1

Dr Galina 

Cariowa

2

Legenda

Iteracyjne układy 
kombinacyjne

Sumatory 
binarne

Sumatory - substraktory 
binarne

Funkcje i układy 
arytmetyczne

Układy 
mnożące

3

Układy arytmetyczne

Układ arytmetyczny jest to kombinacyjny układ 
logiczny, który wykonuje operacje arytmetyczne: 

                                                    dodawanie;

                                                    odejmowanie;

                                                    mnożenie;

                                                    dzielenie 

liczb binarnych  lub liczb dziesiętnych przedstawionych 
za pomocą kodu binarnego.

Podstawowe bloki arytmetyczne :     

półsumator

 (ang. 

half 

adder

)

                                                          

pełny sumator

 (ang. 

full adder

),

Z tych bloków projektowane inne układy arytmetyczne.

4

Układy iteracyjne

Jeśli w rozwiązywanym zadaniu nie jest określona 
liczba zmiennych, wtedy można zaprojektować układ 
dla jednej  lub kilku zmiennych, a następnie łączyć 
takie układy ze sobą.

 

Takie układy przyjęto nazywać 

układami 

iteracyjnymi.

Zaleta układów iteracyjnych

 : możliwość ich 

łatwego rozbudowywania dla większej liczby 
zmiennych.

Wady układów iteracyjnych

: 

- nie stanowią one minimalnego 

rozwiązania 

pod względem liczby 

bramek;

                     -  wnoszą znacznie większe opóźnienie 
niż 

klasycznie projektowane układy.

5

Sieć iteracyjna

Układy iteracyjne

 są zbudowane z sieci komórek 

kombinacyjnych.

Podstawowe bloki  funkcjonalne realizujące  proste 
funkcje składowe są określane jako 

komórki,

A całą implementację określamy jako 

sieć

 

komórek

.

Komórki w sieci są często 
identyczne

Cały blok 
funkcjonalny 
jest określany 
jako 

sieć 

iteracyjna

.

6

Symbol i-tej komórki dwóch 

liczb

7

Schemat blokowy układu 

iteracyjnego

8

Schemat blokowy układu 

iteracyjnego

Układ wykonujący działania na dwóch wektorach n 
-bitowych wejściowych A,B i tworzy n -bitowy wektor 
wyjściowy C.

9

Układ iteracyjny

Między każdą parą komórek 
sieci istnieją dwa boczne 
połączenia.

Liniami przerywanymi 
zaznaczone opcjonalne 
połączenia na prawym i 
lewym krańcu sieci komórek.

 

Liczba zastosowanych 
połączeń i ich funkcji 
wpływa zarówno na koszt, 
jak i na szybkość układu 
iteracyjnego.

Zdefiniujemy komórki 
wykonujące dodawanie 
bitów na pojedynczej 
pozycji, a następnie 
zdefiniujemy układ 
realizujący dodawanie 
dwóch liczb binarnych.

10

Układ realizujązujący 

dodawanie dwóch liczb 

binarnych 

Dodawanie składa się z czterech możliwych operacji elementarnych:

0+0=0,  0+1=1,  1+0=1,  1+1=10

Wynik dodawania jest zawsze 
reprezentowany dwoma bitami, 

bitem 

przeniesienia

 i sumy.

Przeniesienie jest dodawane do 
następnej pary bardziej znaczących 
bitów.

Układ kombinacyjny realizujący dodawanie 
dwóch bitów jest nazywany 

półsumatorem

. 

Sumator realizujący sumę trzech bitów (dwóch 
bitów znaczących i bitu przeniesienia z 
poprzedniej pozycji) jest nazywany 

pełnym 

sumatorem.

11

Półsumator

 

(dodawanie jednobitowych liczb 

dwójkowych)

Tablica prawdy półsumatora i 2 tablicy 
Karnaugha

Wejście – bity dodajnej A i 
dodajnika B.

Wyjście – bity sumy S i przeniesienia C (ang. 
carry)

Z tablicy prawdy można odczytać funkcję boolowskie dla 
obu wyjść

.

