Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
Projekt nr 1
LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
BELKI
Zadanie 1: Dla belki pokazanej na rys.1.1. wyznaczyć linie wpływowe zaznaczonych wielkości statycznych.
α
α
β
β
5,0 m
3,0 m
1,0 m
5,0 m
5,0 m
4,0 m
2,0 m
3,0 m
1,0 m
A
B
C
D
E
F
Rys.1.1
Rozwiązanie:
1. Przyjmuję współrzędne x
1
, x
2
oraz x
3
określające połoŜenie siły P=1 jak na rys.1.2
R
A
5,0 m
3,0 m
1,0 m
5,0 m
5,0 m
4,0 m
2,0 m
3,0 m
1,0 m
R
B
R
C
R
C
R
D
R
D
R
E
R
F
x
1
x
2
x
3
Rys.1.2
Przy czym :
x
1
∈〈0 ; 9 〉
x
2
∈〈0 ; 4 〉
x
3
∈〈0 ; 6 〉
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
1/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
2. Wyznaczenie funkcji reakcji podporowych w zaleŜności od współrzędnej połoŜenia siły P=1 [-]
a)
x
1
∈〈0 ; 9 〉
R
A
5,0 m
3,0 m
1,0 m
5,0 m
5,0 m
4,0 m
2,0 m
3,0 m
1,0 m
R
B
R
C
R
C
R
D
R
D
R
E
R
F
x
1
P=1 [-]
Rys.1.3
Z warunków równowagi dla belki statycznie wyznaczalnej:
•
dla części środkowej belki:
R
C
=0
[-] oraz
R
D
=0
[-]
•
dla części prawej belki:
R
E
=0
[-] oraz
R
F
=0
[-]
•
dla części lewej belki:
∑
M
A
=0 : R
B
=
x
1
8
[-] oraz
∑
Y =0 : R
A
=1−
x
1
8
[-]
b)
x
2
∈〈0 ; 4 〉
R
A
5,0 m
3,0 m
1,0 m
5,0 m
5,0 m
4,0 m
2,0 m
3,0 m
1,0 m
R
B
R
C
R
C
R
D
R
D
R
E
R
F
x
2
P=1 [-]
Rys.1.4
Z warunków równowagi dla belki statycznie wyznaczalnej:
•
dla części środkowej belki:
∑
M
C
=0 : R
D
=
x
2
4
[-] oraz
∑
Y =0 : R
C
=1−
x
2
4
[-]
•
dla części prawej belki:
∑
M
E
=0 : R
F
=−
x
2
6
[-] oraz
∑
Y =0 : R
E
=
5 ⋅x
2
12
[-]
•
dla części lewej belki:
∑
M
B
=0 : R
A
=
1
8
⋅
x
2
4
−1
[-] oraz
∑
M
A
=0 : R
B
=
9
8
⋅1−
x
2
4
[-]
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
2/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
c)
x
3
∈〈0 ; 6 〉
R
A
5,0 m
3,0 m
1,0 m
5,0 m
5,0 m
4,0 m
2,0 m
3,0 m
1,0 m
R
B
R
C
R
C
R
D
R
D
R
E
R
F
x
3
P=1 [-]
Rys.1.5
Z warunków równowagi dla belki statycznie wyznaczalnej:
•
dla części środkowej belki:
R
C
=0
[-] oraz
R
D
=0
[-]
•
dla części prawej belki:
∑
M
E
=0 : R
F
=
1
3
⋅ x
3
−2
[-] oraz
∑
Y =0 : R
E
=
1
3
⋅5− x
3
[-]
•
dla części lewej belki:
R
A
=0
[-] oraz
R
B
=0
[-]
d) zestawienie funkcji reakcji podporowych w zaleŜności od wartości współrzędnej x
współrzędna
reacja
x
1
∈〈0 ; 9 〉
x
2
∈〈0 ; 4 〉
x
3
∈〈0 ; 6 〉
R
A
[-]
1−
x
1
8
1
8
⋅
x
2
4
−1
0
R
B
[-]
x
1
8
9
8
⋅1−
x
2
4
0
R
E
[-]
0
5 ⋅x
2
12
1
3
⋅5− x
3
R
F
[-]
0
−
x
2
6
1
3
⋅ x
3
−2
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
3/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
3. Wykreślenie linii wpływowych reakcji podporowych
1
+
-0,125
0
0
1
R
A
(x)[-]
0
+
1,125
0
1
R
B
(x)[-]
+
0
+
1,667
0
1
R
E
(x)[-]
+
-0,333
-
0
-
-0,667
0
1
R
F
(x)[-]
+
1,333
-
8,0 m
4,0 m
2,0 m
3,0 m
1,0 m
1,0 m
Rys.1.6
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
4/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
4. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych w przekroju β-β w zaleŜności od współrzędnej połoŜenia siły P=1 [-]
Rachunki przeprowadzam dla belki ABC, na której określony jest przekrój β-β jak na rys.1.7
3,0 m
1,0 m
5,0 m
R
B
R
A
R
C
β
β
Rys.1.7
a)
x
1
∈〈0 ;5 〉
- siła przed przekrojem β-β , rys.1.8
3,0 m
1,0 m
5,0 m
M
β
(x)
M
β
(x)
T
β
(x)
T
β
(x)
R
A
=1−
x
1
8
R
B
=
x
1
8
R
C
=0
P=1 [-]
Rys.1.8
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części prawej:
∑
Y =0 : T
x=
−x
1
8
[-] oraz
∑
M
−
=0 : M
x=
3
8
x
1
[m]
b)
x
1
∈〈5 ; 9 〉
- siła za przekrojem β-β , rys.1.9
3,0 m
1,0 m
5,0 m
M
β
(x)
M
β
(x)
T
β
(x)
T
β
(x)
R
A
=1−
x
1
8
R
B
=
x
1
8
R
C
=0
P=1 [-]
Rys.1.9
