PAM Dirac OTW

1) Szczególna teoria względności

Dla opisania fizycznej przestrzeni –czasu potrzebne są cztery współrzędne: czas t i trzy współrzędne
przestrzenne x, y, z. Przedstawmy je w formie

t = x0, x = x1, y = x2, z = x3

tak więc te cztery współrzędne można zapisać w formie x

gdzie wskaźnik

przybiera wartości 0,1,2,3.

Indeks

zapisujemy w górnej pozycji aby uczynić zadość regule równowagi indeksów we wszystkich ogólnych

równaniach teorii. Dokładne znaczenie reguły „balansu (równowagi) indeksów” stanie się jasnym nieco później.

Weźmy punkt bliski punktowi rozpatrywanemu czyli x

, niech jego współrzędne będą dane jako x

+ dx

Cztery wielkości dx

, opisujące przemieszczenie, można rozpatrywać jako składowe wektora.

Prawa STW pozwalają wprowadzić jednorodne liniowe przekształcenie dx

To przekształcenie ma taką postać aby wielkość

(dx0)2 - (dx1)2 – (dx2)2 – (dx3)2 (1.1)
była inwariantna (wybieramy jednostki w których prędkość światła jest równa : c = 1).

Wszystkie wielkości A

, które przy przekształceniu współrzędnych przekształcają się tak jak dx

, nazywamy

wektorem kontrawariantnym. Inwariantną wielkość

(A0)2 – (A1)2 – (A2)2 – (A3)2 = (A, A) (1.2)

można nazwać kwadratem długości wektora. Jeśli mamy drugi kontrawariantny wektor B

,to istnieje

inwariantny iloczyn skalarny :

A0 B0 – A1 B1 – A2 B2 – A3 B3 = (A, B). (1.3)
Dla wygody takiego zapisu inwariantów wprowadzimy indeksy dolne. Definiując :

A0 = A

0 ; A

1 = - A

1 ; A

2 = - A

2 ; A

3 = -A

3 . (1.4)

Tak więc, wyrażenie w lewej części (1.2) możemy zapisać w postaci : A

gdzie domyślnie sumujemy dla

czterech wartości indeksu

. W takich oznaczeniach wzór (1.3) można przedstawić w postaci:

lub A

Cztery wielkości A

wprowadzone za pomocą wyrażeń (1.4) można również rozpatrywać jako składowe

wektora. Prawa transformacji tych wielkości przy zmianie współrzędnych niewiele się różnią od praw

transformacji A

za wyjątkiem znaków. Taki wektor nazywamy wektorem kowariantnym.

Z dwóch kowariantnych wektorów A

i B

można utworzyć szesnaście wielkości A

( indeks

, tak jak

wszystkie greckie indeksy w tej książce przebiegają wartości 0,1,2,3 ). Te szesnaście wielkości obrazują

składowe tensora drugiego rzędu. Nazywa się je zwykle „iloczynem zewnętrznym” wektorów A

odróżnieniu od iloczynu skalarnego (1.3) który nazywa się „iloczynem wewnętrznym”.

Tensor A

stanowi tensor specjalny, ponieważ jego składowe związane są wzajemnie określonymi

zależnościami. Dokonując sumowania wielu tensorów przedstawionych w ten sposób można otrzymać bardziej
ogólniejszy tensor drugiego rzędu, przykładowo :

µν

= A

+ A’

B’

+ A’’

B’’

+ ...... (1.5)

Tensor ten charakteryzuje się ważną cechą : przy transformacjach współrzędnych jego składowe przekształcają

się tak jak wielkości A

. Można obniżyć jeden z indeksów w T

µν

przyjmując zasadę obniżania indeksów w

każdym członie w prawej części (1.5). Tak otrzymamy : T

µν

lub T

µν

Obniżając oba indeksy otrzymamy wielkość T

µν

.W T

µν

można przyjąć

, co prowadzi do T

µµ

Wtedy należy przeprowadzić sumowanie po czterech wartościach

. W dalszej części książki zawsze kiedy

występują dwa powtarzające się indeksy będziemy stosować sumowanie po tych indeksach
(tzn. wykorzystujemy umowę sumacyjną Einsteina – przypis własny).

To znaczy, że stosując się do tej zasady, T

µµ

- będzie skalarem tożsamościowo równym T

µµ

Można kontynuować tą procedurę i przemnożyć więcej niż dwa wektory z różnymi indeksami.
Takim sposobem zbudujemy tensory wyższego rzędu. Jeśli wszystkie mnożone wektory będą kontrawariantne,
to otrzymany tensor będzie miał tylko górne indeksy. Jeśli natomiast wektory będą posiadać również dolne
indeksy to otrzymamy ogólnie tensor z szeregiem dolnych i szeregiem górnych indeksów. (tj. tensor mieszany –
przypis). Kiedy przyjmiemy, że indeks górny jest równy dolnemu, wtedy zgodnie z przyjęta umową sumujemy
po wszystkich wartościach tego indeksu. Indeks ten to tzw. indeks niemy. Otrzymamy w tym przypadku tensor
który będzie miał dwa swobodne (wolne – przypis własny) indeksy mniej w stosunku do tensora wyjściowego.
Taką procedurę nazywamy „zawężaniem tensora”.

Tym sposobem, jeśli wychodzimy od tensora czwartego rzędu T

µνρσ

, to zawężając go po indeksach

otrzymamy tensor drugiego rzędu T

µνρρ

, który ma tylko szesnaście składowych odpowiadającym czterem

znaczeniom indeksów

. Dokonując zawężenia jeszcze raz dochodzimy do skalara T

µµρρ

składającego się

z jednej składowej. Teraz staje się jaśniejsze wyrażenie o tzw. „balansie indeksów”.
Każdy swobodny  indeks pojawia się w równaniach jeden i tylko raz w każdym członie (składowej) tego
równania jako indeks dolny lub górny.  Indeks, pojawiający się podwójnie w jednym członie równania jest
indeksem niemym i powinien znajdować się jeden raz u góry i jeden raz u dołu składnika.
Taki indeks można zamienić na dowolny inny grecki indeks jeszcze nie wykorzystany w tym członie równania.

Takim sposobem : T

µνρρ

= T

µναα

. Indeks nie powinien pojawiać się więcej niż dwa razy w jednym członie.

2) Nie ortogonalne współrzędne kartezjańskie

Zanim przejdziemy do matematycznego aparatu OTW wygodnie jest rozpatrzyć pośredni formalizm STW
zapisany w nie ortogonalnych współrzędnych kartezjańskich .

Przy przejściu do osi nie ortogonalnych każda z wielkości dx

w wyrażeniu (1.1) okazuje się być liniową

funkcją nowych dx

, i forma kwadratowa (1.1) stanowi ogólną formę kwadratową dla nowych dx

, można ją

zapisać w postaci:

µν

(2.1)

gdzie w myśl umowy sumacyjnej sumujemy zarówno po

jak i po

. Współczynniki g

µν

zależne są od wyboru

współrzędnych nie ortogonalnych kartezjańskich. Koniecznie musi zachodzić g

µν

= g

νµ

(tj. zakładamy

symetrię tensora metrycznego – przypis własny ), tak by rozróżnienie między g

µν

a g

νµ

nie miało wpływu na

formę (2.1). W takim przypadku mamy tylko dziesięć niezależnych współczynników g

µν

. Przy przekształceniu

współrzędnych cztery współczynniki A

dowolnego kontrawariantnego wektora przekształcają się tak jak dx

Zatem, g

µν

będzie inwariantem.

Inwariant, ten jest kwadratem długości wektora A

. Niech B

będzie danym drugim kontrawariantnym

wektorem, wtedy A

także będzie wektorem, dla dowolnej wartości liczby

. Kwadrat jego długości jest

dany wzorem :

µν

) (A

) = g

µν

+ g

µν

) +

µν

Wielkość ta powinna być inwariantem przy wszystkich wartościach

. Stąd wnioskujemy, że współczynniki

przy

0 ,

1 ,

2 są inwariantami. Współczynniki przy

1 mają postać

µν

+ g

µν

= 2g

µν

ponieważ, w drugim członie lewej części można zamienić miejscami

oraz wesprzeć się założeniem

µν

= g

νµ

. W takim wypadku jasne jest, że g

µν

jest inwariantem. Jest to oczywiście iloczyn skalarny

wektorów A

i B

. Niech g - będzie wyznacznikiem g

µν

(tj. wyznacznikiem zbudowanym z współczynników

tensora metrycznego – przypis własny). Wartość g nie powinna być równa zeru, w przeciwnym wypadku cztery
osie nie były by liniowo niezależne w czasoprzestrzeni i nie mogły by być wybrane w charakterze osi układu
współrzędnych. We współrzędnych ortogonalnych kartezjańskich rozpatrzonych w poprzednim rozdziale
elementy diagonalne g

µν

równe są 1, -1, -1, -1 , a elementy nie diagonalne są równe zeru. Tak więc g = -1.

W nie ortogonalnych współrzędnych kartezjańskich g powinno być ujemne ponieważ nie ortogonalne
współrzędne mogą być otrzymane z ortogonalnych za pomocą funkcji ciągłych, co skutkuje ciągłą zmianą g ,
oczywiście wartość g może przechodzić przez wartość zerową. Określmy wielkość A

, będącą wektorem

kowariantnym, następującym wzorem :

= g

µν

(2.2)

Ponieważ g nie jest zerem, to równanie pozwala wyrazić A

przez A

. Ta zależność ma postać :

= g

µν

(zasada podnoszenia indeksu – przypis własny) (2.3)

Każda składowa g

µν

jest równa dopełnieniu algebraicznemu odpowiadającej składowej g

µν

w wyznaczniku

macierzy g

µν

podzielonemu przez g .

Tak więc g

µν

= g

νµ

. (symetryczność)

Podstawmy w (2.2) wyrażenie na A

z (2.3). Żeby nie otrzymać trzech jednakowych indeksów w jednym

członie należy zamienić indeks niemy

w (2.3) na jakikolwiek inny indeks greckim na przykład

Tak więc, otrzymamy : A

= g

µν

νρ

To równanie musi być spełnione dla dowolnej czteroskładnikowej wielkości A

, zaznaczmy, że :

µν

νρ

= g

ρµ

(2.4)

gdzie

ρµ

= 1 dla

(2.5)

ρµ

= 0 dla

≠

Przy pomocy formuły (2.2) można opuścić, dla dowolnego tensora, dany indeks górny; przy pomocy formuły
(2.3) można dokonać podniesienia, danego dolnego indeksu. Jeśli określony indeks podniesiemy a następnie

opuścimy to zgodnie z (2.4) i (2.5) dany tensor się nie zmieni. Zauważmy że w g

ρµ

można prosto dokonać

zmiany indeksu

z indeksem

: g

ρµ

= A

lub zmiany indeksu

: g

ρµ

= A

Stosując prawo podniesienia indeksu

w g

µν

otrzymamy

αν

= g

αµ

µν

To zgadza się z (2.4) jeśli przyjmiemy do wiadomości, że zgodnie z symetrią g

µν

indeksy w g

αν

można pisać

jeden pod drugim. Idąc dalej wedle tej reguły dla indeksu

mamy :

αβ

= g

νβ

αν

Ten rezultat bezpośrednio wynika z (2.5). Prawa podnoszenia i opuszczania indeksów stosujemy dla wszystkich

indeksów w : g

µν

, g

µν

, g

µν

3) Współrzędne krzywoliniowe

Obecnie przejdziemy do układów współrzędnych krzywoliniowych. Rozpatrzmy wielkości które znajdują się
w danym punkcie czasoprzestrzeni. Mogą to być wieloskładnikowe wielkości ze składnikami odniesionymi do
osi współrzędnych w danym punkcie. Jeśli wielkość ta obecna jest we wszystkich punktach przestrzeni
nazywamy ją wielkością polową. Wielkość polową Q (lub jedna z jej składników, jeśli jest ich wiele) można
zróżniczkować po danej z czterech współrzędnych. Zapiszmy ten rezultat :

∂

= Q,

Indeks dolny po przecinku, zawsze będzie oznaczał takie różniczkowanie. Indeks

umieszczony u dołu tak jak

ten sam indeks umieszczony u góry w lewej części równości znajduje się w mianowniku. Zmiana Q przy

przejściu od punktu x

do punktu bliższego x

ma postać :

Q = Q,

(3.1)

Widać, że umowa o balansie indeksów jest wypełniona. Przyjdzie nam w dalszej części przypisywać danemu
punktowi wektory i tensory z współczynnikami odniesionymi do współrzędnych osi w tym punkcie.
Przy transformacjach współrzędnych składniki takich wielkości przekształcają się zgodnie z prawem podanym w
poprzednim rozdziale jednak, zależnym od przekształcenia współrzędnych w rozpatrywanym punkcie.

Otrzymamy, jak i poprzednio wielkości g

µν

i g

µν

z indeksami dolnymi i górnymi. Jednak indeksy te nie będą

stałe ale będą się zmieniać od punktu do punktu tj. będą wielkościami polowymi.
Rozpatrzmy rezultat specjalnego przekształcenia współrzędnych. Niech każda z nowych współrzędnych

krzywoliniowych x’

jest funkcją czterech x

. Wygodnie jest pisać x

’, gdzie przecinek stoi przy indeksie

nie przy x. Modyfikując x

otrzymujemy cztery wielkości

obrazujące wektor kontrawariantny. Składowe

tego wektora w nowych współrzędnych zgodnie z (3.1) mają postać :

’ = (

∂

’/

∂

)

= x

’,

Stąd otrzymujemy prawo przekształcenia danego wektora kontrawariantnego A

’ = x

’,

(3.2)

Przedstawiając nowy wejściowy układ współrzędnych ze zmienionymi indeksami otrzymujemy :

= x

’,

’A

’ (3.3)

Z własności różniczkowania cząstkowego wiadomo, że (zgodnie z oznaczeniami (2.5)) :

(

∂

’)(

∂

’/

∂

) = g

λν

Tak więc

’ x

’,

= g

λν

(3.4)

To pozwala zobaczyć spójność (3.2) i (3.3), ponieważ podstawienie (3.2) do prawej części (3.3) daje :

’ x

’,

= g

λν

= A

Aby wyjaśnić jak przekształca się wektor kowariantny B

zastosujmy warunek inwariantności wielkości

. Z uwzględnieniem (3.3) zapiszemy to następująco :

’B

’ = A

= x

’ A

’B

’

Ten rezultat powinien być słuszny dla wszystkich czterech wartości A

’, dlatego przyrównując współczynniki

przy A

’ możemy otrzymać :

’ = x

’B

(3.5)

Formuły (3.2) i (3.5) pozwalają teraz na transformacje dowolnego wektora z daną liczbą indeksów górnych i

dolnych. Współczynniki typu : x

’,

i x

’ za każdym razem powinny być wykorzystywane jednorazowo dla

każdego dolnego i górnego indeksu, spełniając umowę o balansie indeksów, przykładowo :
T

’

’ = x

’,

’

’ T

γµ

’ (3.6)

Dowolna wielkość przekształcająca się zgodnie z takim prawem jest tensorem. Równość (3.6) można uważać za
definicje tensora. Zauważmy, że dla tensora istotna jest symetria lub asymetria względem indeksów typu

ta własność zachowana zostaje przy transformacjach współrzędnych. Wzór (3.4) można przepisać w postaci :

’ x

’,

’

’ = g

λν

skąd wynika, że g

λν

jest tensorem . Dla dowolnych wektorów A

i B

mamy :

’

’A

’B

’ = g

µν

= g

µν

’ x

’ A

’B

’

Ponieważ jest to słuszne dla wszystkich wartości A

’ i B

’ wnioskujemy że :

’

’ = g

µν

’ x

’ (3.7)

Stąd wynika, że g

µν

jest tensorem. Analogicznie można pokazać że g

µν

- jest również tensorem. Wielkości te

nazywamy „tensorami podstawowymi” (fundamentalnymi). Dowolną skalarną wielkość polową można uważać

za funkcje czterech x

jak i również funkcje czterech x

.Zgodnie z własnościami operacji różniczkowania

cząstkowego mamy :

’ = S,

’

Odpowiednio S,

przekształca się tak jak B

z równania (3.5) i w takim razie różniczka pola skalarnego jest

kowariantnym polem wektorowym.

4) Wielkości nie tensorowe

Istnieją wielkości N

µνρ

.... - z różnymi górnymi i dolnymi indeksami , które nie są tensorami.

Przy przekształceniu współrzędnych wielkość tensorowa powinna przekształcać się według prawa (3.6).
W przeciwnym przypadku  wielkość ta nie jest tensorem. Tensor odznacza się taką własnością, że kiedy
wszystkie jego składowe stają się zerami w jakimś jednym układzie współrzędnych to są one zerami również w
innym. Dla wielkości nie będących tensorami taka własność jest nie spełniona. Indeksy w przypadku wielkości
nie tensorowych można podnosić i opuszczać zgodnie z prawami obowiązującymi dla tensorów.
Tak jak np. dla :

αν

µνρ

= N

µαρ

Takie zasady jednak nie są w żaden sposób związane z prawami przekształcenia do nowych układów
współrzędnych. Przy określaniu wielkości nie tensorowych w ten sposób można nie rozróżniać między dolnymi
a górnymi indeksami. Tensory i nie tensory mogą pojawiać się razem w jednym równaniu. Balans indeksów jest
zachowany zarówno nie tensorów jak i tensorów.