B

A

B

A

B

A

S













B

A

C





12

Schemat logiczny 

półsumatora

Półsumator można zrealizować na 

jednej bramce 

EXOR

  

            i 

jednej bramce AND

13

Pełny sumator -

Przy dodawaniu bitów oprócz bitów wejściowych 
trzeba uwzględniać przeniesienie z mniej 
znaczącej pozycji. 

Funkcje boolowskie sumatora jednopozycyjnego są 

funkcjami trzech zmiennych

:    wartości danych 

X

 i 

Y

 

  oraz przeniesienia z mniej znaczącej 

pozycji 

Z

.

Operacja jednobitowego dodawania (dodawania dwóch bitów 
wraz z przeniesieniami) polega na obliczaniu wartości dwóch 
funkcji:

                                       

S

 –jest binarnym wynikiem 

dodawania trzech 

bitów X,Y i Z;

                                                    

C

 

–jest wartością przeniesienia 

(wyjściowego) 

na następną pozycję.

   

                                    

generuje sumę trzech bitów 
wejściowych.

14

Pełny sumator

Układ generuje sumę trzech bitów wejściowych (dwóch 
bitów znaczących i bitu przeniesienia z poprzedniej 
pozycji)

suma

Tablica prawdy dla funkcji 
C i S:

Przeniesienie 

wyjściowe

Przeniesienie 

z poprzedniej 

pozycji

15

Pełny sumator

Tablica 
Karnaugcha dla 
wyjścia sumy

x

yz

00

01

11

10

0

1

1

1

1

1

00

01

11

10

0

1

x

yz

1

1

1

1

Tablica Karnaugha 
dla wyjścia

 

przeniesienia

XYZ

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

S

















YZ

XZ

XY

C

)

(

Y

X

Y

X

Z

XY







Dwupoziomowa

 implementacja 

wymaga siedmiu bramek AND i 
dwóch bramek OR.

16

Pełny sumator

Z

Y

X

S







)

(

Y

X

Z

XY

C







Funkcja wyjścia S jest 
funkcją kontroli 
nieparzystości :

Funkcja wyjścia C może być tak 
przekształcona, by zawierała 
operację EXOR na zmiennych X i 
Y: 

Schemat logiczny 

wielopoziomowej

 implementacji pełnego 

sumatora.

17

Implementacja 1 –bitowego 

sumatora 

na dekoderze i bramce 

OR

18

Implementacja 1 –

bitowego sumatora 

na 

dekoderze i bramce OR

19

Przykład. Sumator dwóch 

czterobitowych liczb 

binarnych.

 Projektowanie zwykłego układu 
kombinacyjnego realizującego podaną 
funkcję polega na utworzeniu tablicy 
Karnaugha dla 

ośmiu zmiennych 

wejściowych i 4 zmiennych 
wyjściowych. 

Już dla niewielkiej liczby sumowanych 
bitów tablica Karnaugha jest bardzo 
rozbudowana.

20

Sumator dwóch 

czterobitowych liczb 

binarnych

W celu uzyskania 

sumatora dla słów 

czterobitowych

 wystarczy:

połączyć 4 bloki wyznaczone powyżej,       

odpowiednio upraszczając blok 

pierwszy 

(przeniesienie =0) i ostatni  

blok (brak   

przeniesienia). 

21

Sumator kaskadowy

 

Równoległy sumator

 jest układem, 

który tworzy sumę dwóch liczb binarnych 
tylko za pomocą kombinacyjnego układu 
logicznego .

Sumator równoległy zawiera 

n

 pełnych 

sumatorów, połączonych 

równoległe

,

 a by wygenerować sumę 

wszystkie bity 

wejściowe są podawane równocześnie.  

Pełne sumatory połączone w 
kaskadzie,

 a   wyjście przeniesienia jednego 
pełnego sumatora jest podawane na 
wejście przeniesienia następnego 
pełnego sumatora.

Sumator 
równoległy 
jest określany 
jako 

sumator 

kaskadowy

.

22

4-bitowy sumator 

kaskadowy

tworzy  cztery bloki pełnych

 

sumatorów      połączonych 

ze sobą:



23

4-bitowy sumator 

kaskadowy

 

Układ ma 

9 wejść

 

(wejścia

 

dwóch 4-

bitowych liczb i wejście 
przeniesienia C

0

 ).

