z (10.5) i (10.1) otrzymujemy: 

(A

µ

  B

µ

 ), 

σ

 = A

µ

 : 

σ

 B

µ

 +  A

µ

 (B

µ

  , 

σ

 

−

  

Γαµσ

 B

α

 ) 

a następnie : 

(A

µ

, 

σ

  B

µ

 ), 

σ

 = A

µ

 : 

σ

 B

µ

 

−

 A

α

 

Γµασ

 B

µ

  

Ponieważ jest to słuszne dla każdego B

µ

 mamy : 

A

µ

: 

σ

 = A

µ

, 

σ

 +  

Γµασ

 A

α

                                                                                                                          (10.7) 

Jest to standardowe wyrażenie dla pochodnej kowariantnej wektora kontrawariantnego. Tutaj też pojawia się 
symbol Christoffela tak jak w standardowej formule (10.1) dla wektora kowariantnego, jednak ze znakiem plus. 
Rozkład indeksów jest zgodny z zasadą równowagi indeksów.  
 
 
 

 

15

Formalizm ten można uogólnić na przypadek kowariantnej pochodnej tensora z daną liczbą dolnych i górnych 
indeksów. Człon  

Γ

 będzie pojawiał się dla każdego indeksu (ze znakiem plus dla indeksu górnego, ze znakiem 

minus dla dolnego) . Jeśli zawężyć dwa indeksy to odpowiadające im człony  

Γ

 skracają się.  

Wzór dla pochodnej kowariantnej iloczynu : 
(XY) : 

σ

 = X : 

σ

 Y +  X Y  : 

σ

                                                                                                                     (10.8) 

jest słuszna dla ogólnego przypadku dowolnych wielkości tensorowych  X  i Y.  
Ponieważ g

µα

 przy różniczkowaniu kowariantnym zachowuje się jak stała, indeksy można podnosić i opuszczać 

przed różniczkowaniem rezultat będzie taki sam jak by wykonać te operacje po różniczkowaniu. 
Pochodna kowariantna dla wielkości nie tensorowych nie ma sensu.  
 
Prawa fizyczne powinny być słuszne we wszystkich rodzajach układów współrzędnych.  
To znaczy, że powinny wyrażać się w formie równań tensorowych. Jeśli równania zawierają pochodne wielkości 
polowych to powinny być to pochodne kowariantne . Równania polowe otrzymujemy zamieniając zwykłe 
pochodne na pochodne kowariantne.  
Na przykład równanie D’Alamberta  V = 0 dla pola skalarnego V w kowariantnej formie przyjmuje postać : 

g

µν

V: 

µ

 : 

ν

 = 0 

Stosując (10.1) i (10.5) otrzymujemy: 

g

µν

 (V

, 

µ

 

ν

 

−

 

Γαµν

 V, 

α

 ) = 0                                                                                                                     (10.9) 

Nawet rozpatrując problemy w przestrzeni płaskiej (tj. bez udziału pola grawitacyjnego) i wykorzystując 
współrzędne krzywoliniowe należy zapisywać równania stosując zapis uwzględniając pochodną kowariantną tak 
aby zachować ich postać we wszystkich układach współrzędnych. 
 
11) Tensor krzywizny 
 
Ze wzoru dla różniczkowania iloczynu (10.8) widać, że dla iloczynu różniczkowanie kowariantne jest w pełni 
analogiczne do różniczkowania zwykłego. Istnieje ważna własność zwykłego różniczkowania która odznacza się 
tym, że przy działaniu dwóch operatorów różniczkowania ich porządek nie ma znaczenia, dla różniczkowania  
kowariantnego w ogólnym przypadku taka własność nie zachodzi.  
Rozpatrzmy pole skalarne S. Z (10.1) otrzymamy  

S : 

µ

 : 

ν

  =   S : 

µ

 , 

ν

 

−

 

Γαµν

 S : 

α

 =  S , 

µν

 

−

 

Γαµν

 S , 

α

                                                                             (11.1) 

Otrzymane wyrażenie jest symetryczne względem indeksów  

µ

 i 

ν

 tak więc w tym wypadku porządek 

operatorów różniczkowania kowariantnego nie ma znaczenia.  
 
Teraz podziałajmy dwoma operatorami różniczkowania kowariantnego na wektor A

µ

.  

Ze wzoru (10.3), gdzie w  miejsce T

νσ

 wstawiamy A

ν

 : 

σ

  otrzymujemy: 

A

ν

 : 

ρ

 : 

σ

  =  A

ν

 : 

ρ

 , 

σ

 

−

 

Γανσ

 A

α

 : 

ρ

 

−

 

Γαρσ

 A 

ν

 : 

α

 =  (A

ν

 , 

ρ

 

−

 

Γανρ

 A

α

 ),

σ

 

−

 

Γανσ

 (A

α

 , 

ρ

 

−

 

Γβαρ

 A

β

) 

−

  

Γαρσ

 (A

ν

 , 

α

 

−

 

Γβνα

 A

β

 )  =  A

ν

 , 

ρ

 , 

σ

 , 

−

 

Γανρ

 A

α

 , 

σ

 

−

 

Γανσ

 A

α

 , 

ρ

 

−

  

Γαρσ

A 

ν

 , 

α

 

−

  

A

β

 ( 

Γβνρ

 , 

σ

 

−

 

Γανσ

  

Γβαρ

  

−

 

Γαρσ

  

Γβνα

 )  

 
Przestawiając indeksy 

ρ

 i 

σ

  oraz odejmując otrzymane wyrażenie od ostatniego, otrzymujemy: 

A

ν

 : 

ρ

 : 

σ

  

−

  A

ν

 : 

σ

 : 

ρ

  =   A

β

R

βνρσ

                                                                                                            (11.2) 

gdzie 

R

βνρσ

   =  

Γβνσ

,

ρ

  

−

 

Γβνρ

,

σ

  +  

Γανσ

 

Γβαρ

 

−

  

Γανρ

 

Γβασ

                                                                     (11.3) 

 
Lewa część (11.2) jest tensorem, tak więc i prawa część (11.2) jest tensorem. Jest to słuszne dla dowolnego 

wektora A

β

 dlatego zgodnie z twierdzeniem ilorazowym (zobacz rozdział 4) R

βνρσ

  - jest tensorem.  

Tensor ten nazywamy tensorem Riemana-Christoffela lub tensorem krzywizny.  
 
 
 
 
 
 
 

 

16

Tensor krzywizny charakteryzuje się oczywistą własnością : 

R

βνρσ

   = 

−

 R

βνσρ

                                                                                                                                        (11.4) 

Z (11.3) bezpośrednio wynika, że : 

R

βνρσ

  +  R

βρσν

 +  R

βσνρ

  = 0                                                                                                                   (11.5) 

Opuścimy indeks 

β

 (operacja opuszczenia indeksu – przypis własny), w miejsce pierwszego dolnego indeksu.  

 
To daje : 

R

µνρσ

  =  g

µβ

R

βνρσ

 =   g

µβ

 

Γβνσ

,

ρ

 +  

Γανσ

 

Γµαρ

 

−

 < 

ρσ

 >  

gdzie  < 

ρσ

 > oznacza przedostatnie człony z przestawionymi członami 

ρ

 i 

σ

 .  

Wtedy z (7.6) otrzymujemy: 

R

µνρσ

  = 

Γµνσ

,

ρ

 

−

 g

µβ

,

ρ

 

Γβνσ

 +  

Γνβρ

 

Γβµσ

 

−

 < 

ρσ

 > =  

Γµνσ

, 

ρ

 

−

 

Γνβρ

 

Γβµσ

 

−

 < 

ρσ

 > 

 
Z udziałem (7.5)  

R

µνρσ

 =  ½ (g

µσ

,

νρ

 

−

 g

µσ

,

νρ

 

−

 g

νρ

,

µσ

 + g

νρ

,

µσ

 ) +  

Γβµσ

 

Γβνρ

 

−

 

Γβµρ

 

Γβνσ

                                  (11.6) 

Teraz widzimy jeszcze pewne własności symetrii tensora krzywizny, mianowicie : 
R

µνρσ

  = 

−

 R

νµρσ

                                                                                                                                        (11.7) 

oraz  
R

µνρσ

  = R

ρσµν

 = R

σρνµ

                                                                                                                          (11.8) 

Rezultatem wszystkich tych własności symetrii jest to że z 256 składowych tensora R

µνρσ

  niezależnych jest 

tylko 20 składowych. 
 
12) Kryteria płaskiej przestrzeni 
 
Jeśli przestrzeń jest płaska, to można wybrać prostoliniowy układ współrzędnych, wtedy  g

µν

 będzie stałą i 

odpowiednio R

µνρσ

  będzie zerem. I odwrotnie jeśli R

µνρσ

  będzie zerem to można pokazać, że przestrzeń jest 

płaska. Wektor A

µ

 zaczepiony w punkcie x przeniesiemy za pomocą przesunięcia równoległego w punkt x + dx. 

Zatem przenieśliśmy go do punktu x + dx + 

δ

x.  

 
Jeśli R

µνρσ

 - jest zerem, to przy przemieszczeniu A

µ

 z x - punktu początkowego w punkt x + 

δ

x , a zatem w 

punkt : x + dx + 

δ

x,  rezultat powinien być identyczny. W takim razie przy przemieszczeniu wektora z jednego 

punktu do drugiego rezultat nie zależy od trajektorii przemieszczenia.  
Przemieszczając za pomocą przesunięcia równoległego wektor początkowy A

µ

 z punktu x do wszystkich 

możliwych punktów otrzymujemy pole wektorowe spełniające warunek   A

µ

 : 

ν

 = 0 tj. 

 A

µ

 ,

ν

 = 

Γσµν

 A

σ

                                                                                                                                        (12.1) 

Czy możliwe jest przedstawienie takiego pola wektorowego w formie gradientu pewnego skalara ? 
 
Podstawmy w (12.1) A

µ

  = S, 

µ

   

Otrzymamy: 

 S, 

µν

  =  

Γσµν

 S,

σ

                                                                                                                                        (12.2) 

W skutek symetrii 

Γσµν

 względem dolnych indeksów, wyrażenia dla  S, 

µν

 i  S, 

νµ

 są jednakowe i równanie 

(12.2) jest całkowalne. Wybierzmy cztery niezależne skalary, spełniające (12.2) - w charakterze współrzędnych 

x

α

’, nowego układu współrzędnych.  

Wtedy : 

 x

α

’

, 

µν

 =   

Γσµν

x

α

’

, 

σ

  

Zgodnie z prawem transformacyjnym (3.7) 

g

µλ

 =   g

α

’

β

’ x

α

’

, 

µ

 x

β

’

, 

λ

  

Różniczkując tą zależność po  x

ν

 znajdujemy uwzględniając (7.6)   

g

µλ

 ,

ν

 

−

 g

α

’

β

’ , 

ν

 x

α

’

,

µ

 x

β

’

,

λ

 =  g

α

’

β

’ ( x

α

’

,

µν

 x

β

’

,

λ

 + x

α

’

,

µ

 x

β

’

,

λν

 ) =  

= g

α

’

β

’ (  

Γσµν

x

α

’

,

σ

 x

β

’

,

λ

 + x

α

’

,

µ

  

Γσλν

x

β

’

,

σ

 ) =  g

σλ

 

Γσµν

 +  g

µσ

 

Γσλν

 =   

Γλµν

 +  

Γµλν

 =   g

µλ

 , 

ν

 

 

 

17

następnie : 

g

α

’

β

’ , 

ν

 x

α

’

, 

µ

 x

β

’

, 

λ

 =  0 

To znaczy, że :  
g

α

’

β

’ , 

ν

  = 0.  

W nowym układzie współrzędnych tensor metryczny jest stały.  
W takim razie mamy do czynienia z przestrzenią płaską w prostoliniowym układzie współrzędnych. 
  
13) Tożsamości Bianchi 
 
Zanim rozpatrzymy drugą pochodną kowariantną dowolnego tensora , rozpatrzmy tensor będący iloczynem 
skalarnym (iloczynem zewnętrznym – przypis własny) dowolnych wektorów A

µ

 i B

τ

 : 

(A

µ

 B

τ

 ): 

ρ

 : 

σ

 =  (A

µ

 : 

ρ

 B

τ

 + A

µ

 B

τ

 : 

ρ

 ) : 

σ

 = A

µ

 : 

ρ

 :

σ

 B

τ

 + A

µ

 : 

ρ

 B

τ

 : 

ρ

 + A

µ

 : 

σ

 B

τ

 : 

ρ

 + A

µ

 B

τ

 : 

ρ

 : 

σ

  

 
Teraz zamienimy miejscami 

ρ

 i 

σ

  i odejmiemy otrzymaną równość od poprzedniej.  

Z udziałem (11.2) daje to : 

(A

µ

 B

τ

 ): 

ρ

 : 

σ

 - (A

µ

B

τ

 ) : 

σ

 : 

ρ

 = A

α

R

αµρσ

 B

τ

 + A

µ

 R

ατρσ

 B

α

   

Dowolny tensor  T

µτ

 można wyrazić jako sumę członów typu A

µ

 B

τ

 , wtedy powinien on spełniać równość : 

T

µτ

 : 

ρ

 : 

σ

  

−

 T

µτ

 :

σ

 

ρ

 = T

ατ

R

αµρσ

  + T

µα

 R

ατρσ

                                                                                     (13.1) 

 
Niech  T

µτ

  będzie kowariantną pochodną wektora A

µ

 : 

τ

 , wtedy : 

A

µτ

 : 

ρ

 : 

σ

  

−

 A

µτ

 :

σ

 : 

ρ

 = A

α

 : 

τ

 R

αµρσ

  + A

µ

 : 

α

 R

ατρσ

  

 
Przestawmy cyklicznie indeksy  

τ

, 

ρ

, 

σ

 i dodajmy otrzymane trzy równości.  