Twierdzenie dotycz

ące kryterium wielkości tensorowej (twierdzenie ilorazowe)

Niech wielkość P

λµν

, taka że A

λµν

będzie tensorem dla danego wektora A

W takim przypadku P

λµν

będzie tensorem. Żeby to udowodnić wprowadzimy Q

µν

= A

λµν

Zgodnie z powyższym Q

µν

jest tensorem dlatego :

βγ

= Q

’

’x

’

Wtedy:
A

αβγ

= A

’P

’

’x

’

Ponieważ A

’ – jest wektorem, z (3.2) mamy:

’ = A

’

W takim razie :

αβγ

= A

’

’x

’

Ta równość powinna być spełniona dla wszystkich wartości A

; w szczególności:

αβγ

= P

’

’ x

’

Widać z tego, że P

αβγ

jest tensorem . Twierdzenie jest słuszne dla wielkości o dowolnej liczbie dolnych i

górnych indeksów.

5) Przestrzeń zakrzywiona

Dwu wymiarową, zakrzywioną przestrzeń można sobie wyobrazić jako powierzchnie w przestrzeni euklidesowej
trójwymiarowej. Analogicznie można postąpić w przypadku zakrzywionej czterowymiarowej  przestrzeni tj.
można ją przedstawić w płaskiej przestrzeni wielowymiarowej. W tym przypadku zakrzywiona przestrzeń
nazywa się przestrzenią Riemana. Mały obszar przestrzeni Riemana jest bliski przestrzeni płaskiej.
Einstein założył, że fizyczna przestrzeń ma właśnie takie własności i dlatego założył geometrie Riemana jako
podstawę dla teorii grawitacji.

W zakrzywionej przestrzeni nie można wprowadzić systemu współrzędnych prostoliniowych (globalnie –
przypis własny). Musimy korzystać ze współrzędnych krzywoliniowych, takiego typu jakie rozpatrywaliśmy w
rozdziale 3. Formalizm tego rozdziału możemy zastosować do przestrzeni zakrzywionych ponieważ wszystkie
zastosowane tam równania są lokalne co sprawia że są nieczułe na krzywiznę.

Inwariantny interwał ds między punktami x

i bliskim punktem x

+ dx

dany jest wyrażeniem postaci (2.1):

µν

Interwał ds. dla czasopodobnych punktów jest rzeczywisty dla przestrzenno podobnych – urojony.
We współrzędnych krzywoliniowych, g

µν

zadana jest jako funkcja współrzędnych i określa wszystkie

inwariantne odległości zatem g

µν

zadaje metrykę . Wielkość g

µν

określa zarówno układ współrzędnych jak i

krzywiznę.

6) Przeniesienie równoległe

Niech wektor A

będzie zaczepiony w punkcie P. Jeśli przestrzeń jest zakrzywiona pojęcie wektora

równoległego zaczepionego w drugim punkcie Q traci sens, łatwo się o tym przekonać na przykładzie
zakrzywionej powierzchni dwu wymiarowej „zanurzonej” w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Istnieje jednak w punkcie P’ bliskim punktowi P wektor równoległy do wektora A

wyznaczony z

dokładnością do członów drugiego rzędu względem odległości między punktami P i P’.

Tak więc można nadać sens operacji przeniesienia równoległego wektora A

z punktu P do P’ pozostawiającej

ten wektor równoległy sam do siebie i nie zmieniającej jego długości. Przy pomocy operacji przeniesienia
równoległego można w sposób ciągły przenieś wektor wzdłuż danej trajektorii. Wybierając tę trajektorię (tor,
krzywą - przypis własny) od P do Q otrzymamy wektor w punkcie Q, równoległy w znaczeniu danej wybranej
trajektorii wychodzącej z punktu P.
Wybór innej trajektorii może dać zupełnie inny rezultat przeniesienia równoległego. Pojęcie wektora w punkcie
Q, równoległego do wektora wejściowego P nie jest pojęciem absolutnym. Jeśli dokonać przeniesienia
równoległego z punktu P wzdłuż zamkniętej trajektorii to otrzymamy znów wektor w punkcie P , który ogólnie
mówiąc będzie odmienny od wektora początkowego.

Równania dla przeniesienia równoległego wektora można otrzymać zakładając, że nasza czterowymiarowa
przestrzeń fizyczna znajduje się w płaskiej przestrzeni o wyższym wymiarze np. N wymiarowej.

Wprowadzimy w tą N-wymiarową przestrzeń współrzędne prostoliniowe : zn (n=1,2,...,N). Współrzędne te
mogą być współrzędnymi nieortogonalnymi. Dla dwóch bliskich punktów istnieje inwariantna odległość :

ds2 = hnmdz

ndzm (6.1)

gdzie sumowanie po n i po m prowadzimy od 1 do N. W odróżnieniu od g

µν

wielkości hnm są stałymi. Z ich

pomocą można dokonać opuszczenia indeksów w n-wymiarowej przestrzeni:

dzn = hnmdz

Przestrzeń fizyczna obrazowana jest jako czterowymiarowa „powierzchnie” w płaskiej N-wymiarowej

przestrzeni. Każdy punkt x

tej powierzchni określa pewien punkt yn w N-wymiarowej przestrzeni. Każda

współrzędna yn jest funkcją czterech x

. Równania powierzchni zadajemy rugując x

z N funkcji postaci

yn (x) . Takich równań jest N- 4. Różniczkując yn (x) względem parametrów x

otrzymujemy:

∂

yn (x) /

∂

= yn,

Dla dwóch bliskich punktów powierzchni różniących się o

mamy:

∂

yn = yn,

µδ

(6.2)

Zgodnie z (6.1) kwadrat inwariantnej odległości między tymi punktami ma postać :

s2 = hnm

∂

ym = hnm y

Ponieważ hnm – są stałymi to

s2 można zapisać w postaci :

s2 = yn,

yn ,

νδ

oprócz tego

s2 = g

µνδ

stąd otrzymujemy że :

µν

= yn,

yn,

(6.3)

Rozpatrzmy w przestrzeni fizycznej wektor kontrawariantny A

umieszczony w punkcie x. Składowe tego

wektora przekształcają się tak jak

z (6.2) i z nich można zbudować odpowiadający im kontrawariantny

wektor : An , w N-wymiarowej przestrzeni przekształcający się tak samo jak :

yn z (6.3) Wtedy:

An = yn,

(6.4)

Wektor An oczywiście należy do powierzchni.

Przemieśćmy teraz An w sąsiedni punkt powierzchni x + dx, pozostawiając go równoległym do siebie (to

oznacza że składowe An pozostają nie zmienne). W skutek krzywizny przestrzeni wektor w punkcie x + dx już
nie przynależy do powierzchni. Jednak jego rzut na powierzchnię określa pewien wektor który należy do
powierzchni.

Dla znalezienia tego rzutu na powierzchnię należy rozłożyć wektor na część tangencjalną (styczną) i normalną, a
następnie część normalną odrzucić :

An = An tan A

nor (6.5)

Jeśli oznaczyć jako K

, składowe An tan w układzie współrzędnych x, przynależące do powierzchni, to

zgodnie z (6.4) można zapisać :

An tan = K

yn,

(x + dx) (6.6)

Gdzie współczynniki yn,

wzięte są w nowym punkcie x +dx.

Składowa An nor zgodnie ze swoją definicją jest ortogonalna do danego wektora stycznego w punkcie x + dx ,
zatem jest również ortogonalna do dowolnego wektora określonego w prawej części (6.6), niezależnie od

postaci K

. Tak więc :

An nor yn,

(x + dx) = 0

Jeśli następnie pomnożymy (6.5) przez : yn,

(x + dx) to człon z An nor zniknie i z udziałem (6.3) otrzymamy :

An yn,

(x + dx) = K

yn,

(x + dx)yn,

(x + dx) = K

µν

(x + dx)

W takim razie , z dokładnością do wielkości pierwszego rzędu względem dx znajdujemy :

(x + dx) = An[ yn,

(x)+ yn,

] = An yn,

[ yn,

+ yn,

] = A

+ A

yn,

Ponieważ K

jest rezultatem przeniesienia równoległego A

do punktu x + dx , można podstawić :

- A

= dA

Tak, więc : dA

oznacza zmianę A

przy przeniesieniu równoległym . Wtedy mamy :

= A

= dA

yn,

(6.7)

7) Symbole Christoffela

Różniczkując (6.3) otrzymujemy (drugi przecinek przy dwukrotnym różniczkowaniu opuszczamy)

µν

= yn,

µσ

yn,

+ yn,

yn,

νσ

= yn,

µσ

yn,

µσ

+ yn,

νσ

yn,

(7.1)

ponieważ indeks niemy n , w wyniku stałości hnm można podnieść i opuścić .
Zmieniając miejscami

w (7.1) otrzymamy :

σν

= yn,

σµ

yn,

+ yn,

νµ

yn,

(7.2)

Przestawiając

w (7.1) otrzymamy :

µσ

= yn,

µν

yn,

+ yn,

σν

yn,

(7.3)

Teraz dodajmy (7.1) i (7.3) a od wyniku odejmijmy (7.2) , następnie podzielmy to przez dwa
W rezultacie otrzymamy :

(1/2) (g

µν

+ g

µσ

- g

νσ

) = yn,

νσ

yn,

(7.4)

Zdefiniujmy pewien symbol :

Γµνσ

= (1/2) (g

µν

+ g

µσ

−

νσ

) (7.5)

Tą wielkość nazywamy symbolem Christoffela pierwszego rzędu.
Jest ona symetryczna względem dwóch ostatnich indeksów. Symbol Christoffela pierwszego rzędu nie jest
tensorem. Z (7.5) bezpośrednio wynika :

Γµνσ

Γνµσ

= g

µν

(7.6)

Teraz jasne jest, że (6.7) można zapisać w postaci :

= A

Γµνσ

(7.7)

To już nie odnosi się do N-wymiarowej przestrzeni ,ponieważ symbol Christoffela wyraża się tylko przez tensor
metryczny g

µν

przestrzeni fizycznej. Można pokazać, że długość wektora nie zmienia się przy przeniesieniu

równoległym. W istocie :

d(g

µν

) = g

µν

+ g

µν

= A

+ A

µν

= A

Γµνσ

+ A

Γνµσ

+ A

αβ

= A

µν

+ A

αβ

(7.8)

Dalej :

αµ

µν

+ g

αµ

µν

= ( g

αµ

µν

= g

αν

= 0.

Mnożąc to przez g

βν

otrzymujemy :

αβ

−

αµ

βν

µν

(7.9)

T pożyteczne wyrażenie matematyczne wyraża pochodną g

αβ

przez pochodną g

µν

Stąd mamy :

αβ

−

µν

Tak więc wyrażenie (7.8) staje się zerem. W takim razie długość wektora jest nie zmienna.
W szczególności, wektor zerowy (tj. wektor o długości zerowej) przy przeniesieniu równoległym pozostaje
nadal zerowy. Stałość długości wektora przy przeniesieniu równoległym wynika również z rozważań

geometrycznych. Przy rozłożeniu wektora A

na składowe styczne i normalne zgodnie z (6.5) składowa

normalna jest infinitezymalna i ortogonalna do składowej stycznej. To znaczy, że długość wektora w pierwszym
przybliżeniu równa jest długości jego składowej stycznej. Stałość długości dowolnego wektora pociąga za sobą

stałość iloczynu skalarnego g

µν

dwóch dowolnych wektorów A i B. Można to pokazać, wykorzystując

stałość długości wektora A +

B przy dowolnej wartości parametru

. Często bywa wygodnie podnieść pierwszy

indeks symbolu Christoffela tak aby wyrazić wielkość :

Γµ

νσ

= g

µλΓλνσ

którą nazywamy symbolem Christoffela drugiego rzędu. Jest on symetryczny względem dwóch dolnych
indeksów. Jak wyjaśnialiśmy w rozdziale 4, operacja podniesienia indeksu określona jest również dla wielkości
nie tensorowych. Wzór (7.7) możemy przepisać w postaci :

Γµ

νσ

(7.10)

Jest to standardowy zapis dla składowych kowariantnych. Wprowadzając drugi wektor B

otrzymujemy :

d( A

) = 0

−

Γµ

νσ

−

Γν

µσ

Ostatnia równość jest prawdziwa dla dowolnego A

. Tak więc :

−

Γν

µσ

(7.11)

Jest to standardowy zapis dla przeniesienia równoległego w składowych kontrawariantnych.

8) Geodezyjne

Niech punkt o współrzędnych z

porusza się po jakiejkolwiek trajektorii, wtedy z

będzie funkcją pewnego

parametru

. Zapiszmy :

= u

Wektor : u

, zgodnie z powyższym będzie określony w każdym punkcie trajektorii.

Zauważmy, że przy poruszaniu się wzdłuż trajektorii wektor u

przemieszcza się za pośrednictwem operacji

przeniesienia równoległego. Wtedy zadanie punktu początkowego i wartości początkowej wektora u

określa

całą trajektorię . W istocie – najpierw musimy przemieścić punkt początkowy, z z

do z

+ u

tzn., za

pomocą przeniesienia równoległego przenieść w ten nowy punkt wektor u

, potem znowu przenieść punkt w

kierunku zadanym przez nowy wektor u

itd. W ten sposób określamy nie tylko trajektorię ale także parametr

wzdłuż niej. Trajektoria określona w ten sposób nazywamy - geodezyjną .

Jeśli u

w punkcie początkowym jest wektorem zerowym to pozostaje on wektorem zerowym we wszystkich

innych punktach , w tym przypadku trajektorię nazywamy geodezyjną zerową . Jeśli, u w punkcie początkowym

jest wektorem czasopodobnym ( u

> 0), to pozostaje on czasopodobny we wszystkich innych punktach, a

geodezyjną nazywamy czasopodobną. Odpowiednio, jeśli - u

w punkcie początkowym jest wektorem

przestrzennopodobnym ( u

< 0), to pozostaje on przestrzennopodobny we wszystkich innych punktach, a

geodezyjną nazywamy przestrzennopodobną..

Powróćmy do równania (7.11), podstawmy B

= u

= dz

, otrzymujemy równanie geodezyjnej :

/ d

Γνµσ

= 0 (8.1)

lub

d2z

/ d

2 +

Γνµσ

( dz

) dz

= 0 (8.2)

Dla geodezyjnej czasopodobnej można sprowadzić długość wektora początkowego u

do jedności, mnożąc go

przez odpowiedni czynnik.. Do tego potrzebna jest tylko zmiana skali

. Od teraz wektor u

zawsze będzie miał

długość jednostkową. Przedstawia on sobą wektor prędkości v

= dz

/ds, a parametr

stanowi odpowiednik

czasu s. Równanie (8.1) przyjmuje postać :

/ ds +

Γµνσ

= 0 (8.3)

a równanie (8.2) postać :

d2z

/ ds2 +

Γµνσ

( dz

/ds ) dz

/ds = 0 (8.4)

Zauważmy, że linia świata cząstek  które nie znajdują się pod działaniem jakichkolwiek sił oprócz
grawitacyjnych jest geodezyjną czasopodobną  Jest to zamiennik pierwszego prawa Newtona. Równanie (8.4)
jest równaniem zadającym przyspieszenie i jest równaniem ruchu. Zauważmy także , że trajektoria  linii
świetlnej  jest geodezyjną zerową . Jest ona zadana równaniem (8.2) z pewnym parametrem

wzdłuż trajektorii.

W tym przypadku nie należy stosować czasu własnego s ponieważ ds. jest zerem.

9) Własność stacjonarności geodezyjnych

Geodezyjna , nie będąca zerową odznacza się następującą własnością : całka ∫ds wzięta wzdłuż odcinka
trajektorii o początku w punkcie P i końcu Q przy małych wariacjach trajektorii z ustalonymi punktami

granicznymi pozostaje stała. Przemieśćmy każdy punkt trajektorii o współrzędnych z

do punktu z

Jeśli przemieszczenie wzdłuż trajektorii oznaczymy jako dx

ds2 = g

µν

to :

2ds

(ds) = dx

νδ

µν

+ g

µν

+ g

µν

= dx

µν

λδ

+ 2g

µλ

Oprócz tego :

= d

W takim wypadku ponieważ dx

= v

ds to:

(ds) = [ ½ g

µν

νδ

+ g

µλ

/ds] ds

Zatem :

∫ds = ∫

(ds) = ∫[ ½ g

µν

νδ

+ g

µλ

/ds] ds

Całkując przez części i wykorzystując warunek

= 0 w punktach granicznych P i Q otrzymujemy :

∫ds = ∫[ ½ g

µν

νδ

−

(d/ds) (g

µλ

)] dx

ds (9.1)

Warunkiem zerowania się (9.1) przy dowolnym

są :

(d/ds) (g

µλ

) – ½ g

µν

= 0 (9.2)

Dalej :

(d/ds) (g

µλ

) = g

µλ

/ ds + g

µλ

= g

µλ

/ ds + ½ ( g

λµ

+ g

λν

) v

Tak więc warunek (9.2) przyjmuje postać :

µλ

/ds +

Γλµν

= 0

Mnożąc to równanie przez g

λσ

możemy zapisać :

/ds +

Γσµν

= 0

tj. tak jak warunek (8.3) dla geodezyjnej.