                    

 kwadratów w 

tablicy prawdy przy 
projektowaniu 

klasyczną 

metodą

512

2

9



4 sumatory 
połączonych 
kaskadowo

Nieskomplikowa
na 
implementacja

Wielokrotne 
wykorzystywanie 
identycznych elementów

Wykorzystanie układów 
iteracyjnych

Wejście 
przeniesienia C

0

 i 

wyjście C

4 

służą dla 

dalszej rozbudowy.

24

Sumator kaskadowy

Długi czas 
opóźnienia

 

Duża liczba bramek na 
ścieżce propagującej 
przeniesienia

Najdłuższa ścieżka przez n- bitowy 
sumator ma opóźnienie równe opóźnieniu 
2n+2 bramek.

Alternatywne rozwiązanie- 

sumator z 

przeniesieniami jednoczesnymi

 (ang.carry 

look-ahead adder).

25

Sumator z 

przeniesieniami

 

jednoczesnymi

 

(antycypowanymi)

Znacznie mniejsze 
opóźnienie

 

Bardziej skomplikowana struktura 
sprzętowa

  

Sumator kaskadowy

Sumator z przeniesieniami 
jednoczesnymi

Przekształcenie  części układu 
realizującej propagację przeniesień 
do dwupoziomowego układu 
logicznego

(praca 
własna)

26

Układ wykonujący 

odejmowanie A-B

Układ składa się z sumatora równoległego i 
inwerterów umieszczonych między każdym 
zaciskiem B a odpowiednim wejściem sumatora.  

1

Wykonywana operacja

 : A plus uzupełnienie do 1 liczby B 

plus 1.  To odpowiada A plus uzupełnienie 

do 2.

Uzyskamy A-B, gdy

B

A

lub uzupełnienie do 2 różnicy B-A, gdy 
A<B

Substraktor-  specjalny układ odejmujący

27

Sumator- substraktor

Operacje dodawania i 
odejmowania mogą być 
połączone w jednym wspólnym 
sumatorze binarnym.  

Dla tego celu wprowadza się  
bramki EXOR dla każdego pełnego 
sumatora.

28

4-bitowy sumator- 

substraktor

Wejście S steruje 
operacjami:

29

4-bitowy sumator- 

substraktor

Gdy S=0, mamy            
 .

Oraz C

0

=0

0



i

B

Układ realizuje 
dodawanie

               A+B     

Gdy S=1, mamy                       
     .

i

i

B

B



1

Gdy S=1, mamy

                   

         

oraz C

0

=1

i

i

B

B



1

Układ wykonuje 
operacje A plus 
uzupełnienie do 2 B

Wejście 

S

 steruje 

operacjami.

Na wejścia każdej bramki EXOR są 
podawane: 

sygnał S i  jeden z sygnałów B,Bi. 

30

Wykrywanie przepełnienia

Przepełnienie (nadmiar) – sytuacja, gdy wynik 
dodawania lub odejmowania dwóch n- bitowych liczb 
zajmuje n+1 bitów.

Logiczny układ 
do wykrywania 
przepełnienia w 
dodawaniu i 
odejmowaniu.

31

Układ mnożący

Iloczyny częściowe są zrealizowane za pomocą 
bramek AND, sumowane w dwóch 
półsumatorach HA.

Mnożenie dwóch 
liczb dwubitowych:

iloczyn

Najmłodszy bit iloczynu 
powstaje na wyjściu bramki 
AND        nie przechodzi przez 
sumator

32

Układ mnożący liczbę 4-

bitową przez 3 - bitową

B

3

B

2

B

1

B

0

 - 

mnożna

A

2

A

1

A

0

 - 

mnożnik

Aby 
utworzyć 7- 
bitowy 
iloczyn 
potrzebne  
są 12 
bramek 
AND i dwa    
 4 –bitowe 
sumatory.

33

Inne funkcje 

arytmetyczne



inkrementowan

ie



dekrementowan

ie



mnożenie przez stałą 

wartość



dzielenie przez stałą 

wartość



 porównywanie z 

wykrywaniem  liczby 
mniejszej i większej

34

DZIĘKUĘ

ZA UWAGĘ