107

Elektronika Praktyczna 4/2006

K U R S

Dyskretne  przekształcenie 

Fouriera,  część  2

W pierwszej  części  cy-

klu  poznaliśmy  problemy 

pojawiające  się  podczas 

prób  estymacji  widma  za 

pomocą  oscyloskopu  cy-

frowego  wyposażonego 

w funkcję  FFT  [1].  Odro-

bina  matematyki  zasto-

sowana  w części  bieżącej 

jest  niezbędna  dla  łatwego 

„przyswojenia”  idei  trans-

formacji  Fouriera  i „gład-

ko”  wprowadza  w zastoso-

wania  z użyciem  procedu-

ry  FFT,  które  będą  zilu-

strowane  w artykule  zamy-

kającym  ten  krótki  cykl. 

W ramach  części  drugiej 

przybliżona  zostanie  pro-

blematyka  przekształcenia 

Fouriera  sygnału  ciągłego 

i dyskretnego.

Przekształcenie Fouriera 

sygnału ciągłego

Ze  względu  na  złożo-

ność  sygnałów  występują-

cych  we  współczesnej  te-

lekomunikacji  analiza  ich 

wartości  chwilowych  sta-

je  się  kłopotliwa,  a cza-

sami  wręcz  niemożliwa. 

Z tego  powodu  właściwa 

reprezentacja  analityczna 

sygnałów  nabiera  wręcz 

podstawowego  znaczenia. 

Ogólnie  wyróżnia  się  cią-

głe  i dyskretne  reprezenta-

cje  sygnałów.  Reprezenta-

cje  ciągłe  przyporządkowu-

ją  sygnałowi  pewną  funk-

Dyskretne  przekształcenie  Fouriera  DFT  (Discrete 
Fourier  Transform)  jest,  obok  procedur  filtracji
cyfrowej,  jednym  z podstawowych,  a zarazem 
najbardziej  skutecznych  narzędzi  cyfrowego 
przetwarzania  sygnałów.  Poza  istotnym 
znaczeniem  teoretycznym  DFT  odgrywa  ważną 
rolę  w zagadnieniach  związanych  z układowymi 
realizacjami  różnorodnych  algorytmów 
przetwarzania  sygnałów.  Wynika  to  z istnienia 
bardzo  wydajnego  algorytmu  obliczania 
dyskretnej  transformaty  Fouriera,  zwanego  szybką 
transformatą  Fouriera  FFT  (Fast  Fourier  Transform).

cję  rzeczywistą  lub  ze-

spoloną.  Przykładem  może 

być  przekształcenie  Fourie-

ra.  Reprezentacje  dyskretne 

przyporządkowują  rozważa-

nemu  sygnałowi  skończony 

lub  przeliczalny  ciąg  liczb 

rzeczywistych  lub  zespo-

lonych.  Jako  analogiczny 

przykład  można  wskazać 

reprezentację  sygnału  okre-

sowego  za  pomocą  szere-

gu  Fouriera.

Z praktyki  bardzo  do-

brze  znane  jest  inżynierom 

elektronikom  przekształce-

nie  Laplace’a

  o postaci:

 

(2.1)

w której  X

C

(s)  oznacza 

transformatę  Laplace’a

  cią-

głego  sygnału  x

C

(t),  okre-

ślonego  w dziedzinie  cza-

su.  Dziedziną  transformaty 

Laplace’a  jest  zbiór  liczb 

zespolonych,  a zmienna  s, 

zwana  często  pulsacją  ze-

spoloną,  ma  postać

s=σ+jv        (2.2)

Przekształcenie  Laplace-

’a,  będące  podstawą  tzw. 

metody  operatorowej

,  od-

grywa  nieocenioną  rolę 

w analizie  i syntezie  ob-

wodów  elektrycznych,  na-

tomiast  w teorii  sygnałów 

duże  znaczenie  ma,  wy-

wodzące  się  z niego,  prze-

kształcenie  Fouriera.  Jeśli 

w zależności  (2.1)  podsta-

wimy  σ=0,  to  transforma-

ta  Laplace’a  nabiera  sen-

su  widma  sygnału.  Takie 

przekształcenie  sygnału  – 

którego  jądrem  jest  zespo-

lona  eksponenta  często-

tliwości  –  po  raz  pierw-

szy  zaprezentował  Fourier 

w formie  tzw.  przekształ-

cenia  dwustronnego  o po-

staci

 

(2.3)

Zależność  (2.3)  nosi  na-

zwę  prostego  przekształce-

nia  Fouriera

.  Rzadziej  sto-

sowane  w praktyce  prze-

kształcenie  odwrotne  i dys-

kretne  przekształcenie  od-

wrotne  (IDF T  –  Inverse 

Discrete  Fourier  Transform

), 

transformujące  widmo  sy-

gnału  w jego  postać  czaso-

wą,  nie  będzie  przedmio-

tem  naszych  rozważań.

