Matematyka A, kolokwium, 3 listopada 2010, 18:05 – 19:55
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elek-
tronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow
serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (6 pt.) Dla jakich liczb rzeczywistych x zachodzi r´owno´s´c
1
2
4
√
2 −2
√
2 4
√
2
1
x
x
2
= 0 ?
(2 pt.) Dla jakich liczb rzeczywistych x wektor [1, x, x
2
] jest prostopad ly do iloczynu wek-
torowego [1, 2, 4] × [1, −2, 4] ?
(2 pt.) Znale´z´c punkt X , kt´ory dzieli odcinek o ko´
ncach (1, 2, 4) , (4, 0, −1) , w stosunku
3 : 2 .
2. (3 pt.) Poda´c definicje
,
kosinusa dowolnego ka
,
ta t > 0 .
(3 pt.) Znale´z´c kosinus ka
,
ta α mie
,
dzy wektorami [1, −2, 2] i [1, 4, 8] .
(1 pt.) Niech β =
π
2
− α . Wykaza´c, ˙ze β >
1
3
.
(3 pt.) Wykaza´c, ˙ze je´sli liczba b jest miara
,
ka
,
ta β w stopniach, to b > 17
◦
3. (4 pt.) Poda´c definicje
,
logarytmu liczby x przy podstawie y . Jakie liczby wolno logarytmo-
wa´c i przy jakich podstawach?
(6 pt.) Wykaza´c, ˙ze:
2 log 5 +
1
2
log 9 + 5 log 2 < 4 log 7 < 4 log 5 + 2 log 2 .
4. (8 pt.) Znale´z´c granice
,
lim
n→∞
4
q
n
3
− 2n + 4n
4
+ 1 + n
2
·
q
n
2
+ 12 −
q
n
2
− 1
.
(2 pt.) Czy istnieje taka liczba k ∈ N , ˙ze je´sli n > k , to
q
n
2
+ 12 −
q
n
2
− 1 > sin
π
3
?
5. (2 pt.) Dla jakich x ∈ R zachodzi nier´owno´s´c x
3
− 5x
2
+ 8x − 3 > x , a dla jakich nier´owno´s´c
x
3
− 5x
2
+ 8x − 3 < x ?
(1 pt.) Dla jakich x ∈ R zachodzi nier´owno´s´c x
3
− 5x
2
+ 8x − 3 > 3 , a dla jakich nier´owno´s´c
x
3
− 5x
2
+ 8x − 3 < 3 ?
(1 pt.) Dla jakich x ∈ R zachodzi nier´owno´s´c x
3
− 5x
2
+ 8x − 3 > 1 , a dla jakich nier´owno´s´c
x
3
− 5x
2
+ 8x − 3 < 1 ?
(1 pt.) Niech a
1
∈ R i niech a
n+1
= a
3
n
− 5a
2
n
+ 8a
n
− 3 . Znale´z´c a
2
, a
3
, a
4
, gdy a
1
= 4 oraz
a
2
, a
3
, a
4
, gdy a
1
= 2 .
(5 pt.) Dla jakich liczb a
1
≥ 1 cia
,
g (a
n
) ma granice
,
sko´
nczona
,
?