Z lewej części mamy : 

A

µ

 : 

ρ

 : 

σ

 :

τ

  - A

µ

 : 

σ

 : 

ρ

 : 

τ

  + cykliczne przestawienie  =  (A

α

R

αµρσ

 ) : 

τ

 + cykliczne przestawienie = 

= A

α

 : 

τ

 R

αµρσ

 +  A

α

R

αµρσ

 : 

τ

 + cykliczne przestawienie.                                                                         (13.2) 

 
Prawa część daje : 

 A

α

 : 

τ

 R

αµρσ

 + cykliczne przestawienie.                                                                                                       (13.3) 

ponieważ ostatnie człony skracają się  (zobacz równość (11.5)) 
 
Pierwsze człony w (13.2) i (13.3) skracają się i zostaje : 

 A

α

R

αµρσ

 : 

τ

 + cykliczne przestawienie. = 0 

Czynnik A

α

 jest obecny we wszystkich członach tego równania i może być odrzucony. W rezultacie mamy: 

R

αµρσ

 : 

τ

 +  R

αµστ

 : 

ρ

 + R

αµτρ

 : 

σ

 = 0                                                                                                         (13.4) 

Jako dopełnienie warunku symetrii z rozdziału 11 tensor krzywizny powinien spełniać te równania różniczkowe 
Te równania znane są pod nazwą – „tożsamości Bianchi” 
 
14) Tensor Ricciego 
 
Zawęźmy R

µνρσ

  względem dwóch indeksów. Jeśli zawężenie przeprowadzono względem indeksów dla 

których przestawienie sprawia, że R

µνρσ

 jest antysymetryczne to jak się rozumie rezultatem będzie zero.  

Jeśli natomiast zawężać R

µνρσ

  po innych parach indeksów to otrzymamy rezultaty różniące się  jeden od 

drugiego  tylko znakiem. Wynika to z własności symetrii (11.4), (11.7), (11.8).  
Przeprowadzimy zawężanie względem pierwszego i ostatniego indeksu.  
Otrzymamy : 

R

µνρµ

  =  R

µρ

  

Tensor ten nazywamy tensorem Ricciego. Mnożąc (11.8) przez g

µσ

 znajdujemy, że :  

R

νρ

  =  R

ρν

                                                                                                                                                       (14.1) 

tj. symetryczny tensor Ricciego. 
 

 

18

Można zawęzić R

νρ

 względem ostatnich dwóch indeksów i przedstawić w postaci : 

 g

νρ

 R

νρ

  =  R

νν

 = R 

Wielkość R – jest skalarem, który nazywa się krzywizną skalarną. Jest ona określona w ten sposób, że dla sfery 
w przestrzeni trójwymiarowej jest dodatnia, w czym można się upewnić bezpośrednim rachunkiem. Tożsamości 
Bianchi (13.4) zawierają pięć indeksów. Zawęźmy je dwukrotnie i otrzymamy zależność z jednym swobodnym 

indeksem. Wprowadźmy w (13.4) 

τ

 = 

α

 i pomnóżmy przez  g

µσ

  : 

 g

µσ

 (R

αµρσ

 : 

α

 +  R

αµστ

 : 

ρ

 + R

αµτρ

 : 

σ

 ) = 0      tj.  

           

 (g

µσ

R

αµρσ

 ): 

α

 +    (g

µσ

R

αµσα

 ): 

ρ

 +  (g

µσ

R

αµαρ

 ): 

σ

 = 0                                                                  (14.2) 

 
i dalej : 

 g

µσ

R

αµρσ

  =  g

µσ

g

αβ

R

βµρσ

  =  g

µρ

g

αβ

R

µβσρ

  =  g

αβ

R

βσ

  = R

ασ

   

 

W skutek symetrii R

ασ

  można pisać indeksy jeden pod drugim tj.  R

ασ

 . Wtedy równanie (14.2) przybiera 

postać: 

 R

ασ

 : 

α

 +    (g

µσ

R

µσ

 ): 

ρ

 -  R: 

σ

 = 0      

lub 

2R

ασ

 : 

α

  -  R: 

σ

 = 0      

co przedstawia sobą tożsamości Bianchi dla tensora Ricciego. Podnosząc indeks 

σ

, możemy zapisać  

[R

ασ

 

−

  ½ g

σα

 R]: 

α

 = 0                                                                                                                                 (14.3) 

Wyrażenie dla tensora Ricciego, zgodnie  z (11.3) w formie jawnej wygląda następująco: 

R

µν

   =  

Γαµα

,

ν

  

−

 

Γαµν

,

α

  

−

 

Γαµν

 

Γβαβ

  + 

Γαµβ

 

Γβνβ

                                                                         (14.4) 

 
Pierwszy człon na pierwszy rzut oka wygląda na nie symetryczny względem 

µ

 i 

ν

 jednak tak jak ostatnie trzy  

jest on symetryczny. Dowód tego faktu wymaga pewnego omówienia . 
 
Aby zróżniczkować wyznacznik g  konieczne jest zróżniczkowanie w nim każdego elementu g

λµ

 i pomnożenie 

go przez dopełnienie algebraiczne g g

λµ

  

 
W takim razie : 

g,

ν

 = g g

λµ

 g

λµ

 ,

ν

                                                                                                                                          (14.5) 

Następnie : 

Γµνµ

   = g

λµ

 

Γλνα

  = 1/2g

λµ

 ( g

λν

 ,

µ

 +g

λµ

 ,

ν

 

−

 g

µν

 ,

λ

 ) = 1/2g

λµ

 g

λµ

 ,

ν

 = 1/2g -1 g ,

ν

 = ½ ln(g ), 

ν

    (14.6) 

Stąd wynika, że pierwszy człon w (14.4) jest symetryczny względem 

µ

. i 

ν

. 

 
15) Prawo grawitacji Einsteina 
 
Do tej pory  zawartość książki nosiła czysto matematyczny charakter za wyjątkiem  fizycznej uwagi, że 
trajektoria cząstki jest geodezyjną. Wiele rezultatów wyłożonych w poprzednich rozdziałach było otrzymanych 
w zeszłym (tj. XIX wieku – przypis własny) wieku i odnosiło się do przestrzeni zakrzywionej dowolnej liczby 
wymiarów. W przedstawionym formaliźmie liczba wymiarów przestrzeni figuruje tylko o tyle o ile : 

                      g

µµ

 = liczba wymiarów 

Einstein założył, że w pustej przestrzeni : 
                     R

µν

 = 0                                                                                                                                      (15.1) 

 
W tym zawarte jest prawo grawitacji Einsteina. „Pusta” tutaj oznacza nieobecność materii i brak jakichkolwiek 
pól fizycznych za wyjątkiem samego pola grawitacyjnego. Obecność pola grawitacyjnego nie narusza pustki. 
Warunek pustej przestrzeni jest z dobrą dokładnością spełniony dla przestrzeni międzyplanetarnej w systemie 
Słonecznym i tam można stosować równanie (15.1). 
 
 
 

 

19

Pusta przestrzeń oczywiście spełnia wyrażenie (15.1). Geodezyjne w pustej przestrzeni są liniami prostymi w 
takim razie cząstki poruszają się po liniach prostych. W przypadku pustej zakrzywionej przestrzeni prawo 
Einsteina nakłada ograniczenia na wartość krzywizny. Wraz z założeniem, że planety poruszają się po 
geodezyjnych daje to pewną informację dotyczącą ich ruchu.  
 
Na pierwszy rzut oka Einsteinowskie prawo grawitacji nie ma nic wspólnego z prawem Newtona. Aby jednak 
zauważyć analogię należy rozpatrzyć g

µν

  jako potencjały opisujące pole grawitacyjne. W odróżnieniu od 

jednego Newtonowskiego potencjału w teorii Einsteina jest ich dziesięć. Potencjały te opisują nie tylko pole 
grawitacyjne ale również układ współrzędnych. Pole grawitacyjne i układ współrzędnych w teorii Einsteina są 
związane nie rozerwalnie i nie udaje się opisać jednego bez drugiego.  
Przy rozpatrywaniu składowych g

µν

  jako potencjałów  równanie (15.1) okazuje się być równaniem pola i 

wygląda jak zwykłe równanie w tym sensie, że jest ono równaniem drugiego rzędu, ponieważ  drugie pochodne  
wchodzą w (14.1) przez symbole Christoffela. Równanie (15.1) odróżnia się jednak od zwykłych równań pola 
tym, że jest ono nieliniowe – istotnie nieliniowe. Równania Einsteina są nadzwyczaj złożone i znalezienie ich 
dokładnych rozwiązań jest trudne. 
 
16) Przybliżenie Newtonowskie 
 
Rozpatrzymy statyczne pole grawitacyjne w statycznym układzie współrzędnych.  
W takim przypadku g

µν

  jest stałe w czasie tj. g

µν

 0 = 0.  

Dalej dla m= 1,2,3 powinno być spełniony warunek : 
   gm0   = 0 
Odpowiednio mamy : 

gm0  = 0 ; g00  = (g00 )

-1 

  

i gmn jest macierzą odwrotną względem gmn.  
Indeksy łacińskie zawsze przebiegają wartości 1,2,3 .  
 

Stąd znajdujemy, że 

Γ

m0n = 0 i stąd również : 

Γ

m

0n = 0. 

Rozpatrzymy cząstkę poruszającą się z prędkością małą w porównaniu z prędkością światła   

Wtedy vm  jest małą pierwszego rzędu. Zaniedbując wielkości drugiego rzędu otrzymujemy : 

g00(v

0)2 = 1                                                                                                                                                  (16.1) 

Cząstka porusza się po geodezyjnej. Równanie geodezyjnej  (8.3) z dokładnością do członów pierwszego rzędu  
daje : 

dvm/ds = 

−

 

Γ

m

00 (v

0)2 = 

−

 gmn  

Γ

m

n00 (v

0)2 = ½ gmn  g

00,n  (v

0)2  

Z dokładnością do członów pierwszego rzędu otrzymamy : 

dvm/ds = (dvm/dx

µ

 )(dx

µ

/ds ) = ( dvm/dx0)v0 

 
Wtedy z udziałem (16.1) zapisujemy : 

dvm/dx0 = ½ gmn  g00,n  (v

0)2  = gmn  (g

00 )

½ 

, n                                                                                   (16.2) 

Ponieważ  g

µν

 nie zależy od x

0 można opuścić indeks m, co daje zależność : 

dvm/dx

0 = (g

00 )

½ 

, m                                                                                                                                 (16.3) 

Widać, że cząstka porusza się tak jak gdyby znajdowała się pod działaniem potencjału  (g00 )

½   

Przy otrzymaniu tego wyniku nie wykorzystywaliśmy w żaden sposób równań Einsteina.  
Teraz dla porównania teorii Einsteina z Newtonowską uwzględnimy prawo Einsteina dochodząc do określenia 
równań dla potencjału. 
 
Założymy, że pole grawitacyjne jest polem słabym tak że krzywizna czasoprzestrzeni jest mała. Wtedy można 
wybrać  układ odniesienia  dla którego  krzywizna osi współrzędnych  (dla każdej z osi trzy ustalone 
współrzędne) jest mała. W tym przypadku g

µν

 w pierwszym przybliżeniu jest stałe, a  g

µν

, 

σ

  i wszystkie 

symbole Christoffela są niewielkie. Równanie Einsteina (15.1) z dokładnością do członów pierwszego rzędu 
przyjmuje postać (zobacz (14.4))  

Γαµα

, 

ν

 

−

 

Γαµν

, 

α

  = 0 

 

20

Zawężając i przestawiając (11.6) względem dwóch indeksów 

ρ

 i 

µ

, oraz odrzucając człony drugiego rzędu 

można przekształcić to równanie, do nieco dogodniejszej postaci : 

g

ρσ

 ( g

ρσ

, 

µν

 

−

 g

νσ

, 

µρ

 

−

 g

µρ

, 

νσ

 +  g

µν

, 

ρσ

 ) = 0                                                                                       (16.4) 

Wstawmy teraz 

µ

 = 

ν

 = 0, oraz wykorzystajmy własność niezależności g

µν

 od x0, otrzymamy : 

gmn g00, mn = 0                                                                                                                                                (16.5)

 

  

Równanie d’Alamberta (10.9) w przybliżeniu słabego pola przyjmuje postać : 

g

µν

 V

, 

µν

 = 0 

W statycznym przypadku to wyrażenie przybiera postać równania Laplace'a : 

gmn V, mn = 0 
 
Równanie  (16.5) oznacza, że g00 spełnia równanie Laplace'a.  
Można wybrać jednostki pomiaru czasu tak aby g00 mało różniło się od jedności.  
Wtedy możemy założyć : 
g00 = 1 + 2V                                                                                                                                                      (16.6) 
gdzie V – jest niewielkie.  
 