Równanie  (2.3)  definiu-

jące  przekształcenie  Fourie-

ra  ma  dość  enigmatyczny 

charakter  i często  w trakcie 

typowego  wykładu  aka-

demickiego  jest  gubiony 

jego  głęboki,  choć  w isto-

cie  oczywisty  sens  fizycz-

ny.  Aby  odczytać  z zapi-

su  (2.3)  jego  interpretację 

fizyczną, posłużymy się

wzorem  Eulera  −  wiążą-

cym  eksponentę  zmiennej 

urojonej  z funkcjami  har-

monicznymi  −  o postaci:

e

–jw

=cosw–jsinw      (2.4)

Po  zastosowaniu  wzoru 

Eulera  przekształcenie  Fo-

uriera  przyjmuje  postać

 

(2.5)

Rozdzieliliśmy  zespo-

loną  eksponentę  na  skła-

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz. 2 
Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT (Discrete Fourier 
Transform) jest, obok procedur filtracji cyfrowej, jednym z 
podstawowych, a zarazem najbardziej skutecznych narz

�dzi

cyfrowego przetwarzania sygnałów. Poza istotnym znaczeniem 
teoretycznym DFT odgrywa wa

�n� rol� w zagadnieniach zwi�zanych

z układowymi realizacjami ró

�norodnych algorytmów 

przetwarzania sygnałów. Wynika to z istnienia bardzo wydajnego 
algorytmu obliczania dyskretnej transformaty Fouriera, zwanego 
szybk

� transformat� Fouriera FFT (Fast Fourier Transform). 

W pierwszej cz

��ci cyklu poznali�my problemy pojawiaj�ce si�

podczas prób estymacji widma za pomoc

� oscyloskopu cyfrowego 

wyposa

�onego w funkcj� FFT [1]. Odrobina matematyki 

zastosowana w cz

��ci bie��cej jest niezb�dna dla łatwego 

„przyswojenia” idei transformacji Fouriera i „gładko” 
wprowadza w zastosowania z u

�yciem procedury FFT, które b�d�

zilustrowane w artykule zamykaj

�cym ten krótki cykl. W ramach 

cz

��ci drugiej przybli�ona zostanie problematyka 

przekształcenia Fouriera sygnału ci

�głego i dyskretnego. 

Przekształcenie Fouriera sygnału ci

�głego

Ze wzgl

�du na zło�ono�� sygnałów wyst�puj�cych we współczesnej 

telekomunikacji analiza ich warto

�ci chwilowych staje si�

kłopotliwa, a czasami wr

�cz niemo�liwa. Z tego powodu wła�ciwa

reprezentacja analityczna sygnałów nabiera wr

�cz podstawowego 

znaczenia. Ogólnie wyró

�nia si� ci�głe i dyskretne 

reprezentacje sygnałów. Reprezentacje ci

�głe przyporz�dkowuj�

sygnałowi pewn

� funkcj� rzeczywist� lub zespolon�. Przykładem 

mo

�e by� przekształcenie Fouriera. Reprezentacje dyskretne 

przyporz

�dkowuj� rozwa�anemu sygnałowi sko�czony lub 

przeliczalny ci

�g liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jako 

analogiczny przykład mo

�na wskaza� reprezentacj� sygnału 

okresowego za pomoc

� szeregu Fouriera. 

Z praktyki bardzo dobrze znane jest in

�ynierom elektronikom 

przekształcenie Laplace’a o postaci 

( )

( )

�

�

�

=

∞

−

0

s

d

e

s

t

t

x

X

t

C

C

 

(2.1) 

w której X

C

(s) oznacza transformat

� Laplace’a ci

�głego sygnału 

x

C

(t), okre

�lonego w dziedzinie czasu. Dziedzin� transformaty 

Laplace’a jest zbiór liczb zespolonych, a zmienna s, zwana 
cz

�sto pulsacj� zespolon�, ma posta�

ω

+

σ

=

j

s

 

(2.2) 

Przekształcenie Laplace’a, b

�d�ce podstaw� tzw. metody

operatorowej, odgrywa nieocenion

� rol� w analizie i syntezie 

obwodów elektrycznych, natomiast w teorii sygnałów du

�e

znaczenie ma, wywodz

�ce si� z niego, przekształcenie Fouriera. 