Stąd widać ,że dla geodezyjnej wyrażenie (9.1) staje się zerem i ∫ds = const.
I odwrotnie jeśli ∫ds jest stała można pokazać ,że trajektoria jest geodezyjną. W takim razie, warunek stałości
∫ds można wykorzystać jako określenie geodezyjnej, wykluczając oczywiście przypadek kiedy jest ona zerowa.

10) Różniczkowanie kowariantne

Niech S –będzie polem skalarnym. Wtedy jak było pokazane w rozdziale 3, S,

- jest wektorem kowariantnym

Dalej, niech A

- będzie polem wektorowym. Czy jego pochodna - A

jest tensorem ? Aby odpowiedzieć na

to pytanie zobaczmy jak przekształca się A

przy przekształceniach współrzędnych . W oznaczeniach

zgodnych z rozdziałem 3 A

przekształca się zgodnie z równaniem (3.5) :

, = A

’

I następnie :

’ = (A

’),

’ = A

’ x

’ + A

’

To wyrażenie jest dokładnym prawem przekształcenia tensora - jeśli w prawej części nie występuje ostatni
człon. A to oznacza, że - A

nie jest tensorem. Można jednak zmodyfikować operacje różniczkowania tak aby

otrzymać tensor. Weźmy wektor A

w punkcie x i przenieśmy go za pomocą przeniesienia równoległego do

punktu x + dx. Przy tej operacji A pozostaje wektorem. Odejmiemy go od wektora A w punkcie x +dx – różnica
także będzie wektorem :

(x + dx) – [A

(x) +

Γαµν

] = (A

−

Γαµν

)dx

Ta wielkość jest wektorem dla dowolnego wektora dx

, tak więc zgodnie z twierdzeniem ilorazowym (zobacz

rozdział 4) współczynnik : A

−

Γαµν

jest tensorem.

Łatwo sprawdzić bezpośrednio, że przy przekształceniu współrzędnych przekształca się on według prawa
tensorowego. To wyrażenie nazywa się pochodną kowariantną A

i zapisywane jest w formie :

= A

−

Γαµν

(10.1)

Znak „ : ” (dwukropek) przed dolnym indeksem dalej będzie oznaczał pochodną kowariantną , podobnie jak
przecinek oznacza zwykłą pochodną (tj. pochodną cząstkową – przypis własny ).

Niech : B

będzie pewnym drugim wektorem. Określimy pochodną kowariantną iloczynu wewnętrznego jako:

= A

+ A

(10.2)

Oczywiście, że jest to tensor z trzema indeksami.
Jego jawna postać jest następująca :

= (A

−

Γαµα

+ A

( B

−

Γανσ

) = (A

−

Γαµσ

−

Γανσ

Niech T

µν

- będzie tensorem z dwoma indeksami.

Może on być wyrażony w postaci sumy członów : A

, tak więc jego kowariantna pochodna przedstawia się

następująco :

µν

= T

µν

−

Γαµσ

αν

−

Γανσ

µα

(10.3)

Tą zasadę można uogólnić dla przypadku pochodnej kowariantnej tensora z dowolną liczbą dolnych indeksów :
Y

µν

...... :

= Y

µν

...... ,

−

- człon dla każdego indeksu. (10.4)

W każdym z tych

- członów należy spełnić warunek balansów indeksów. To jest warunek konieczny dla

jednoznacznego rozmieszczenia indeksów. Pochodną kowariantną skalara otrzymujemy z ogólnej formuły
(10.4) gdzie ilość indeksów Y będzie równa zero :
Y:

= Y ,

(10.5)

Zastosujmy (10.3) do tensora fundamentalnego g

µν

Z udziałem (7.6) to daje :

µν

= g

µν

−

Γαµσ

αν

−

Γανσ

µα

= g

µν

−

Γνµσ

−

Γµνσ

= 0

W takim wypadku przy różniczkowaniu kowariantnym g

µν

można rozpatrywać jako stałą.

Wzór (10.2) przedstawia sobą ogólne prawo wykorzystywane przy różniczkowaniu iloczynu . Zauważmy, że to
prawo jest słuszne również dla pochodnej kowariantnej iloczynu skalarnego dwóch wektorów. Wtedy:

= A

+ A

(10.6)

Stąd , zgodnie z (10.5) i (10.1) otrzymujemy:

= A

+ A

−

Γαµσ

)

a następnie :

= A

−

Γµασ

Ponieważ jest to słuszne dla każdego B

mamy :

= A

Γµασ

(10.7)

Jest to standardowe wyrażenie dla pochodnej kowariantnej wektora kontrawariantnego. Tutaj też pojawia się
symbol Christoffela tak jak w standardowej formule (10.1) dla wektora kowariantnego, jednak ze znakiem plus.
Rozkład indeksów jest zgodny z zasadą równowagi indeksów.

Formalizm ten można uogólnić na przypadek kowariantnej pochodnej tensora z daną liczbą dolnych i górnych
indeksów. Człon

będzie pojawiał się dla każdego indeksu (ze znakiem plus dla indeksu górnego, ze znakiem

minus dla dolnego) . Jeśli zawężyć dwa indeksy to odpowiadające im człony

skracają się. Formuła dla

pochodnej kowariantnej iloczynu :
(XY) :

= X :

Y + X Y :

(10.8)

jest słuszna dla ogólnego przypadku dowolnych wielkości tensorowych X i Y. Ponieważ g

µα

przy

różniczkowaniu kowariantnym zachowuje się jak stała, indeksy można podnosić i opuszczać przed
różniczkowaniem rezultat będzie taki sam jak by wykonać te operacje po różniczkowaniu.
Pochodna kowariantna dla wielkości nie tensorowych nie ma sensu.

Prawa fizyczne powinny być słuszne we wszystkich rodzajach układów współrzędnych. To znaczy, że powinny
wyrażać się w formie równań tensorowych. Jeśli równania zawierają pochodne wielkości polowych to powinny
być to pochodne kowariantne . Równania polowe otrzymujemy zamieniając zwykłe pochodne na pochodne
kowariantne. Na przykład równanie D’Alamberta V = 0 dla pola skalarnego V w kowariantnej formie
przyjmuje postać :

µν

= 0

Stosując (10.1) i (10.5) otrzymujemy:

µν

−

Γαµν

) = 0 (10.9)

Nawet rozpatrując problemy w przestrzeni płaskiej (tj. bez udziału pola grawitacyjnego) i wykorzystując
współrzędne krzywoliniowe należy zapisywać równania stosując zapis uwzględniając pochodną kowariantną tak
aby zachować ich postać we wszystkich układach współrzędnych.

11) Tensor krzywizny

Z formuły dla różniczkowania iloczynu (10.8) widać, że dla iloczynu różniczkowanie kowariantne jest w pełni
analogiczne do różniczkowania zwykłego. Istnieje ważna własność zwykłego różniczkowania która odznacza się
tym, że przy działaniu dwóch operatorów różniczkowania ich porządek nie ma znaczenia , dla różniczkowania
kowariantnego w ogólnym przypadku taka własność nie zachodzi. Rozpatrzmy pole skalarne S. Z (10.1) mamy

S :

= S :

−

Γαµν

S :

= S ,

µν

−

Γαµν

S ,

(11.1)

Otrzymane wyrażenie jest symetryczne względem indeksów

tak więc w tym wypadku porządek

operatorów różniczkowania kowariantnego nie ma znaczenia.

Teraz podziałajmy dwoma operatorami różniczkowania kowariantnego na wektor A

. Ze wzoru (10.3) gdzie w

miejsce T

νσ

wstawiamy A

otrzymujemy:

= A

−

Γανσ

−

Γαρσ

= (A

−

Γανρ

−

Γανσ

−

Γβαρ

)

−

Γαρσ

−

Γβνα

) = A

−

Γανρ

−

Γανσ

−

Γαρσ

−

(

Γβνρ

−

Γανσ

Γβαρ

−

Γαρσ

Γβνα

)

Przestawiając indeksy

oraz odejmując otrzymane wyrażenie od ostatniego , otrzymujemy:

−

= A

βνρσ

(11.2)

gdzie

βνρσ

Γβνσ

−

Γβνρ

Γανσ

Γβαρ

−

Γανρ

Γβασ

(11.3)

Lewa część (11.2) jest tensorem, tak więc i prawa część (11.2) jest tensorem. Jest to słuszne dla dowolnego

wektora A

dlatego zgodnie z twierdzeniem ilorazowym (zobacz rozdział 4) : R

βνρσ

- jest tensorem. Tensor

ten nazywamy tensorem Riemana-Christoffela lub tensorem krzywizny. Tensor krzywizny charakteryzuje się
oczywistą własnością :

βνρσ

−

βνσρ

(11.4)

Z (11.3) bezpośrednio wynika, że :

βνρσ

+ R

βρσν

+ R

βσνρ

= 0 (11.5)

Opuścimy indeks

(operacja opuszczenia indeksu – przypis własny), w miejsce pierwszego dolnego indeksu.

To daje :

µνρσ

= g

µβ

βνρσ

= g

µβ

Γβνσ

Γανσ

Γµαρ

−

ρσ

Gdzie <

ρσ

> oznacza przedostatnie człony z przestawionymi członami

Wtedy z (7.6) otrzymujemy:

µνρσ

Γµνσ

−

µβ

Γβνσ

Γνβρ

Γβµσ

−

ρσ

> =

Γµνσ

−

Γνβρ

Γβµσ

−

ρσ

Z udziałem (7.5)

µνρσ

= ½ (g

µσ

νρ

−

µσ

νρ

−

νρ

µσ

+ g

νρ

µσ

) +

Γβµσ

Γβνρ

−

Γβµρ

Γβνσ

(11.6)

Teraz widzimy jeszcze pewne własności symetrii tensora krzywizny , mianowicie :
R

µνρσ

−

νµρσ

(11.7)

oraz
R

µνρσ

= R

ρσµν

= R

σρνµ

(11.8)

Rezultatem wszystkich tych własności symetrii jest to że z 256 składowych tensora R

µνρσ

niezależnych jest

tylko 20 składowych.

12) Kryteria płaskiej przestrzeni

Jeśli przestrzeń jest płaska, to można wybrać prostoliniowy układ współrzędnych, wtedy g

µν

będzie stałą i

odpowiednio R

µνρσ

będzie zerem. I odwrotnie jeśli R

µνρσ

będzie zerem to można pokazać, że przestrzeń jest

płaska. Wektor A

zaczepiony w punkcie x przeniesiemy za pomocą przesunięcia równoległego w punkt x + dx.

Zatem przenieśliśmy go do punktu x + dx +

Jeśli R

µνρσ

- jest zerem, to przy przemieszczeniu A

z x - punktu początkowego w punkt x +

x , a zatem w

punkt : x + dx +

x, rezultat powinien być identyczny. W takim razie przy przemieszczeniu wektora z jednego

punktu do drugiego rezultat nie zależy od trajektorii przemieszczenia.
Przemieszczając za pomocą przesunięcia równoległego wektor początkowy A

z punktu x do wszystkich

możliwych punktów otrzymujemy pole wektorowe spełniające warunek A

= 0 tj.

Γσµν

(12.1)

Czy możliwe jest przedstawienie takiego pola wektorowego w formie gradientu pewnego skalara ?
Podstawmy w (12.1) A

= S,

Otrzymamy:

µν

Γσµν

(12.2)

W skutek symetrii

Γσµν

względem dolnych indeksów , wyrażenia dla S,

µν

i S,

νµ

są jednakowe i równanie

(12.2) jest całkowalne. Wybierzmy cztery niezależne skalary, spełniające (12.2) - w charakterze współrzędnych

’, nowego układu współrzędnych. Wtedy :

’

µν

Γσµν

’

Zgodnie z prawem transformacyjnym (3.7)

µλ

= g

’

’ x

’

Różniczkując tą zależność po x

znajdujemy uwzględniając (7.6)

µλ

−

’

’ ,

’

= g

’

’ ( x

’

µν

’

+ x

’

λν

) =

= g

’

’ (

Γσµν

’

+ x

’

Γσλν

’

) = g

σλ

Γσµν

+ g

µσ

Γσλν

Γλµν

Γµλν

= g

µλ

następnie :

’

’ ,

’

= 0

To znaczy, że : g

’

’ ,

= 0.

W nowym układzie współrzędnych tensor metryczny jest stały. W takim razie mamy do czynienia z przestrzenią
płaską w prostoliniowym układzie współrzędnych.

13) Tożsamości Bianchi

Zanim rozpatrzymy drugą pochodną kowariantną dowolnego tensora , rozpatrzmy tensor będący iloczynem
skalarnym (iloczynem zewnętrznym – przypis własny) dowolnych wektorów A

i B

= (A

+ A

) :

= A

+ A

Teraz zamienimy miejscami

i odejmiemy otrzymaną równość od poprzedniej . Z udziałem (11.2) daje to :

- (A

) :

= A

αµρσ

+ A

ατρσ

Dowolny tensor T

µτ

można wyrazić jako sumę członów typu A

, wtedy powinien on spełniać równość :

µτ

−

µτ

= T

ατ

αµρσ

+ T

µα

ατρσ

(13.1)

Niech T

µτ

będzie kowariantną pochodną wektora A

, wtedy :

µτ

−

µτ

= A

αµρσ

+ A

ατρσ

Przestawmy cyklicznie indeksy

i dodajmy otrzymane trzy równości.

Z lewej części mamy :

- A

+ cykliczne przestawienie = (A

αµρσ

) :

+ cykliczne przestawienie =

= A

αµρσ

+ A

αµρσ

+ cykliczne przestawienie. (13.2)

Prawa część daje :

αµρσ

+ cykliczne przestawienie. (13.3)

ponieważ ostatnie człony skracają się (zobacz równość (11.5))
Pierwsze człony w (13.2) i (13.3) skracają się i zostaje :

αµρσ

+ cykliczne przestawienie. = 0

Czynnik A

jest obecny we wszystkich członach tego równania i może być odrzucony. W rezultacie mamy:

αµρσ

+ R

αµστ

+ R

αµτρ

= 0 (13.4)

Jako dopełnienie warunku symetrii z rozdziału 11 tensor krzywizny powinien spełniać te równania różniczkowe
Te równania znane są pod nazwą – „tożsamości Bianchi”

14) Tensor Ricciego

Zawęźmy R

µνρσ

względem dwóch indeksów. Jeśli zawężenie przeprowadzono względem indeksów dla

których przestawienie sprawia, że : R

µνρσ

jest antysymetryczne to jak się rozumie rezultatem będzie zero. Jeśli

natomiast zawężać R

µνρσ

po innych parach indeksów to otrzymamy rezultaty różniące się jeden od drugiego

tylko znakiem. Wynika to z własności symetrii (11.4), (11.7), (11.8) . Przeprowadzimy zawężanie względem
pierwszego i ostatniego indeksu. Otrzymamy :

µνρµ

= R

µρ

Tensor ten nazywamy tensorem Ricciego. Mnożąc (11.8) przez g

µσ

znajdujemy, że :

νρ

= R

ρν

(14.1)

tj. symetryczny tensor Ricciego.

Można zawęzić R

νρ

względem ostatnich dwóch indeksów i przedstawić w postaci :

νρ

= R

νν

= R

Wielkość R – jest skalarem, który nazywa się krzywizną skalarną. Jest ona określona w ten sposób, że dla sfery
w przestrzeni trójwymiarowej jest dodatnia, w czym można się upewnić bezpośrednim rachunkiem. Tożsamości
Bianchi (13.4) zawierają pięć indeksów. Zawęźmy je dwukrotnie i otrzymamy zależność z jednym swobodnym

indeksem. Wprowadźmy w (13.4)

i pomnóżmy przez g

µσ

αµρσ

+ R

αµστ

+ R

αµτρ

) = 0 tj.

µσ

αµρσ

+ (g

µσ

αµσα

+ (g

µσ

αµαρ

= 0 (14.2)

i dalej :

µσ

αµρσ

= g

µσ

αβ

βµρσ

= g

µρ

αβ

µβσρ

= g

αβ

βσ

= R

ασ

W skutek symetrii R

ασ

można pisać indeksy jeden pod drugim tj. R

ασ

. Wtedy równanie (14.2) przybiera

postać:

ασ

+ (g

µσ

- R:

= 0

lub

ασ

- R:

= 0

co przedstawia sobą tożsamości Bianchi dla tensora Ricciego. Podnosząc indeks

, możemy zapisać

ασ

−

½ g

σα

R]:

= 0 (14.3)

Wyrażenie dla tensora Ricciego , zgodnie z (11.3) w formie jawnej wygląda następująco:

µν

Γαµα

−

Γαµν

−

Γαµν

Γβαβ

Γαµβ

Γβνβ

(14.4)

Pierwszy człon na pierwszy rzut oka wygląda na nie symetryczny względem

jednak tak jak ostatnie trzy

jest on symetryczny. Dowód tego faktu wymaga pewnego omówienia .