W tym przypadku (g00 )

½  = 1 + V i V jest potencjałem.  

Ponieważ V spełnia równanie Laplace'a można go utożsamić z potencjałem newtonowskim, równym – m/r  
gdzie m - masa źródła.  
Teraz  widać, że (16.2) prowadzi do równości : 
przyspieszenie = 

−

 grad V 

 

Ponieważ diagonalne elementy gmn 

≅

 

−

1. To znaczy, że znak przy V był wybrany prawidłowo. 

W takim razie prawo Einsteina przechodzi w prawo Newtona , kiedy pole jest słabe i statyczne.  
Odpowiednio rezultaty teorii newtonowskiej objaśniające ruchy planet pozostają w mocy.  
Przybliżenie statyczności opiera się na fakcie małej w porównaniu z prędkością światła, prędkością ruchu planet 
Przybliżenie słabego pola jest dobre ponieważ, przestrzeń niewiele różni się od  przestrzeni płaskiej. 
 
Rozpatrzmy skalę niektórych wielkości. 

Wartość potencjału V na powierzchni Ziemi jest rzędu 10 –9. W takim razie g00 z wzoru (16.6), jest zbliżone do 
jedności. No jednak i to małe odchylenie g00 od jedności prowadzi do znacznych efektów grawitacyjnych 
obserwowanych na Ziemi. Jeżeli weźmiemy promień Ziemi rzędu 10 9 cm, to wartość g00,m będzie rzędu   
10 –18 [1/cm].  
I odpowiednio odchylenie przestrzeni od płaszczyzny będzie skrajnie małe. Jednak aby otrzymać przyspieszenie 
w polu grawitacyjnym w pobliżu Ziemi należy pomnożyć to odchylenie przez kwadrat prędkości światła, tj. 

przez 9* 10 20 [cm/sek ] 2. Dlatego przyspieszenie (około 10 3 [cm/sek] ) jest odczuwalne, chociaż  samo 
odchylenie od „płaszczyzny” jest nieskończenie małe, dla tego aby go było można obserwować bezpośrednio.      
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

21

17) Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni 
 
Rozpatrzmy monochromatyczne promieniowanie atomu w stanie spoczynku znajdującego się w statycznym polu 
grawitacyjnym. Długość fali światła wypromieniowanego odpowiada określonej wartości 

∆

s.  

Ponieważ atom jest w stanie spoczynku w statycznym układzie współrzędnych takich jak rozpatrywano w 
rozdziale 16 otrzymamy : 

∆

s2  = g00 (

∆

x0)2  

gdzie 

∆

x0 – okres tj. czas między sąsiednimi maksymalnymi amplitudami odniesiony do wybranego układu 

współrzędnych. 

Przy rozprzestrzenianiu się światła w inną część przestrzeni 

∆

x0 się nie zmienia. Wielkość : 

∆

x0 – nie jest tym 

samym co okres pewnej linii widmowej atomu , znajdującej się w danym punkcie. Taką rolę spełnia  

∆

s .  

W takim wypadku okres zależy od potencjału grawitacyjnego  g00 w tym punkcie gdzie światło było 
wypromieniowane: 

∆

x0 

∼

 ( g00 )

 – ½   

Czynnik ( g00 )

 – ½ opisuje przesunięcie linii widmowej.  

W przybliżeniu newtonowskim (16.6) otrzymamy : 

∆

x0 

∼

 1 

−

 V 

 
Wartość V jest ujemna w obszarze silnego pola grawitacyjnego na przykład na powierzchni Słońca. 
Dlatego światło wypromieniowane na Słońcu ma widmo przesunięte w porównaniu z światłem 
wypromieniowanym na Ziemi, w kierunku czerwonej części widma. Ten efekt  można było by obserwować dla 
światła Słonecznego  jeśli by on nie gubił się w efekcie innych mechanizmów fizycznych takich jak efekt 
Dopplera wynikający z ruchu promieniujących atomów. Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni jest większe dla 
światła białych karłów, gdzie w wyniku wysokiej gęstości materii potencjał grawitacyjny  na powierzchni 
gwiazdy jest o wiele większy. 
 
 
18) Rozwiązanie Schwarzschilda 
 
Równania Einsteina dla pustej przestrzeni przedstawiają sobą  nadzwyczaj złożone nieliniowe równania, a 
znalezienie ich dokładnych rozwiązań jest trudnym zadaniem. Jednak w jednym specjalnym przypadku 
rozwiązanie znajdujemy bez większych trudności – jest to przypadek statycznego, sferycznie symetrycznego 
pola związanego ze statycznym, sferycznie symetrycznym ciałem. 

Warunek statyczności oznacza, że w statycznym układzie współrzędnych g00 nie zależy od czasu x

0 lub t, i 

oprócz tego g0m = 0.  
W charakterze statycznego układu współrzędnych można wybrać współrzędne sferyczne  

x1 = r ,  x2 = 

θ

 ,  x3 = 

ϕ

 .  

Najbardziej ogólne wyrażenie dla ds2 w przypadku symetrii sferycznej ma postać :    

ds2  = Uds2 

−

 Vdr2 

−

 Wdr2 (d

θ

2 + sin2

θ

d

ϕ

2) 

gdzie U, V, W zależą tylko od r.  
 
Nienaruszając symetrii sferycznej można zamienić r na dowolną funkcje zależną od r.  

Wykorzystamy tą okoliczność dla maksymalnego uproszczenia wyrażenia na  ds2.  

Dogodnie będzie sprowadzić mnożnik W do jedności. Wtedy ds2 można zapisać następująco : 

 ds2  = exp(2

ν

)dt2 – exp(2

λ

)dr2 

−

 r2d

θ

2 

−

 r2sin2

θ

d

ϕ

2                                                                                  (18.1) 

gdzie 

ν

. 

λ

 zależą tylko od r.  

 
Funkcje 

ν

, 

λ

 powinny być wybrane tak aby spełniać równania Einsteina.  

Za pomocą (18.1) można wyrazić g

µν

 przez 

ν

 i 

λ

 : 

g00 = exp(2

ν

);     g11 = 

−

 exp(2

λ

);   

g22 = 

−

 r2 ;           g33 = 

−

 r2sin2

θ

 ;  

g

µν

 = 0 dla 

µ

 

≠

 

ν

 

 
 

 

22

Dalej znajdujemy : 

g00 = exp(-2

ν

);     g11 = 

−

 exp(-2

λ

);  

g22 = 

−

 r

−

2 ;           g33 = 

−

 r

−

2 sin

−

2

θ

 ; 

g

µν

 = 0 dla 

µ

 

≠

 

ν

 

 
Teraz należy wyrazić przez 

ν

 i 

λ

 wszystkie symbole Christoffela.  

Wiele z nich będzie w takim przypadku zerowymi, a pozostałe przyjmą postać : 

Γ

1

00 = 

ν

’exp(2

ν

 - 2

λ

 );           

Γ

0

10 = 

ν

’;  

Γ

1

11 = 

λ

’ ;                              

Γ

2

12 = 

Γ

3

13 = r

−

1 ;  

Γ

1

22 = 

−

 r exp( 

−

2

λ

) ;             

Γ

3

23 = ctg ( 

θ

 );  

Γ

1

33 =  

−

 r sin2

θ

 exp(

−

 2

λ

) ;   

Γ

2

33 = 

−

 sin

θ

 cos

θ

;  

gdzie apostrof oznacza różniczkowanie po r.  
 
Wyrażenia te należy podstawić do (14.4). W rezultacie otrzymamy  

R00 = (-

ν

’’ + 

λ

’

ν

’ 

−

 

ν

’2 

−

 2

ν

’/r ) exp(2

ν

 

−

 2

λ

 )                                                                                               (18.2) 

R11 = 

ν

’’ 

−

 

λ

’

ν

’ + 

ν

’2 

−

 2

λ

’/r ) exp(2

ν

-2

λ

 )                                                                                                    (18.3) 

R22 = ( 1 + r

ν

’ 

−

 r

λ

’ ) exp(

−

 2

λ

) 

−

 1                                                                                                                (18.4) 

R33 = R22 sin

2 

θ

 ;             

(ostatnie składniki R

µν

 w tym przypadku są tożsamościowo równe zeru) 

 
Zgodnie z prawem grawitacji Einsteina konieczne jest aby te wyrażenia były zerem.  
Zerowanie się (18.2) i (18.3) daje : 

λ

’ + 

ν

’ = 0 

Przy wielkich wartościach r przestrzeń powinna być zbliżona do płaskiej, tak by  przy r dążącym do 
nieskończoności,  

λ

 ,

ν

  dążyły do zera 

Odpowiednio otrzymamy : 

λ

 + 

ν

 = 0 

Z faktu zerowania się (18.4) wnioskujemy, że : 
(1+ 2r

ν

’) exp(2

ν

) = 1 

lub  
[ r exp(2

ν

)]’ = 1 

 
Stąd :  
r exp(2

ν

) = r – 2m; 

gdzie m – jest stałą całkowania.  
 
Podstawiając ostatnią równość do (18.2) i (18.3) powoduje, że stają się one zerami.  
Z tych wyrażeń otrzymujemy wyrażenie dla g00 : 
g00 = 1 

−

 2m/r                                                                                                                                                 (18.5) 

Dla wielkich wartości r powinno być słuszne Newtonowskie przybliżenie.  
Porównanie (18.5) z (16.6) pokazuje że stała całkowania m, która pojawiła się w (18.5) jest niczym innym jak 
masą ciała będącego źródłem pola grawitacyjnego. Pełne rozwiązanie równań Einsteina  ma postać : 

ds2  = (1 

−

 2m/r)dt2 – (1 

−

 2m/r)

−

1dr2 

−

 r2d

θ

2 

−

 r2sin2

θ

d

ϕ

2                                                                       (18.6) 

 
Jest ono znane jako rozwiązanie Schwarzschilda i stosuje się je poza ciałem zadającym pole grawitacyjne  
tj. w obszarze gdzie nie ma materii. W takim razie to równanie jest słuszne w przybliżeniu poza powierzchnią 
gwiazdy. Dla ruchu planet wokół Słońca rozwiązanie (18.6) daje małe poprawki do teorii Newtonowskiej.  
Są one jednak istotne tylko dla Merkurego – najbliższej planety Słonecznej – i objaśniają odchylenie trajektorii 
tej planety od trajektorii obliczonej za pomocą teorii Newtona. Ten fakt stał się faktem potwierdzającym 
słuszność teorii Einsteina. 
 
 
 
 

 

23

19) Czarne dziury 
 
Przy r = 2m rozwiązanie (18.6) jest osobliwe, ponieważ dla tego punktu mamy g00 = 0 i g11 =  

−∞

.  

Można pokazać, że  r = 2m jest minimalnym możliwym promieniem ciała o masie m.  
 
Jednak bliższe rozpatrzenie pokazuje, że sprawa wygląda nieco inaczej. Rozpatrzmy cząstkę spadającą na ciało 

centralne. Niech jej wektor prędkości jest v

µ

 =  dz

µ

 /ds. Załóżmy, że cząstka spada po promieniu tak, że jest  

v2 = v3 = 0.  
Jej ruch określony jest równaniem geodezyjnej (8.3) : 

dv0 / ds = 

−

 

Γ

0

µν

 v

µ

 v

ν

 = g00 

Γ

0

µν

 v

µ

 v

ν

 = 

−

 g00 g00,1 v

0 v1 = 

−

 g00 (g00 /ds) v

0  

Uwzględniając, że g00 = 1/g00 otrzymujemy : 
g00 dv

0/ds +  (d g

00 /ds )v

0  = 0 

scałkowanie tego równania daje wyrażenie : 

g00 v

0 = k  

gdzie k – stała całkowania, która równa jest wielkości g00  w początkowym punkcie trajektorii cząstki. 
 
W rozpatrywanym przypadku otrzymamy jak i przedtem  

1 = g

µν

v

µ

 v

ν

 = g00 (v

0)2 + g

11 (v

1)2  

Mnożąc to równanie przez g00 oraz wykorzystując zależność g00 g11 = 

−

 1 otrzymane w poprzednim rozdziale, 

znajdujemy : 

k2 

−

 (v1)2 = g00 = 1 – 2m/r 

Dla spadającego ciała v1 < 0 i odpowiednio  

v1 = 

−

 (k2 – 1 + 2m/r)1/2  

 
Tak więc  

dt/dr =  v0/v1 = 

−

 k (1 

−

 2m/r)

−

1  (k2 – 1 + 2m/r)½   

Niech cząstka znajduje się w pobliżu promienia krytycznego tj. r = 2m + 

ε

, gdzie wielkość 

ε

 jest odpowiednio 

mała, tak że człony 

ε

2 można odrzucić.  

Wtedy : 
dt/dr = 

−

 2m/

ε

 = 

−

 2m/(r 

−

 2m) 

Całkując to wyrażenie otrzymujemy : 
t = 

−

 2m [ln(r 

−

2m )] + const.   

W takim razie przy t dążącym do 2m, t dąży do nieskończoności tj. dla aby cząstka mogła osiągnąć promień 
krytyczny 2m potrzebuje nieskończenie wiele czasu. 
 