Je

�li w zale�no�ci (2.1) podstawimy σ=0, to transformata 

Laplace’a nabiera sensu widma sygnału. Takie przekształcenie 

sygnału – którego j

�drem jest zespolona eksponenta 

cz

�stotliwo�ci – po raz pierwszy zaprezentował Fourier w 

formie tzw. przekształcenia dwustronnego o postaci 

( )

( )

�

�

�

=

∞

∞

−

π

−

t

t

x

f

X

ft

C

C

d

e

2

j

 

(2.3) 

Zale

�no�� (2.3) nosi nazw� prostego przekształcenia Fouriera.

Rzadziej stosowane w praktyce przekształcenie odwrotne i 
dyskretne przekształcenie odwrotne (IDFT – Inverse Discrete 
Fourier Transform), transformuj

�ce widmo sygnału w jego posta�

czasow

�, nie b�dzie przedmiotem naszych rozwa�a�.

Równanie (2.3) definiuj

�ce przekształcenie Fouriera ma do��

enigmatyczny charakter i cz

�sto w trakcie typowego wykładu 

akademickiego jest gubiony jego gł

�boki, cho� w istocie 

oczywisty sens fizyczny. Aby odczyta

� z zapisu (2.3) jego 

interpretacj

� fizyczn�, posłu�ymy si� wzorem Eulera − wi���cym

eksponent

� zmiennej urojonej z funkcjami harmonicznymi − o 

postaci

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

sin

j

cos

e

j

 

(2.4) 

Po zastosowaniu wzoru Eulera przekształcenie Fouriera 
przyjmuje posta

�

( )

( ) ( )

( ) ( )

�

�

�

π

−

�

�

�

π

=

∞

∞

−

∞

∞

−

t

ft

t

x

t

ft

t

x

f

X

C

C

C

d

2

sin

j

d

2

cos

 

(2.5) 

Rozdzielili

�my zespolon� eksponent� na składow� rzeczywist� i 

urojon

�. Mo�emy stwierdzi�, �e całka Fouriera daje w efekcie 

składow

� rzeczywist� − wskazuj�c� na stopie� korelacji 

analizowanego sygnału z funkcj

� cos(2πft) i składow� urojon� −

skorelowan

� z funkcj� sin(2πft). W tym momencie pojawia si�

pytanie – jak nale

�y rozumie� wzmiankowan� wy�ej korelacj�?

Rozwa

�my, dla przejrzysto�ci, tylko składow� rzeczywist�

transformaty Fouriera 

( )

( ) ( )

�

�

�

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

t

x

f

X

C

C

d

2

cos

Re

 

(2.6) 

Widzimy,

�e dla danej cz�stotliwo�ci f cz��� rzeczywista 

transformaty Fouriera jest całk

� po czasie, w zakresie ±∞, z 

iloczynu rozpatrywanego sygnału ci

�głego x

C

(t) i sygnału 

kosinusoidalnego o cz

�stotliwo�ci f.

Wyobra

�my sobie, �e sygnał x

C

(t) jest identyczny z sygnałem 

harmonicznym cos(2

πft), czyli

( )

( )

ft

t

x

C

π

=

2

cos

 

(2.7) 

Wówczas, jako 

�e obie funkcje s� całkowicie skorelowane (tzn., 

gdy jedna ro

�nie, to druga równie� − w sposób identyczny −

ro

�nie oraz, gdy jedna maleje, to – podobnie jak poprzednio – 

druga równie

� maleje), wynik całki jest maksymalny, ale 

niestety, co łatwo wykaza

�, równy 

sygnału – którego j

�drem jest zespolona eksponenta 

cz

�stotliwo�ci – po raz pierwszy zaprezentował Fourier w 

formie tzw. przekształcenia dwustronnego o postaci 

( )

( )

�

�

�

=

∞

∞

−

π

−

t

t

x

f

X

ft

C

C

d

e

2

j

 

(2.3) 

Zale

�no�� (2.3) nosi nazw� prostego przekształcenia Fouriera.