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
5/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej:
∑
Y =0 : T
x=1−
x
1
8
[-] oraz
∑
M
−
=0 : M
x=5 ⋅1−
x
1
8
[m]
c)
x
2
∈〈0 ; 4 〉
- rys.1.10
3,0 m
1,0 m
5,0 m
M
β
(x)
M
β
(x)
T
β
(x)
T
β
(x)
R
A
=
1
8
⋅
x
2
4
−1
R
C
=1−
x
2
4
R
B
=
9
8
⋅1−
x
2
4
Rys.1.10
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej:
∑
Y =0 : T
x=
1
8
⋅
x
2
4
−1
[-] oraz
∑
M
−
=0 : M
x=
5
8
⋅
x
2
4
−1
[m]
d)
x
3
∈〈0 ; 6 〉
- rys.1.11
3,0 m
1,0 m
5,0 m
M
β
(x)
M
β
(x)
T
β
(x)
T
β
(x)
R
A
=0
R
C
=0
R
B
=0
Rys.1.11
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej:
∑
Y =0 : T
x=0
[-] oraz
∑
M
−
=0 : M
x=0
[m]
e) zestawienie funkcji sił przekrojowych w przekroju β-β w zaleŜności od wartości współrzędnej x
współrzędna
siła wewnętrzna
x
1
∈〈0 ;5 〉
x
1
∈〈5 ; 9 〉
x
2
∈〈0 ; 4 〉
x
3
∈〈0 ; 6 〉
T
β-β
[-]
−x
1
8
1−
x
1
8
1
8
⋅
x
2
4
−1
0
M
β-β
[m]
3
8
x
1
5 ⋅1−
x
1
8
5
8
⋅
x
2
4
−1
0
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
6/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
5. Wykreślenie linii wpływowych sił przekrojowych w przekroju β-β
+
-0,125
0
0
T
β-β
(x)[-]
0
+
0
+
5,0 m
4,0 m
6,0 m
4,0 m
-
0,375
-0,625
1,875
-0,625
-
-
M
β-β
(x)[m]
Rys.1.12
6. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych w przekroju α-α w zaleŜności od współrzędnej połoŜenia siły P=1 [-]
Rachunki przeprowadzam dla belki DEF, na której określony jest przekrój α-α jak na rys.1.13
3,0 m
1,0 m
2,0 m
R
F
R
E
R
D
α
α
Rys.1.13
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
7/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
a)
x
1
∈〈0 ; 9 〉
- rys.1.14
3,0 m
1,0 m
2,0 m
M
α
(x)
T
α
(x)
T
α
(x)
M
α
(x)
R
D
=0
R
E
=0
R
F
=0
Rys.1.14
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej:
∑
Y =0 : T
x=0
[-] oraz
∑
M
−
=0 : M
x=0
[m]
b)
x
2
∈〈0 ; 4 〉
- rys.1.15
3,0 m
1,0 m
2,0 m
M
α
(x)
T
α
(x)
T
α
(x)
M
α
(x)
R
D
=
x
2
4
R
E
=
5
12
x
2
R
F
=
−x
2
6
Rys.1.15
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej:
∑
Y =0 : T
x=
−x
2
4
[-] oraz
∑
M
−
=0 : M
x=
−x
2
2
[m]
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
8/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
c)
x
3
∈〈0 ; 2 〉
- siła przed przekrojem α-α , jak na rys.1.16
3,0 m
1,0 m
2,0 m
M
α
(x)
T
α
(x)
T
α
(x)
M
α
(x)
R
D
=0
R
E
=
1
3
⋅5−x
3
R
F
=
1
3
x
3
−2
P=1 [-]
Rys.1.16
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej:
∑
Y =0 : T
x=−1
[-] oraz
∑
M
−
=0 : M
x= x
3
−2
[m]
d)
x
3
∈〈2 ; 6 〉
- siła za przekrojem α-α , jak na rys.1.17
3,0 m
1,0 m
2,0 m
M
α
(x)
T
α
(x)
T
α
(x)
M
α
(x)
R
D
=0
R
E
=
1
3
⋅5−x
3
R
F
=
1
3
x
3
−2
P=1 [-]
Rys.1.17
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej:
∑
Y =0 : T
x=0
[-] oraz
∑
M
−
=0 : M
x=0
[m]
e) zestawienie funkcji sił przekrojowych w przekroju β-β w zaleŜności od wartości współrzędnej x
współrzędna
siła wewnętrzna
x
1
∈〈0 ; 9 〉
x
2
∈〈0 ; 4 〉
x
3
∈〈0 ; 2 〉
x
3
∈〈2 ; 6 〉
T
α-α
[-]
0
−x
2
4
−1
0
M
α-α
[m]
0
−x
2
2
x
3
−2
0
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
9/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
1. Wykreślenie linii wpływowych sił przekrojowych w przekroju α-α
-1
0
0
T
α-α
(x)[-]
0
0
9,0 m
4,0 m
2,0 m
4,0 m
-
-2
-
-
M
-α
(x)[m]
-1
0
0
Rys.1.18
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
10/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Projekt nr 1
LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
ŁUKI I RAMY TRÓJPRZEGUBOWE
Zadanie : Dla łuku trójprzegubowego parabolicznego pokazanego na rys.2.1. wyznaczyć linie wpływowe zaznaczonych
wielkości statycznych.
