Matematyka A, egzamin komisyjny, 11 pa´

zdziernika 2007

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego

nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. (a) Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania r´o˙zniczkowego

(t

2

+ 2t)x

0

(t) = 2(t + 1)x(t) + t + 2 .

(b) Znale´z´c rozwia

,

zanie x spe lniaja

,

ce warunek x(1) = 0 .

2. Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego obszaru G = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 9 i y ≥ 0} .

3. Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) − x

0

(t) − 6x(t) = 2e

3t

+ 6te

−3t

− 7e

−3t

+ 10te

3t

− 10 sin(2t) − 2 cos(2t).

4. Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne uk ladu r´owna´

n:







x

0

(t) = y(t) − z(t),

y

0

(t) = x(t) + 2y(t) + z(t),

z

0

(t) = 2x(t) − 2y(t) + 3z(t).

Znale´z´c rozwia

,

zanie uk ladu spe lniaja

,

ce warunek x(0) = 2 , y(0) = 0 , z(0) = 0 wiedza

,

c, ˙ze

(1) jednym z pierwiastk´ow wielomianu charakterystycznego macierzy, kt´ora jest interesuja

,

ca dla

rozwia

,

zuja

,

cych ten uk lad r´owna´

n jest liczba 2 + i

(2) oraz ˙ze suma wszystkich warto´sci w lasnych r´owna jest 5 .

5. Znale´z´c punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i lokalne ekstrema tej funkcji oraz wyja´sni´c, kt´ore

z nich sa

,

minimami, a kt´ore maksimami, je´sli f (x, y) = 4x

3

− 27x + 3xy

2

dla (x, y) ∈ R

2

.