Rzadziej stosowane w praktyce przekształcenie odwrotne i 
dyskretne przekształcenie odwrotne (IDFT – Inverse Discrete 
Fourier Transform), transformuj

�ce widmo sygnału w jego posta�

czasow

�, nie b�dzie przedmiotem naszych rozwa�a�.

Równanie (2.3) definiuj

�ce przekształcenie Fouriera ma do��

enigmatyczny charakter i cz

�sto w trakcie typowego wykładu 

akademickiego jest gubiony jego gł

�boki, cho� w istocie 

oczywisty sens fizyczny. Aby odczyta

� z zapisu (2.3) jego 

interpretacj

� fizyczn�, posłu�ymy si� wzorem Eulera − wi���cym

eksponent

� zmiennej urojonej z funkcjami harmonicznymi − o 

postaci

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

sin

j

cos

e

j

 

(2.4) 

Po zastosowaniu wzoru Eulera przekształcenie Fouriera 
przyjmuje posta

�

( )

( ) ( )

( ) ( )

�

�

�

π

−

�

�

�

π

=

∞

∞

−

∞

∞

−

t

ft

t

x

t

ft

t

x

f

X

C

C

C

d

2

sin

j

d

2

cos

 

(2.5) 

Rozdzielili

�my zespolon� eksponent� na składow� rzeczywist� i 

urojon

�. Mo�emy stwierdzi�, �e całka Fouriera daje w efekcie 

składow

� rzeczywist� − wskazuj�c� na stopie� korelacji 

analizowanego sygnału z funkcj

� cos(2πft) i składow� urojon� −

skorelowan

� z funkcj� sin(2πft). W tym momencie pojawia si�

pytanie – jak nale

�y rozumie� wzmiankowan� wy�ej korelacj�?

Rozwa

�my, dla przejrzysto�ci, tylko składow� rzeczywist�

transformaty Fouriera 

( )

( ) ( )

�

�

�

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

t

x

f

X

C

C

d

2

cos

Re

 

(2.6) 

Widzimy,

�e dla danej cz�stotliwo�ci f cz��� rzeczywista 

transformaty Fouriera jest całk

� po czasie, w zakresie ±∞, z 

iloczynu rozpatrywanego sygnału ci

�głego x

C

(t) i sygnału 

kosinusoidalnego o cz

�stotliwo�ci f.

Wyobra

�my sobie, �e sygnał x

C

(t) jest identyczny z sygnałem 

harmonicznym cos(2

πft), czyli

( )

( )

ft

t

x

C

π

=

2

cos

 

(2.7) 

Wówczas, jako 

�e obie funkcje s� całkowicie skorelowane (tzn., 

gdy jedna ro

�nie, to druga równie� − w sposób identyczny −

ro

�nie oraz, gdy jedna maleje, to – podobnie jak poprzednio – 

druga równie

� maleje), wynik całki jest maksymalny, ale 

niestety, co łatwo wykaza

�, równy 

sygnału – którego j

�drem jest zespolona eksponenta 

cz

�stotliwo�ci – po raz pierwszy zaprezentował Fourier w 

formie tzw. przekształcenia dwustronnego o postaci 

( )

( )

�

�

�

=

∞

∞

−

π

−

t

t

x

f

X

ft

C

C

d

e

2

j

 

(2.3) 

Zale

�no�� (2.3) nosi nazw� prostego przekształcenia Fouriera.

Rzadziej stosowane w praktyce przekształcenie odwrotne i 
dyskretne przekształcenie odwrotne (IDFT – Inverse Discrete 
Fourier Transform), transformuj

�ce widmo sygnału w jego posta�

czasow

�, nie b�dzie przedmiotem naszych rozwa�a�.

Równanie (2.3) definiuj

�ce przekształcenie Fouriera ma do��

enigmatyczny charakter i cz

�sto w trakcie typowego wykładu 

akademickiego jest gubiony jego gł

�boki, cho� w istocie 

oczywisty sens fizyczny. Aby odczyta

� z zapisu (2.3) jego 

interpretacj

� fizyczn�, posłu�ymy si� wzorem Eulera − wi���cym

eksponent

� zmiennej urojonej z funkcjami harmonicznymi − o 

postaci

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

sin

j

cos

e

j

 

(2.4) 

Po zastosowaniu wzoru Eulera przekształcenie Fouriera 
przyjmuje posta

�

( )

