Dla kratownicy o schemacie jak poniŜej (Rys. 1.1) wyznaczyć linie wpływu zaznaczonych wielkości
statycznych.
4
4
8
18
18
36
6
6
6
6
2
1
3
4
-
6
6
8
10
12
5
7
9
11
13
14
S
4
3
-
5
S
3
-
6
S
5
-
6
S
6
6
7
-
8
S
Rys. 1.1 Rozpatrywana kratownica
4
4
8
18
18
36
x
36
-
x
2
1
3
6
8
10
12
5
7
9
11
13
14
4
Rys. 1.1.1 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczeniem reakcji (sił biernych)
Linie wpływu reakcji podporowych uzyskuje się z równań równowagi statecznej.
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater
∑
M
C
=0 36 V
A
−P 36−x=0
36 V
A
=36 − x /÷36
lw V
A
=1−
x
36
(1.1.1)
Aby graficznie przedstawić powyŜszą funkcję (prostą), potrzebujemy minimum dwa punkty przez które ona
przechodzi.
∣
dla x=0
V
A
=1
dla x
=36 V
A
=0
∣
[−]
(1.1.2)
∑
M
A
=0 −36 V
C
P⋅x=0
36 V
C
=x /÷36
lw V
C
=
x
36
(1.1.3)
Postępując analogicznie jak wcześniej do równania (1.1.3) podstawiamy konkretne wartości:
∣
dla x=0
V
C
=0
dla x=36
V
C
=1
∣
[−]
(1.1.4)
∑
X =0
H
A
−H
C
=0
H
A
=H
C
=H
(1.1.5)
PoniewaŜ mamy do czynienia z układem trójprzegubowym, musimy rozwaŜyć dwa następujące przypadki:
1
o
Gdy siła „P” działa na lewą część układu (Rys.1.1.3) tzn. na lewo od przegubu, czyli
x ∈ 〈0 , 18 〉
4
4
8
18
18
x
2
1
3
6
8
10
12
5
7
9
11
13
14
4
8
7
x ∈ 〈0,18 〉
Rys. 1.1.3 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczeniem reakcji (sił biernych), gdy siła działa na lewo od przegubu
Liczymy równowagę z prawej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater
∑
M
B
=0 −18 V
C
4 H =0
4 H =18 V
C
/÷4
lw H =
18
4
lw V
C
(1.1.6)
Po podstawieniu do powyŜszego równania (1.1.6), równania wcześniej juŜ wyprowadzonego (1.1.3)
otrzymamy:
lw H =
18
4
⋅
x
36
=
x
8
(1.1.7)
∣
dla x=0
H =0,0
dla x=18
H =2,25
∣
[−]
(1.1.8)
2
o
Gdy siła „P” działa na prawą część układu (Rys.1.1.4) tzn. na prawo od przegubu, czyli
x ∈ 〈18,36 〉
4
4
8
18
18
2
1
3
6
8
10
12
5
7
9
11
13
14
4
8
7
x ∈ 〈18,36 〉
18
-
x
Rys. 1.1.4 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczeniem reakcji (sił biernych), gdy siła „P”działa na prawo od
przegubu
Liczymy równowagę z lewej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
∑
M
B
=0 18 V
A
−4 H =0
4 H =18 V
A
/÷4
lw H =
18
4
lw V
A
(1.1.9)
Po podstawieniu do powyŜszego równania (1.1.9), równania wcześniej juŜ wyprowadzonego (1.1.1)
otrzymamy:
lw H =
18
4
1−
x
36
=
18
4
−
x
8
(1.1.10)
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater
∣
dla x=18
H =2,25
dla x=36
H =0,0
∣
[−]
(1.1.11)
Warto zauwaŜyć, Ŝe w przegubie (czyli dla x = 18) wartość wyliczona dla układu z jego lewej strony (1.1.8),
równa jest wartości wyliczonej dla układu z prawej strony przegubu (1.1.11). Zgodność ta nie jest
przypadkowa i stanowić moŜe pewnego rodzaju sprawdzenie poprawności przeprowadzanych obliczeń.