Aby zróżniczkować wyznacznik g konieczne jest zróżniczkowanie w nim każdego elementu g

λµ

i pomnożenie

go przez dopełnienie algebraiczne g g

λµ

W takim razie :

= g g

λµ

(14.5)

Następnie :

Γµνµ

= g

λµ

Γλνα

= 1/2g

λµ

( g

λν

λµ

−

µν

) = 1/2g

λµ

= 1/2g -1 g ,

= ½ ln(g ),

(14.6)

Stąd wynika, że pierwszy człon w (14.4) jest symetryczny względem

. i

15) Prawo grawitacji Einsteina

Do tej pory zawartość książki nosiła czysto matematyczny charakter za wyjątkiem fizycznej uwagi ,że
trajektoria cząstki jest geodezyjną. Wiele rezultatów wyłożonych w poprzednich rozdziałach było otrzymanych
w zeszłym (tj. XIX wieku – przypis własny) wieku i odnosiło się do przestrzeni zakrzywionej dowolnej liczby
wymiarów. W przedstawionym formaliźmie liczba wymiarów przestrzeni figuruje tylko o tyle o ile :

µµ

= liczba wymiarów

Einstein założył, że w pustej przestrzeni :
R

µν

= 0 (15.1)

W tym zawarte jest prawo grawitacji Einsteina. „Pusta” tutaj oznacza nie obecność materii i brak jakichkolwiek
pól fizycznych za wyjątkiem samego pola grawitacyjnego. Obecność pola grawitacyjnego nie narusza pustki.
Warunek pustej przestrzeni jest z dobrą dokładnością spełniony dla przestrzeni międzyplanetarnej w systemie
Słonecznym i tam można stosować równanie (15.1).
Pusta przestrzeń oczywiście spełnia wyrażenie (15.1). Geodezyjne w pustej przestrzeni są liniami prostymi w
takim razie cząstki poruszają się po liniach prostych. W przypadku pustej zakrzywionej przestrzeni prawo
Einsteina nakłada ograniczenia na wartość krzywizny. Wraz z założeniem, że planety poruszają się po
geodezyjnych daje to pewną informację dotyczącą ich ruchu.

Na pierwszy rzut oka Einsteinowskie prawo grawitacji nie ma nic wspólnego z prawem Newtona. Aby jednak
zauważyć analogię należy rozpatrzyć g

µν

jako potencjały opisujące pole grawitacyjne. W odróżnieniu od

jednego Newtonowskiego potencjału w teorii Einsteina jest ich dziesięć. Potencjały te opisują nie tylko pole
grawitacyjne ale również układ współrzędnych. Pole grawitacyjne i układ współrzędnych w teorii Einsteina są
związane nie rozerwalnie i nie udaje się opisać jednego bez drugiego.

Przy rozpatrywaniu składowych g

µν

jako potencjałów równanie (15.1) okazuje się być równaniem pola i

wygląda jak zwykłe równanie w tym sensie, że jest ono równaniem drugiego rzędu, ponieważ drugie pochodne
wchodzą w (14.1) przez symbole Christoffela. Równanie (15.1) odróżnia się jednak od zwykłych równań pola
tym, że jest ono nieliniowe – istotnie nieliniowe. Równania Einsteina są nadzwyczaj złożone i znalezienie ich
dokładnych rozwiązań jest trudne.

16) Przybliżenie Newtonowskie

Rozpatrzymy statyczne pole grawitacyjne w statycznym układzie współrzędnych . W takim przypadku g

µν

jest

stałe w czasie tj. g

µν

0 = 0 . Dalej dla m= 1,2,3 powinno być spełniony warunek :

gm0 = 0
Odpowiednio mamy :

gm0 = 0 ; g00 = (g00 )

-1

i gmn jest macierzą odwrotną względem gmn. Indeksy łacińskie zawsze przebiegają wartości 1,2,3 .
Stąd znajdujemy, że

m0n = 0 i stąd również :

0n = 0.

Rozpatrzymy cząstkę poruszającą się z prędkością małą w porównaniu z prędkością światła Wtedy vm jest
małą pierwszego rzędu. Zaniedbując wielkości drugiego rzędu otrzymujemy :

g00(v

0)2 = 1 (16.1)

Cząstka porusza się po geodezyjnej. Równanie geodezyjnej (8.3) z dokładnością do członów pierwszego rzędu
daje :

dvm/ds =

−

00 (v

0)2 =

−

gmn

n00 (v

0)2 = ½ gmn g

00,n (v

0)2

Z dokładnością do członów pierwszego rzędu mamy :

dvm/ds = (dvm/dx

)(dx

/ds ) = ( dvm/dx0)v0

Wtedy z udziałem (16.1) zapisujemy :

dvm/dx0 = ½ gmn g00,n (v

0)2 = gmn (g

00 )

, n (16.2)

Ponieważ g

µν

nie zależy od x

0 można opuścić indeks m, co daje zależność :

dvm/dx

0 = (g

00 )

, m (16.3)

Widać, że cząstka porusza się tak jak gdyby znajdowała się pod działaniem potencjału (g00 )

Przy otrzymaniu tego wyniku nie wykorzystywaliśmy w żaden sposób równań Einsteina.
Teraz dla porównania teorii Einsteina z Newtonowską uwzględnimy prawo Einsteina dochodząc do określenia
równań dla potencjału.
Założymy, że pole grawitacyjne jest polem słabym tak że krzywizna czasoprzestrzeni jest mała. Wtedy można
wybrać układ odniesienia dla którego krzywizna osi współrzędnych (dla każdej z osi trzy ustalone
współrzędne) jest mała. W tym przypadku g

µν

w pierwszym przybliżeniu jest stałe, a g

µν

i wszystkie

symbole Christoffela są niewielkie. Równanie Einsteina (15.1) z dokładnością do członów pierwszego rzędu
przyjmuje postać (zobacz (14.4))

Γαµα

−

Γαµν

= 0

Zawężając i przestawiając (11.6) względem dwóch indeksów

oraz odrzucając człony drugiego rzędu można

przekształcić to równanie do nieco dogodniejszej postaci :

ρσ

( g

ρσ

µν

−

νσ

µρ

−

µρ

νσ

+ g

µν

ρσ

) = 0 (16.4)

Wstawmy teraz

= 0 , oraz wykorzystajmy własność niezależności g

µν

od x0, otrzymamy :

gmn g00, mn = 0 (16.5)

Równanie d’Alamberta (10.9) w przybliżeniu słabego pola przyjmuje postać :

µν

= 0

W statycznym przypadku to wyrażenie przybiera postać równania Laplace'a :

gmn V, mn = 0

Równanie  (16.5) oznacza że g00 spełnia równanie Laplace'a.
Można wybrać jednostki pomiaru czasu tak aby g00 mało różniło się od jedności. Wtedy możemy założyć :
g00 = 1 + 2V                                                                                                                                                      (16.6)
gdzie V – jest niewielkie.

W tym przypadku (g00 )

½ = 1 + V i V jest potencjałem.

Ponieważ  V spełnia równanie Laplace'a można go utożsamić z potencjałem  newtonowskim, równym – m/r
gdzie m - masa źródła.
Teraz  widać, że (16.2) prowadzi do równości :
przyspieszenie = - grad V

Ponieważ diagonalne elementy gmn

≅

−

1. To znaczy, że znak przy V był wybrany prawidłowo.

W takim razie prawo Einsteina przechodzi w prawo Newtona , kiedy pole jest słabe i statyczne.
Odpowiednio rezultaty teorii newtonowskiej objaśniające ruchy planet pozostają w mocy. Przybliżenie
statyczności opiera się na fakcie małej w porównaniu z prędkością światła, prędkością ruchu planet .
Przybliżenie słabego pola jest dobre ponieważ, przestrzeń niewiele różni się od przestrzeni płaskiej.

Rozpatrzmy skalę niektórych wielkości.

Wartość potencjału V na powierzchni Ziemi jest rzędu 10 –9 . W takim razie g00 z wzoru (16.6), jest zbliżone
do jedności. No jednak i to małe odchylenie g00 od jedności prowadzi do znacznych efektów grawitacyjnych
obserwowanych na Ziemi. Jeżeli weźmiemy promień Ziemi rzędu 10 9 cm, to wartość g00,m będzie rzędu
10 –18 [1/cm] . I odpowiednio odchylenie przestrzeni od płaszczyzny będzie skrajnie małe. Jednak aby otrzymać
przyspieszenie w polu grawitacyjnym w pobliżu Ziemi należy pomnożyć to odchylenie przez kwadrat prędkości
światła , tj. przez 9* 10 20 [cm/sek ] 2. Dlatego przyspieszenie (około 10 3 [cm/sek] ) jest odczuwalne, chociaż
samo odchylenie od „płaszczyzny” jest nieskończenie małe, dla tego aby go było można obserwować
bezpośrednio.

17) Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni

Rozpatrzmy monochromatyczne promieniowanie atomu w stanie spoczynku znajdującego się w statycznym polu
grawitacyjnym. Długość fali światła wypromieniowanego odpowiada określonej wartości

∆

s . Ponieważ atom

jest w stanie spoczynku w statycznym układzie współrzędnych takich jak rozpatrywano w rozdziale 16 mamy :

∆

s2 = g00 (

∆

x0)2

gdzie

∆

x0 – okres tj. czas między sąsiednimi maksymalnymi amplitudami odniesiony do wybranego układu

współrzędnych.

Przy rozprzestrzenianiu się światła w inną część przestrzeni

∆

x0 się nie zmienia. Wielkość :

∆

x0 – nie jest tym

samym co okres pewnej linii widmowej atomu , znajdującej się w danym punkcie. Taką rolę spełnia

∆

s .

W takim wypadku okres zależy od potencjału grawitacyjnego g00 w tym punkcie gdzie światło było
wypromieniowane:

∆

∼

( g00 )

– ½

Czynnik ( g00 )

– ½ opisuje przesunięcie linii widmowej.

W przybliżeniu newtonowskim (16.6) mamy :

∆

∼

−

Wartość V jest ujemna w obszarze silnego pola grawitacyjnego na przykład na powierzchni Słońca.
Dlatego światło wypromieniowane na Słońcu ma widmo przesunięte w porównaniu z światłem
wypromieniowanym na Ziemi , w kierunku czerwonej części widma. Ten efekt  można było by obserwować dla
światła Słonecznego  jeśli by on nie gubił się w efekcie innych mechanizmów fizycznych takich jak efekt
Dopplera wynikający z ruchu promieniujących atomów. Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni  jest większe
dla światła białych karłów, gdzie w wyniku wysokiej gęstości materii potencjał grawitacyjny  na powierzchni
gwiazdy jest o wiele większy.

18) Rozwiązanie Schwarzschilda

Równania Einsteina dla pustej przestrzeni przedstawiają sobą nadzwyczaj złożone nieliniowe równania,
znalezienie ich dokładnych rozwiązań jest trudnym zadaniem. Jednak w jednym specjalnym przypadku
rozwiązanie znajdujemy bez większych trudności – jest to przypadek statycznego sferycznie symetrycznego pola
związanego ze statycznym, sferycznie symetrycznym ciałem.

Warunek statyczności oznacza, że w statycznym układzie współrzędnych g00 nie zależy od czasu x

0 lub t, i

oprócz tego g0m = 0. W charakterze statycznego układu współrzędnych można wybrać współrzędne sferyczne
x1 = r , x2 =

, x3 =

. Najbardziej ogólne wyrażenie dla ds2 w przypadku symetrii sferycznej ma postać :

ds2 = Uds2

−

Vdr2

−

Wdr2 (d

2 + sin2

gdzie U, V, W zależą tylko od r.
Nie naruszając symetrii sferycznej można zamienić r na dowolną funkcje zależną od r.

Wykorzystamy tą okoliczność dla maksymalnego uproszczenia wyrażenia na ds2. Dogodnie będzie sprowadzić

mnożnik W do jedności. Wtedy ds2 można zapisać następująco :

ds2 = exp(2

)dt2 – exp(2

)dr2

−

r2d

−

r2sin2

2 (18.1)

gdzie

zależą tylko od r.

Funkcje

powinny być wybrane tak aby spełniać równania Einsteina.

Za pomocą (18.1) można wyrazić g

µν

przez

g00 = exp(2

); g11 =

−

exp(2

);

g22 =

−

r2 ; g33 =

−

r2sin2

;

µν

= 0 dla

≠

Dalej znajdujemy :

g00 = exp(-2

); g11 =

−

exp(-2

);

g22 = - r-2 ; g33 =

−

r-2sin-2

;

µν

= 0 dla

≠

Teraz należy wyrazić przez

wszystkie symbole Christoffela. Wiele z nich będzie w takim przypadku

zerowymi, a pozostałe przyjmą postać :

00 =

’exp(2

- 2

);

10 =

’;

11 =

’ ;

12 =

13 = r

-1 ;

22 = - r exp( -2

) ;

23 = ctg (

);

33 = - r sin

exp(-2

) ;

33 = -sin

cos

;

gdzie apostrof oznacza różniczkowanie po r.
Wyrażenia te należy podstawić do (14.4). W rezultacie otrzymamy

R00 = (-

’’ +

’

−

’2

−

’/r ) exp(2

−

) (18.2)

R11 =

’’

−

’

’ +

’2

−

’/r ) exp(2

-2

) (18.3)

R22 = ( 1 + r

’

−

’ ) exp(-2

)

−

1 (18.4)

R33 = R22 sin

;

(ostatnie składniki R

µν

w tym przypadku są tożsamościowo równe zeru)

Zgodnie z prawem grawitacji Einsteina konieczne jest aby te wyrażenia były zerem.
Zerowanie się (18.2) i (18.3) daje :

’ +

’ = 0

Przy wielkich wartościach r przestrzeń powinna być zbliżona do płaskiej, tak by przy r dążącym do
nieskończoności,

dążyły do zera

Odpowiednio mamy :

= 0

Z faktu zerowania się (18.4) wnioskujemy że :
(1+ 2r

’)exp(2

) = 1

lub

[ r exp(2

)]’ = 1

Stąd :
r exp(2

) = r – 2m;

gdzie m – jest stałą całkowania.

Podstawiając ostatnią równość do (18.2) i (18.3) sprawia się że stają się one zerami. Z tych wyrażeń
otrzymujemy wyrażenie na g00 :
g00 = 1

−

2m/r (18.5)

Dla wielkich wartości r powinno być słuszne Newtonowskie przybliżenie. Porównanie (18.5) z (16.6) pokazuje
że stała całkowania m , która pojawiła się w (18.5) jest niczym innym jak masą ciała będącego źródłem pola
grawitacyjnego. Pełne rozwiązanie równań Einsteina ma postać :

ds2 = (1

−

2m/r)dt2 – (1

−

2m/r)-1dr2

−

r2d

−

r2sin2

2 (18.6)

Jest ono znane jako rozwiązanie Schwarzschilda i stosuje się je poza ciałem zadającym pole grawitacyjne tj. w
obszarze gdzie nie ma materii. W takim razie to równanie jest słuszne w przybliżeniu poza powierzchnią
gwiazdy. Dla ruchu planet wokół Słońca rozwiązanie (18.6) daje małe poprawki do teorii Newtonowskiej.
Są one jednak istotne tylko dla Merkurego – najbliższej planety Słonecznej – i objaśniają odchylenie trajektorii
tej planety od trajektorii obliczonej za pomocą teorii Newtona. Ten fakt stał się faktem potwierdzającym
słuszność teorii Einsteina.

19) Czarne dziury

Przy r = 2m rozwiązanie (18.6) jest osobliwe, ponieważ dla tego punktu mamy g00 = 0 i g11 =

−∞

Można pokazać, że r = 2m jest minimalnym możliwym promieniem ciała o masie m.
Jednak bliższe rozpatrzenie pokazuje, że sprawa wygląda nieco inaczej. Rozpatrzmy cząstkę spadającą na ciało

centralne. Niech jej wektor prędkości jest v

= dz

/ds. Załóżmy że cząstka spada po promieniu tak że jest

v2 = v3 = 0.
Jej ruch określony jest równaniem geodezyjnej (8.3) :

dv0 / ds =

−

µν

= g00

µν

−

g00 g00,1 v

0 v1 =

−

g00 (g00 /ds) v

Uwzględniając, że g00 = 1/g00 otrzymujemy :
g00 dv

0/ds + (d g

00 /ds )v

0 = 0

scałkowanie tego równania daje wyrażenie :

g00 v

0 = k

gdzie k – stała całkowania, która równa jest wielkości g00 w początkowym punkcie trajektorii cząstki.

W rozpatrywanym przypadku mamy jak i przedtem

1 = g

µν

= g00 (v

0)2 + g

11 (v

1)2

Mnożąc to równanie przez g00 oraz wykorzystując zależność g00 g11 = -1 otrzymane w poprzednim rozdziale ,
znajdujemy :

−

(v1)2 = g00 = 1 – 2m/r

Dla spadającego ciała v1 < 0 i odpowiednio

v1 =

−

(k2 – 1 + 2m/r)1/2

Tak więc

dt/dr = v0/v1 =

−

k (1

−

2m/r)-1 (k2 – 1 + 2m/r)1/2

Niech cząstka znajduje się w pobliżu promienia krytycznego tj. r = 2m +

, gdzie wielkość

jest odpowiednio

mała, tak że człony

2 można odrzucić. Wtedy :

dt/dr = - 2m/

−

2m/(r

−

2m)

Całkując to wyrażenie otrzymujemy :
t = -2m [ln (r

−

2m )] + const.

W takim razie przy t dążącym do 2m ,t dąży do nieskończoności tj. dla aby cząstka mogła osiągnąć promień
krytyczny 2m potrzebuje nieskończenie wiele czasu.