( ) ( )

( ) ( )

�

�

�

π

−

�

�

�

π

=

∞

∞

−

∞

∞

−

t

ft

t

x

t

ft

t

x

f

X

C

C

C

d

2

sin

j

d

2

cos

 

(2.5) 

Rozdzielili

�my zespolon� eksponent� na składow� rzeczywist� i 

urojon

�. Mo�emy stwierdzi�, �e całka Fouriera daje w efekcie 

składow

� rzeczywist� − wskazuj�c� na stopie� korelacji 

analizowanego sygnału z funkcj

� cos(2πft) i składow� urojon� −

skorelowan

� z funkcj� sin(2πft). W tym momencie pojawia si�

pytanie – jak nale

�y rozumie� wzmiankowan� wy�ej korelacj�?

Rozwa

�my, dla przejrzysto�ci, tylko składow� rzeczywist�

transformaty Fouriera 

( )

( ) ( )

�

�

�

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

t

x

f

X

C

C

d

2

cos

Re

 

(2.6) 

Widzimy,

�e dla danej cz�stotliwo�ci f cz��� rzeczywista 

transformaty Fouriera jest całk

� po czasie, w zakresie ±∞, z 

iloczynu rozpatrywanego sygnału ci

�głego x

C

(t) i sygnału 

kosinusoidalnego o cz

�stotliwo�ci f.

Wyobra

�my sobie, �e sygnał x

C

(t) jest identyczny z sygnałem 

harmonicznym cos(2

πft), czyli

( )

( )

ft

t

x

C

π

=

2

cos

 

(2.7) 

Wówczas, jako 

�e obie funkcje s� całkowicie skorelowane (tzn., 

gdy jedna ro

�nie, to druga równie� − w sposób identyczny −

ro

�nie oraz, gdy jedna maleje, to – podobnie jak poprzednio – 

druga równie

� maleje), wynik całki jest maksymalny, ale 

niestety, co łatwo wykaza

�, równy 

dową  rzeczywistą  i urojo-

ną.  Możemy  stwierdzić,  że 

całka  Fouriera  daje  w efek-

cie  składową  rzeczywistą  − 

wskazującą  na  stopień  ko-

relacji  analizowanego  sy-

gnału  z funkcją  cos(2πft) 

i składową  urojoną  −  skore-

lowaną  z funkcją  sin(2πft). 

W tym  momencie  pojawia 

się  pytanie  –  jak  należy 

rozumieć  wzmiankowaną 

wyżej  korelację?

Rozważmy,  dla  przej-

rzystości,  tylko  składową 

rzeczywistą  transformaty 

Fouriera

 

 

(2.6)

Widzimy,  że  dla  danej 

częstotliwości  f  część  rze-

czywista  transformaty  Fo-

uriera  jest  całką  po  cza-

sie,  w zakresie  ±∞,  z ilo-

czynu  rozpatrywanego  sy-

gnału  ciągłego  x

C

(t)  i sy-

gnału  kosinusoidalnego 

o częstotliwości  f.

Wyobraźmy  sobie,  że 

sygnał  x

C

(t)  jest  identycz-

ny  z sygnałem  harmonicz-

nym  cos(2πft),  czyli

x

C

(t)=cos(2πft)        (2.7)

Wówczas,  jako  że  obie 

funkcje  są  całkowicie  sko-

relowane  (tzn.,  gdy  jedna 

rośnie,  to  druga  również  − 

w sposób  identyczny  −  ro-

śnie  oraz,  gdy  jedna  male-

je,  to  –  podobnie  jak  po-

przednio  –  druga  również 

maleje),  wynik  całki  jest 

maksymalny,  ale  niestety, 

co  łatwo  wykazać,  równy

 

  (2.8)

Wynika  z tego,  że  prze-

kształcenia  Fouriera  w sen-

sie  zwykłym  –  o jakim 

cały  czas  mowa  –  nie 

sygnału – którego j

�drem jest zespolona eksponenta 

cz

�stotliwo�ci – po raz pierwszy zaprezentował Fourier w 

formie tzw. przekształcenia dwustronnego o postaci 

( )

( )

�

�

�

=

∞

∞

−

π

−

t

t

x

f

X

ft

C

C

d

e

2

j

 

(2.3) 

Zale

�no�� (2.3) nosi nazw� prostego przekształcenia Fouriera.

