Testowanie hipotez
statystycznych
Testing simple hypotheses
Testowanie hipotez
statystycznych
Testing simple hypotheses
Etapy procesu weryfikacji hipotez statystycznych
1. Formułowanie hipotezy zerowej H
0
oraz
odpowiadającej jej
hipotezy alternatywnej H
1
:
H
0
: nie ma różnicy
H
1
: istnieje różnica
2. Wybór odpowiedniego do postawionej hipotezy
zerowej testu i
obliczenie jego wartości w oparciu o dane
pochodzące z próby
3. Przyjęcie odpowiedniego poziomu istotności:
p 0.05
4. Odnalezienie przy danym poziomie istotności
obszarów
krytycznych i w oparciu o nie podjęcie decyzji o
odrzuceniu lub
nie hipotezy zerowej
Obszary krytyczne:
Lokalizacja obszaru krytycznego zależy od postaci hipotez
alternatywnych.
Przykład: Hipoteza H
0
- średni czas działania nowego leku X jest równy
czasowi działania stosowanych do tej pory leków A t.j. X = A Hipoteza
H
1
może może zakładać:
X A
X > A
X < A
a
b
c
- akceptujemy H
1
, jeśli p(H
0
) 0.05
Jaki rodzaj testu zastosować?
Testy parametryczne
-rozkład normalny pomiarów
-rozkład normalny różnic m. parami
pomiarów
Testy nieparametryczne
Do porównania
dwóch średnich
t-
test
Do porównania
dwóch wariancji
F-
test
1
2
2
2
1
2
x x
t
N
s
s
-
=
+
2
1
2
2
F
s
s
=
Do porównania
dwóch rozkładów
Do porównania
obserwacji i
oczekiwań
Chi
2
-
test
2
2
1
(
)
k
i
i
i
i
Obs Exp
Exp
c
=
-
=
�
2
2
1
(
)
k
i
i
i
i
Obs Exp
Exp
c
=
-
=
�
Chi
2
-
test
Kolmogorov -
Smirnov-test
max(
)
cum
cum
KS
Obs
Exp
=
-
Chi
2
-
test
Do porównania
wielu średnich
ANOVA
Porównywanie różnic między średnimi
1. Dla zmiennych
powiązanych:
t =
d - średnia różnica,
s
d
- odchylenie standardowe różnic
zmienna ma rozkład t-Studenta o liczbie stopni swobody n-1
Testy t - Studenta
t = n
1
-
2
1
2
+
2
2
1
,
2
- średnie populacji
1
2
+
2
2
- wariancje
Zadanie 1.
Pewnej grupie 10 pacjentów leczonych na nadciśnienie
podawano odpowiedni lek. Wyniki pomiarów ciśnienia
tętniczego krwi przed leczeniem (A) i po leczeniu (B) zebrano
w tabeli:
A 220 185 270 285 200 295 255 190 225 230
B 190 175 215 260 215 195 260 150 155 175
Jak zweryfikować hipotezę, że lek ten powoduje istotny
spadek ciśnienia krwi pacjentów ?
Zadanie 2.
Wybrano 11 par poletek wiązanych na łące i przeprowadzono
doświadczenie polegające na dodaniu środka owadobójczego
na jednym z poletek w każdej parze, pozostałe drugie poletko
w parze traktowano jako kontrolę. Uzyskane wyniki podano
jako suchą nadziemną biomasę roślin w [g] na poletku po
stosowaniu środka owadobójczego A i kontrolnym B:
A 821 655 915 540 431 1050 408 408 724 795 928
B 810 642 890 540 439 1020 388 403 730 780 920
Czy stosowanie preparatu owadobójczego powoduje istotny
wzrost biomasy nadziemnej roślin ?
2. Dla zmiennych
niepowiązanych:
Porównywanie różnic między średnimi
Testy t - Studenta
a. Przy równych wariancjach
t =
b. Przy różnych wariancjach
t =
m - średnia
s - odchylenie standardowe
n - liczebność
Statystyka ma rozkład t-Studenta o n
1
+ n
2
- 2 stopniach swobody
Testowanie hipotezy o braku
różnic między wariancjami
F =
1
2
2
2
Test Fishera - Snedecora
2
- wariancja
liczba stopni swobody n
1
+ n
2
- 2
Zadanie 3.
Dwa leki obniżające ciśnienie krwi podawano pewnej grupie
osób: lek A - 10 oraz lek B - 12 obniżających ciśnienie dwóm
różnym grupom. W poniższej tabelce podano wielkości o ile
obniżyło się ciśnienie po podaniu specyfiku:
Lek A 5 6 12 9 8 5 7 8 15 7
Lek B 6 5 11 5 3 4 6 6 4 9 3 2
Który z tych leków skuteczniej obniża ciśnienie ?
Zadanie 4.
W dwóch typach lasu wybrano 19 poletek (9 w dąbrowie A
oraz 10 w borze sosnowym B) i policzono na nich wszystkie
pająki krzyżaki znalezione na sieciach. Otrzymano
następujące wartości:
A 48 57 31 53 51 64 44 61 40
B 37 30 45 52 22 35 27 40 47 32
Czy istnieje istotna różnica w liczbie pająków w dąbrowie i
borze ?
Porównywanie rozkładów cech
Test
2
(wartość oczekiwana - wartość obserwowana)
2
2
=
wartość oczekiwana
1
k
(frekwencja oczekiwana - frekwencja obserwowana)
2
2
= N
frekwencja oczekiwana
1
k
k - liczba obserwacji, k-1 liczna stopni swobody, N - wielkość próby
Zadanie 5.
W wyniku kojarzenia heterozygot dziwaczka o różowej barwie
kwiatów otrzymaliśmy w potomstwie następujące liczby
osobników: o kwiatach czerwonych (C) - 22, różowych (R) -
43, białych (B) - 17. Sprawdź czy otrzymane wyniki zgodne są
z prawem Mendla (1:2:1).
Analiza wariancji
(ANOVA)
1. Klasyfikacja pojedyncza
F =
2
między grupami
2
wewnątrz grup
2
między grupami
=
SS
między grupami
k - 1
2
- wariancja
k
-
liczba grup
2
wewnątrz grup
=
SS
wewnątrz grup
N - k
SS
- suma kwadratów odchyleń od średniej
N
- liczba przypadków
Zadanie 6.
Badano wpływ intensywności światła na wielkość biomasy
roślin. Hodowano je na poletkach przy 5 różnych natężeniach
światła (A-E) w 4 powtórzeniach. Po zakończeniu
eksperymentu oznaczono biomasę roślin na poletkach [g/m
2
].
Wyniki zestawiono poniżej:
A 10 12 8 10
B 15 12 15 10
C 11 15 20 14
D 5 10 15 6
E 8 10 8 6
Czy światło istotnie wpływa na wielkość biomasy roślin ?