Załóżmy, że daleki obserwator obserwuje cząstką wykorzystując światło o określonej częstotliwości.
Światło to doznaje przesunięcia grawitacyjnego ku czerwieni opisywanego czynnikiem
g00

-1/2 = (1-2m/r)-1/2

Przy osiąganiu przez cząstkę promienia krytycznego ten czynnik dąży do nieskończoności.
Z punktu widzenia dalekiego obserwatora wszystkie procesy fizyczne w cząstce w miarę jak zbliża się ona do
promienia krytycznego r = 2m przebiegają coraz wolniej i wolniej.
Rozpatrzmy teraz obserwatora poruszającego się razem z cząstką . Dla niego przyrost czasu jest tożsamy z ds.
W takim razie :

ds./dr = 1/v1 =

−

(k2 – 1 + 2m/r)1/2

Przy r dążącym do 2m wielkość ds/dr dąży do k –1.
Tak więc osiągnięcie przez cząstkę promienia r = 2m zachodzi w skończonym czasie własnym obserwatora.
Jeżeli moment osiągnięcia promienia krytycznego przez obserwatora  jest skończony to co będzie działo się z
nim dalej ? Wyraźnie, obserwator będzie swobodnie spadał w pustej przestrzeni poruszając się w stronę coraz
mniejszych wartości promienia r.

Dla tego aby rozpatrzyć przedłużenie rozwiązania Schwarzschilda dla obszarów r < 2m należy wprowadzić nie
statyczny układ współrzędnych g

µν

w tym wypadku będący funkcją współrzędnej czasowej. Zostawimy tak jak

poprzednio współrzędne

a w miejsce t i r wprowadzimy

określone wyrażeniami :

= t + f(r) ;

= t + g(r) (19.1)

gdzie f i g –dowolne funkcje.
Wtedy słuszna będzie następująca równość :

2 – 2m/r d

2 = (dt + f’ dr)2 – 2m/r (dt + g’ dr)2 = (1 – 2m/r)dt2 + 2 (f’ – 2m/r g’)dt dr + (f ’2 – 2m/r g’2 )dr2

= (1 – 2m/r)dt2

−

(1 – 2m/r)-1 dr2 (19.2)

Równość tą uzyskujemy wprowadzając funkcje f i g które spełniają warunki :
f’ = (2m/r)g’ (19.3)

(2m/r)g’ – f ’2 = (1 – 2m/r)-1 (19.4)
Tutaj apostrof oznacza pochodną po r. Rugując z tych równości f, otrzymujemy :

G’ = (r/2m)1/2 (1 – 2m/r)-1 (19.5)

Aby scałkować równanie (19.5) wstawmy r = y2 oraz 2m = a2 . Przy r > 2m będzie zachodzić y > a.
Otrzymujemy :

dg / dy = 2ydg /dr = (2 y4 /a) / ( y2

−

a2 )

skąd mamy :

g = (2/3)a y3 + 2ay

−

a2 ln [(y + a) / (y - a)] (19.6)

W rezultacie z (19.3) i (19.5) mamy :

g’ – f ’ = (1

−

2m/r)g’ = (r /2m)½

Scałkowanie daje rezultat :

(2/3) (1/ sqrt (2m)) r3/2 = g – f =

−

(19.7)

W takim razie

r =

(

−

)2/3 (19.8)

gdzie

= [(3/2)

√

2m]2/3

Z powyższego wynika, że warunki (19.3) i (19.4) można spełnić.
A to znaczy, że słuszne jest równanie (19.2)
Podstawiając (19.2) do rozwiązania Schwarzschilda (18.6) otrzymujemy :

ds2 = d

2 – 2m / [

(

−

)2/3 ] d

−

(

−

)4/3 (d

2 + sin2

2 ) (19.9)

Promień krytyczny r = 2m zgodnie z (19.7) odpowiada :

−

= 4m/3.

W metryce (19.9) osobliwość się nie pojawia. Ponieważ metrykę (19.9) można jawnie przekształcić w
rozwiązanie Schwarzschilda przy pomocy przekształcenia współrzędnych jest ona rozwiązaniem równań
Einsteina dla pustej przestrzeni w obszarze r > 2m Z faktu nie pojawiania się osobliwości przy r = 2m, oraz z
faktu analitycznej ciągłości wnioskujemy, że (19.9) spełnia równania Einsteina również przy r <= 2m. Metryka
(19.9) jest słuszna aż do punktu r = 0 lub

−

= 0

Osobliwość pojawia się  przy przejściu od nowych współrzędnych do wejściowych (19.1). Wprowadźmy więc te
nowe współrzędne a osobliwość więcej się nie pojawi.
Widać, że rozwiązanie Schwarzschilda dla pustej przestrzeni zostało przedłużone dla obszarów r < 2m .
Jednak ten obszar jest odseparowany od obszaru  r > 2m . Jak nie trudno sprawdzić dany sygnał, nawet świetlny
, potrzebuje  nieskończonego czasu  aby przejść granicę  r = 2m . W takim razie obszar  r < 2m  nie jest dostępny
bezpośrednio obserwatorowi zewnętrznemu. Ten obszar nazywamy „czarną dziurą” ponieważ materialne ciała
mogą wpaść  do wnętrza  sfery o promieniu r = 2m (w nieskończonym czasie dla obserwatora zewnętrznego)
jednak nic nie może wyjść na zewnątrz. Pojawia się pytanie, czy istnieje taki obszar w rzeczywistości ?
Odpowiadając można tylko wskazać  że równania Einsteina taką możliwość dopuszczają (obecnie czarne dziury
można obserwować pośrednio – przypis własny). Masywne gwiazdy mogą  zostać ściśnięte do niewielkich
rozmiarów , w tym przypadku siły grawitacji są tak silne, że żadna ze znanych sił fizycznych nie może ich
zrównoważyć i tym samym następuje dalsze ściśnięcie (kolaps – przypis własny ).
Wygląda na to że ściśnięcie takiego obiektu  powinno prowadzić do pojawienia się czarnej dziury. Dla
oddalonego obserwatora proces ściśnięcia (kolapsu) będzie przebiegał w czasie nieskończonym lecz dla
obserwatora związanego z kolapsującą materią czas ten będzie skończony.

20) Gęstości tensorowe

Element czterowymiarowej objętości przy przekształceniu współrzędnych przekształca się według zasady :

dx0’dx1’dx2’ dx3’ = dx0dx1dx2dx3J (20.1)
gdzie J - jakobian ;

J =

∂

( dx0’dx1’dx2’ dx3’ ) /

∂

(dx0dx1dx2dx3) = det x

’,

Dla skrócenia zapiszemy (20.1) w formie :

d4x’ = J d4x (20.2)
Przyjmijmy, że :

αβ

= x

’,

’

’x

’,

Prawą część tego wyrażenia można rozpatrywać jako iloczyn trzech macierzy w pierwszej macierzy indeks

oznacza wiersze ,

‘ – kolumny , w drugiej macierzy indeks

’ oznacza wiersze , indeks

’ – kolumny , w

trzeciej macierzy indeks

’ oznacza wiersze , indeks

kolumny. Ten iloczyn jest równy macierzy g

αβ

z lewej

części równości. Odpowiednia zależność powinna mieć miejsce również dla wyznaczników dlatego :

g = Jg’J lub g = J2g’
Dalej , jeżeli g okaże się ujemnie określoną wielkością można ją wyrazić w formie sqrt(-g) gdzie wyrażenie pod
pierwiastkiem jest dodatnio określone.

W takim razie :

√−

g = J

√−

g’ (20.3)

Niech S będzie pewnym polem skalarnym . Dla niego S = S’. Wtedy :
∫ S

√−

g d4x = ∫ S

√−

g’ Jd4x = ∫ S’

√−

g’ d4x’

przy założeniu, że obszar całkowania we współrzędnych x’ odpowiada obszarowi całkowania we
współrzędnych x.
Odpowiednio mamy :
∫ S

√−

g d4x = inwariant (20.4)

Wielkość : S

√−

g, której całka jest inwariantem, nazywamy – gęstością skalarną.

Analogicznie dla danego pola tensorowego T

µν

.... wielkość T

µν

....

√−

można nazwać gęstością tensorową.

Kiedy obszar całkowania jest mały ∫T

µν

....

√−

g d4x jest tensorem.

Kiedy obszar całkowania nie jest mały, to ta całka nie będzie tensorem ponieważ przedstawia on sumę tensorów
zadanych w różnych punktach  i nie przekształca się zgodnie z jakimkolwiek prostym prawem przy
przekształceniu współrzędnych.

Wielkość:

√−

g , dalej będzie wykorzystywana bardzo często.

Ponieważ :

g-1g ,

= 2 [

√−

g ]-1

√−

g ,

’

to wzór (14.5) daje :

√−

g ,

’ = ½

√−

g g

λµ

’ (20.5)

zatem wzór (14.6) można zapisać w postaci :

Γµνµ

√−

g =

√−

g ,

(20.6)

21) Twierdzenie Gaussa i Stokesa

Kowariantna dywergencja A

wektora A

w jest skalarem. Można ją zapisać w postaci :

= A

Γµνµ

= A

+ [

√−

g ]-1 sqrt(.),

Stąd :

√−

g = ( A

√−

g ),

(21.1)

Podstawiając w charakterze S w (20.4) A

otrzymamy inwariant:

∫ A

√−

g d4x = ∫ ( A

√−

g ),

d4x

Jeśli całkę bierzemy po ograniczonej (czterowymiarowej) objętości, to prawą część można przekształcić
zgodnie z twierdzeniem Gaussa w całkę po (trójwymiarowej) granicznej powierzchni tej objętości.

Przy A

= 0 mamy (A

√−

g ),

= 0 (21.2)

To przywodzi nas do prawa zachowania a dokładnie do prawa zachowania cieczy , której gęstość jest

√−

g , a strumień zadany jest trójwymiarowym wektorem Am

√−

g (m=1,2,3).

Można scałkować (21.2) względem trójwymiarowej objętości V przy pewnym ustalonym x0. W rezultacie
otrzymamy:

( ∫ A0

√−

g d3x ), 0 =

−

∫ ( Am

√−

g ), m d

tj. całkę powierzchniowa po granicy objętości V.

Jeśli nie będziemy uwzględniać strumieni przecinających granicę objętości V , to ∫ A0

√−

g d3x będzie stałą.

Tego rezultatu dla wektora A

nie należy ogólnie mówiąc przenosić na tensory o większej liczbie indeksów.

Rozpatrzmy tensor z dwoma indeksami Y

µν

. W płaskiej przestrzeni wykorzystując twierdzenie Gaussa można

przekształcić ∫ Y

µν

d4x w całkę powierzchniową , w przestrzeni czterowymiarowej w ogólnym przypadku

nie można przekształcić całki objętościowej ∫ Y

µν

d4x , w powierzchniową. Wyjątek stanowi

antysymetryczny tensor : F

µν

= - F

νµ

W tym przypadku :

µν

= F

µν

Γµσρ

ρν

Γνσρ

µρ

Stąd z udziałem (20.6)

µν

= F

µν

Γµνρ

ρν

Γννρ

µρ

= F

µν

+ sqrt(.) –1 sqrt(.),

µρ

Tak więc

µν

√−

g = ( F

µν√−

g ),

(21.3)

Odpowiednio, ∫ F

µν

√−

g d4x , równe jest całce powierzchniowej i przy warunku F

µν

= 0 otrzymujemy

prawo zachowania.

Dla tensora symetrycznego Y

µν

= Y

νµ

, jeżeli opuścić jeden z indeksów i prowadzić obliczenia z Y

µν

, to

można otrzymać odpowiednie równanie z dodatkowym członem :

µν

= Y

µν

−

Γαµσ

αν

Γνσα

να

Podstawiając

oraz wykorzystując (20.6) otrzymamy :

µν

= Y

µν

+ [

√−

g ] –1

√−

µα

Γαµν

µν

Ponieważ Y

αν

jest symetryczny to można z udziałem (7.6) zamienić

Γαµν

w ostatnim członie wielkością :

½ (

Γαµν

Γναµ

) = ½ g

αν

W rezultacie można zapisać :

µν

√−

g = ( Y

µν

√−

g ),

- ½ g

αβ

√−

g (21.4)

Dla wektora kowariantnego A

mamy wyrażenie :

- A

= A

−

Γρµν

−

( A

−

Γρνµ

) = A

−

(21.5)

Rezultat (21.5) można sformułować tak : kowariantna rotacja równa jest zwykłej rotacji.
To sformułowanie jest słuszne tylko dla wektora kowariantnego. Dla wektora kontrawariantnego zgodnie z
zasadą balansu indeksów, rotacji przedstawić nie można.
Podstawmy

= 1,

= 1. Wtedy otrzymamy :

A1: 2

−

A2: 1 = A1: 2

−

A2: 1

Scałkujmy tą równość względem pewnej powierzchni x0 = const. x3 = const.
Zgodnie z twierdzeniem Stokesa mamy :

∫ ∫ (A1: 2

−

A2: 1)dx

1dx2 = ∫ ∫ (A

1,2

−

A2,1)dx

1dx2 = ∫ (A

1dx

1 + A

2dx

2 ) (21.6)

gdzie ostatnia całka jest brana po granicy obszaru.
W takim razie otrzymana całka po konturze zamkniętym równa jest strumieniowi przez powierzchnię ,
ograniczoną tym konturem. Ten rezultat powinien być słuszny nie tylko w układzie współrzędnych w którym

równanie rozpatrywanej powierzchni dane jest x0 = const. x3 = const. ,ale również w przypadku ogólnym tj. w
dowolnym układzie współrzędnych.

Aby otrzymać inwariantny sposób zapisu tego rezultatu , wprowadzimy ogólne wyrażenie dla elementu
dwuwymiarowej powierzchni. Element powierzchni określony dwoma małymi wektorami kontrawariantnymi

ξµ

ζµ

, zadany jest tensorem antysymetrycznym drugiego rzędu :

µν

ξµ

ζµ

ξν

ζµ

Jeśli

ξµ

ζµ

mają postać (0, dx1 ,0,0) i (0,0, dx2,0) to dwa składniki dS

µν

przyjmują następującą postać :

dS12 = dx1dx2 ; dS21 =

−

dx1dx2

a pozostałe składniki są zerowe. Lewa cześć (21.6) przyjmuje postać :
∫ A

µν

; prawa część (21.6) jest oczywiście dana : ∫ A

dlatego mamy :

½ ∫ ∫ (A

−

) dS

µν

= ∫ A

(21.7)

powierzchnia obwód

22) Współrzędne harmoniczne

Równanie a’Alemberta V = 0 dla pola skalarnego V z udziałem (10.9) daje :

µν

(V,

µν

−

Γαµν

) = 0 (22.1)

W przestrzeni płaskiej w nie ortogonalnym układzie współrzędnych każda z czterech współrzędnych x

czyni

zadość równaniu x

= 0.

W (22.1) można więc w charakterze V podstawić x

. W odróżnieniu od V x

nie jest skalarem, tak więc

otrzymane równanie nie będzie tensorem tj. równanie to jest słuszne jedynie w określonych układach
współrzędnych. Nakłada ono więc pewne ograniczenia na możliwe współrzędne.

Jeśli w charakterze V podstawimy x

, to V należy zastąpić wielkością x

= g

λα

Wtedy równanie (22.1)

przyjmie postać :

µν

Γλµν

= 0 (22.2)

Współrzędne które czynią zadość temu warunkowi nazywamy „współrzędnymi harmonicznymi”. Aproksymują
one współrzędne nieortogonalne z maksymalną dokładnością jaka tylko możliwa jest w zakrzywionej
przestrzeni. Współrzędne te można wykorzystywać w wielu sytuacjach, jednak bardzo często okazuje się to nie
możliwe, nie stanowią one więc tak dogodnego aparatu jak formalizm tensorowy w dowolnym układzie
współrzędnych.

Przy rozpatrywaniu fal grawitacyjnych współrzędne harmoniczne okazują się jednak bardzo pożyteczne.
Z (7.9) i (7.6) mamy w dowolnych współrzędnych ;

µν

−

µα

νβ

(

Γαβσ

Γβασ

) =

−

νβ

Γµβσ

−

µα

Γνασ

(22.3)

Stąd z udziałem (20.6) wynika równość :

( g

µν

√−

g ),

= (

−

νβ

Γµβσ

−

µα

Γνασ

+ g

µν

Γβσβ

) (22.4)

Zawężając ją względem dwóch indeksów (zakładamy

) otrzymujemy :

( g

µν

√−

g ),

=- g

νβ

Γµβν

√−

g (22.5)

Widać, że alternatywna forma zapisu warunku harmoniczności dana jest następująco :

( g

µν

√−

g ),

= 0 (22.6)

23) Pole elektromagnetyczne

Równania Maxwella w zapisie standardowym mają postać :
E =

−

(1/c)

∂

t – grad

(23.1)

H = rot A (23.2)
(1/c)

∂

t =

−

rot E (23.3)

div H = 0 (23.4)
(1/c)

∂

t = rot H

−

j (23.5)

div E = 4

πρ

(23.6)

Na początku zapiszemy je w czterowymiarowej formie zgodnej ze szczególna teorią względności. Potencjały A i

zobrazowane są przez cztero-wektor k zgodnie z równościami :

k0 =

, km = Am , m= 1,2,3

Wprowadźmy :
F

µν

= k

- k

(23.7)

Wtedy zgodnie z (23.1)

E1 =

−

∂

k1/

∂

−

∂

k0/

∂

x1 =

∂

k1 /

∂

−

∂

k0 /

∂

x1 = F10 =

−

F10

I zgodnie z (23.1)

H1 =

−

∂

k3/

∂

−

∂

k2/

∂

x3 =

∂

k3/

∂

x2 +

∂

k2 /

∂

x3 = F23 = F

W takim razie sześć składników tensora antysymetrycznego F

µν

określają wielkości polowe E i H.