3,0 m
2,0
6,0
5,0
3,0
3,0
α
β
α
β
5
,0
m
A
C
B
Rys.2.1
Rozwiązanie:
1. Przyjmuję układ współrzędnych x,y określających połoŜenie siły P=1 [-] jak na rys. 2.2.
3,0 m
2,0
6,0
5,0
3,0
3,0
α
β
α
β
5
,0
m
R
A
(x)
C
B
x
R
B
(x)
H
A
(x)
H
B
(x)
y
x
Rys.2.2.
Przy czym :
x ∈〈0 ; 16 〉
Aby wyznaczyć linie wpływowe wielkości statycznych w przypadku łuku z pomostem pośrednim jako miejscem
działania siły jednostkowej P, początkowo naleŜy przeprowadzić rozwaŜania dla analogicznej konstrukcji bez pomostu
pośredniego, jak na rys.2.3:
2,0
6,0
5,0
3,0
β
β
5
,0
m
R
A
(x)
C
B
x
R
B
(x)
H
A
(x)
H
B
(x)
x
y
P=1[-]
Rys. 2.3.
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
11/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Wykonanie wykresów linii wpływowych sił reakcji oraz sił przekrojowych dla łuku “uproszczonego” oraz
naniesienie na nich drobnych zmian zgodnie z określonymi zasadami doprowadzi do uzyskania wykresów linii wpływu
sił w wyjściowym układzie.
PoniewaŜ przekroje α-α oraz β-β w wyjściowym łuku leŜą bardzo blisko siebie w przypadku łuku bez pomostu
pośredniego ograniczam sie do wyznaczenia sił przekrojowych w przekroju β-β.
2. Wyznaczenie równania paraboli łuku:
Ogólna postać równania paraboli:
y=ax
2
bxc
W tym przypadku parabola przechodzi przez trzy punkty, których współrzędne łatwo określić:
A0,0
B 16,0
C 8,5
Z układu trzech równań:
0=a⋅0 b⋅0 c
0=a⋅16
2
b⋅16 c
5=a⋅8
2
b⋅8c
Otrzymam współczynniki:
a=
−5
64
b=
5
4
c=0
Stąd równanie paraboli ma postać:
y=
−5
64
x
2
5
4
x
W miejscu przekroju x=2 [m], y=2,1875 [m]
Aby obliczyć kąt φ nachylenia stycznej (rys.2.4) w przekroju β-β korzystam z własności:
tg =
dy
dx
2
β
β
C
B
φ
x
y
Rys.2.4.
dy
dx
=
−5
32
x
5
4
a więc:
dy
dx
2=
15
16
=tg
stąd:
=43,15
o
oraz
sin =0,6839
cos =0,7295
4. Wyznaczenie funkcji reakcji podporowych w zaleŜności od połoŜenia siły P=1 [-]
4.1.Dla układu jako całości
:
∑
X =0
mamy
H
A
x=H
B
x=H x
[-]
∑
M
A
=0
mamy
R
B
x=
x
16
[-]
∑
Y =0
mamy
R
A
x=1−
x
16
[-]
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
12/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
4.2. Dla łuku przeciętego przez przegub:
a)
x ∈〈0 ; 8 〉
2,0
6,0
5,0
3,0
5
,0
m
R
A
(x)
B
x
R
B
(x)
H
A
(x)
H
B
(x)
P=1[-]
V
c
(x)
V
c
(x)
H
c
(x)
H
C
(x)
Rys.2.5.
Z równowagi strony prawej:
∑
M
C
P
=5 H x=8 R
B
x
stąd
H x =
x
10
[-]
b)
x ∈〈8 ; 16 〉
2,0
6,0
5,0
3,0
5
,0
m
R
A
(x)
B
R
B
(x)
H
A
(x)
H
B
(x)
P=1[-]
V
c
(x)
V
c
(x)
H
c
(x)
H
C
(x)
Rys.2.6.