Linie wpływu sił normalnych w prętach kratownicy uzyskuje się, wykorzystując znane metody
rozwiązywania kratownic tzn. metodę równowaŜenia węzłów i metodę Rittera.
1
o
Gdy siła „P” działa na węzły, połoŜone na lewo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.1), czyli
x ∈ 〈0 , 6 〉
4
4
8
18
18
36
6
6
6
6
x
2
1
3
4
-
6
6
8
10
12
5
7
9
11
13
14
S
4
3
-
5
S
3
-
6
S
6
6
x ∈ 〈0 , 6 〉
Rys. 1.2.1 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy siła „P”
działa na węzły połoŜone na lewo od nich
Liczymy równowagę z prawej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
- dla pręta S
3-5
∑
M
6
=0 −24 V
C
4 H −4 S
3−5
=0
4 S
3−5
=4 H −24 V
C
/÷4
lw S
3−5
=lw H −6 lw V
C
(1.2.1)
Po podstawieniu do powyŜszego równania (1.2.1), wielkości wcześniej juŜ wyprowadzone (1.1.3 i 1.1.7)
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater
otrzymamy:
lw S
3−5
=
x
8
−6
x
36
=−
x
24
(1.2.2)
∣
dla x=0
S
3−5
=0,0
dla x
=6
S
3−5
=−0,25
∣
[−]
(1.2.3)
- dla pręta S
4-6
∑
M
3
=0 −30 V
C
8 H 4 S
4−6
=0
4 S
4−6
=30 V
C
−8 H
/÷4
lw S
4−6
=
15
2
lw V
C
−2 lw H
(1.2.4)
Po podstawieniu do powyŜszego równania (1.2.4), wielkości wcześniej juŜ wyprowadzone (1.1.3 i 1.1.7)
otrzymamy:
lw S
4−6
=
15
2
⋅
x
36
−2⋅
x
8
=−
x
24
(1.2.5)
∣
dla x=0
S
4−6
=0,0
dla x=6
S
4−6
=−0,25
∣
[−]
(1.2.6)
- dla pręta S
3-6
Do obliczeń potrzebować będziemy kąt zawarty między krzyŜulcami a pasem dolnym prętów kratownicy
(Rys.1.2.1).
tg =
4
6
=arctg
4
6
=33,69
o
Stąd:
sin =0,5547
cos =0,8320
(1.2.7)
∑
Y =0
V
C
S
3−6
⋅sin =0
S
3−6
⋅sin =−V
C
/÷sin
lw S
3−6
=−
1
sin
lw V
C
(1.2.8)
Po podstawieniu do powyŜszego równania (1.2.8), równania wcześniej juŜ wyprowadzonego (1.1.3)
otrzymamy:
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater
lw S
3−6
=−
x
36 sin
(1.2.9)
∣
dla x=0
S
3−6
=0,0
dla x=6
S
3−6
=−0,3
∣
[−]
(1.2.10)
2
o
Gdy siła „P” działa na węzły, połoŜone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), czyli
x ∈ 〈12 , 36 〉
4
4
8
18
18
36
6
6
6
6
x
2
1
3
4
-
6
6
8
10
12
5
7
9
11
13
14
S
4
3
-
5
S
3
-
6
S
6
6
x ∈ 〈12 , 36 〉
Rys. 1.2.2 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy siła
„P”działa na węzły połoŜone na prawo od nich
Liczymy równowagę z lewej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
- dla pręta S
3-5
∑
M
6
=0 12 V
A
−4 H 4 S
3−5
=0
4 S
3−5
=4 H −12 V
A
/÷4
lw S
3−5
=lw H −3 lw V
A
(1.2.11)
Po podstawieniu do powyŜszego równania (1.2.11), równania wcześniej juŜ wyprowadzonego (1.1.1)
otrzymamy:
lw S
3−5
=lw H −3
1−
x
32
=
x
12
−3lw H
(1.2.12)
Celowo nie podstawiono równania za linie wpływu reakcji „H”, gdyŜ zaleŜnie od połoŜenia siły „P” w