Z (23.7) wynika , że :
F

µν

+ F

νσ

+ F

σµ

= 0 (23.8)

To równanie zawiera w sobie równania Maxwella (23.3) i (23.4).
Dalej, z (23.6) mamy :

= F0m , m =

−

Fm0 , m = div E = 4

πρ

(23.9)

Analogicznie z (23.5) otrzymujemy :

= F10, 0 + F

, 2 + F

, 3 =

−

∂

E1/

∂

x0 +

∂

H3 /

∂

−

∂

H2 /

∂

x3 = 4

j1 (23.10)

Gęstość ładunku

oraz prąd jm obrazują cztero-wektor J

zgodnie z równościami :

J0 =

, Jm = jm

Wtedy (23.9) i (23.10) zostają sprowadzone do jednego równania :

µν

= 4

(23.11)

I tak przedstawiają się równania Maxwella przepisane w formie czterowymiarowej zgodnej ze STW .

Aby przejść do ogólnej teorii względności należy zapisać równania w formie kowariantnej. Z udziałem równości
(21.5) tensor (23.7) można bezpośrednio uogólnić :
F

µν

= k

−

To pozwala określić kowariantne wielkości polowe F

µν

Dalej otrzymujemy :

µν

+ F

µν

−

Γαµσ

αν

−

Γανσ

µα

Dokonując przestawienia cyklicznego indeksów

oraz dodając otrzymane tym sposobem równania mamy

(z udziałem (23.8) ) :
F

µν

+ F

νσ

+ F

σµ

= F

µν

+ F

νσ

+ F

σµ

= 0 (23.12)

W rezultacie to równanie Maxwella automatycznie przybiera postać kowariantną.
Pozostaje nam rozpatrzyć równanie (23.11). W ramach OTW jest ono nie słuszne i powinno być zamienione
przez równanie w formie kowariantnej.

µν

= 4

(23.13)

Z równości (21.3) która jest słuszna dla dowolnego antysymetrycznego tensora rzędu drugiego otrzymujemy :

( F

µν

√−

g ),

= 4

√−

Stąd bezpośrednio wynika równość :

( J

√−

g ),

= (4

) -1 ( F

µν

√−

g ),

µν

= 0

To równanie, analogiczne do (21.2) przedstawia prawo zachowania „elektryczności” (tj. ogólne prawa
zachowania w elektrodynamice – przypis własny ).
Obecność zakrzywienia przestrzeni nie narusza tego prawa , prawo wypełnione jest dokładnie.

24) Modyfikacja równań Einsteina w obecności materii

Przy braku materii równania Einsteina mają postać :

µν

= 0 (24.1)

Stąd wynika, że R = 0 w takim razie :

µν

−

½ g

µν

R = 0 (24.2)

Jeśli wziąć za wyjściowe równanie (24.2) to drogą zawężania można otrzymać :
R –2R = 0
i odpowiednio powrócić do (24.1). W charakterze podstawowych równań dla pustej przestrzeni można wziąć
(24.1) jak i (24.2).

W przypadku obecności materii równania te należy koniecznie zmodyfikować. Załóżmy że zmodyfikowane
równania (24.1) możemy zapiszemy w formie :

µν

= X

µν

(24.3)

a (24.2) przyjmują postać :

µν

−

½ g

µν

R = Y

µν

(24.4)

Gdzie X

µν

i Y

µν

- tensory symetryczne drugiego rzędu wyrażające obecność materii.

Teraz widać, że (24.4) – jest bardziej dogodna w zapisie dla dalszych rachunków, ponieważ jak mają miejsce
tożsamości Bianchi które pokazują że:

[ R

µν

−

½ g

µν

R ]:

= 0

Odpowiednio (24.4) pociąga za sobą równość :

µν

= 0 (24.5)

Dane pole tensorowe Y

µν

„wytwarzające” materię powinno spełniać powyższy warunek w przeciwnym razie

równania (24.4) będą niezgodne.

Dla wygody wprowadzimy w równaniu (24.4) współczynnik : - 8

i przepiszemy go w formie

µν

−

½ g

µν

R =

−

µν

(24.6)

W dalszej części będzie pokazane że tensor Y

µν

, z tym współczynnikiem należy interpretować jako gęstość i

strumień energii-pędu (pochodzenia nie grawitacyjnego), przy czym Y

0 przedstawia sobą gęstość a Y

r –

strumień.
W przestrzeni płaskiej równanie (24.5) miało by postać :

µν

= 0

i pociągało by za sobą prawo zachowania energii i pędu. W przestrzeni zakrzywionej energia i pęd zachowane
są jedynie w przybliżeniu. Nie spełnienie prawa zachowania, spowodowane jest działaniem pola grawitacyjnego
na materię i obecnością energii i pędu własnego pola grawitacyjnego.

25) Tensor energii-pędu materii

Niech będzie dany pewien rozkład materii, prędkość której zmienia się w sposób ciągły od punktu do punktu.

Jeśli oznaczyć z

jako współrzędną elementu materii to można wprowadzić wektor prędkości v

= dz

/ds,

który podobnie jak wielkości polowe będzie ciągłą funkcją współrzędnych punktu.
Wektor prędkości posiada następujące własności :

µν

= 1

0 = ( g

µν

= g

µν

( v

+ v

) = 2g

µν

(25.1)

Stąd :

= 0 (25.2)

Można wprowadzić pole skalarne

takim sposobem aby pole wektorowe

określało gęstość i strumień

materii tak jak J

określa gęstość i strumień ładunku elektrycznego innymi słowami, aby

√−

g było gęstością

√−

g – strumieniem.

Konieczny warunek dla zachowania materii ma postać :

(

√−

g ),

= 0

lub

(

)

= 0 (25.3)

W rozpatrywanym przypadku gęstość i strumień energii materii będzie miał postać :

v0 v0

√−

v0 vm

√−

a następujące wielkości będą, odpowiednio gęstość i strumień pędu :

vn v0

√−

g ,

vn vm

√−

Podstawmy :

µν

(25.4)

Wtedy T

µν

√−

g zawiera gęstość i strumień energii i pędu.

Wielkości te nazywamy tensorem energii-pędu materii. Tensor T

µν

jest oczywiście tensorem symetrycznym.

Czy można w charakterze członu materialnego w prawej części równań Einsteina (24.6) wykorzystać T

µν

Dla tego potrzebne jest aby spełniona była równość:

µν

= 0

Z (25.4) mamy :

µν

= (

= v

(

)

Pierwszy człon w prawej części staje się zerem na mocy prawa zachowania masy (25.3).
Drugi człon znika jeśli materia porusza się po geodezyjnej, ponieważ w przypadku kiedy zamiast zadać ją tylko

na linii świata, v

określimy ją jako funkcje ciągłą pola , mamy :

/ds =v

Wtedy (8.3) przybiera postać :

Γµνσ

) v

= 0

lub

= 0 (25.5)

Teraz widać, że tensor energii-pędu materii (25.4) z odpowiadającym mnożnikiem liczbowym k można
podstawić do równań Einsteina (24.4). Otrzymujemy:

µν

−

½ g

µν

R = k

(25.6)

Określimy teraz wartość współczynnika k. Przejdziemy śladem metody wyłożonej w rozdziale 16, prowadzącej
do przybliżenia Newtonowskiego. Zauważmy, że zawężając (25.6) mamy :

−

R = k

Wtedy (25.6) można zapisać w postaci :

µν

= k

[ v

−

½ g

µν

]

W przybliżeniu słabego pola zgodnie z (16.4) otrzymujemy:

½ g

ρσ

µν

−

νσ

µρ

−

µρ

µσ

+ g

µν

ρσ

) = k

[ v

−

½ g

µν

]

Rozpatrzmy pole statyczne oraz statyczne rozłożenie materii.
W tym przypadku v0 = 1 , vm= 0 . Zakładając

= 0, oraz odrzucając człony drugiego rzędu znajdujemy :

−

∇

00 = ½ k

lub z udziałem (16.6):

∇

2V =

−

½ k

Dla tego, aby to było zgodne z równaniem Poissona należy wziąć : k =

−

W takim razie równania Einsteina w przypadku poruszającej się materii mają postać :

µν

−

½ g

µν

R =

−

πρ

(25.7)

Wtedy, T

µν

zadane przez (25.4) jest zgodne z Y

µν

z równania (24.6)

Warunek zachowania masy (25.3) daje :

= 0

odpowiednio mamy :

∂ρ

/ds = (

∂ρ

/dx

−

(25.8)

Warunek ten ustala prawo zmiany

wzdłuż linii świata elementu materii.

Przy przejściu od linii świata pewnego elementu do linii świata elementu sąsiedniego zasada (25.8) dopuszcza
dowolną zmianę

. Znaczy to, ze można wybrać tak

aby było równe wszędzie zeru oprócz zbioru linii świata

obrazujących rurkę czasoprzestrzenną .
Taki zbiór opisywałby cząstkę o skończonych rozmiarach. Poza cząstką mamy :

= 0 i odpowiednio stosujemy

równań Einsteina dla pustej przestrzeni.

Zauważmy, że jeśli przyjąć ogólną postać równań pola (25.7) to z nich można wywieść dwa wnioski:

zachowanie masy i ruch materii po geodezyjnych. Przypomnimy że: [R

µν

−

½ g

µν

R ]:

jest zerem zgodnie z

tożsamościami Bianchi , skąd mamy :

(

= 0

lub

(

= 0 (25.9)

Pomnóżmy to równanie przez v

. Drugi człon da zero, co wynika z (25.2) i pozostaje (

= 0 , a to jest

zgodne z zasadą zachowania (25.3). Teraz równanie (25.9) prowadzi do równości : v

= 0 tzn. do równania

geodezyjnej. W takim razie nie trzeba robić założenia ze cząstka porusza się po geodezyjnej. Dla małej cząstki
ruch wzdłuż geodezyjnej zapewniony jest przez równania Einsteina dla pustej przestrzeni w obszarze wokół
cząstki.

26) Zasada wariacyjna dla grawitacji

Wprowadźmy skalar :

I = ∫ R

√−

g d4x (26.1)

Gdzie całkowanie prowadzone jest po określonej czterowymiarowej objętości.
Dodajmy mały przyrost do g

µν

oznaczony jako

µν

przyrost ten zachowuje g

µν

oraz jego pierwsze pochodne

na granicy całkowanego elementu objętości.
Wymaganie:

I = 0 przy dowolnych

µν

prowadzi, jak będzie pokazane później, do równań Einsteina dla

pustej przestrzeni.
Z (14.4) mamy :

R = g

µν

= R*

−

Gdzie :

R* = g

µν

(

Γσµσ

−

Γσµν

) (26.2)

L = g

µν

(

Γσµν

Γσσρ

−

Γρµσ

Γσνρ

) (26.3)

Skalar I zawiera drugie pochodne g

µν

ponieważ wchodzą one w R* , jednak te pochodne wchodzą tylko w

formie liniowej i odpowiednio można je wykluczyć całkując przez części.
Otrzymamy zatem :

√−

g = ( g

µν

Γσµσ

√−

g ),

−

( g

µν

Γσµν

√−

g ),

−

( g

µν

√−

g ),

Γσµσ

+ ( g

µν

√−

g ),

Γσµν

(26.4)

Dwa pierwsze człony są pochodnymi zupełnymi i dlatego nie dają one wkładu do I.
Tak więc w (26.4) należy zostawić tylko dwa ostatnie człony. Z udziałem (22.5) i (22.4) przyjmują one postać :

νβ

Γµβν

Γσµσ

√−

g + (

−

νβ

Γµβσ

+ g

µν

Γβσβ

)

Γσµν

√−

g s

Jest to zgodne z 2L

√−

g z równania (26.3).

W takim razie dla I otrzymujemy wyrażenie :

I = ∫ L

√−

g d4x

zawierające tylko g

µν

oraz jego pierwsze pochodne.

Skalar I jest jednorodna formą kwadratową względem pierwszych pochodnych.
Podstawmy £ = L

√−

g,weźmiemy tą wielkość (z odpowiadającym liczbowym czynnikiem który będzie

określony dalej) w charakterze gęstości działania dla pola grawitacyjnego.
Wielkość £ nie jest gęstością skalarną , jednak wygodniej jest na niej prowadzić rachunki niż na wielkości
R

√−

g będącej gęstością skalarną, ponieważ £ nie zawiera drugich pochodnych g

µν

Zgodnie z dynamiką klasyczną działanie jest całką względem czasu Lagrangianu. W rozpatrywanym przypadku

I = ∫ £

√−

g d4x = ∫ dx0 ∫ £ dx

1dx2dx3

Tak, że lagranżjanem oczywiście jest :

∫ £ dx1dx2dx3
W takim wypadku £ można rozpatrywać jako gęstość Lagrangianu (w trzech wymiarach) i jako gęstość
działania (w czterech wymiarach). Składowe g

µν

można uważać jako współrzędne dynamiczne a ich pochodne

po czasie jako prędkości. Zauważmy również ze Lagrangian jest niejednorodną kwadratową formą względem
prędkości jak to ogólnie bywa w mechanice klasycznej.

Teraz dokonamy wariacji £. Wykorzystując (20.6) i (22.5) otrzymujemy :
δ

(

Γαµν

Γβαβ

µν

√−

g ) =

Γαµν

δ (

Γβαβ

µν

√−

g ) +

Γβαβ

µν

sqrt(.) δ

Γαµν

δ( g

µν

√−

) +

Γβαβ

δ (

Γαµν

µν

√−

g )

−

Γβαβ

Γαµν

δ ( g

µν

√−

g ) =

Γαµν

δ( g

µν

√−

)

−

Γβαβ

δ( g

αν

√−

g ) ,

−

Γβαβ

Γαµν

δ( g

µν

√−

g ) (26.5)

A zgodnie z (22.3) :
δ

(

Γβµα

Γανβ

µν√−

g ) = 2 (δ

Γβµα

)

Γαµβ

µν

√−

g +

Γβµα

Γαµβ

δ ( =

Γαµν

δ ( g

µν

√−

g ) =

= 2 δ(

Γβµα

µν

√−

g )

Γαµβ

−

Γβµα

Γανβ

δ ( g

µν

√−

g ) =

−

δ( g

νβ

√−

g )

Γανβ

−

Γβµα

Γανβ

δ ( g

µν

√−

g ) (26.6)

Odejmując (26.6) od (26.5) znajdujemy:
δ£ =

Γαµν

δ ( g

µν

−

Γβαβ

δ ( g

αν

√−

g ),

+ (

Γβµα

Γανβ

−

Γβαβ

Γαµν

) δ ( g

να

√−

g ) (26.7)

Dwa pierwsze człony różnią się od :

−

Γαµν

δ ( g

µν

√−

g ) +

Γβµβ

δ ( g

µν

√−

g )

o pochodną zupełną. Stąd mamy:

δI = δ ∫ £ d4x = ∫ R

µν

δ ( g

µν

√−

g )d4x (26.8)

gdzie R

µν

zadane jest wzorem (14.4).

Przy dowolnym δ g

µν

wielkości δ( g

µν

√−

g ), także są dowolne i niezależne tak więc żądanie zerowania się

(26.8) przywodzi do równań Einsteina w formie (24.1)

Metodą analogiczną do (7.9) można pokazać ze :

δ g

µν

−

µα

νβ

δ g

αβ

(26.9)

Odpowiednio z (20.5) otrzymujemy :

δ sqrt(.) = ½

√−

g g

αβ

δ g

αβ

(26.10)

W takim razie :
δ ( g

µν

√−

g ) =

−

[ g

µα

νβ

−

½ g

µν

αβ

]

√−

g δ g

αβ

Wtedy (26.8) można zapisać w innej formie :
δI =

−

∫ R

µν

µα

νβ

−

½ g

µν

αβ

]

√−

g δg

αβ

d4x =

−

∫ (R

αβ

−

½ g

αβ

√−

g δg

αβ

d4x (26.11)

Żądanie zerowania się (26.11) prowadzi do równań Einsteina w postaci (24.2)

27) Działanie dla ciągłego rozkładu materii

Rozpatrzymy ciągły rozkład materii, prędkość której zmienia się w sposób ciągły od punktu do punktu podobnie
jak było to zrobione w rozdziale 25. Zapiszemy zasadę wariacyjną  dla przypadku materii oddziałującej z polem
grawitacyjnym w formie :
δ ( Ig + Im ) = 0                                                                                                                                                 (27.1)
gdzie grawitacyjna część działania Ig zgodna jest z dokładnością do pewnego liczbowego mnożnika k z I z
poprzedniego rozdziału, a Im – jest materialna częścią działania która będzie określona w dalszej kolejności.

Warunek  (27.1) powinien prowadzić do równań Einsteina w formie (25.7) dla pola grawitacyjnego w obecności
materii i do równań geodezyjnej dla ruchu materii.
W dalszej części konieczne będzie zbadanie, jak wpływa na Im dowolna wariacja położenia elementu materii.
Rozpatrzenie tego problemu stanie się bardziej jasnym jeśli najpierw rozpatrzymy czysto kinematyczne wariację
bez związku z metryką  g

µν

. W tym przypadku istnieje podstawowa różnica miedzy wektorami ko- i kontra-

wariantnymi ,dlatego nie można przechodzić od jednego do drugiego. Prędkość opisywana jest zależnością

współczynników kontrawariantnego wektora u

i nie może być unormowany bez wprowadzenia metryki.