 
Załóżmy, że daleki obserwator obserwuje cząstką wykorzystując światło o określonej częstotliwości.  
Światło to doznaje przesunięcia grawitacyjnego ku czerwieni opisywanego czynnikiem  

g00

−

 ½  = (1 

−

 2m /r )

−

 ½   

Przy osiąganiu przez cząstkę promienia krytycznego ten czynnik dąży do nieskończoności.   
 
Z punktu widzenia dalekiego obserwatora wszystkie procesy fizyczne w cząstce w miarę jak zbliża się ona do 
promienia krytycznego r = 2m przebiegają coraz wolniej i wolniej. 
Rozpatrzmy teraz obserwatora poruszającego się razem z cząstką . Dla niego przyrost czasu jest tożsamy z ds.  
 
W takim razie : 

ds/dr = 1/v1 = 

−

 (k2 – 1 + 2m/r) ½   

Przy r dążącym do 2m wielkość ds/dr dąży do k –1.  
 
Tak więc osiągnięcie przez cząstkę promienia r = 2m zachodzi w skończonym czasie własnym obserwatora. 
Jeżeli moment osiągnięcia promienia krytycznego przez obserwatora  jest skończony to co będzie działo się z 
nim dalej ?  
 

 

24

Wyraźnie, obserwator będzie swobodnie spadał w pustej przestrzeni poruszając się w stronę coraz mniejszych 
wartości promienia r.  
 
Dla tego aby rozpatrzyć przedłużenie rozwiązania Schwarzschilda dla obszarów r < 2m należy wprowadzić  
niestatyczny układ współrzędnych g

µν

 w tym wypadku będący funkcją współrzędnej czasowej.  

Zostawimy tak jak poprzednio współrzędne 

θ

 i 

ϕ

, a w miejsce t i r wprowadzimy 

τ

 i 

ρ

 określone wyrażeniami : 

τ

 = t + f(r) ; 

ρ

 = t + g(r)                                                                                                                                   (19.1) 

gdzie  f i g –dowolne funkcje.  
 
Wtedy słuszna będzie następująca równość :      

d

τ

2 – 2m/r d

ρ

2 = (dt + f’ dr)2 – 2m/r (dt + g’ dr)2 = (1 – 2m/r)dt2 + 2 (f’ – 2m/r g’)dt dr + (f ’2 – 2m/r g’2 )dr2 

= (1 – 2m/r)dt2 

−

 (1 – 2m/r) 

−

1 dr2                                                                                                                  (19.2)   

 
Równość tą uzyskujemy wprowadzając funkcje f i g które spełniają warunki : 
f’ = (2m/r)g’                                                                                                                                                    (19.3) 

(2m/r)g’ – f ’2 = (1 – 2m/r)

−

 1                                                                                                                         (19.4) 

Tutaj apostrof oznacza pochodną po r. Rugując z tych równości f, otrzymujemy : 

G’ = (r/2m)1/2 (1 – 2m/r) 

−

1                                                                                                                            (19.5) 

Aby scałkować równanie (19.5) wstawmy r = y2 oraz 2m =  a2.  
Przy r > 2m będzie zachodzić y > a.  
Otrzymujemy : 

dg /dy = 2ydg /dr  = (2 y4 /a) / ( y2 

−

 a2 ) 

skąd otrzymamy : 

g = (2/3)a  y3 + 2ay 

−

 a2 ln [(y + a) / (y 

−

 a)]                                                                                                   (19.6) 

 
W rezultacie z (19.3) i (19.5) otrzymamy : 

g’ – f ’ = (1 

−

 2m/r)g’ = (r /2m)½    

Scałkowanie daje rezultat : 

(2/3) (1/ sqrt (2m)) r3/2 = g – f = 

ρ

 

−

 

τ

                                                                                                             (19.7) 

W takim razie  

r = 

µ

 (

ρ

 

−

 

τ

)2/3                                                                                                                                                  (19.8) 

gdzie  

µ

 = [(3/2) 

√

2m]2/3  

 
Z powyższego wynika, że warunki (19.3) i (19.4) można spełnić.  
A to znaczy, że słuszne jest równanie (19.2) 
Podstawiając (19.2) do rozwiązania Schwarzschilda (18.6) otrzymujemy :  

ds2  = d

τ

2 – 2m / [ 

µ

 (

ρ

 

−

 

τ

)2/3 ] d

ϕ

2 

−

 

µ

 (

ρ

 

−

 

τ

)4/3 (d

ϕ

2 + sin2

θ

 d

ϕ

2 )                                                        (19.9) 

 
Promień krytyczny  r = 2m zgodnie z (19.7) odpowiada : 

ρ

 

−

 

τ

 = 4m/3.  

W metryce (19.9) osobliwość się nie pojawia. Ponieważ metrykę (19.9) można jawnie przekształcić w 
rozwiązanie Schwarzschilda przy pomocy przekształcenia współrzędnych jest ona rozwiązaniem równań 
Einsteina dla pustej przestrzeni w obszarze r > 2m.  
Z faktu nie pojawiania się osobliwości  przy r = 2m, oraz z faktu analitycznej ciągłości wnioskujemy, że (19.9) 
spełnia równania Einsteina również przy r <= 2m.  
Metryka (19.9) jest słuszna aż do punktu r = 0 lub 

ρ

 

−

 

τ

 = 0 

 
Osobliwość pojawia się  przy przejściu od nowych współrzędnych do wejściowych (19.1).  
Wprowadźmy więc te nowe współrzędne a osobliwość więcej się nie pojawi. 
Widać, że rozwiązanie Schwarzschilda dla pustej przestrzeni zostało przedłużone dla obszarów r < 2m .  
Jednak ten obszar jest odseparowany od obszaru  r > 2m .  
Jak nie trudno sprawdzić dany sygnał, nawet świetlny, potrzebuje  nieskończonego czasu  aby przejść granicę   
r = 2m .  
W takim razie obszar  r < 2m  nie jest dostępny bezpośrednio obserwatorowi zewnętrznemu.  
 
 

 

25

Ten obszar nazywamy „czarną dziurą” ponieważ materialne ciała mogą wpaść  do wnętrza  sfery o promieniu  
r = 2m (w nieskończonym czasie dla obserwatora zewnętrznego) jednak nic nie może wyjść na zewnątrz. 
Pojawia się pytanie, czy istnieje taki obszar w rzeczywistości ?  
Odpowiadając można tylko wskazać, że równania Einsteina taką możliwość dopuszczają (obecnie czarne dziury 
można obserwować pośrednio – przypis własny).  
Masywne gwiazdy mogą  zostać ściśnięte do niewielkich rozmiarów, w tym przypadku siły grawitacji są tak 
silne, że żadna ze znanych sił fizycznych nie może ich zrównoważyć i tym samym następuje dalsze ściśnięcie 
(kolaps – przypis własny ).  
Wygląda na to, że ściśnięcie takiego obiektu  powinno prowadzić do pojawienia się czarnej dziury.  
Dla oddalonego obserwatora proces ściśnięcia (kolapsu) będzie przebiegał w czasie nieskończonym lecz dla 
obserwatora związanego z kolapsującą materią czas ten będzie skończony.  
 
20) Gęstości tensorowe 
 
Element czterowymiarowej objętości przy przekształceniu współrzędnych przekształca się według zasady : 

dx0’dx1’dx2’ dx3’ = dx0dx1dx2dx3J                                                                                                          (20.1) 
gdzie J  - jakobian ; 

J = 

∂

( dx0’dx1’dx2’ dx3’ ) / 

∂

(dx0dx1dx2dx3) = det x

µ

’, 

α

  

Dla skrócenia zapiszemy (20.1) w formie : 

d4x’ = J d4x                                                                                                                                                  (20.2) 
Przyjmijmy, że : 

g

αβ

 = x

µ

’, 

α

 g

µ

’

ν

’x

ν

’, 

β

    

 
Prawą część tego wyrażenia można rozpatrywać jako iloczyn trzech macierzy w pierwszej macierzy indeks  

α

 oznacza wiersze, 

µ

 ‘ – kolumny, w drugiej macierzy indeks 

µ

’ oznacza wiersze, indeks 

ν

’ – kolumny,  

w trzeciej macierzy indeks 

ν

’ oznacza wiersze, indeks 

β

 kolumny.  

Ten iloczyn jest równy macierzy g

αβ

 z lewej części równości.  

Odpowiednia zależność powinna mieć miejsce również dla wyznaczników dlatego : 

g = Jg’J  lub g = J2g’ 
Dalej, jeżeli g okaże się ujemnie określoną wielkością można ją wyrazić w formie 

√−

g, gdzie wyrażenie pod 

pierwiastkiem jest dodatnio określone.  
 
W takim razie : 

√−

g = J 

√−

g’                                                                                                                                                   (20.3) 

Niech S będzie pewnym polem skalarnym.  
Dla niego S = S’. Wtedy : 
∫ S 

√−

g d4x = ∫ S 

√−

g’ Jd4x = ∫ S’ 

√−

g’ d4x’  

przy założeniu, że obszar całkowania we współrzędnych  x’ odpowiada obszarowi całkowania we 
współrzędnych x.  
 
Odpowiednio otrzymamy : 
∫ S 

√−

g d4x = inwariant                                                                                                                                 (20.4) 

Wielkość : S 

√−

g, której całka jest inwariantem, nazywamy – gęstością skalarną. 

 

Analogicznie  dla danego pola tensorowego  T

µν

 .... wielkość T

µν

 .... 

√−

 można nazwać gęstością tensorową. 

Kiedy obszar całkowania jest mały  ∫T

µν

 .... 

√−

g d4x jest tensorem.  

Kiedy obszar całkowania nie jest mały, to ta całka nie będzie tensorem ponieważ przedstawia on sumę tensorów  
zadanych w różnych punktach  i nie przekształca się zgodnie z jakimkolwiek prostym prawem przy 
przekształceniu współrzędnych.  
 
Wielkość: 

√−

g , dalej będzie wykorzystywana bardzo często.  

 
 
 
 
 
 

 

26

Ponieważ  : 

g

−

1g ,

ν

 = 2 [

√−

g ]

−

1 

√−

g , 

ν

’  

  to wzór (14.5) daje : 

√−

g ,

ν

’ =  ½ 

√−

g g

λµ

 g

λµ

 , 

ν

’                                                                                                                      (20.5) 

zatem wzór (14.6) można zapisać w postaci : 

Γµνµ

 

√−

g =  

√−

g , 

ν

                                                                                                                                     (20.6) 

 
21) Twierdzenie Gaussa i Stokesa  
 

Kowariantna dywergencja A

µ

 

:

µ

 wektora A

µ

  w jest skalarem.  

Można ją zapisać w postaci : 

A

µ

: 

µ

 = A

µ

, 

µ

 + 

Γµνµ

 A

ν

  = A

µ

, 

µ

 + [

√−

g ]-1 sqrt(.), 

ν

 A

ν

 . 

Stąd : 

A

µ

: 

µ

 

√−

g = ( A

µ

 

√−

g ), 

µ

                                                                                                                            (21.1) 

Podstawiając w charakterze S w (20.4) A

µ

: 

µ

 otrzymamy inwariant: 

 ∫ A

µ

: 

µ

 

√−

g d4x =  ∫ ( A

µ

 

√−

g  ), 

µ

  d4x 

 
Jeśli całkę bierzemy po ograniczonej (czterowymiarowej) objętości, to prawą część można przekształcić  
zgodnie z twierdzeniem Gaussa w całkę po (trójwymiarowej) granicznej powierzchni tej objętości. 

Przy   A

µ

: 

µ

 = 0   otrzymamy    (A

µ

  

√−

g  ), 

µ

 = 0                                                                                           (21.2) 

To prowadzi nas do prawa zachowania a dokładnie do prawa zachowania cieczy, której gęstość ma postać  

A0 

√−

g, a strumień zadany jest trójwymiarowym wektorem Am 

√−

g  (m = 1,2,3).  

Można scałkować (21.2) względem trójwymiarowej objętości V, przy pewnym ustalonym x0.  
W rezultacie otrzymamy: 

(  ∫ A0 

√−

g  d3x ), 0 = 

−

 ∫ ( Am 

√−

g  ), m  d

3x 

tj. całkę powierzchniowa po granicy objętości V.  
 

Jeśli nie będziemy uwzględniać strumieni przecinających granicę objętości V, to  ∫ A0 

√−

g d3x  będzie stałą.  

Tego rezultatu dla wektora A

µ

  nie należy ogólnie mówiąc przenosić na tensory o większej liczbie indeksów. 

 

Rozpatrzmy tensor z dwoma indeksami Y

µν

. W płaskiej przestrzeni wykorzystując twierdzenie Gaussa można 

przekształcić  ∫ Y

µν

, 

ν

 d4x w całkę powierzchniową, w przestrzeni czterowymiarowej w ogólnym przypadku 

nie można przekształcić całki objętościowej  ∫ Y

µν

, 

ν

 d4x , w powierzchniową.  

Wyjątek stanowi antysymetryczny tensor  :  F

µν

 =  

−

 F

νµ

 . 