Z równowagi strony lewej mamy:
∑
M
C
L
=0 :5 H x=8 R
A
x
stąd
H x =
8
5
−
x
10
[-]
c) Zestawienie fukcji reakcji podporowych w zaleŜności od wartości współrzędnej x
współrzędna
reakcja
x ∈〈0 ; 8 〉
x ∈〈8 ; 16 〉
R
A
[-]
1−
x
16
1−
x
16
R
B
[-]
x
16
x
16
H [-]
x
10
8
5
−
x
10
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
13/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
5. Wykreślenie linii wpływowych reakcji podporowych w łuku bez pomostu pośredniego
Rys.2.7
6. Wykreślenie linii wpływowych reakcji podporowych w łuku wyjściowym
3,0 m
2,0
6,0
5,0
3,0
3,0
5
,0
m
A
C
B
R
A
(x) [-]
1
+
R
B
(x) [-]
1
+
H(x) [-]
0,3
+
+
0,2
0
0,55
0,125
0,8125
0,1875
0,875
0
0
Rys.2.8
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
14/37
2,0
6,0
5,0
3,0
R
A
(x) [-]
1
+
R
B
(x) [-]
1
+
H(x) [-]
0,8
+
+
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
7. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych w zaleŜności od współrzędnej połoŜenia siły P=1[-]
Analogicznie jak w przypadku reakcji naprzód wyznaczamy funkcje sił przekrojowych oraz kreślimy linie wpływu tych
sił dla łuku bez pomostu pośredniego, następnie poprzez odpowiednią modyfikację wykresów otrzymamy linie
wpływowe sił przekrojowych dla łuku z pomostem pośrednim. W zadaniu przekroje α-α i β-β znajdują sie
nieskończenie blisko siebie. Dla łuku bez pomostu pośredniego moŜemy traktować je jako identyczne, stąd
wystarczające jest określenie funkcji sił przekrojowych tylko dla jednego z nich.
Wyznaczam funkcje sił przekrojowych w przekroju β-β jak na rys.2.3.
a)
x ∈〈0 ; 2 〉
2,0
5,0
3,0
2
,1
8
7
5
m
R
A
(x)
x
R
B
(x)
H
A
(x)
H
B
(x)
P=1[-]
N
β
(x)
T
β
(x)
6,0
φ
M
β
(x)
N
β
(x)
T
β
(x)
φ
M
β
(x)
Rys.2.9
Z warunków równowagi :
* dla strony prawej:
∑
N
=0 : N
x=R
B
xsin −H xcos
∑
T
=0 :T
x=−R
B
xcos −H xsin
∑
M
=0 : M
x=R
B
x⋅14 −H x⋅2,1875
Przy czym:
∑
N
=0
oznacza sumę rzutów na kierunek siły normalnej w przekroju
;
∑
T
=0
oznacza sumę rzutów na kierunek siły tnącej w przekroju
;
∑
M
=0
oznacza sumę momentów względem przekroju
dla
sin =0,6839
,
cos =0,7295
,
R
B
x=
x
16
[-],
H
x
=
x
10
[-] otrzymujemy:
N
x=−0,03 x
[-]
T
x=−0,114 x
[-]
M
x=0,656 x
[m]
b)
x ∈〈 2 ; 16 〉
2,0
5,0
3,0
2
,1
8
7
5
m
R
A
(x)
x
R
B
(x)
H
A
(x)
H
B
(x)
P=1[-]
N
β
(x)
T
β
(x)
6,0
φ
M
β
(x)
N
β
(x)
T
β
(x)
φ
M
β
(x)
Rys.2.10
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
15/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Z warunków równowagi :
* dla strony lewej:
∑
N
=0 : N
x=−R
A
xsin − H xcos
∑
T
=0 :T
x=R
A
xcos −H xsin
∑
M
=0 : M
x=R
A
x⋅2 −H x⋅2,1875
b.1.)
x ∈〈 2 ; 8 〉
dla
sin =0,6839
,
cos =0,7295
,
R
A
x=1−
x
16
[-],
H
x
=
x
10
[-] otrzymujemy:
N
x=−0,03 x−0,684
[-]
T
x=−0,114 x0,7295
[-]
M
x=2−0,344 x
[m]
b.2)
x ∈〈8 ; 16 〉
dla
sin =0,6839
,
cos =0,7295
,
R
A
x=1−
x
16
[-],
H
x
=
8
5
−
x
10
[-] otrzymujemy:
N
x=−1,850,116 x
[-]
T
x=−0,3650,023 x
[-]
M
x=−1,50,094 x
[m]
c) zestawienie funkcji sił przekrojowych w zaleŜności od wartości współrzędnej x
współrzędna
siła
x ∈〈0 ; 2 〉
x ∈〈 2 ; 8 〉
x ∈〈8 ; 16 〉
N
[-]
−0,03 x
−0,03 x−0,684
0,116 x−1,85
T
[-]
−0,114 x
−0,114 x0,7295
0,023 x−0,365
M
[m]
0,656 x
2−0,344 x
0,094 x−1,5
8. Wykreślenie linii wpływowych sił przekrojowych w przekroju β-β dla łuku bez pomostu pośredniego:
2,0
6,0
5,0
3,0
N
β
(x) [-]
0
-
T
β
(x) [-]
+
M
β
(x) [m]
1,312
-
+
-0,924
-
-0,744
-0,06
-0,228
-0,06
0,5
-0,18
-
-
-0,75
0
0
0
0
0
Rys.2.11
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
16/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
9. Wykreślenie linii wpływowych sił przekrojowych w przekroju β-β (dla tego przekroju pręt wspierający pomost
pośredni znajduje sie po prawej stronie) w łuku danymw zadaniu z pomostem pośrednim.