Rzadziej stosowane w praktyce przekształcenie odwrotne i 
dyskretne przekształcenie odwrotne (IDFT – Inverse Discrete 
Fourier Transform), transformuj

�ce widmo sygnału w jego posta�

czasow

�, nie b�dzie przedmiotem naszych rozwa�a�.

Równanie (2.3) definiuj

�ce przekształcenie Fouriera ma do��

enigmatyczny charakter i cz

�sto w trakcie typowego wykładu 

akademickiego jest gubiony jego gł

�boki, cho� w istocie 

oczywisty sens fizyczny. Aby odczyta

� z zapisu (2.3) jego 

interpretacj

� fizyczn�, posłu�ymy si� wzorem Eulera − wi���cym

eksponent

� zmiennej urojonej z funkcjami harmonicznymi − o 

postaci

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

sin

j

cos

e

j

 

(2.4) 

Po zastosowaniu wzoru Eulera przekształcenie Fouriera 
przyjmuje posta

�

( )

( ) ( )

( ) ( )

�

�

�

π

−

�

�

�

π

=

∞

∞

−

∞

∞

−

t

ft

t

x

t

ft

t

x

f

X

C

C

C

d

2

sin

j

d

2

cos

 

(2.5) 

Rozdzielili

�my zespolon� eksponent� na składow� rzeczywist� i 

urojon

�. Mo�emy stwierdzi�, �e całka Fouriera daje w efekcie 

składow

� rzeczywist� − wskazuj�c� na stopie� korelacji 

analizowanego sygnału z funkcj

� cos(2πft) i składow� urojon� −

skorelowan

� z funkcj� sin(2πft). W tym momencie pojawia si�

pytanie – jak nale

�y rozumie� wzmiankowan� wy�ej korelacj�?

Rozwa

�my, dla przejrzysto�ci, tylko składow� rzeczywist�

transformaty Fouriera 

( )

( ) ( )

�

�

�

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

t

x

f

X

C

C

d

2

cos

Re

 

(2.6) 

Widzimy,

�e dla danej cz�stotliwo�ci f cz��� rzeczywista 

transformaty Fouriera jest całk

� po czasie, w zakresie ±∞, z 

iloczynu rozpatrywanego sygnału ci

�głego x

C

(t) i sygnału 

kosinusoidalnego o cz

�stotliwo�ci f.

Wyobra

�my sobie, �e sygnał x

C

(t) jest identyczny z sygnałem 

harmonicznym cos(2

πft), czyli

( )

( )

ft

t

x

C

π

=

2

cos

 

(2.7) 

Wówczas, jako 

�e obie funkcje s� całkowicie skorelowane (tzn., 

gdy jedna ro

�nie, to druga równie� − w sposób identyczny −

ro

�nie oraz, gdy jedna maleje, to – podobnie jak poprzednio – 

druga równie

� maleje), wynik całki jest maksymalny, ale 

niestety, co łatwo wykaza

�, równy 

sygnału – którego j

�drem jest zespolona eksponenta 

cz

�stotliwo�ci – po raz pierwszy zaprezentował Fourier w 

formie tzw. przekształcenia dwustronnego o postaci 

( )

( )

�

�

�

=

∞

∞

−

π

−

t

t

x

f

X

ft

C

C

d

e

2

j

 

(2.3) 

Zale

�no�� (2.3) nosi nazw� prostego przekształcenia Fouriera.

Rzadziej stosowane w praktyce przekształcenie odwrotne i 
dyskretne przekształcenie odwrotne (IDFT – Inverse Discrete 
Fourier Transform), transformuj

�ce widmo sygnału w jego posta�

czasow

�, nie b�dzie przedmiotem naszych rozwa�a�.

Równanie (2.3) definiuj

�ce przekształcenie Fouriera ma do��

enigmatyczny charakter i cz

�sto w trakcie typowego wykładu 

akademickiego jest gubiony jego gł

�boki, cho� w istocie 

oczywisty sens fizyczny. Aby odczyta

� z zapisu (2.3) jego 

interpretacj

� fizyczn�, posłu�ymy si� wzorem Eulera − wi���cym

eksponent

� zmiennej urojonej z funkcjami harmonicznymi − o 

postaci

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

sin

j

cos

e

j

 

(2.4) 

Po zastosowaniu wzoru Eulera przekształcenie Fouriera 
przyjmuje posta

�

( )

( ) ( )

( ) ( )