 
W tym przypadku : 

F

µν

: 

σ

 = F

µν

: 

σ

 +  

Γµσρ

 F

ρν

  +  

Γνσρ

 F

µρ

   

Stąd z udziałem (20.6) 

F

µν

: 

ν

 = F

µν

, 

ν

 +  

Γµνρ

 F

ρν

  +  

Γννρ

 F

µρ

  = F

µν

, 

ν

 +  sqrt(.) –1 sqrt(.), 

ρ

 F

µρ

   

Tak więc  

F

µν

: 

ν

 

√−

g  = ( F

µν√−

g  ), 

ν

                                                                                                                     (21.3) 

Odpowiednio,  ∫ F

µν

: 

ν

 

√−

g  d4x , równe jest całce powierzchniowej i przy warunku F

µν

:

ν

 = 0 otrzymujemy 

prawo zachowania.  
 
 
 
 
 
 

 

27

Dla tensora symetrycznego Y

µν

 = Y

νµ

, jeżeli opuścić jeden z indeksów i prowadzić obliczenia z Y

µν

: 

ν

 , to 

można otrzymać odpowiednie równanie z dodatkowym członem  :  

 Y

µν

: 

ν

 =  Y

µν

, 

ν

 

−

 

Γαµσ

 Y

αν

 +  

Γνσα

 Y

να

  

Podstawiając  

σ

 = 

ν

 oraz wykorzystując (20.6) otrzymamy : 

 Y

µν

: 

ν

 =  Y

µν

, 

ν

 + [ 

√−

g ] –1 

√−

g, 

α

 Y

µα

 

Γαµν

 Y

µν

 

 
 

Ponieważ  Y

αν

 jest symetryczny, to można z udziałem (7.6) zamienić 

Γαµν

 w ostatnim członie wielkością : 

½ (

Γαµν

 + 

Γναµ

 ) =  ½ g

αν

, 

µ

 

W rezultacie można zapisać : 

Y

µν

: 

ν

 

√−

g  = ( Y

µν

 

√−

g  ), 

ν

  

−

 ½ g

αβ

, 

µ

 Y

αβ

 

√−

g                                                                                    (21.4) 

Dla wektora kowariantnego A

µ

 mamy wyrażenie : 

A

µ

: 

ν

 

−

 A

ν

: 

µ

 =  A

µ

: 

ν

 

−

 

Γρµν

 A

ρ

 

−

 (  A

ν

: 

µ

 

−

 

Γρνµ

 A

ρ

 ) = A

µ

 , 

ν

 

−

 A

ν

, 

µ

                                                (21.5) 

Rezultat (21.5) można sformułować tak : kowariantna rotacja równa jest zwykłej rotacji.  
 
To sformułowanie jest słuszne tylko dla wektora kowariantnego. Dla wektora kontrawariantnego zgodnie z 
zasadą balansu indeksów, rotacji przedstawić nie można.  
Podstawmy 

µ

 = 1, 

ν

 = 1. Wtedy otrzymamy : 

A1: 2 

−

 A2: 1 =  A1: 2 

−

 A2: 1  

Scałkujmy tą równość względem pewnej powierzchni x0 = const. x3 = const.  
Zgodnie z twierdzeniem Stokesa mamy : 

 ∫ ∫ (A1: 2 

−

 A2: 1)dx

1dx2 = ∫ ∫ (A

1,2 

−

 A2,1)dx

1dx2 = ∫  (A

1dx

1 + A

2dx

2 )                                                 (21.6) 

gdzie ostatnia całka jest brana po granicy obszaru.  
 
W takim razie otrzymana całka po konturze zamkniętym równa jest strumieniowi przez powierzchnię , 
ograniczoną tym konturem. Ten rezultat powinien być słuszny nie tylko w układzie współrzędnych w którym 

równanie rozpatrywanej powierzchni dane jest x0 = const. x3 = const. ,ale również w przypadku ogólnym  
tj. w dowolnym układzie współrzędnych. 
 
Aby otrzymać inwariantny sposób zapisu tego rezultatu , wprowadzimy ogólne wyrażenie dla elementu 
dwuwymiarowej powierzchni. Element powierzchni określony dwoma małymi wektorami kontrawariantnymi  

ξµ

   

ζµ

 ,  zadany jest tensorem antysymetrycznym drugiego rzędu :  

dS

µν

 = 

ξµ

 

ζµ

 

−

 

ξν

 

ζµ

       

Jeśli  

ξµ

 i 

ζµ

  mają postać (0, dx1 ,0,0) i (0, 0, dx2, 0), to dwa składniki  dS

µν

 przyjmują następującą postać :  

dS12 = dx1dx2      ; dS21 = 

−

 dx1dx2   

a pozostałe składniki są zerowe. Lewa cześć (21.6) przyjmuje postać : 
∫ A

µ

 : 

ν

 dS

µν

 ; prawa część (21.6) jest oczywiście dana :   

 ∫ A

µ

  dx

µ

   

dlatego otrzymamy : 

½ ∫ ∫ (A

µ

: 

ν

 

−

 A

ν

: 

µ

 ) dS

µν

 =  ∫ A

µ

 dx

µ

                                                                                                           (21.7) 

    powierzchnia                      obwód 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

28

22) Współrzędne harmoniczne 
 
Równanie a’Alemberta   V = 0 dla pola skalarnego V z udziałem  (10.9) daje : 

g

µν

 (V, 

µν

 

−

 

Γαµν

V, 

α

 ) = 0                                                                                                                           (22.1) 

W przestrzeni płaskiej w nie ortogonalnym układzie współrzędnych każda z czterech współrzędnych x

λ

 czyni 

zadość równaniu    x

λ

 = 0.  

W (22.1) można więc w charakterze V podstawić x

λ

. W odróżnieniu od V x

λ

 nie jest skalarem, tak więc 

otrzymane równanie nie będzie tensorem tj. równanie to jest słuszne jedynie w określonych układach 
współrzędnych.  
Nakłada ono więc pewne ograniczenia na możliwe współrzędne. 

Jeśli w charakterze V podstawimy x

λ

, to V należy zastąpić wielkością x

λ

 , 

α

 = g

λα

   

Wtedy równanie (22.1) przyjmie postać : 

g

µν

 

Γλµν

 = 0                                                                                                                                                  (22.2) 

Współrzędne które czynią zadość temu warunkowi nazywamy „współrzędnymi harmonicznymi”.  
Aproksymują one współrzędne nieortogonalne z maksymalną dokładnością jaka tylko jest możliwa w 
zakrzywionej przestrzeni.  
Współrzędne te można wykorzystywać w wielu sytuacjach, jednak bardzo często okazuje się to nie możliwe,  
nie stanowią one więc tak dogodnego aparatu jak formalizm tensorowy w dowolnym układzie współrzędnych. 
 
 
Przy rozpatrywaniu fal grawitacyjnych współrzędne harmoniczne okazują się jednak bardzo pożyteczne. 
Z (7.9)  i (7.6) otrzymamy w dowolnych współrzędnych : 

g

µν

 , 

σ

 = 

−

 g

µα

 g

νβ

 ( 

Γαβσ

 + 

Γβασ

 ) = 

−

 g

νβ

 

Γµβσ

  

−

 g

µα

 

Γνασ

                                                              (22.3) 

Stąd z udziałem (20.6) wynika równość : 

( g

µν

 

√−

g  ), 

σ

 = ( 

−

 g

νβ

 

Γµβσ

 

−

 g

µα

 

Γνασ

  +  g

µν

 

Γβσβ

 )                                                                          (22.4) 

Zawężając ją względem dwóch indeksów  (zakładamy 

σ

 =

ν

) otrzymujemy : 

( g

µν

 

√−

g  ), 

ν

 = 

−

  g

νβ

 

Γµβν

 

√−

g                                                                                                                    (22.5) 

Widać, że alternatywna forma zapisu warunku harmoniczności dana jest następująco : 

 ( g

µν

 

√−

g  ), 

ν

 = 0                                                                                                                                            (22.6) 

 
23) Pole elektromagnetyczne 
 
Równania Maxwella w zapisie standardowym mają postać : 
 E = 

−

(1/c) 

∂

A/

∂

t – grad 

Φ

                                                                                                                                (23.1) 

H = rot A                                                                                                                                                           (23.2) 
(1/c) 

∂

H/

∂

t = 

−

 rot E                                                                                                                                          (23.3) 

div H = 0                                                                                                                                                           (23.4) 
(1/c) 

∂

E/

∂

t =  rot H 

−

 4

π

j                                                                                                                                  (23.5) 

div E = 4

πρ

                                                                                                                                                      (23.6) 

 
Na początku zapiszemy je w czterowymiarowej formie zgodnej ze szczególna teorią względności.  
Potencjały A i 

Φ

 zobrazowane są  przez cztero-wektor k zgodnie z równościami : 

k0 = 

Φ

 , km = Am , m= 1,2,3 

Wprowadźmy :  
F

µν

 = k

µ

 , 

ν

 

−

 k

ν

 , 

µ

                                                                                                                                        (23.7) 

Wtedy zgodnie z (23.1)  

E1 = 

−

 

∂

k1/

∂

x0 

−

 

∂

k0/

∂

x1 = 

∂

k1 /

∂

x0 

−

 

∂

k0 /

∂

x1 =  F10 = 

−

 F10  

I zgodnie z (23.1) 

H1 = 

−

 

∂

k3/

∂

x2 

−

 

∂

k2/

∂

x3 = 

∂

k3/

∂

x2 + 

∂

k2 /

∂

x3 =  F23 = F

23   

W takim razie sześć składników tensora antysymetrycznego  F

µν

 określają wielkości polowe E i H. 

Z (23.7) wynika , że : 
F

µν

 , 

σ

 + F

νσ

 , 

µ

 + F

σµ

 , 

ν

 = 0                                                                                                                       (23.8) 

 

 

29

To równanie  zawiera w sobie równania Maxwella (23.3) i (23.4).  
Dalej, z (23.6) mamy : 

F0

µ

 , 

ν

 =  F0m , m = 

−

 Fm0 , m = div E =  4

πρ

                                                                                               (23.9) 

Analogicznie z (23.5) otrzymujemy : 

F1

ν

, 

ν

 =  F10, 0 +  F

12

, 2 +  F

13

, 3 =  

−

 

∂

E1/

∂

x0 + 

∂

H3 /

∂

x2 

−

 

∂

H2 /

∂

x3 = 4

π

j1                                         (23.10) 

Gęstość ładunku 

ρ

, oraz prąd jm obrazują cztero-wektor J

µ

 zgodnie z równościami : 

 J0  = 

ρ

 ,  Jm  = jm  

Wtedy (23.9) i (23.10) zostają sprowadzone do jednego równania : 

 F

µν

, 

ν

 = 4

π

J

µ

                                                                                                                                                 (23.11) 

I tak przedstawiają się równania Maxwella przepisane w formie czterowymiarowej zgodnej ze STW . 
 
Aby przejść do ogólnej teorii względności należy zapisać równania w formie kowariantnej.  
Z udziałem równości (21.5) tensor (23.7) można bezpośrednio uogólnić : 
F

µν

 = k

µ

 : 

ν

 

−

 k

ν

: 

µ

     

To pozwala określić kowariantne wielkości polowe F

µν

.  

Dalej otrzymujemy : 

F

µν

 : 

σ

 + F

µν

, 

σ

 

−

  

Γαµσ

 F

αν

 

−

 

Γανσ

 F

µα

 

 
 
Dokonując przestawienia cyklicznego indeksów 

µ

, 

ν

, 

σ

, oraz dodając otrzymane tym sposobem równania 

otrzymamy (z udziałem (23.8) ) : 
F

µν

 : 

σ

 + F

νσ

 : 

µ

 + F

σµ

 : 

ν

 = F

µν

 , 

σ

 + F

νσ

 , 

µ

 + F

σµ

 , 

ν

 = 0                                                                     (23.12) 

 
W rezultacie to równanie Maxwella automatycznie przybiera postać kowariantną. 
Pozostaje nam rozpatrzyć równanie (23.11). W ramach OTW jest ono nie słuszne  i powinno  być zamienione 
przez równanie w formie kowariantnej.  

 F

µν

 : 

ν

 = 4

π

J

µ

                                                                                                                                                (23.13) 

Z równości (21.3) która jest słuszna dla dowolnego antysymetrycznego tensora rzędu drugiego otrzymujemy : 

( F

µν

 

√−

g  ), 

ν

 = 4

π

J

µ

 

√−

g                                                            

Stąd bezpośrednio wynika równość : 

( J

µ

 

√−

g  ), 

µ

 = (4

π

 ) -1 ( F

µν

 

√−

g ), 

µν

 = 0           

To równanie, analogiczne do (21.2), przedstawia prawo zachowania „elektryczności”  
(tj. ogólne prawa zachowania w elektrodynamice – przypis własny ).  
Obecność zakrzywienia przestrzeni nie narusza tego prawa , prawo wypełnione jest dokładnie. 
 
24) Modyfikacja równań Einsteina w obecności materii 
 
Przy braku materii równania Einsteina mają postać : 

 R

µν

 = 0                                                                                                                                                             (24.1) 

Stąd wynika, że R = 0 w takim razie :  

R

µν

 

−

 ½ g

µν

 R = 0                                                                                                                                            (24.2) 

Jeśli wziąć za wyjściowe równanie (24.2) to drogą zawężania można otrzymać : 
R – 2R = 0 
 i odpowiednio powrócić do (24.1).  
W charakterze podstawowych równań dla pustej przestrzeni można wziąć (24.1) jak i (24.2). 
 