3,0 m
2,0
6,0
5,0
3,0
3,0
5,
0
m
A
C
B
N
β
(x) [-]
-
T
β
(x) [-]
+
M
β
(x) [m]
1,312
-
+
-0,35
-
-0,744
-0,924
0,5
-
-
-0,28
0
0
0
0
β
β
-0,0675
-0,18
Rys.2.12
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
17/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
10. Wykreślenie linii wpływowych sił przekrojowych w przekroju α-α (dla tego przekroju pręt wspierający pomost
pośredni znajduje sie po lewej stronie) w łuku danym w zadaniu z pomostem pośrednim.
3,0 m
2,0
6,0
5,0
3,0
3,0
5,
0
m
A
C
B
N
α
(x) [-]
-
T
α
(x) [-]
-
M
α
(x) [m]
1,312
-
+
-0,35
-
-0,06
-0,924
-0,228
-
-
-0,18
0
0
0
0
α
-0,0675
-0,18
α
Rys.2.13
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
18/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Projekt 1
LINIE WPŁYWOWE W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
KRATOWNICE
Zadanie: Dla kratownicy pokazanej na rys.3.1. wyznaczyć linie wpływowe zaznaczonych wielkości statycznych.
6 x 3,0 m
2
x
2
,0
m
A
B
Rys.3.1
Rozwiązanie:
1. Przyjmuję układ współrzędnych określających połoŜenie siły P=1 [-] jak na rys.3.2.:
6 x 3,0 m
2
x
2
,0
m
A
B
x
R
A
(x)
R
B
(x)
H
A
(x)
G
1
(x)
D
1
(x)
S
1
(x)
K
1
(x)
S
2
(x)
P=1[-]
Rys.3.2
Przy czym:
x ∈〈0 ; 18 〉
2. Wyznaczenie funkcji reakcji podporowych w zaleŜności od współrzędnej połoŜenia siły P=1[-].
Z warunków równowagi dla kratownicy:
∑
X =0 : H
A
=0
[-]
∑
M
A
=0 : R
B
=
x
18
[-]
∑
Y =0 : R
A
=1−
x
18
[-]
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
19/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
3. Wykreślenie linii wpływowych reakcji podporowych:
+
R
A
(x) [-]
0
1
+
0
1
R
B
(x) [-]
H
A
(x) [-]
0
Rys. 3.3
4. Wyznaczenie funkcji sił w określonych prętach w zaleŜności od współrzędnej połoŜenia siły P=1[-]
Przekroje pomocnicze do wyznaczania sił w prętach pokazano na rys. 3.4:
6 x 3,0 m
2
x
2,
0
m
A
B
x
R
A
(x)
R
B
(x)
H
A
(x)
α
α
β
β
γ
γ
λ
λ
δ
δ
ω
ω
φ
φ
S
Rys.3.4
4.1.1. Wyznaczenie funkcji G
1
(x) oraz D
1
(x) – przekrój α-α :
a)
x ∈〈0 ; 3 〉
3,0 m
2
x
2
,0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
1
(x)
D
1
(x)
S
1
(x)
K
1
(x)
P=1[-]
3,0 m
12,0 m
G
1
(x)
D
1
(x)
S
1
(x)
S
2
(x)
S
2
(x)
R
D
R
D
R
G
R
G
Rys.3.5
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
20/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Z równowagi części prawej:
∑
M
R
D
=0 : D
1
x=
15
4
R
B
x
[-]
∑
M
R
G
=0 :G
1
x=−
15
4
R
B
x
[-]
b)
x ∈〈6 ; 18 〉
3,0 m
2
x
2
,0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
1
(x)
D
1
(x)
S
1
(x)
K
1
(x)
P=1[-]
3,0 m
12,0 m
G
1
(x)
D
1
(x)
S
1
(x)
S
2
(x)
S
2
(x)
R
D
R
D
R
G
R
G
Rys.3.6
Z równowagi części lewej:
∑
M
R
D
=0 : D
1
x=
3
4
R
A
x
[-]
∑
M
R
G
=0 :G
1
x=−
3
4
R
A
x
[-]
4.1.2.Zestawienie funkcji sił w prętach D
1
i G
1
w zaleŜności od współrzędnej x:
pręt współrzędna
x ∈〈0 ; 3 〉
x ∈〈6 ; 18 〉
D
1
[-]
15
4
R
B
x
3
4
R
A
x
G
1
[-]
−
15
4
R
B
x
−
3
4
R
A
x
4.1.3.Wykreślenie linii wpływowych sił w prętach D
1
i G
1
(z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3)
+
D
1
(x) [-]
0
0,625
-
0
0
G
1
(x) [-]
3,0 m
3,0 m
12,0 m
0,5
0
-0,625
-0,5
Rys.3.7
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
21/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
4.2.1.Wyznaczenie funkcji S
1
(x) – przekrój β-β :
3,0 m
2
x
2
,0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
1
(x)
S
1
(x)
K
1
(x)
P=1[-]
3,0 m
12,0 m
G
1
(x)
S
1
(x)
R
s
2
,0
m
Rys.3.8
Z równowagi odciętej części górnej:
∑
M
R
S
=0 : S
1
x=−
2
3
G
1
x
[-]
4.2.2.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie S
1
(z wykorzystaniem linii wpływowej siły w pręcie G
1
jak na rys.3.7)
+
S
1
(x) [-]
0
0,417
3,0 m
3,0 m
12,0 m