Dla ciągłego strumienia materii wektor prędkości u

(z pewnym nie znanym mnożnikiem) zadany jest w

każdym punkcie. Można zbudować zgodny z kierunkiem wektora u

kontrawariantny wektor gęstości

ρµ

który określa wielkość i prędkość strumienia w postaci:

p0dx1dx2dx3,

równy ilości materii w elemencie objętości : dx1dx2dx3, w określonym momencie czasu oraz :

p1dx0dx2dx3,

równego ilości materii, która przechodzi przez element powierzchni dx2dx3 przez czas dx0,

Założymy, że ilość materii jest zachowana, wtedy :

= 0 (27.2)

Niech każdy element materii przemieszcza się z punktu z

do punktu z

+ b

, gdzie b

- wielkość mała

Musimy określić jaka będzie wynikowa zmiana p

w zadanym punkcie x.

Z początku rozpatrzmy przypadek b0 = 0. Zmiana ilości materii znajdującej się w trójwymiarowej objętości V,
równa jest, ze znakiem przeciwnym, ilości materii przechodzącej przez granicę objętości :
δ ∫ v p0dx1dx2dx3 =

−

∫ p0brdSr r = 1,2,3

gdzie dSr oznacza element powierzchni ograniczającej objętość V.
Prawą część tej równości można przekształcić zgodnie z twierdzeniem Gaussa, wtedy otrzymamy :
δ p0 =

−

(p0 br ) , r (27.3)

Teraz rezultat ten należy uogólnić na przypadek b0 ≠ 0 .

Jeśli b

jest proporcjonalne do p

to każdy element materii przemieszcza się wzdłuż swojej linii świata i

odpowiednio wektor p

jest nie zmienny. Uogólnienie (27.3) ma oczywistą, następującą postać:

δp0 = (pr b0 – p0 br ), r
ponieważ przy b0 = 0ostatnie równanie to zgodne jest z (27.3) a przy b

proporcjonalnym do p

, daje δ p0 = 0

Wzór ten jest słuszny również dla innych składników p

, tak że końcowy rezultat ma postać :

δp

= (p

– p

)

(27.4)

Przy opisie ciągłego potoku materii, p

jest podstawową wielkością charakteryzującą która powinna wejść do

funkcji działania. Wariacja wielkość p

powinna być zgodna z formułą (27.4) a zatem po odpowiadającym

całkowaniu współczynniki przy każdym ze składników b

powinny być przyrównane do zera. Takie

postępowanie przywodzi nas do równań ruchu materii.

Działanie dla izolowanej cząstki o masie m ma postać :
-m ∫ds (27.5)
Konieczność wprowadzenia współczynnika –m stanie się jasna jeśli rozpatrzyć przypadek STW dla którego
lagranżjan miał by postać pochodnej po czasie od (27.5) tj. :

L =

−

m ds/dx0 =

−

m [1

−

( dxr/dx0) dxr/dx0 ] ½

(sumowanie przeprowadzamy po r ; r = 1,2,3 ), stąd otrzymujemy wyrażenie dla pędu :

∂

L /

∂

(

∂

xr/dx0 ) = m dxr/dx0 ( 1

−

dxn/dx0 dxn/dx0 )

−

½ = m dxr/ds

Działanie dla ciągłego rozkładu materii otrzymamy zamieniając m w (27.5) wielkością : p0dx1dx2dx3 i
całkowaniem :

I m =

−

m ∫ p0dx1dx2dx3ds (27.6)

Aby zapisać I m w bardziej użytecznej formie wprowadzimy tensor metryczny i zastosujemy formułę :

√−

g (27.7)

gdzie

- skalar określający gęstość, a v

- wektor jednostkowy zgodny z kierunkiem u

Otrzymujemy zgodnie z tym :

I m =

−

∫

√−

g v0dx1dx2dx3ds =

−

∫

√−

g dx4 (27.8)

Gdzie wprowadzono v0ds = dx0

Taka forma zapisu działania nie jest wygodna dla wariacji ponieważ

i v

nie są zmiennymi niezależnymi.

Aby można było wykorzystać formułę (27.4)

i v

powinny być wyrażone przez p

. Z (27.7) znajdujemy :

)½ =

ρ√−

Tak więc (27.8) przyjmuje postać :

I m =

−

∫ (p

)½ dx4 (27.9)

Dla określenia wariacji tego wyrażenia wspomożemy się równością :
δ(p

)½ = ½ (p

)

−

½ ( p

δg

µν

+ 2 p

δp

) = ½

√−

g δg

µν

+ v

δp

Teraz z zasady wariacyjnej (27.1) po podstawieniu do niej (26.11) pomnożonego przez współczynnik k
otrzymujemy :
δ (Ig + Im ) =

−

∫ [ k ( R

µν

−

½ g

µν

R ) + ½

]

√−

g δg

µν

d4x

−

∫ v

δp

dx4 (27.10)

Przyrównując do zera współczynnik przy δg

µν

oraz wybierając k = (16

)–1 otrzymujemy równania Einsteina

(25.7). Ostatni człon (27.10) z udziałem (27.4) i (25.2) daje:

−

∫ v

( p

– p

)

dx4 = ∫ v

( p

– p

)

4 = ∫ (v

−

) p

dx4 =

= ∫ (v

−

)

√−

g dx4 = ∫ v

√−

g dx4 (27.11)

Przyrównując do zera współczynnik przy b

otrzymujemy równanie geodezyjnej (25.5)

28) Działanie dla pola elektromagnetycznego

Zwykłe wyrażenie dla gęstości działania pola elektromagnetycznego ma postać :

) –1 (E2

−

H2 )

Jeśli zapisać je w oznaczeniach czterowymiarowych STW wprowadzonych w rozdziale 23 to otrzymamy :

−

(16

) –1F

µν

To przywodzi nas do następującego wyrażenia dla inwariantnego działania w OTW :

Iem =

−

(16

) –1 ∫ F

µν

√−

g dx4 (28.1)

Należy przyjąć do wiadomości że F

µν

= k

−

znaczy to, że Iem jest funkcją tylko g

µν

oraz

pochodnych od potencjałów elektromagnetycznych.

Z początku dokonamy wariacji g

µν

zostawiając kσ stałe, wtedy F

µν

(nie F

µν

) jest również stałe.

Z (26.10) i (26.9) mamy :
δ(F

µν

√−

g ) = F

µν

√−

g + F

µν

αβ

√−

g δ(g

µα

νβ

) = ½ F

µν

√−

g δ g

σ –

−

µν

αβ

√−

g g

µρ

σ g

νβ

δg

W takim razie :
δ(F

µν

√−

g ) = [ ½ F

µν

σ – 2Fσ

Fσ

]

√−

g δ g

σ = 8Π E

√−

g δg

σ (28.2)

gdzie symetryczny tensor E

σ zdefiniowany zależnością :

σ =

−

Fσ

+ ¼ g

σ F

µν

(28.3)

jest tensorem energii-pędu pola elektromagnetycznego. Zauważmy, że w STW mamy:

E00 = E2 – ½ (E2

−

H2 ) = ½ (E2

−

H2 )

E01 =

−

F02 F

−

F03 F

13 = E2H3

−

E3H2

tj. E00 opisuje gęstość energii, a E0n jest wektorem Pointynga charakteryzującym natężenie strumienia energii.

Wariacja k

przy zadanych g

αβ

z udziałem (21.3) daje :

δ(F

µν

√−

g ) = 2F

µν

√−

g δF

µν

= 4F

µν

√−

g δk

= 4(F

µν

√−

g δk

) ,

−

4(F

µν

√−

g ),

δk

= 4 (F

µν

√−

g δk

−

µν

√−

g δk

(28.4)

Dodając (28.2) oraz (28.4) i mnożąc rezultat przez

−

otrzymujemy wyrażenie dla pełnej wariacji:

δIem = ∫ [

−

½ E

µν

δ g

µν

+ (4

)–1F

µν

δk

]

√−

g d4x (28.5)

29) Działanie dla naładowanej materii

W poprzednim rozdziale było rozpatrzone pole elektromagnetyczne w przypadku braku ładunków.
Aby opisać ładunki należy wprowadzić odpowiedni człon w działaniu. Dla pojedynczej cząstki z ładunkiem e
dopełniający człon w działaniu ma postać :

−

e ∫ k

−

e ∫ k

ds (29.1)

gdzie całkowanie przeprowadzamy wzdłuż linii świata.

Jeśli cząstka niosąca ładunek jest cząstką punktową to wynikają pewne trudności związane z tym że jej pole
elektromagnetyczne zawiera osobliwość (ten problem rozważany jest np. w książce W. Pauliego „Teoria
względności” – przypis tłumacza)
Te trudności można obejść, jeśli rozpatrzyć w miejsce nośnika punktowego ładunku ciągły rozkład materii.
Będziemy opisywać taki rozkład materii w ramach formalizmu rozwiniętego w rozdziale 27, zakładając ze każdy
element materii jest nośnikiem ładunku.

W kinematycznych zadaniach figurowała kontrawariantną gęstość wektorowa p

określająca gęstość i strumień

materii. Teraz należy wprowadzić kontrawariantną gęstość wektorową J

określającą gęstość i strumień

elektryczności. Te dwa wektory powinny być zgodne co do kierunku . przy małych przesunięciach przyrost

gęstości wektorowej J

zgodnie z (27.4) można zapisać w następującej formie :

δJ

= ( J

−

) (29.2)

z samym znaczeniem b

jak w (17.4)

Dla cząstki niosącej ładunek działanie (29.1) w przypadku ciągłego rozkładu naładowanej materii prowadzi
(analogicznie do (27.6)) do :

I q =

−

∫ J0 k

dx1dx2dx3ds.

Przy wprowadzaniu metryki zakładamy, zgodnie z (27.7), że :

= σ v

√−

g (29.3)

Gdzie σ – jest funkcją skalarna określająca gęstość ładunku.

Wtedy działanie przyjmuje postać, analogiczną do (27.8) :

I q =

−

∫ σ k

√−

g dx4 =

−

∫ k

dx4 (29.4)

W takim razie mamy :
δI q =

−

∫ [J

δk

+ k

−

] dx4 = ∫ [

−

σ v

√−

g δk

+ k

( J

−

)] dx4 =

= ∫ σ (

−

δk

+ F

µν

)

√−

g dx4 (29.5)

Równania oddziaływania wzajemnego, materii naładowanej z polem grawitacyjnym i elektromagnetycznym
wynikają z ogólnej zasady wariacyjnej :
δ (I g + I m + I em + I q ) = 0 (29.6)
Weźmy sumę wyrażeń (29.5), (28.5) i (27.10) zamieniając ostatni człon w (27.10) na (27.11) oraz przyrównując

do zera sumę współczynników przy wariacjach δg

µν

, δk

, b

Jeśli współczynnik przy

√−

g δg

µν

pomnożyć przez -16

to otrzymamy :

µν

−

½ g

µν

R + 8

+ 8

µν

= 0 (29.7)

Równanie (29.7) przedstawia sobą równanie Einsteina (24.6) z Y

µν

złożonym z dwóch członów - tensora

energii-pędu materii oraz tensora energii-pędu pola elektromagnetycznego.

Współczynnik przy

√−

g δk

daje:

-σ v

+ (4

) –1F

µν

= 0

Z (29.3) widać że σ v

jest zgodne z wektorem prądu J

w takim razie mamy:

µν

= (4

) J

(29.8)

Równanie (29.8) przedstawia sobą równanie Maxwella (23.13) w przypadku obecności ładunków.

Na koniec, dla współczynnika przy

√−

g b

znajdujemy :

+ σF

µν

= 0

lub

+ F

µν

= 0 (29.9)

Drugi człon w (29.9) przedstawia sobą siłę Lorentza, powodującą odchylenie elementu materii od trajektorii
geodezyjnej. Równanie (29.9) wynika z równań (29.7) i (29,8). Z uwzględnieniem tożsamości Bianchi
otrzymujemy :

(

+ E

µν

= 0 (29.10)

Dalej zgodnie z (28.3) oraz z wykorzystaniem (23.12) i ((29.8) mamy :

µν

−

µα

−

µα

+ ½ g

µν

αβ

−

µα

−

½ g

µρ

νσ

ρσ

−

ρν

−

νσ

) = 4

µα

W takim razie (29.10) przyjmuje postać :

(

+ F

µα

= 0 (29.11)

Mnożąc (29.11) przez v

oraz wykorzystując (25.2) otrzymujemy :

(

−

µα

= 0

(uwzględniono tutaj warunek J

wynikający z tego że J

i v

powinny być zgodne co do kierunku)

Wtedy pierwszy człon w (29.11) zeruje się i przychodzimy do (29.9) W takim razie równania wynikające z
zasady wariacyjnej  (29.6) nie są nie zależne co jest wynikiem niezwykłym.
Przyczyny takiego wyniku będziemy rozpatrywać w rozdziale 30.

30) Zasada wariacyjna w przypadku ogólnym

Metodę rozwiniętą w rozdziale 29 można uogólnić na przypadek oddziaływania wzajemnego pola
grawitacyjnego z innymi  polami oddziałującymi między sobą. Zasadę wariacyjną w ogólnym przypadku można
zapisać w postaci:
δ ( Ig + I’ ) = 0                                                                                                                                                   (30.1)
gdzie Ig – działanie pola grawitacyjnego omówione powyżej, a I’- działanie dla wszystkich pozostałych pól
złożone ze sumy składników – po jednym dla każdego pola.

Wielkim udogodnieniem wykorzystania zasady wariacyjnej  jest możliwość łatwego otrzymania poprawnych
równań, dowolnych wzajemnie oddziałujących pól. Należy jedynie znaleźć działanie dla każdego z

rozpatrywanych pól i dołączyć wszystkie te człony do (30.1) Działanie pola grawitacyjnego Ig = ∫ L d

gdzie L – gęstość lagranżjanu z rozdziału 26 z mnożnikiem (16π )-1

Dla grawitacji Ig mamy :
δIg = ∫ [(

∂

L /

∂

αβ

) δg

αβ

+ (

∂

L /

∂

αβ

) δg

αβ

] d4x = ∫ [

∂

L /

∂

αβ

−

(

∂

L /

∂

αβ

] δg

αβ

d4x

Rozważania z rozdziału 26 które prowadziły do (26.11) pokazują że :

∂

L /

∂

αβ

−

(

∂

L /

∂

αβ

= (16π)-1 ( R

αβ

−

½ g

αβ

√−

g (30.2)

Niech

n (n =1,2,3), oznacza pole wielkości nie grawitacyjnych. Zakładając, że każda z

n jest składową

tensora, którego konkretnie własności są nie istotne.
Wielkość I’ ma postać całki od gęstości skalarnej :

I’ = ∫ L’ d4x
gdzie L’ – funkcja

n i ich pierwszych (możliwe również że wyższych) pochodnych.

Wariacja działania daje następujący rezultat :

δ ( Ig + I’ ) = ∫( p

µν

δg

µν

+ Σn χ

n δ

n )

√−

g d4x (30.3)

gdzie p

µν

= p

νµ

, tak jak dany człon zawierający δ (pochodna od wielkości polowej) przy pomocy całkowania

przez części można przekształcić w wyrażenie które zawarte jest w (30.3)

W takim razie zasada wariacyjna (30.1) prowadzi do równań pola :

µν

= 0 (30.4)

χn = 0 (30.5)

Teraz p

µν

składa się z dwóch składników : członu (30.2) zależnego od Ig i członu (oznaczmy go przez N

µν

)

tworzącego L’. Oczywiście : N

µν

= N

νµ

. Wielkość L’ zwykle nie zawiera pochodnych po g

µν

, w tym

przypadku :

µν

√−

g =

∂

L’ /

∂

µν

(30.6)

Teraz równanie (30.4) przyjmuje postać :

µν

−

½g

µν

−

(16

) N

µν

= 0

A to jest nic innego, jak równanie Einsteina (24.6) z :

µν

−

2 N

µν

(30.7)

Stąd widać jaki wkład w prawą część daje każde z pól w zależności od tego (zgodnie z (30.6)) pod jaką postacią
wchodzi g

µν

w działanie dla danego pola.

Dla zgodności równań N

µν

powinno spełniać równość N

µν

= 0.

Tą własność można w ogólnej postaci wyprowadzić z warunku, że I’ jest inwariantne względem przekształceń
współrzędnych pozostawiających niezmienioną granicę powierzchni.

Rozpatrzmy przekształcenie współrzędnych typu :

’ = x

+ b

, gdzie b

jest małe oraz jest funkcją x, będziemy szukać wariacji I’ pierwszego rzędu względem

. Prawo transformacji dla g

µν

ma (zgodnie z 3.7) postać :

µν

(x) = x

’

’(x’) (30.8)

gdzie indeksy z apostrofem stoją przy przekształcanym tensorze.