W przypadku obecności materii równania te należy koniecznie zmodyfikować.  
Załóżmy, że zmodyfikowane równania (24.1) możemy zapiszemy w formie : 

R

µν

  =  X

µν

                                                                                                                                                       (24.3) 

a (24.2) przyjmują postać : 

R

µν

 

−

 ½ g

µν

R = Y

µν

                                                                                                                                       (24.4) 

gdzie X

µν

 i Y

µν

 - tensory symetryczne drugiego rzędu wyrażające obecność materii.  

 

30

Teraz widać, że (24.4) – jest bardziej dogodna w zapisie dla dalszych rachunków, ponieważ mają miejsce 
tożsamości Bianchi, które pokazują, że: 

[  R

µν

 

−

 ½ g

µν

R ]: 

ν

 =  0 

Odpowiednio (24.4) pociąga za sobą równość : 

Y

µν

: 

ν

 = 0                                                                                                                                                         (24.5) 

Dane pole tensorowe Y

µν

  „wytwarzające” materię powinno spełniać powyższy warunek w przeciwnym razie 

równania (24.4) będą niezgodne. 
 
Dla wygody wprowadzimy w równaniu (24.4) współczynnik :  

−

8

π

 i przepiszemy go w formie  

R

µν

  

−

 ½ g

µν

R = 

−

8

π

 Y

µν

                                                                                                                               (24.6) 

W dalszej części będzie pokazane że tensor Y

µν

, z tym współczynnikiem należy interpretować jako gęstość i 

strumień energii-pędu (pochodzenia nie grawitacyjnego), przy czym Y

µ

0 przedstawia sobą gęstość,  

a Y

µ

r – strumień.  

W przestrzeni płaskiej równanie (24.5) miało by postać : 

Y

µν

: 

ν

 = 0           

 i pociągało by za sobą prawo zachowania energii i pędu. W przestrzeni zakrzywionej energia i pęd zachowane 
są jedynie w przybliżeniu. Nie spełnienie prawa zachowania, spowodowane jest działaniem pola grawitacyjnego 
na materię i obecnością energii i pędu własnego pola grawitacyjnego. 
 
 
25) Tensor energii-pędu materii 
 
Niech będzie dany pewien rozkład materii, prędkość której zmienia się w sposób ciągły od punktu  do punktu.  

Jeśli oznaczyć z

µ

 jako współrzędną elementu materii, to można wprowadzić wektor prędkości  

v

µ

 = dz

µ

 /ds 

który podobnie jak wielkości polowe będzie ciągłą funkcją współrzędnych punktu.  
Wektor prędkości posiada następujące własności : 

g

µν

 v

µ

 v

ν

 = 1 

0 = ( g

µν

 v

µ

 v

ν

 ): 

σ

 = g

µν

 ( v

µ

 v

ν

: 

σ

 +  v

µ

: 

σ

  v

ν

 ) = 2g

µν

 v

µ

 v

ν

: 

σ

                                                            (25.1) 

Stąd : 

v

ν

  v

ν

: 

σ

 = 0                                                                                                                                                     (25.2) 

Można wprowadzić pole skalarne 

ρ

 takim sposobem aby pole wektorowe 

ρ

 v

µ

  określało gęstość  i strumień 

materii tak jak J

µ

 określa gęstość i strumień ładunku elektrycznego innymi słowami, aby 

ρ

v

µ

 

√−

g było  

gęstością, a  

ρ

vm 

√−

g  – strumieniem.  

 
Konieczny warunek dla zachowania materii ma postać : 

(

ρ

v

µ

 

√−

g  ), 

µ

 = 0 

lub 

(

ρ

v

µ

 ) 

: 

µ

 = 0                                                                                                                                                     (25.3) 

W rozpatrywanym przypadku gęstość  i strumień energii materii będzie miał postać :  

ρ

v0 v0 

√−

g   

i  

ρ

v0 vm 

√−

g  

a następujące wielkości będą, odpowiednio gęstość i strumień pędu :   

ρ

vn v0 

√−

g  , 

ρ

vn vm 

√−

g   

 
 
 
 
 
 
 

 

31

Podstawmy : 

T

µν

 = 

ρ

v

µ

 v

ν

                                                                                                                                                   (25.4)  

Wtedy  

T

µν

 

√−

g   

zawiera gęstość i strumień energii i pędu.  
Wielkości tę nazywamy tensorem energii-pędu materii.  

Tensor T

µν

 jest oczywiście tensorem symetrycznym. 

Czy można w charakterze członu materialnego w prawej części równań Einsteina (24.6) wykorzystać T

µν

 ? 

Dla tego potrzebne jest aby spełniona była równość:   

T

µν

: 

ν

 = 0  

Z (25.4) otrzymamy : 

T

µν

: 

ν

 = ( 

ρ

v

µ

 v

ν

 ): 

ν

 =   v

µ

 ( 

ρ

v

ν

 )

 : 

ν

 + 

ρ

v

ν

v

µ

 : 

ν

  

Pierwszy człon w prawej części staje się zerem na mocy prawa zachowania masy (25.3).  
Drugi człon znika, jeśli materia porusza się po geodezyjnej, ponieważ w przypadku kiedy zamiast zadać ją  tylko 

na linii świata, v

µ

 określimy ją  jako funkcję ciągłą  pola, otrzymamy : 

dv

µ

 /ds  =v

µ

, 

ν

 v

ν

  

Wtedy (8.3) przybiera postać : 

(v

µ

 

, 

ν

 + 

Γµνσ

 v

σ

 ) v

ν

  = 0 

lub 

v

µ

 

: 

ν

 v

ν

  = 0                                                                                                                                                    (25.5) 

Teraz widać, że tensor energii-pędu materii (25.4) z odpowiednik mnożnikiem liczbowym k, można podstawić 
do  równań Einsteina (24.4). Wtedy otrzymujemy: 

R

µν

  

−

 ½ g

µν

R = k

ρ

 v

µ

 v

ν

                                                                                                                               (25.6) 

 
Określimy teraz wartość współczynnika k. Przejdziemy, śladem metody wyłożonej w rozdziale 16, prowadzącej 
do przybliżenia Newtonowskiego.  
Zauważmy, że zawężając (25.6) otrzymamy : 

−

 R = k

ρ

 

 
Wtedy (25.6) można zapisać w postaci : 

R

µν

 = k

ρ

 [ v

µ

 v

ν

  

−

 ½ g

µν

] 

W przybliżeniu słabego pola zgodnie z (16.4) otrzymujemy: 

½ g

ρσ

 (g

ρσ

 , 

µν

 

−

 g

νσ

 , 

µρ

 

−

 g

µρ

 , 

µσ

 + g

µν

 , 

ρσ

 ) =  k

ρ

 [ v

µ

 v

ν

  

−

½ g

µν

] 

 
Rozpatrzmy pole statyczne, oraz statyczne rozłożenie materii.  
W tym przypadku  v0 = 1 , vm= 0 .  
Zakładając 

µ

 = 

ν

 = 0, oraz odrzucając człony drugiego rzędu znajdujemy : 

 

−

 ½ 

∇

2g

00 = ½ k

ρ

 

lub z udziałem (16.6): 

∇

2V = 

−

 ½ k

ρ

 

Dla tego, aby to było zgodne z równaniem Poissona należy wziąć : k = 

−

8

π

. 

W takim razie równania Einsteina w przypadku poruszającej się materii mają postać : 

R

µν

 

−

 ½ g

µν

R = 

−

8

πρ

v

µ

 v

ν

                                                                                                                            (25.7) 

Wtedy, T

µν

 zadane przez (25.4) jest zgodne z Y

µν

 z równania (24.6) 

 
Warunek zachowania masy (25.3) daje : 

ρ

 :

µ

 v

µ

  +

  

ρ

v

µ

 :

µ

  = 0 

odpowiednio otrzymamy : 

∂ρ

/ds = ( 

∂ρ

/dx

µ

 )v

µ

  = 

−

 

ρ

v

µ

 :

µ

                                                                                                                    (25.8) 

 
 
 

 

32

Warunek ten ustala prawo zmiany 

ρ

 wzdłuż linii świata elementu materii.  

Przy przejściu od linii świata pewnego elementu do linii świata elementu sąsiedniego zasada (25.8) dopuszcza 
dowolną zmianę 

ρ

. Znaczy to, że można wybrać tak 

ρ

, aby było równe wszędzie zeru oprócz zbioru linii świata 

obrazujących rurkę czasoprzestrzenną   . 
Taki zbiór opisywałby cząstkę o skończonych rozmiarach. Poza cząstką mamy : 

ρ

 = 0 i odpowiednio  stosujemy 

równań Einsteina dla pustej przestrzeni.  
 
Zauważmy, że jeśli przyjąć ogólną postać równań pola (25.7), to z nich można wywieść dwa wnioski: 
zachowanie masy i ruch materii po geodezyjnych.  

Przypomnimy że: [R

µν

 

−

 ½ g

µν

R ]: 

ν

  jest zerem zgodnie z tożsamościami Bianchi, skąd otrzymamy : 

(

ρ

v

µ

 v

ν

):

ν

 = 0 

lub 

 v

ν

 (

ρ

v

µ

):

ν

 + 

ρ

v

ν

 v

µ

 :

ν

 = 0                                                                                                                            (25.9) 

Pomnóżmy to równanie przez v

µ

. Drugi człon da zero, co wynika z (25.2) i pozostaje (

ρ

v

µ

):

ν

 = 0, a to jest 

zgodne z zasadą zachowania (25.3). Teraz równanie (25.9) prowadzi do równości :  

v

ν

 v

µ

:

ν

 = 0 tzn. do równania geodezyjnej.  

W takim razie nie trzeba robić założenia, że cząstka porusza się po geodezyjnej. Dla małej cząstki ruch wzdłuż 
geodezyjnej zapewniony jest przez równania Einsteina dla pustej przestrzeni w obszarze wokół  cząstki. 
 
 
26) Zasada wariacyjna dla grawitacji 
 
Wprowadźmy skalar : 

I = ∫ R 

√−

g  d4x                                                                                                                                               (26.1) 

gdzie całkowanie prowadzone jest po określonej czterowymiarowej objętości.  
 
Dodajmy mały przyrost do g

µν

 oznaczony jako 

δ

g

µν

  przyrost ten zachowuje g

µν

, oraz jego pierwsze pochodne 

na granicy całkowanego elementu objętości. 
 
Wymaganie: 

δ

I = 0 przy dowolnych 

δ

g

µν

 prowadzi, jak będzie pokazane później, do równań Einsteina dla 

pustej przestrzeni. 
Z (14.4) otrzymamy : 

R = g

µν

 R

µν

 = R* 

−

 L 

gdzie : 

R* = g

µν

 (

Γσµσ

 , 

ν

 

−

 

Γσµν

 , 

σ

 )                                                                                                                      (26.2) 

i 

L =   g

µν

 (

Γσµν

 

Γσσρ

 

−

 

Γρµσ

 

Γσνρ

 )                                                                                                            (26.3) 

Skalar I zawiera drugie pochodne g

µν

 ponieważ wchodzą one w  R*, jednak te pochodne wchodzą tylko w 

formie liniowej i odpowiednio można je wykluczyć całkując przez części.  
Otrzymamy zatem : 

R* 

√−

g  = ( g

µν

 

Γσµσ

 

√−

g ), 

ν

 

−

 ( g

µν

 

Γσµν

 

√−

g ), 

σ

 

−

 ( g

µν

 

√−

g  ), 

ν

 

Γσµσ

 + ( g

µν

 

√−

g ), 

σ

  

Γσµν

                                                                                                                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 (26.4) 

Dwa pierwsze człony są pochodnymi zupełnymi i dlatego nie dają one wkładu do I.  
Tak więc w (26.4) należy zostawić tylko dwa ostatnie człony. Z udziałem (22.5) i (22.4) przyjmują one postać : 

g

νβ

 

Γµβν

 

Γσµσ

 

√−

g + (

−

2g

νβ

 

Γµβσ

 + g

µν

 

Γβσβ

 ) 

Γσµν

 

√−

g s 

Jest to zgodne z 2L

√−

g z równania (26.3).  

 
W takim razie dla I otrzymujemy wyrażenie : 

I = ∫ L

√−

g  d4x 

zawierające tylko g

µν

 oraz jego pierwsze pochodne.  

 
 

 

33

Skalar I jest jednorodną formą kwadratową względem pierwszych pochodnych.  
Podstawmy £ = L 

√−

g, weźmiemy tę wielkość (z odpowiednik liczbowym czynnikiem, który będzie określony 

dalej) w charakterze gęstości działania dla pola grawitacyjnego.  
 
Wielkość £ nie jest gęstością skalarną, jednak wygodniej jest na niej prowadzić rachunki niż na wielkości  
R 

√−

g  będącej gęstością skalarną, ponieważ £ nie zawiera drugich pochodnych g

µν

 . 

 
Zgodnie z dynamiką klasyczną działanie jest całką po czasie, lagranżjanu.  
W rozpatrywanym przypadku  

I =  ∫ £ 

√−

g d4x = ∫ dx0  ∫ £ dx

1dx2dx3  

tak, że lagranżjanem oczywiście jest : 

 ∫ £ dx1dx2dx3  
 
W takim wypadku £ można rozpatrywać jako gęstość lagranżjanu (w trzech wymiarach) i jako gęstość działania 
(w czterech wymiarach). Składowe g

µν

 można uważać jako współrzędne dynamiczne, a ich pochodne po czasie 

jako prędkości. Zauważmy również, że lagranżjan jest niejednorodną kwadratową formą względem prędkości, 
jak to ogólnie bywa w mechanice klasycznej. 
 