0,333
0
Rys.3.9
4.3.1.Wyznaczenie funkcji K
1
(x) – przekrój γ-γ :
a)
x ∈〈0 ; 3 〉
3,0 m
2
x
2,
0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
1
(x)
D
1
(x)
α
K
1
(x)
P=1[-]
3,0 m
12,0 m
G
1
(x)
D
1
(x)
R
K
K
2
(x)
K
1
(x)
K
2
(x)
R
K
Rys.3.10
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
22/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Dla kąta α określam wartości
sin
oraz
cos
:
α
3,0
2,0
13
Rys.3.11
sin
2 13
13
cos
3 13
13
Z równowagi części prawej:
dla
G
1
x
15
4
R
B
x
[-]
M
R
K
0 : G
1
x 4 4 K
1
x cos
12 R
B
x
0
stąd:
K
1
x
13
4
R
B
x
[-]
b)
x
6 ; 18
3,0 m
2
x
2,
0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
1
(x)
D
1
(x)
α
K
1
(x)
P=1[-]
3,0 m
12,0 m
G
1
(x)
D
1
(x)
R
K
K
2
(x)
K
1
(x)
K
2
(x)
R
K
Rys.3.12
Z równowagi części lewej:
dla
G
1
x
3
4
R
A
[-]
M
R
K
0 : G
1
x 4 2 K
1
x cos
3 K
1
x sin
6 R
A
x
0
stąd:
K
1
x
13
4
R
A
x
[-]
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
23/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
4.3.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie K
1
w zaleŜności od współrzędnej x:
pręt współrzędna
x ∈〈0 ; 3 〉
x ∈〈6 ; 18 〉
K
1
[-]
13
4
R
B
x
−
13
4
R
A
x
4.3.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie K
1
(z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3):
-
K
1
(x) [-]
0
0,15
3,0 m
3,0 m
12,0 m
-0,6
0
+
Rys. 3.13
4.4.1Wyznaczenie funkcji G
2
(x) – przekrój φ-φ :
a)
x ∈〈0 ; 9 〉
12,0 m
2
x
2,
0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
2
(x)
P=1[-]
6,0 m
G
2
(x)
R
G
R
G
Rys.3.14
Z równowagi części prawej:
∑
M
R
G
=0 :G
2
x=−1,5 R
B
x
[-]
b)
x ∈〈12 ; 18 〉
12,0 m
2
x
2,
0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
2
(x)
P=1[-]
6,0 m
G
2
(x)
R
G
R
G
Rys.3.15
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
24/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Z równowagi części lewej:
∑
M
R
G
=0 :G
2
x=−3 R
A
x
[-]
4.4.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie G
2
w zaleŜności od współrzędnej x:
pręt współrzędna
x ∈〈0 ; 9 〉
x ∈〈12 ; 18 〉
G
2
[-]
−1,5 ⋅R
B
x
−3 ⋅R
A
x
4.4.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie G
2
(z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3):
-
G
2
(x) [-]
0
9,0 m
3,0 m
6,0 m
-0,75
-1
0
Rys.3.16
4.5.1Wyznaczenie funkcji K
2
(x) – przekrój ω-ω :
a)
x ∈〈0 ; 9 〉
9,0 m
2
x
2
,0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
2
(x)
P=1[-]
9,0 m
G
2
(x)
R
K
R
K
K
2
(x)
K
2
(x)
α
α
Rys.3.17
Z równowagi części prawej:
∑
M
R
K
=0 :−G
2
x⋅4 −2 ⋅K
2
xcos −3 ⋅K
2
xsin −9 R
B
x=0
[-]
dla
G
2
x=−1,5 ⋅R
B
x
[-]
mamy:
K
2
x=−
13
4
⋅R
B
x
[-]
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
25/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
b)
x ∈〈12 ; 18 〉
9,0 m
2
x
2
,0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
2
(x)
P=1[-]
9,0 m
G
2
(x)
R
K
R
K
K
2
(x)
K
2
(x)
α
α
Rys.3.18
Z równowagi części lewej:
∑
M
R
K
=0 : 9 ⋅R
A
x4 ⋅G
2
x4 ⋅K
2
xcos =0
[-]
dla
G
2
x=−3 ⋅R
A
x
[-]
mamy:
K
2
x=
13
4
⋅R
A
x
[-]
4.5.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie G
2
w zaleŜności od współrzędnej x:
pręt współrzędna
x ∈〈0 ; 9 〉
x ∈〈12 ; 18 〉
K
2
[-]
−
13
4
⋅R
B
x
13
4
⋅R
A
x
4.5.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie K
2
(z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3):
-
K
2
(x) [-]
0
9,0 m
3,0 m
6,0 m
-0,45
0,3
0
+
Rys.3.19
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
26/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
4.6.1.Wyznaczenie funkcji G
3
(x) – przekrój λ-λ :
a)
x ∈〈0 ; 6 〉
6,0 m
2
x
2,
0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
3
(x)
P=1[-]
12,0 m
G
3
(x)
R
G
R
G