�

�

�

π

−

�

�

�

π

=

∞

∞

−

∞

∞

−

t

ft

t

x

t

ft

t

x

f

X

C

C

C

d

2

sin

j

d

2

cos

 

(2.5) 

Rozdzielili

�my zespolon� eksponent� na składow� rzeczywist� i 

urojon

�. Mo�emy stwierdzi�, �e całka Fouriera daje w efekcie 

składow

� rzeczywist� − wskazuj�c� na stopie� korelacji 

analizowanego sygnału z funkcj

� cos(2πft) i składow� urojon� −

skorelowan

� z funkcj� sin(2πft). W tym momencie pojawia si�

pytanie – jak nale

�y rozumie� wzmiankowan� wy�ej korelacj�?

Rozwa

�my, dla przejrzysto�ci, tylko składow� rzeczywist�

transformaty Fouriera 

( )

( ) ( )

�

�

�

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

t

x

f

X

C

C

d

2

cos

Re

 

(2.6) 

Widzimy,

�e dla danej cz�stotliwo�ci f cz��� rzeczywista 

transformaty Fouriera jest całk

� po czasie, w zakresie ±∞, z 

iloczynu rozpatrywanego sygnału ci

�głego x

C

(t) i sygnału 

kosinusoidalnego o cz

�stotliwo�ci f.

Wyobra

�my sobie, �e sygnał x

C

(t) jest identyczny z sygnałem 

harmonicznym cos(2

πft), czyli

( )

( )

ft

t

x

C

π

=

2

cos

 

(2.7) 

Wówczas, jako 

�e obie funkcje s� całkowicie skorelowane (tzn., 

gdy jedna ro

�nie, to druga równie� − w sposób identyczny −

ro

�nie oraz, gdy jedna maleje, to – podobnie jak poprzednio – 

druga równie

� maleje), wynik całki jest maksymalny, ale 

niestety, co łatwo wykaza

�, równy 

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

  (2.8) 

Wynika z tego, 

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym – 

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich 

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest 

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany 

sygnał musi spełnia

� warunek 

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

 

(2.9) 

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje 

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano 

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu 

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty, 

który obserwujemy np. na oscyloskopie – 

�ci�le rzecz ujmuj�c – 

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał 

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym 

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii 

dystrybucji.
Z uwagi na fakt, 

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami 

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w 

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem 

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

 

(2.10) 

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego 

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem 

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera 

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji 

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału 
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka 

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest 

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym 

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie 

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

  (2.8) 

Wynika z tego, 

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym – 

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich 

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest 

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany 

sygnał musi spełnia

� warunek 

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

 

(2.9) 

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje 

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano 

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu 

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty, 

który obserwujemy np. na oscyloskopie – 

�ci�le rzecz ujmuj�c – 

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał 

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym 

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii 

dystrybucji.
Z uwagi na fakt, 

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami 

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w 

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem 

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

 

(2.10) 

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego 

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem 

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera 

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji 

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału 
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka 

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest 

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym 

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie 

Elektronika Praktyczna 4/2006

108

K U R S

wsze  osiąga  wartość  skoń-

czoną.  Załóżmy  przykła-

dowo,  że  analizowanym 

sygnałem  jest  narastający 

i malejący  do  zera  sygnał 

harmoniczny  o częstotli-

wości  f,  przedstawiony  na 

rys.  11,  dany  wzorem

(2.10)

Sygnał  ten  osiąga  mak-

simum  dla  t=0  i jest  oczy-

wiste,  że  jego  widmo  za-

wiera  składową  o częstotli-

wości  f.  Obliczmy  zatem 

część  rzeczywistą  transfor-

maty  Fouriera

(2.11)

Jednostkowy  wynik  nie 

jest  regułą  i nie  może  być 

m o ż n a   z a s t o s o w a ć   d o 

wszystkich  sygnałów.