Teraz dokonamy wariacji £. Wykorzystując (20.6) i (22.5) otrzymujemy : 
δ

(

 

Γαµν

 

Γβαβ

  g

µν

 

√−

g  ) =  

Γαµν

 δ ( 

Γβαβ

  g

µν

 

√−

g  )  +  

Γβαβ

  g

µν

 sqrt(.)  δ 

Γαµν

  =   

= 

Γαµν

 δ( g

µν

 

√−

g, 

α

 ) + 

Γβαβ

 δ ( 

Γαµν

  g

µν

 

√−

g ) 

−

 

Γβαβ

 

Γαµν

 δ ( g

µν

 

√−

g )  =  

= 

Γαµν

 δ( g

µν

 

√−

g, 

α

 ) 

−

 

Γβαβ

 δ( g

αν

 

√−

g ) ,

ν

 

−

 

Γβαβ

 

Γαµν

  δ( g

µν

 

√−

g )                                               (26.5) 

 
A zgodnie z (22.3) : 
δ

(

 

Γβµα

 

Γανβ

  g

µν√−

g  ) = 2 (δ 

Γβµα

 ) 

Γαµβ

  g

µν

 

√−

g +  

Γβµα

 

Γαµβ

 δ ( = 

Γαµν

  δ (  g

µν

 

√−

g ) = 

=  2 δ( 

Γβµα

 g

µν

 

√−

g ) 

Γαµβ

 

−

 

Γβµα

 

Γανβ

 δ  ( g

µν

 

√−

g  ) = 

−

δ( g

νβ

, 

α

 

√−

g ) 

Γανβ

 

−

 

−

  

Γβµα

 

Γανβ

 δ  ( g

µν

 

√−

g )                                                                                                                           (26.6) 

 
Odejmując (26.6) od (26.5) znajdujemy: 
δ£ =  

Γαµν

 δ ( g

µν

 ), 

α

  

−

 

Γβαβ

 δ (  g

αν

 

√−

g  ), 

ν

  + ( 

Γβµα

  

Γανβ

 

−

 

Γβαβ

  

Γαµν

 ) δ (  g

να

 

√−

g      )     (26.7) 

                                                                                                                                                                                         
Dwa pierwsze człony różnią się od : 

−

 

Γαµν

 ,

α

 δ ( g

µν

 

√−

g ) + 

Γβµβ

 ,

ν

 δ ( g

µν

 

√−

g  )  

o pochodną zupełną.  
Stąd otrzymamy: 

δI = δ  ∫ £ d4x = ∫ R

µν

  δ ( g

µν

 

√−

g  )d4x                                                                                                        (26.8) 

gdzie  R

µν

 zadane jest wzorem (14.4).  

 

Przy dowolnym δ g

µν

 wielkości δ( g

µν

 

√−

g ), także są dowolne i niezależne tak więc żądanie zerowania się 

(26.8) przywodzi do równań Einsteina w formie (24.1) 
 
Metodą analogiczną do (7.9) można pokazać, ze : 

 δ g

µν

  = 

−

 g

µα

 g

νβ

  δ g

αβ

                                                                                                                              (26.9) 

Odpowiednio z (20.5) otrzymujemy : 

  δ sqrt(.) = ½ 

√−

g g

αβ

  δ g

αβ

                                                                                                                     (26.10) 

W takim razie : 
δ (  g

µν

 

√−

g ) = 

−

 [ g

µα

 g

νβ

 

−

 ½ g

µν

 g

αβ

 ] 

√−

g δ g

αβ

   

 
 
 
 

 

34

Wtedy (26.8) można zapisać w innej formie : 
δI = 

−

 ∫ R

µν

 (g

µα

 g

νβ

 

−

 ½ g

µν

 g

αβ

 ] 

√−

g δg

αβ

 d4x  = 

−

 ∫ (R

αβ

 

−

 ½  g

αβ

R) 

√−

g δg

αβ

 d4x                  (26.11) 

                                          
Żądanie zerowania się (26.11) prowadzi do równań Einsteina w postaci (24.2) 

 

27) Działanie dla ciągłego rozkładu materii 
 
Rozpatrzymy ciągły rozkład materii, prędkość której zmienia się w sposób ciągły od punktu do punktu podobnie 
jak było to zrobione w rozdziale 25. Zapiszemy zasadę wariacyjną dla przypadku materii oddziałującej z polem 
grawitacyjnym w formie : 
δ ( Ig + Im ) = 0                                                                                                                                                 (27.1) 
gdzie grawitacyjna część działania Ig zgodna jest z dokładnością do pewnego liczbowego mnożnika k z I z 
poprzedniego rozdziału, a Im – jest materialna częścią działania która będzie określona w dalszej kolejności.  
 
Warunek  (27.1) powinien prowadzić do równań Einsteina w formie (25.7) dla pola grawitacyjnego w obecności 
materii i do równań geodezyjnej dla ruchu materii. 
W dalszej części konieczne będzie zbadanie, jak wpływa na Im dowolna wariacja położenia elementu materii. 
Rozpatrzenie tego problemu stanie się bardziej jasnym, jeśli najpierw rozpatrzymy czysto kinematyczne wariację 
bez związku z metryką  g

µν

. W tym przypadku istnieje podstawowa różnica miedzy wektorami  

ko- i kontra-  wariantnymi, dlatego nie można przechodzić od jednego do drugiego.  

Prędkość opisywana jest zależnością współczynników kontrawariantnego wektora u

µ

 i nie może być 

unormowany bez wprowadzenia metryki. 
 

Dla ciągłego strumienia materii wektor prędkości u

µ

 (z pewnym nie znanym mnożnikiem) zadany jest w 

każdym punkcie. Można zbudować zgodny z kierunkiem wektora u

µ

 kontrawariantny wektor gęstości 

ρµ

 , 

który określa wielkość i prędkość strumienia w postaci: 

p0dx1dx2dx3, 

równy ilości materii w elemencie objętości : dx1dx2dx3, w określonym momencie czasu, oraz :  

p1dx0dx2dx3, 

równego ilości materii, która przechodzi przez element powierzchni dx2dx3 przez czas dx0, 
 
Założymy, że ilość materii jest zachowana, wtedy : 

p

µ

, 

µ

 = 0                                                                                                                                                         (27.2)    

Niech każdy element materii przemieszcza się z punktu z

µ

 do punktu  z

µ

 + b

µ

, gdzie b

µ

 - wielkość mała 

Musimy określić jaka będzie wynikowa zmiana  p

µ

 w zadanym punkcie x.  

 

Z początku rozpatrzmy przypadek  b0 = 0. Zmiana ilości materii znajdującej się w trójwymiarowej objętości V,  
równa jest, ze znakiem przeciwnym, ilości materii przechodzącej przez granicę objętości : 
δ ∫ v  p0dx1dx2dx3 = 

−

 ∫ p0brdSr    r  = 1,2,3 

gdzie dSr  oznacza element powierzchni ograniczającej objętość V.  
Prawą część tej równości można przekształcić zgodnie z twierdzeniem Gaussa, wtedy otrzymamy : 
δ p0 = 

−

 (p0 br ) , r                                                                                                                                            (27.3) 

Teraz rezultat ten należy uogólnić na przypadek  b0 ≠ 0 . 

Jeśli b

µ

 jest proporcjonalne do p

µ

  to każdy element materii przemieszcza się wzdłuż swojej linii świata i 

odpowiednio wektor p

µ

 jest nie zmienny. Uogólnienie (27.3) ma oczywistą, następującą postać: 

δp0 = (pr b0 – p0 br ), r 
ponieważ przy b0 = 0ostatnie równanie to zgodne jest z (27.3) a przy b

µ

 proporcjonalnym do p

µ

, daje δ p0 = 0  

 
 
 
 
 

 

35

Wzór ten jest słuszny również dla innych składników  p

µ

, tak że końcowy rezultat ma postać : 

δp

µ

 = (p

ν

 b

µ

 – p

µ

 b

ν

 )

, 

ν

                                                                                                                                  (27.4) 

Przy opisie ciągłego potoku materii, p

µ

 jest podstawową wielkością charakteryzującą która powinna wejść do 

funkcji działania. Wariacja wielkość  p

µ

 powinna być zgodna z formułą (27.4), a zatem po odpowiednim 

całkowaniu współczynniki przy każdym ze składników b

µ

 powinny być przyrównane do zera.  

Takie postępowanie przywodzi nas do równań ruchu materii. 
 
Działanie dla izolowanej cząstki o masie m ma postać : 

−

 m  ∫ ds                                                                                                                                                             (27.5) 

 
Konieczność wprowadzenia współczynnika –m stanie się jasna jeśli rozpatrzyć przypadek STW dla którego 
lagranżjan miał by postać pochodnej po czasie od (27.5) tj. : 

L = 

−

 m ds/dx0 = 

−

 m [1 

−

 ( dxr/dx0) dxr/dx0 ] ½  

(sumowanie przeprowadzamy po r ; r = 1, 2, 3 ), stąd otrzymujemy wyrażenie dla pędu : 

∂

L / 

∂

 (

∂

xr/dx0 ) = m dxr/dx0 ( 1 

−

 dxn/dx0 dxn/dx0 )

−

½  = m dxr/ds  

 

Działanie dla ciągłego rozkładu materii otrzymamy zamieniając m w (27.5) wielkością : p0dx1dx2dx3 i 
całkowaniem : 

I m = 

−

 m ∫ p0dx1dx2dx3ds                                                                                                                               (27.6) 

Aby zapisać I m w bardziej użytecznej formie wprowadzimy tensor metryczny i zastosujemy formułę : 

 p

µ

 = 

ρ

v

µ

 

√−

g                                                                                                                                                    (27.7) 

gdzie 

ρ

 - skalar określający gęstość, a v

µ

 - wektor jednostkowy zgodny z kierunkiem u

µ

 . 

 
Otrzymujemy zgodnie z tym : 

I m = 

−

 ∫ 

ρ

 

√−

g v0dx1dx2dx3ds = 

−

 ∫ 

ρ

 

√−

g dx4                                                                                             (27.8) 

gdzie  wprowadzono v0ds = dx0 
 

Taka forma zapisu działania nie jest wygodna dla wariacji ponieważ 

ρ

 i v

µ

 nie są zmiennymi niezależnymi. 

Aby można było wykorzystać formułę (27.4)  

ρ

 i v

µ

 powinny być wyrażone przez p

µ

 . Z (27.7) znajdujemy : 

(p

µ

 p

µ

 )½  = 

ρ√−

g 

 
Tak więc (27.8) przyjmuje postać : 

I m = 

−

 ∫ (p

µ

 p

µ

 )½ dx4                                                                                                                                     (27.9) 

Dla określenia wariacji tego wyrażenia wspomożemy się równością : 
δ(p

µ

 p

µ

 )½  = ½ (p

λ

 p

λ

 )

−

½ ( p

µ

 p

ν

 δg

µν

 + 2 p

µ

 δp

µ

 ) = ½ 

ρ

v

µ

v

ν

 

√−

g δg

µν

 + v

µ

 δp

µ

  

 
Teraz z zasady wariacyjnej (27.1) po podstawieniu do niej (26.11) pomnożonego przez współczynnik k 
otrzymujemy : 
δ (Ig + Im ) = 

−

 ∫ [ k ( R

µν

 

−

 ½ g

µν

 R ) + ½ 

ρ

v

µ

v

ν

 ] 

√−

g δg

µν

 d4x 

−

 ∫ v

µ

 δp

µ

 dx4                                   (27.10)                                                           

Przyrównując do zera  współczynnik przy δg

µν

 oraz wybierając k = (16

π

 )–1 otrzymujemy równania Einsteina 

(25.7). Ostatni człon (27.10) z udziałem (27.4) i (25.2) daje: 

−

 ∫ v

µ

  ( p

ν

 b

µ

 – p

µ

 b

ν

 )

, 

ν

 dx4 = ∫ v

µ

 ,

ν

 ( p

ν

 b

µ

 – p

µ

 b

ν

 )

 dx

4 =  ∫ (v

µ

 ,

ν

 

−

 v

ν

, 

µ

 ) p

ν

 b

µ

 dx4 = 

=  ∫ (v

µ

 : 

ν

 

−

 v

ν

 : 

µ

 ) 

ρ

 v

ν

 b

µ

 

√−

g dx4 =  ∫ v

µ

: 

ν

 

ρ

 v

ν

 b

µ

 

√−

g dx4                                                               (27.11) 

Przyrównując do zera współczynnik przy b

µ

  otrzymujemy równanie geodezyjnej (25.5) 

 
 
 
 
 
 

 

36

28) Działanie dla pola elektromagnetycznego 
 
Zwykłe wyrażenie dla gęstości  działania pola elektromagnetycznego ma postać : 

(8

π

) –1 (E2 

−

 H2 ) 

Jeśli zapisać je w oznaczeniach czterowymiarowych STW wprowadzonych w rozdziale 23 to otrzymamy : 

−

(16

π

) –1F

µν

 F

µν

  

To przywodzi nas do następującego wyrażenia dla inwariantnego działania w OTW : 

Iem = 

−

(16

π

) –1  ∫ F

µν

 F

µν

 

√−

g    dx4                                                                                                          (28.1) 

Należy przyjąć do wiadomości że F

µν

 = k

µ

 , 

ν

 

−

 k

ν

 , 

µ

   

znaczy to, że  Iem jest funkcją tylko g

µν

 oraz pochodnych od potencjałów elektromagnetycznych. 