Rys.3.20
Z równowagi części prawej:
∑
M
R
G
=0 :G
3
x=−3 ⋅R
B
x
[-]
b)
x ∈〈9 ; 18 〉
6,0 m
2
x
2,
0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
G
3
(x)
P=1[-]
12,0 m
G
3
(x)
R
G
R
G
Rys.3.21
Z równowagi części lewej:
∑
M
R
G
=0 :G
3
x=−
3
2
⋅R
A
x
[-]
4.6.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie G
3
w zaleŜności od współrzędnej x:
pręt współrzędna
x ∈〈0 ; 6 〉
x ∈〈9 ; 18 〉
G
3
[-]
−3 ⋅R
B
x
−1,5 ⋅R
A
x
4.6.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie G
3
(z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3):
-
G
3
(x) [-]
0
6,0 m
3,0 m
9,0 m
-0,75
-1
0
Rys.3.22
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
27/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
4.7.1.Wyznaczenie funkcji K
3
(x) – przekrój δ-δ :
a)
x ∈〈0 ; 6 〉
9,0 m
2
x
2
,0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
P=1[-]
9,0 m
G
3
(x)
G
3
(x)
R
K
R
K
K
3
(x)
K
3
(x)
α
α
α
Rys.3.23
Z równowagi części prawej:
∑
M
R
K
=0 :−4 ⋅K
3
xcos −4 ⋅G
3
x−9 ⋅R
B
x=0
dla
G
3
x=−3 ⋅R
B
x
[-]
mamy:
K
3
x=
13
4
⋅R
B
x
[-]
b)
x ∈〈9 ; 18 〉
9,0 m
2
x
2,
0
m
x
R
A
(x)=1-x /18 [-]
R
B
(x)=x /18 [-]
P=1[-]
9,0 m
G
3
(x)
G
3
(x)
R
K
R
K
K
3
(x)
K
3
(x)
α
α
α
Rys.3.24
Z równowagi części lewej:
∑
M
R
K
=0 : 4 ⋅G
3
x2 ⋅K
3
xcos 3 ⋅K
3
xsin 9 ⋅R
A
x=0
dla
G
3
x=−1,5 ⋅R
A
x
[-]
mamy:
K
3
x=−
13
4
⋅R
A
x
[-]
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
28/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
4.7.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie K
3
w zaleŜności od współrzędnej x:
pręt współrzędna
x ∈〈0 ; 6 〉
x ∈〈9 ; 18 〉
K
3
[-]
13
4
⋅R
B
x
−
13
4
⋅R
A
x
4.7.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie K
3
(z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3):
-
K
3
(x) [-]
0
6,0 m
3,0 m
9,0 m
-0,45
0,3
0
+
Rys.3.25
4.8.1.Wyznaczenie funkcji S
2
(x) – z równowagi węzła S [patrz rys.3.4.]
W tym przypadku uwzględniam dwie sytuacje: gdy siła P=1[-] znajduje się w przedziałach
x ∈〈0 ; 6 〉
i
x ∈〈12 ; 18 〉
(wówcza określone są fukcje sił w prętach G
2
, G
3
, K
2
i K
3
) oraz osobno ustawienie siły P=1 [-]
w punkcie x=9 (wówczas mogę określić konkretne wartości ww. prętów w węźle S). Otrzymuję zatem:
a)
x ∈〈0 ; 6 〉
oraz
x ∈〈12 ; 18 〉
G
3
(x)
G
2
(x)
K
3
(x)
K
2
(x)
S
2
(x)
α
α
Rys.3.26
∑
Y =0 :− K
3
xsin −K
2
xsin −S
2
x=0
zatem:
S
2
x=−sin K
2
xK
3
x
Uwzględniając wartości
K
2
x
oraz
K
3
x
na zadanych przedziałach otrzymuję:
S
2
x=0
[-]
b)
x=9
-0,75
-0,75
-0,45
-0,45
S
2
(x)
α
α
Rys.3.27
∑
Y =0 :−−0,45sin −−0,45sin −S
2
x=0
zatem
S
2
x=0,5
[-]
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
29/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
4.8.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie S
2
w zaleŜności od współrzędnej x:
pręt współrzędna
x ∈〈0 ; 6 〉
x=9
x ∈〈12 ; 18 〉
S
2
[-]
0
0,5
0
4.8.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie S
2
:
+
S
2
(x) [-]
0
6,0 m
3,0 m
6,0 m
0,5
0
3,0 m
+
Rys.3.28
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
30/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Projekt nr 1
LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
EKSTREMALNE WARTOŚCI WIELKOŚCI STATYCZNYCH
Zadanie: Dla belki pokazanej na rys. 4.1. przy obciąŜeniu zespołem sił ruchomych jak na rys. 4.2. obliczyć ekstremalne
wartości momentu zginającego w przekroju β-β.
β
β
5,0 m
3,0 m
1,0 m
5,0 m
5,0 m
4,0 m
2,0 m
3,0 m
1,0 m
Rys. 4.1.
Zadany zespół sił ruchomych:
30 kN
10 kN/m
1,0 m
2,0 m
Rys.4.2.
Rozwiązanie:
Dana belka jest analogiczna do belki z rys. 1.1, stąd teŜ wykres linii wpływu momentu zginającego w przekroju β-β jest
taki jak na rys. 1.12.