Niech δg

µν

oznacza zmianę g

µν

pierwszego rzędu, nie przy ustalonej wartości pola, a przy ustalonym

znaczeniu współrzędnych w których zadano g

αβ

w ten sposób, że:

’

’(x’) = g

αβ

(x’) + δg

αβ

= g

αβ

(x) + g

αβ

+ δg

αβ

Mamy dalej :

’

= ( x

+ b

= g

αµ

+ g

Tak więc z (30.8) wynika, że :

µν

(x) = ( g

αµ

+ g

) ( g

βν

+ g

) [ g

αβ

(x) + g

αβ

+ δg

αβ

] = g

µν

(x) + g

αβ

+ δg

µν

+ g

µβ

+ g

αµ

I tak :
δg

µν

−

µα

−

να

−

µν

Określimy teraz wariację I’ przy takiej właśnie zmianie g

µν

, pozostałe pola mają w punkcie x

’ takie wartości

jak do przekształcenia ich w punkcie x

. Wykorzystując (30.6) oraz na podstawie twierdzenia wyrażonego

formułą (21.4) słuszna dla dowolnego symetrycznego tensora drugiego rzędu znajdujemy :
δI’ = ∫ N

µν

δg

µν

√−

g d4x = ∫ N

µν

(

−

µα

−

να

−

µν

)

√−

g d4x =

= ∫ [2 (N

αµ

√−

g ) ,

−

µν

µν√−

g ] b

d4x = 2 ∫ (N

αν

√−

g ) d4x

Inwariantność I’ oznacza że wielkość δI’ powinna się zerować przy danych wielkościach b

Zgodnie z tym :

αν

= 0

W skutek tej równość równania pola (30.4) (30.5) nie są niezależne.

31) Pseudo tensor energii-pędu pola grawitacyjnego

Wprowadzimy wielkość t

µν

zdefiniowaną zależnością :

µν

√−

g s = (

∂

L /

∂

αβ

) g

αβ

−

µν

L (31.1)

Mamy więc :

µν

√−

g ),

= (

∂

αβ

+ (

∂

αβ

) g

αβ

µν

−

L ,

I dalej :
L,

= (

∂

L /

∂

αβ

) g

αβ

+ (

∂

αβ

) g

αβ

νµ

Zgodnie z (30.2) mamy :

µν

√−

g ),

= [(

∂

L /

∂

αβ

−

∂

L /

∂

αβ

] g

αβ

= (16

)-1 ( R

αβ

−

½ g

αβ

R) g

αβ

√−

Teraz z pomocą równań pola (24.6) otrzymujemy :

µν

√−

g ),

−

½ Y

αβ

√−

w takim razie z (21.4) i warunku Y

µν

= 0 mamy :

[(t

µν

+ Y

µν

)

√−

g ],

= 0 (31.2)

Zależności te przywiodły nas do prawa zachowania ,dlatego zachowaną gęstość typu :

µν

+ Y

µν

)

√−

g , należy rozpatrywać w charakterze gęstości energii– pędu.

(Do prawa zachowania (31.2) prowadzi także wyrażenie dla t

µν

√−

g odróżniające się od (31.1) członem

postaci

∂

µνα

∂

gdzie η

µνα

−

∂

µαν

tj. t

µν

określone jest niejednoznacznie.

W rzeczywistości znane jest wiele wyrażeń dla tej wielkości :
Einsteina, Landaua-Lifszyca, Mollera-Mickewicza – przypis tłumacza)

Jak było pokazane Y

µν

przedstawia sobą energię-pęd pól nie grawitacyjnych odpowiednio t

µν

opisuje

energię-pęd pola grawitacyjnego. Jednak t

µν

nie jest wielkością tensorową.

Równanie (31.1) definiujące t

µν

można zapisać w postaci :

µν

= (

∂

L /

∂

αβ

) g

αβ

µν

−

νµ

L (31.3)

Tutaj L nie jest skalarem, ponieważ przy jego wyprowadzaniu musieliśmy dla wykluczenia drugich pochodnych
przekształcać skalar R, który był pierwotnie wybrany w charakterze działania.

Znaczy to że t

µν

, że nie może być tensorem. Wielkość te otrzymała nazwę – pseudotensor

( pseudotensor energii-pędu – przypis własny)

Przy znajdowaniu wyrażenia dla energii pola grawitacyjnego nie można spełnić jednocześnie następujących
warunków :

1) po dopisaniu do wielkości t

µν

innych form energii pełna energia jest zachowana

2) energia zawarta w określonym (trójwymiarowej) objętości w zadanym momencie czasu nie zależy od

wyboru układu współrzędnych

Przychodzimy zatem do wniosku że energii pola grawitacyjnego, ogólnie mówiąc nie można zlokalizować.
W najlepszym wypadku można wykorzystywać pseudo tensor spełniający tylko warunek 1) .
To daje przybliżoną informacje o energii grawitacyjnej. (przy czym w szczególnych przypadkach informacja ta
może być dokładna)
Zapiszmy całkę :

∫( t

0 + Y

0 )

√−

g dx1dx2dx3 (31.4)

gdzie całkowanie odbywa się względem trójwymiarowej objętości, zawierającej pewien układ fizyczny w danej
chwili czasu.

Można oczekiwać że jeśli całkowana objętość będzie dążyła do nieskończoności otrzymamy wartość pełnej
energii-pędu, przy czym :
a) całka jest zbieżna
b) strumień przez powierzchnię ograniczającą obszar całkowania dąży do zera

Wtedy z równania (31.2) widać że wartości całki (31.4) w danym momencie czasu x0 = a, oraz w pewnym

innym momencie x0 = b są równe. Mało tego, całka ta nie powinna zależeć od wyboru układu współrzędnych,

tak jak można, nie zmieniając współrzędnych w chwili x0 = a przekształcać je w chwili x0 = b.

W takim razie znaleźliśmy jednoznaczne wyrażenie dla  zachowania całkowitej energii i pędu.
Warunki a) i b) konieczne dla zachowania całkowitej energii i pędu dla praktycznych, interesujących nas
przypadków są spełnione sporadycznie. Warunki te byłyby spełnione jeśli przestrzeń była by statyczna wewnątrz
skończonej czterowymiarowej rurki. Taka sytuacja jest zrealizowana jeśli pewne ciała materialne  rozpoczynają
ruch w określonym momencie czasu i ruch ten wywołuje  perturbacje rozprzestrzeniające się wewnątrz (pewnej
rurki czasoprzestrzennej – przypis własny) z prędkością światła. W przypadku zwykłego ruchu układu
planetarnego ruch rozpoczął się  nieskończenie dawno temu i warunki  a), b) nie są spełnione.
Osobnego omówienia wymaga pytanie o energii fal grawitacyjnych, temu problemowi poświęcony jest rozdział
33.

32) Jawna postać dla pseudotensora

Wzory (31.1) określające t

µν

można zapisać następująco:

µν

√−

g = (

∂

L /

∂

qn ,

) qn,

−

νµ

L (32.1)

gdzie qn (n =1,2,3 .... 10 ) odpowiada dziesięciu g

µν

i sumowanie odbywa się po wszystkich znaczeniach n.

Analogicznie (32.1) można przepisać w postaci :

µν

√−

g = (

∂

L /

∂

Qm ,

) Qm,

−

νµ

L (32.2)

gdzie Qm - dowolne dziesięć niezależnych funkcji qn.
Aby to pokazać zauważmy że :
Qm,

= (

∂

Qm/

∂

qn )qn ,

Odpowiednio :

∂

L /

∂

qn ,

= (

∂

L /

∂

Qm ,

) (

∂

Qm,

∂

qn,

) = (

∂

L /

∂

Qm ,

) (

∂

Qm /

∂

qn )g

νσ

= (

∂

L /

∂

Qm ,

) (

∂

Qm /

∂

qn)

Wtedy :
(

∂

L /

∂

qn ,

)qn ,

= (

∂

Qm ,

) (

∂

Qm /

∂

qn )qn,

= (

∂

L /

∂

Qm ,

) Qm ,

skąd wynikają równości (32.1) i (32.2)

Dla otrzymania jawnej postaci t

µν

dogodnie jest wykorzystać wyrażenie (32.2) i wziąć w charakterze Qm

wielkości g

µν

sqrt(.) . Teraz można wykorzystać formuły (26.7) z których znajdujemy ( po wprowadzeniu

współczynnika 16π ) :

16πδL = (

Γναβ

−

βν

Γσασ

) δ (g

αβ√−

g ),

+ s δ (g

αβ√−

g )

gdzie s – pewien współczynnik. Odpowiednio :

16πt

µν

√−

g = (

Γναβ

−

βν

Γσασ

) (g

αβ√−

g ),

−

µν

L (32.3)

33) Fale grawitacyjne

Rozpatrzmy obszar pustej przestrzeni w której pole grawitacyjne jest słabe i g

µν

jest w przybliżeniu stałe.

Wtedy można stosować równanie (16.4) lub :

µν

( g

µν

ρσ

−

µρ

νσ

−

µσ

νρ

−

ρσ

µν

) = 0 (33.1)

Wprowadźmy współrzędne harmoniczne. Warunek (22.2) z opuszczonym indeksem

daje :

µν

ρµ

−

½ g

µν

ρσ

] = 0 (32.2)

Zróżniczkujmy to równanie względem x

i odrzućmy człony drugiego rzędu.

W rezultacie otrzymamy :

µν

µρ

νσ

−

½ g

µν

ρσ

] = 0 (32.3)

Zamieniając miejscami

µν

µσ

νρ

−

½ g

µν

ρσ

] = 0 (32.4)

Dodając (33.1), (33.3) i (33.4) :

µν

ρσ

µν

= 0

W takim razie każda składowa g

ρσ

spełnia równanie d’Alemberta, rozwiązanie tego równania będzie składać

się z fal rozprzestrzeniających się z prędkością światła. To są właśnie fale grawitacyjne.

Rozpatrzmy energię tych fal. W skutek tego że pseudotensor nie jest tensorem nie otrzymamy w ogólnym
przypadku jasnego rezultatu nie zależącego od wyboru układu współrzędnych. Jednak w jednym specjalnym
przypadku, a mianowicie kiedy wszystkie fale poruszają się w jednym kierunku , można otrzymać „klarowny”

rezultat. Jeśli wszystkie fale poruszają się w kierunku osi x3, to układ współrzędnych można wybrać tak aby

µν

zależne było tylko od jednej zmiennej x0 - x3.

Rozpatrzmy bardziej ogólny przypadek kiedy wszystkie składniki g

µν

są funkcjami jednej zmiennej l

gdzie l

- stałe, spełniające warunek g

ρσ

= 0

(odrzucając zmienną część g

ρσ

Wtedy mamy :
g

µν

= u

µν

(35.5)

gdzie u

µν

- pochodna g

µν

po l

. Oczywiście mamy :

µν

= u

νµ

Z warunku harmoniczności (33.2) wynika, że :

µν

µρ

= ½ g

µν

= ½ u l

gdzie u = u

µµ

. Tą równość można zapisać w postaci :

νρ

= ½ u l

(33.6)

lub

µν

−

½ g

µν

u ] l

= 0 (33.7)

Z (33.5) znajdujemy :

Γρµσ

= ½ (u

ρµ

+ u

ρσ

−

µσ

)

Wyrażenie dla L (26.3) we współrzędnych harmonicznych prowadzi do następującej równości:

L =

−

µν

Γρµσ

Γσνρ

−

¼ g

µν

ρµ

+ u

ρσ

−

µσ

)( u

σµ

+ u

σρ

−

νρ

)

Po przemnożeniu wyrażeń w nawiasach otrzymamy dziewięć członów, jednak nie trudno pokazać że każdy

z nich jest równy zeru zgodnie z (33.6) oraz warunkiem l

= 0.

W takim razie gęstość działania jest równa zeru. Analogiczny rezultat ma miejsce w polu elektromagnetycznym,
dla którego, w przypadku fal rozprzestrzeniających się tylko w jednym kierunku , gęstość działania także jest
zerem.

Teraz powinniśmy znaleźć pseudotensor (32.3). Mamy :

µν

−

αρ

βσ

ρσ

= u

αβ

√−

g ,

= ½

√−

g g

αβ

= ½

√−

g ul

(33.8)

wtedy :

αβ

√−

g ) ,

−

[ u

αβ

−

½ g

αβ

u ]

√−

g l

Odpowiednio zgodnie z (33.8) i (33.7) mamy :

Γσασ

αβ

√−

g ) ,

√−

g ,

[

−

αβ

+ ½ g

αβ

u ] l

= 0

W rezultacie otrzymujemy :

µν

−

Γναβ

αβ

−

½ g

αβ

u ] l

= ½ (u

να

+ u

νβ

−

αβ

) [ u

αβ

−

½ g

αβ

u ] l

−

½ [ u

αβ

−

½ u2 ] l

(33.9)

Otrzymane wyrażenie dla t

µν

ma postać tensora.

To oznacza że przy przekształceniu współrzędnych zachowującym charakter pola, tak że g

µν

pozostaje funkcją

tylko jednej zmiennej l

(tj. obecne są tylko fale rozprzestrzeniające się tylko w jednym kierunku ), t

µν

przekształca się jak tensor. Takie przekształcenia współrzędnych mogą składać się tylko z wprowadzonych
współrzędnych falowych, gdzie fale poruszają się w kierunku l

. Ich ogólna postać jest następująca :

’ = x

+ b

, gdzie b

- jest funkcją tylko lδ x

δ .

Kiedy mamy fale poruszające się w jednym kierunku energia grawitacyjna może być lokalizowana.

34) Polaryzacja fal grawitacyjnych

Aby pojąć fizyczny sens (33.9) wrócimy do przypadku kiedy fale poruszają się w kierunku osi x3, tak że
l0 = 1 , l1= l2 = 0, l3 =

−

1 oraz wykorzystamy współrzędne zbliżone do współrzędnych STW.

Wtedy z warunku harmoniczności (33.6) wynikają równości:
u00 + u03 = ½ u ; u10 + u13 = 0
u20 + u23 = 0 ; u30 + u33 =

−

½u

Stąd: u00 + u33 = u = u00

−

u11

−

u33

Co oznacza :
u11 + u22 = 0 (34.1)
Oprócz tego :
2u03 =

−

(u00 + u33 )

Teraz z (34.1) otrzymujmy :

αβ

−

½ u2 = u002 + u112 + u222 + u332

−

2u012

−

2u022

−

2u032

−

2u122 + 2u232 +2u312

– ½(u00 + u33 )

2 = u

112 + u222 + 2u122 = ½(u11 + u22 )

2 + 2u

122

W takim razie :

16π t 0

0 = ¼ (u

11 + u22 )

2 + u

122 (34.2)

oraz :

t 0

3 = t

Widać więc, że gęstość energii jest wielkością dodatnio określoną i energia przenoszona jest zgodnie z

kierunkiem osi x3 z prędkością światła.

Dla odpowiedzi na pytanie o polaryzację fal wprowadzimy operator R, obrotu na płaszczyźnie x1x2 działający
na dowolny wektor (A1A2) w następujący sposób :
RA1 = A2 ; RA2 =

−

A1 ;

Wtedy : R2 A1 =

−

A1 tj. wartości własne operatora iR przy działaniu na wektor są równe

Operator R działa na u

αβ

w sposób następujący ;

Ru11 = u21 + u12 = 2u12 ; Ru12 = u22

−

u11 ;

Ru22 =

−

u12

−

u21 =

−

2u12

W takim razie :

R(u11 + u22 ) = 0 i R(u11

−

u22 ) = 4u12 ; R

2 (u

−

u22 ) =

−

4 (u11

−

u22 )

Co oznacza że pod działaniem operatora R , u11 - u22 jest niezmienne, pod działaniem R na, u11

−

u12 lub

u12 iR ma własności własne

W takim razie współczynniki u

αβ

dające wkład w energię (34.2) mają spin 2.

34) Człon kosmologiczny

Uogólnione równania pola grawitacyjnego w pustej przestrzeni
R

µν

(35.1)

Gdzie

-jest stałą , rozpatrywał już Einstein.

Równanie to jest równaniem tensorowym tj. może ono być dopuszczone w charakterze prawa przyrody.
Ponieważ równania Einsteina bez członu

charakteryzują się zgodnością z danymi eksperymentalnymi

dla planet układu Słonecznego, stałą

należy dobrać jako dostatecznie małą, tak aby nie wynikały duże

rozbieżności dla danych doświadczalnych. Wielkość R

µν

zawiera drugie pochodne od g

µν

co oznacza, że

wielkość

ma wymiar (długość) –2.

Aby

była małą wielkością, długość ta powinna być dosyć duża.

Wielkość

λ−

½ – to długość kosmologiczna rzędu promienia wszechświata.

Ten człon dopełniający (

) jest dosyć istotny w teoriach kosmologicznych, jednak dla bliskich obiektów daje

niezwykle mały efekt. Aby uwzględnić ten człon w teorii pola należy wprowadzić w lagranżjanie człon
dopełniający :

Ik = c ∫d

4x gdzie c – odpowiednia stała.

Z (26.10) mamy :
δIk = c ∫ ½g

µν

δg

µν√−

g d4x

Wtedy z zasady wariacyjnej δ( Ig + Ik) = 0 wynika równość :

16π [R

µν

−

½ g

µν

R] + ½ cg

µν

= 0 (35.2)

Z równania (35.1) otrzymujemy R = 4

i następnie R

µν

−

½ g

µν

R =

−

µν

Przy wyborze c = 32π

, równanie to jest zgodne z (35.2)

Przy oddziaływaniu pola grawitacyjnego z innymi dowolnymi polami pozostaje tylko włączyć człon  Ik do
pełnego działania przez co otrzymamy uogólnione równania pola z członem kosmologicznym Einsteina.

##########################################################################################