 

Z początku dokonamy wariacji g

µν

 zostawiając kσ stałe, wtedy F

µν

 (nie F

µν

 ) jest również stałe.  

Z (26.10) i (26.9) otrzymamy : 
δ(F

µν

 F

µν

 

√−

g ) = F

µν

 F

µν

 δ

√−

g  +  F

µν

 F

αβ

 

√−

g δ(g

µα

  g

νβ

 ) = ½ F

µν

 F

µν

 (g

ρ

σ 

√−

g δ g

ρ

σ – 

−

 2F

µν

 F

αβ

 

√−

g g

µρ

 g

α

σ g

νβ

 δg

ρ

σ  

 
W takim razie : 
δ(F

µν

 F

µν

 

√−

g  ) = [ ½ F

µν

 F

µν

g

ρ

σ – 2Fσ

ν

 Fσ

ν

] 

√−

g δ g

ρ

σ  = 8Π E

ρ

σ

√−

g δg

ρ

σ                                     (28.2) 

gdzie symetryczny tensor E

ρ

σ zdefiniowany zależnością : 

 4

π

 E

ρ

σ = 

−

 Fσ

ν

 Fσ

ν

 + ¼ g

ρ

σ F

µν

 F

µν

                                                                                                         (28.3) 

jest tensorem energii-pędu pola elektromagnetycznego.  
 
Zauważmy, że w STW mamy:  

4

π

 E00 = E2 – ½ (E2 

−

 H2 ) = ½ (E2 

−

 H2 )  

4

π

 E01 = 

−

F02 F

12 

−

 F03 F

13  = E2H3 

−

 E3H2  

tj. E00 opisuje gęstość energii, a  E0n jest wektorem Pointynga charakteryzującym natężenie strumienia energii. 
 
Wariacja  k

µ

 przy zadanych g

αβ

 z udziałem (21.3) daje : 

δ(F

µν

 F

µν

 

√−

g  ) = 2F

µν

 

√−

g  δF

µν

 = 4F

µν

 

√−

g  δk

µ

 , 

ν

 = 4(F

µν

 

√−

g δk

µ

 ) , 

ν

 

−

 4(F

µν

 

√−

g ), 

ν

 δk

µ

 = 

= 4 (F

µν

 

√−

g δk

µ

 ), 

ν

 

−

 4F

µν

 : 

ν

 

√−

g  δk

µ

                                                                                                      (28.4) 

 
Dodając (28.2), oraz (28.4) i mnożąc rezultat przez  

−

16

π

 otrzymujemy wyrażenie dla pełnej wariacji: 

δIem =  ∫ [ 

−

 ½ E

µν

 δ g

µν

 + (4

π

)–1F

µν

 : 

µ

 δk

µ

 ] 

√−

g d4x                                                                              (28.5) 

 
 
29) Działanie dla naładowanej materii 
 
W poprzednim rozdziale było rozpatrzone pole elektromagnetyczne w przypadku braku ładunków. 
Aby opisać ładunki należy wprowadzić odpowiedni człon w działaniu.  
Dla pojedynczej cząstki z ładunkiem e dopełniający człon w działaniu ma postać : 

−

e ∫  k

µ

 dx

µ

  = 

−

e ∫  k

µ

 v

µ

 ds                                                                                                                          (29.1) 

gdzie całkowanie przeprowadzamy wzdłuż linii świata. 
 
Jeśli cząstka niosąca ładunek jest cząstką punktową, to wynikają pewne trudności związane z tym że jej pole 
elektromagnetyczne zawiera osobliwość  
(ten problem rozważany jest np. w książce W. Pauliego „Teoria względności” – przypis tłumacza) 
 Te trudności można obejść, jeśli rozpatrzyć w miejsce nośnika punktowego ładunku ciągły rozkład materii. 
Będziemy opisywać taki rozkład materii w ramach formalizmu rozwiniętego w rozdziale 27, zakładając że każdy 
element materii jest nośnikiem ładunku. 
 
 

 

37

W kinematycznych zadaniach, figurowała kontrawariantna gęstość wektorowa p

µ

 określająca gęstość i strumień  

materii. Teraz należy wprowadzić kontrawariantną gęstość wektorową  J

µ

 określającą gęstość i strumień 

elektryczności. Te dwa wektory powinny być zgodne co do kierunku.  

Przy małych przesunięciach przyrost gęstości wektorowej J

µ

 zgodnie z (27.4) można zapisać w następującej 

formie : 
δJ

µ

 = ( J

ν

 b

µ

 

−

 J

µ

 b

ν

 )                                                                                                                                     (29.2) 

z samym znaczeniem b

µ

  jak w (17.4) 

 
Dla cząstki niosącej ładunek działanie (29.1) w przypadku ciągłego rozkładu naładowanej materii prowadzi  
(analogicznie do (27.6)) do : 

I q = 

−

 ∫ J0 k

µ

 v

µ

 dx1dx2dx3ds.                          

Przy wprowadzaniu metryki zakładamy, zgodnie z (27.7), że : 

J

µ

 =   σ v

µ

 

√−

g                                                                                                                                                (29.3) 

gdzie σ – jest funkcją skalarna określająca gęstość ładunku. 
 
Wtedy działanie przyjmuje postać, analogiczną do (27.8) : 

I q = 

−

 ∫ σ k

µ

v

µ

 

√−

g dx4 = 

−

 ∫  k

µ

 J

µ

 dx4                                                                                                      (29.4) 

W takim razie mamy : 
δI q = 

−

 ∫ [J

µ

 δk

µ

 + k

µ

 (J

ν

 b

µ

 

−

 J

µ

 b

ν

 ), 

ν

  ] dx4 = ∫ [ 

−

σ v

µ

 

√−

g δk

µ

 + k

µ

 , 

ν

 ( J

ν

 b

µ

 

−

 J

µ

 b

ν

 )] dx4 =  

= ∫ σ ( 

−

v

µ

 δk

µ

 + F

µν

 v

ν

b

µ

 ) 

√−

g dx4                                                                                                            (29.5) 

 
Równania oddziaływania wzajemnego, materii naładowanej z polem grawitacyjnym i elektromagnetycznym 
wynikają z ogólnej zasady wariacyjnej : 
δ (I g + I m + I em +  I q ) = 0                                                                                                                          (29.6) 
Weźmy sumę wyrażeń (29.5), (28.5) i (27.10) zamieniając ostatni człon w (27.10) na (27.11), oraz przyrównując 

do zera sumę współczynników przy wariacjach  δg

µν

, δk

ν

, b

µ

. 

Jeśli współczynnik przy 

√−

g δg

µν

 pomnożyć przez 

−

16

π

, to otrzymamy : 

R

µν

 

−

 ½ g

µν

 R + 8

π

 

ρ

v

µ

v

ν

 + 8

π

 E

µν

 = 0                                                                                                      (29.7) 

Równanie (29.7) przedstawia sobą równanie Einsteina (24.6) z Y

µν

 złożonym z dwóch członów - tensora 

energii-pędu materii, oraz tensora energii-pędu pola elektromagnetycznego. 
 
Współczynnik przy 

√−

g δk

µ

 daje: 

−

 σ v

µ

 + (4

π

) –1F

µν

: 

ν

 = 0 

Z (29.3) widać, że σ v

µ

 jest zgodne z wektorem prądu J

µ

 w takim razie otrzymamy: 

F

µν

 : 

ν

 = (4

π

) J

µ

                                                                                                                                             (29.8) 

Równanie  (29.8) przedstawia sobą równanie Maxwella (23.13) w przypadku obecności ładunków. 
 

Na koniec, dla współczynnika przy 

√−

g b

µ

 znajdujemy : 

ρ

v

µ

 : 

ν

 v

µ

 + σF

µν

 v

µ

 = 0 

lub 

ρ

v

µ

 : 

ν

 v

µ

 + F

µν

 J

µ

 = 0                                                                                                                                   (29.9) 

Drugi człon w (29.9) przedstawia sobą siłę Lorentza, powodującą odchylenie elementu materii od trajektorii  
geodezyjnej. Równanie (29.9) wynika z równań (29.7) i (29,8).  
Z uwzględnieniem tożsamości Bianchi otrzymujemy : 

(

ρ

v

µ

 v

ν

 + E

µν

 ): 

ν

 = 0                                                                                                                                    (29.10) 

 
 
 
 
 

 

38

Dalej zgodnie z (28.3) oraz z wykorzystaniem  (23.12) i ((29.8) mamy : 

 4

π

 E

µν

: 

ν

 = 

−

F

µα

F

ν

 

α

 : 

ν

 

−

 F

µα

: 

ν

 F

ν

 

α

 + ½  g

µν

 F

αβ

F 

αβ

 : 

ν

 = 

−

 F

µα

F

ν

 

α

 : 

ν

 

−

 ½  g

µρ

 F

νσ

  

(F 

ρσ

 : 

ν

 

−

 F 

ρν

 : 

σ

 

−

 F 

νσ

 : 

ρ

 ) =  4

π

 F

µα

 J

α

                                                                 

 
W takim razie (29.10) przyjmuje postać : 

v

µ

(

ρ

v

ν

 ): 

ν

 + 

ρ

 v

ν

 v

µ

: 

ν

 + F

µα

 J

α

 = 0                                                                                                   (29.11) 

Mnożąc  (29.11) przez v

µ

, oraz wykorzystując (25.2) otrzymujemy : 

(

ρ

v

ν

 ): 

ν

 = 

−

 F

µα

v

µ

 J

α

 = 0        

(uwzględniono tutaj warunek J

α

 = 

σ

v

µ

 wynikający z tego, że  J

α

 i v

α

 powinny być zgodne co do kierunku) 

 
Wtedy pierwszy człon w (29.11) zeruje się i przychodzimy do (29.9) W takim razie równania wynikające z 
zasady wariacyjnej  (29.6) nie są nie zależne co jest wynikiem niezwykłym. 
Przyczyny takiego wyniku będziemy rozpatrywać w rozdziale 30. 
 
30) Zasada wariacyjna w przypadku ogólnym  
 
Metodę rozwiniętą w rozdziale 29 można uogólnić na przypadek oddziaływania wzajemnego pola 
grawitacyjnego z innymi  polami oddziałującymi między sobą. Zasadę wariacyjną w ogólnym przypadku można 
zapisać w postaci: 
δ ( Ig + I’ ) = 0                                                                                                                                                   (30.1) 
gdzie Ig – działanie pola grawitacyjnego omówione powyżej, a I’- działanie dla wszystkich pozostałych pól 
złożone ze sumy składników – po jednym dla każdego pola.  
 
Wielkim udogodnieniem wykorzystania zasady wariacyjnej jest możliwość łatwego otrzymania poprawnych  
równań, dowolnych wzajemnie oddziałujących pól. Należy jedynie znaleźć działanie dla każdego z 
rozpatrywanych pól  i dołączyć wszystkie te człony do (30.1)  

Działanie  pola grawitacyjnego Ig = ∫ L d

4x  

gdzie  L – gęstość lagranżjanu z rozdziału 26 z mnożnikiem (16π )

−

1  

 
Dla grawitacji Ig mamy : 
δIg = ∫ [(

∂

L /

∂

g

αβ

 ) δg

αβ

 + (

∂

L /

∂

g

αβ

 ,

ν

 ) δg

αβ

 , 

ν

 ] d4x  = ∫ [

∂

L /

∂

g

αβ

 

−

 (

∂

L /

∂

g

αβ

 ,

ν

 ), 

ν

 ] δg

αβ

 d4x  

 
Rozważania z rozdziału 26 które prowadziły do (26.11) pokazują, że : 

∂

L /

∂

g

αβ

 

−

 (

∂

L /

∂

g

αβ

 ,

ν

 ), 

ν

 = (16π)-1 ( R

αβ

 

−

 ½ g

αβ

R) 

√−

g                                                                      (30.2) 

 
Niech 

ϕ

n (n =1, 2, 3), oznacza pole wielkości nie grawitacyjnych.  

Zakładając, że każda z 

ϕ

n jest składową tensora, którego konkretnie własności są nie istotne.  

Wielkość I’ ma postać całki od gęstości skalarnej  : 

I’ =  ∫ L’ d4x  
gdzie  L’ – funkcja 

ϕ

n  i ich pierwszych (możliwe również że wyższych) pochodnych. 

 
Wariacja działania daje następujący rezultat : 

 δ ( Ig + I’ ) =  ∫( p

µν

 δg

µν

  + Σn  χ

n δ

ϕ

n ) 

√−

g d4x                                                                                         (30.3) 

gdzie p

µν

 = p

νµ

 , tak jak dany człon zawierający δ (pochodna od wielkości polowej) przy pomocy całkowania 

przez części można  przekształcić  w wyrażenie które zawarte jest w (30.3) 
 
W takim razie zasada wariacyjna (30.1) prowadzi do równań pola : 

p

µν

 = 0                                                                                                                                                              (30.4) 

χn = 0                                                                                                                                                                 (30.5)