Wykres linii wpływu momentu zginającego w przekroju β-β:
0
+
0
+
1,875
-0,625
-
-
M
β-β
(x)[m]
Rys.4.3.
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
31/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Wyznaczenie ekstremalnych wartości momentu zginającego :
1. Wartość maksymalna momentu wystąpi przy połoŜeniu zespołu sił jak na rys.4.4.:
0
+
0
1,875
-0,625
M
β-β
(x)[m]
30 kN
10 kN/m
1,5
1,125
0,75
0,375
1,25
0,625
0
-0,469-0,313
-0,156
Rys.4.4.
M
max
30 1,875 10
0,75 1,5
2
2 78,75 kNm
2. Wartość minimalna momentu wystąpi przy połoŜeniu zespołu sił jak na rys.4.5.:
0
+
0
1,875
-0,625
M
β-β
(x)[m]
30 kN
10 kN/m
1,5
1,125
0,75
0,375
1,25
0,625
0
-0,469-0,313
-0,156
Rys.4.5
M
min
30
0,625
10
0,469 0,156
2
2
25 kNm
Zestawienie wyników:
Dla zadanej belki, przy obciąŜeniu zespołem sił jak na rys.4.2 ekstremalne wartości momentu zginającego :
M
max
78,75 kNm
M
min
25 kNm
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
32/37
M
β-β
[m]
M
β-β
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Projekt nr 1
LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
OBWIEDNIA MOMENTÓW
Zadanie: Dla belki pokazanej na rys.5.1 obciąŜonej zespołem sił ruchomych jak na rys. 5.2. wyznaczyć obwiednię
momentów.
3,0 m
4,0 m
2,0 m
Rys.5.1
Zespół obciąŜeń:
30 kN
10 kN/m
1,0 m
2,0 m
Rys.5.2
Rozwiązanie:
Aby wykreślić obwiednię momentów w pierwszej kolejności wyznaczam linie wpływowe oraz ekstremalne wartości
momentu zginającego dla kaŜdego z przyjętych przekrojów. Przekroje ustanawiam co 1m jak na rys. 5.3.:
3,0 m
4,0 m
2,0 m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Rys.5.3
Na rysunkach poniŜej przedstawiono linie wpływowe momentu zginającego dla kaŜdego z przekrojów 0-9. Kolorem
czarnym przedstawiono połoŜenie danego zespołu obciąŜeń, przy którym moment zginający ma wartość maksymalną,
natomiast kolorem czerwonym połoŜenie, dla którego moment zginający jest minimalny. Pod kaŜdym z rysunków
wykonano obliczenia ekstremalnych wartości momentu.
Przekrój 0
0
M
0
x m
Rys.5.4
M
0
max
M
0
min
0 kNm
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
33/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Przekrój 1
0
M
1
x m
-1
30 kN
10 kN/m
Rys. 5.5.
M
1
max
0 kNm
M
1
min
30
1
30 kNm
Przekrój 2
0
M
2
x m
-2
30 kN
10 kN/m
-1
Rys.5.6.
M
2
max
0 kNm
M
2
min
30
2
10
1
1
2
65 kNm
Przekrój 3
0
M
3
x m
-2
30 kN
10 kN/m
-1
-3
Rys.5.7
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
34/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
M
3
max
0 kNm
M
3
min
30
3
10
2
2
2
110 kNm
Przekrój 4
0
M
4
x m
-1,5
30 kN
10 kN/m
-0,75
-2,25
0,75
0,5
0,25
-0,25
-0,5
30 kN
10 kN/m
Rys.5.8
M
4
max
30 0,75 10
2 0,5
2
27,5 kNm
M
4
min
30
2,25
10
2
1,5
2
82,5 kNm
Przekrój 5
0
M
5
x m
-1
30 kN
10 kN/m
-0,5
-1,5
1
0,5
0,5
-0,5
-1
30 kN
10 kN/m
0
Rys.5.9
M
5
max
30 1 10
1 0,5
2
1
0.5
2
30 1 30 kNm
M
5
min
30
1,5
10
2
1
2
55 kNm
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
35/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Przekrój 6
0
M
6
x
m
-0,25
30 kN
-0,5
-0,75
0,5
0,25
0,75
-0,75
-1,5
30 kN
10 kN/m
0
Rys.5.10
M
6
max
30 0,75 10
2 0,5
2
27,5 kNm
M
6
min
30
1,5
45 kNm
Przekrój 7
M
7
x m
30 kN
0
-1
-2
0
10 kN/m
Rys.5.11
M
7
max
0 kNm
M
7
min
30
2
10
1 1
2
65 kNm
Przekrój 8
M
8
x m
30 kN
0
-1
0
Rys.5.12
M
8
max
0 kNm
M
8
min
30
1
30 kNm
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
36/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
05.11.04
Przekrój 9
0
M
9
x m
Rys.5.13
M
9
max
M
9
min
0 kNm
Wykreślenie obwiedni momentów na podstawie powyŜszych obliczeń:
0
-30
-65
-110
-82,5
-55
-45
-65
-30
0
0
0
0
0
0
27,5
27,5
30
0
0
obw M [kNm]
Rys.5.14
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
37/37