stosunku do przegubu jest ono inne. W ten sposób ponownie musimy rozpatrzyć dwa następujące przypadki:
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater
2
o
1
o
Gdy siła „P” działa na węzły połoŜone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na lewo od
przegubu, czyli
x ∈ 〈12 , 18 〉
. W takim przypadku linia wpływu reakcji „H”, wyraŜona będzie wzorem
(1.1.7) a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:
dla x ∈ 〈12 , 18 〉
lw H =
x
8
lw S
3−5
=
x
12
−3
x
8
=
5 x
24
−3
(1.2.13)
∣
dla x=12
S
3−5
=−0,5
dla x=18
S
3−5
=0,75
∣
[−]
(1.2.14)
2
o
2
o
Gdy siła „P” działa na węzły połoŜone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na prawo
od przegubu, czyli
x ∈ 〈18 , 36 〉
. W takim przypadku linia wpływu reakcji „H”, wyraŜona będzie
wzorem(1.1.10), a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:
dla x ∈ 〈18 , 36 〉
lw H =−
x
8
18
4
lw S
3−5
=
x
12
−3
x
8
−
x
8
18
4
=−
x
24
3
2
(1.2.15)
∣
dla x=18
S
3−5
=0,75
dla x=36
S
3−5
=0,0
∣
[−]
(1.2.16)
W przegubie (czyli dla x = 18) wartość wyliczona dla układu z jego lewej strony (1.2.14), równa jest
wartości wyliczonej dla układu z prawej strony przegubu (1.2.16).
- dla pręta S
4-6
∑
M
3
=0 6 V
A
−8 H −4 S
4−6
=0
4 S
4−6
=6 V
A
−8 H
/÷4
lw S
4−6
=
3
2
lw V
A
−2 lw H
(1.2.17)
Po podstawieniu do powyŜszego równania (1.2.17), równania wcześniej juŜ wyprowadzonego (1.1.1)
otrzymamy:
lw S
4−6
=
3
2
1−
x
36
−2 lw H =−
x
24
3
2
−2 lw H
(1.2.18)
Analogicznie jak dla pręta S
3-5,
ponownie musimy rozpatrzyć dwa następujące przypadki:
2
o
1
o
Gdy siła „P” działa na węzły połoŜone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na lewo od
przegubu, czyli
x ∈ 〈12 , 18 〉
. W takim przypadku linia wpływu reakcji „H”, wyraŜona będzie wzorem
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater
(1.1.7), a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:
dla x ∈ 〈12 , 18 〉
lw H =
x
8
lw S
4−6
=−
x
24
3
2
−2⋅
x
8
=−
7 x
24
3
2
(1.2.19)
∣
dla x=12
S
4−6
=−2,0
dla x
=18
S
4−6
=−3,75
∣
[−]
(1.2.20)
2
o
2
o
Gdy siła „P” działa na węzły połoŜone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na prawo
od przegubu, czyli
x
∈ 〈18 , 36 〉
. W takim przypadku linia wpływu reakcji „H”, wyraŜona będzie
wzorem(1.1.10), a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:
dla x ∈ 〈18 , 36 〉
lw H =−
x
8
18
4
lw S
4−6
=−
x
24
3
2
−2
−
x
8
18
4
=
5 x
24
−
15
2
(1.2.21)
∣
dla x=18
S
3−5
=−3,75
dla x=36
S
3−5
=0,0
∣
[−]
(1.2.22)
W przegubie (czyli dla x = 18) wartość wyliczona dla układu z jego lewej strony (1.2.20), równa jest
wartości wyliczonej dla układu z prawej strony przegubu (1.2.22).