Można  wykazać,  że  wa-

runkiem  dostatecznym  ist-

nienia  dla  każdej  częstotli-

wości  f  prostej  transforma-

ty  Fouriera  jest  bezwzględ-

na  całkowalność  sygnału 

[5],  czyli  transformowany 

sygnał  musi  spełniać  wa-

runek:

(2.9)

Jest  to  poważna  wada 

tego  przekształcenia,  gdyż 

nie  obejmuje  ono  tak 

ważnych  sygnałów  teore-

tycznych  jak  cosω

0

t,

  (co 

pokazano  powyżej),  sinω

0

t

, 

1(t),  exp(jω

0

t

)  itp.  War-

to  w tym  miejscu  uzmy-

słowić  sobie  fakt,  że  har-

moniczny  sygnał  rzeczy-

wisty,  który  obserwujemy 

np.  na  oscyloskopie  –  ści-

śle  rzecz  ujmując  –  nie 

może  być  opisany  funk-

cją  sinus,  bądź  kosinus, 

gdyż  sygnał  ten  formalnie 

musiałby  trwać  od  –∞  do 

∞.  Z problemem  tym  po-

radzono  sobie,  definiując 

przekształcenie  Fouriera 

w sensie  granicznym  [5], 

które  koncepcyjnie  przy-

pomina  definicję  dystry-

bucji  obowiązującą  w ra-

mach  elementarnej  teorii 

dystrybucji.

Z uwagi  na  fakt,  że 

rzeczywiste  przebiegi  są 

zawsze  sygnałami  o ograni-

czonej  energii,  spełniający-

mi  warunek  (2.9),  w prak-

tyce  transformata  (2.5)  za-

utożsamiany  ze  współ-

czynnikiem  korelacji,  bę-

dącym  ścisłą  miarą  kore-

lacji  obu  sygnałów.  Gdy-

by  współczynnik  tłumie-

nia  sygnału  harmoniczne-

go  był  różny  od  jedności, 

rozpatrywana  całka  rów-

nież  miałaby  inną  war-

tość.  Dla  nas  sygnał  x

C

0

(t) 

jest  przykładowym  sygna-

Rys. 11. Analizowany sygnał (linia ciągła) i sygnał cos(2πft) (linia przerywana) – łatwo za-
uważyć pełną korelację

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

  (2.8) 

Wynika z tego, 

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym – 

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich 

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest 

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany 

sygnał musi spełnia

� warunek 

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

 

(2.9) 

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje 

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano 

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu 

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty, 

który obserwujemy np. na oscyloskopie – 

�ci�le rzecz ujmuj�c – 

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał 

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym 

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii 

dystrybucji.
Z uwagi na fakt, 

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami 

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w 

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem 

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

 

(2.10) 

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego 

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem 

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera 

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji 

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału 
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka 

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest 

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym 

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie 

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

  (2.8) 

Wynika z tego, 

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym – 

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich 

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest 

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany 

sygnał musi spełnia

� warunek 

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

 

(2.9) 

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje 

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano 

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu 

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty, 

który obserwujemy np. na oscyloskopie – 

�ci�le rzecz ujmuj�c – 

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał 

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym 

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii 

dystrybucji.
Z uwagi na fakt, 

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami 

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w 

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem 

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

 

(2.10) 

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego 

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem 

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera 

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji 

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału 
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka 

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest 

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym 

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie 

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

  (2.8) 

Wynika z tego, 

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym – 

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich 

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest 

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany 

sygnał musi spełnia

� warunek 

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

 

(2.9) 

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje 

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano 

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu 

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty, 

który obserwujemy np. na oscyloskopie – 

�ci�le rzecz ujmuj�c – 

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał 

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym 

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii 

dystrybucji.
Z uwagi na fakt, 

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami 

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w 

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem 

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

 

(2.10) 

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego 

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem 

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera 

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji 

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału 
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka 

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest 

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym 

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie 

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

  (2.8) 

Wynika z tego, 

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym – 

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich 

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest 

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany 

sygnał musi spełnia

� warunek 

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

 

(2.9) 

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje 

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano 

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu 

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty, 

który obserwujemy np. na oscyloskopie – 

�ci�le rzecz ujmuj�c – 

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał 

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym 

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii 

dystrybucji.
Z uwagi na fakt, 

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami 

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w 

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem 

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

 

(2.10) 

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego 

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem 

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera 

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji 

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału 
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka 

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest 

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym 

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie 

łem,  który  posłuży  nam 

do  badania  zależności  fa-

zowych.

Tematykę  tę  będziemy 

kontynuować  w  następ-

nym  odcinku.

Andrzej  Dobrowolski

adobrowolski@wat.edu.pl

http://adobrowolski.wel.

wat.edu.pl