- pręta S
3-6
∑
Y =0
V
A
−S
3−6
⋅sin =0
S
3−6
⋅sin =V
A
/÷sin
lw S
3−6
=
1
sin
lw V
A
(1.2.23)
Po podstawieniu do powyŜszego równania (1.2.16), równania wcześniej juŜ wyprowadzonego (1.1.1)
otrzymamy:
lw S
3−6
=
1
sin
⋅
1−
x
36
(1.2.24)
∣
dla x=12
S
3−6
=1,2
dla x=36
S
3−6
=0,0
∣
[−]
(1.2.25)
1
o
Gdy siła „P” działa na węzły, połoŜone na lewo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.1), czyli
x ∈ 〈0 , 6 〉
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater
5
-
6
S
4
4
8
18
18
36
6
6
6
6
x
2
1
3
6
-
8
6
8
10
12
5
7
9
11
13
14
S
4
3
-
5
S
6
6
x
0 , 6
Rys. 1.2.3 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy sił „P”
działa na węzły połoŜone na lewo od nich
Liczymy równowagę z prawej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
Y
0
V
C
S
5
−
6
0
S
5
−
6
V
C
lw S
5
−
6
lw V
C
(1.2.26)
Po podstawieniu do powyŜszego równania (1.2.26), równania wcześniej juŜ wyprowadzonego (1.1.3)
otrzymamy:
lw S
5
−
6
x
36
(1.2.27)
dla x 0
S
5
−
6
0,0
dla x 6
S
5
−
6
0,17
(1.2.28)
2
o
Gdy siła „P” działa na węzły, połoŜone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), czyli
x
12 , 36
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater
x
5
-
6
S
4
4
8
18
18
36
6
6
6
6
2
1
3
6
-
8
6
8
10
12
5
7
9
11
13
14
S
4
3
-
5
S
6
6
x
12 , 36
Rys. 1.2.4 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy siła „P”
działa na węzły połoŜone na prawo od nich
Liczymy równowagę z lewej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
Y
0
V
A
S
5
−
6
0
S
5
−
6
V
A
lw S
5
−
6
lw V
A
(1.2.29)
Po podstawieniu do powyŜszego równania (1.2.29), równania wcześniej juŜ wyprowadzonego (1.1.1)
otrzymamy:
lw S
5
−
6
x
36
1
(1.2.30)
dla x 12
S
5
−
6
0,67
dla x 36
S
5
−
6
0,0
(1.2.31)
Linie wpływu siły normalnej w tym pręcie, moŜna wyliczyć w analogiczny sposób jak dotychczas. MoŜna ją
jednak wyznaczyć bez liczenia, poprzez teoretyczną analizę. ZauwaŜmy, Ŝe jeŜeli w nieobciąŜonym węźle
schodzą się tylko dwa pręty, są to pręty zerowe. Czyli rozpatrywany pręt jest prętem zerowym gdy siła „P”
przyłoŜona jest poza przedziałem x ε <18,24), tzn. gdy nie działa w węźle 7. JeŜeli jednak stanie w tym
węźle to cały skutek jej działania przejmie rozpatrywany pręt (będzie on ściskany). W przedziale między
x
18 , 24
zakładamy, Ŝe linia wpływu rozpatrywanego pręta zmienia się liniowo.
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater
4
4
8
18
18
36
6
6
6
6
x
36
-
x
1
2
1
3
4
-
6
6
8
10
12
5
7
9
11
13
14
S
4
3
-
5
S
3
-
6
S
5
-
6
S
6
6
7
-
8
S
lw
lw
lw
lw
lw
lw
lw
lw
lw
lw
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0,17
0,67
0
0
0
0
0,30
1,20
0,25
3,75
0,75
0,50
0,25
2,25
1
−
x
36
x
36
x
8
18
4
−
x
8
−
x
24
5 x
24
−
3
−
x
24
−
x
36 sin
x
36
−
x
24
3
2
−
7 x
24
3
2
5 x
24
−
15
2
1
sin
⋅
1
−
x
36
x
36
−
1
Rys. 1.3.1 Zestawienie wyników
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty
AlmaMater