Reinhard Kulessa
1
Wykład 21
16.4 Zjawisko indukcji
wzajemnej
16.5 Zjawisko samoindukcji
16.2 Prądy indukcyjne, reguła Lenza c.d.
16.3 Prądy wirowe
17 Energia pola indukcji
magnetycznej
18Prądu zmienne
18.1 Impedancja obwodów prądu zmiennego
Reinhard Kulessa
1
Wykład 21
16.4 Zjawisko indukcji
wzajemnej
16.5 Zjawisko samoindukcji
16.2 Prądy indukcyjne, reguła Lenza c.d.
16.3 Prądy wirowe
17 Energia pola indukcji
magnetycznej
18Prądu zmienne
18.1 Impedancja obwodów prądu zmiennego
Reinhard Kulessa
2
Rozważmy następujący układ. Mamy dwa przewodniki połączone
ruchomym prętem. Całość znajduje się w polu indukcji magnetycznej
prostopadłym do płaszczyzny przewodników i pręta. Zwrot wektora
indukcji jest zaznaczony na rysunku.
V
Poruszamy prętem ze stałą prędkością w lewo. W czasie dt strumień zmienia
się o B · dA=B · l· dx = B ·l · v
0
· dt.
Otrzymujemy
więc zgodnie z
prawem
Faradaya siłę
elektromotory
czną indukcji
równą:
B
I
F
I
R
v
0
I
dA
l
dx
Reinhard Kulessa
3
B
I
F
I
R
V
v
0
I
dA
0
0
v
l
B
dt
dx
l
B
dt
A
d
B
V
R
I
ind
i
ind
Napięcie to jest przyłożone do oporu R, przez który płynie prąd
indukcyjny I
ind
. Na oporze wydziela się ciepło Joule’a. Moc
wydzielona w
przewodniku, zgodnie z
równaniem (9.23) jest
równa:
0
v
l
B
I
I
dt
dW
P
i
e
Ze względu na zasadę zachowania
energii na jednostkę czasu musi zostać wykonana
praca mechaniczna związana z przesunięciem pręta.
0
v
F
P
m
Reinhard Kulessa
4
Ponieważ P
e
= P
m
, otrzymujemy więc:
l
B
I
F
.
Jest to znana nam już siła Biota – Savarta. Siła ta
wynika więc z prawa indukcji Faradaya i zasady
zachowania energii.
Zgodnie z regułą Lenza siła ta sprzeciwia się
zmianom strumienia pola magnetycznego.
W oparciu
o regułę
Lenza
można
zbudować
silnik
liniowy.
m
Reinhard Kulessa
5
Po włączeniu prądu, pręt będzie przesuwał się w
lewo, a równocześnie zmienia się strumień indukcji
magnetycznej.
W prosty sposób można pokazać, że prędkość
przesuwu pręta równocześnie unoszącego
masę m jest równa:
)
(
1
0
lB
mgR
V
B
l
v
(16.5)
B
l
R
v
l
B
V
mg
v
l
B
B
l
I
mg
R
I
V
i
i
0
0
Prawo Ohma.
Równowaga sił ciężkości i B-
S
Siła elektromotoryczna
indukcji
Reinhard Kulessa
6
16.3 Prądy wirowe
Załóżmy, że mamy pętlę z dobrego przewodnika,
którą chcemy wysunąć z pola magnetycznego.
N
S
Powstający przy wysuwaniu z
pola pętli, prąd indukcyjny
stara się zachować w niej stały
strumień indukcji
magnetycznej. Prowadzi to do
tego, że linie sił pola
magnetycznego są częściowo
zabierane przez wysuwaną z
pola pętlę.
Obliczmy jaka siła jest
potrzebna, aby usunąć z pola
magnetycznego o natężeniu B,
pętlę z prądem z prędkością v.
Reinhard Kulessa
7
b
R
F
’
-F
’
v
F
Płynący w pętli
prąd
indukcyjny będzie
miał
natężenie:
R
v
b
B
R
dt
d
R
I
i
Siła F, którą musimy działać w kierunku v wynosi:
v
R
b
B
B
I
b
F
2
2
)
(
(16.6)
Ruch pętli w polu indukcji magnetycznej doznaje
proporcjonalnej
do prędkości siły hamowania. Ruch płytki
przewodzącej w polu indukcji jest źródłem prądów
wirowych.
Reinhard Kulessa
8
16.4 Zjawisko indukcji
wzajemnej
Rozważmy dwie zwojnice o różnych średnicach i
różnej liczbie zwojów umieszczonych jedna w
drugiej.
1
1
’
2
2
’
l
Pierwsza zwojnica posiada N
1
zwojów i średnicę A
1
Druga zwojnica
posiada N
2
zwojów i
średnicę A
2
Do zacisków 1 i 1
’
łączymy
źródło zasilania dające w zwojnicy prąd o natężeniu
I
1
. Prąd I
1
wytwarza w cewce pole indukcji
magnetycznej równe B
1
równe:
A
2
A
1
Reinhard Kulessa
9
)
(
)
(
1
1
0
1
t
I
l
N
t
B
Zmiana natężenia prądu I
1
– dI
1
/dt powoduje
powstanie w cewce
Zmiennego w czasie pola indukcji dB
1
/dt. To zaś
powoduje w cewce 2 pojawienie się siły
elektromotorycznej indukcji V
2
ind
.
dt
dI
l
N
N
A
dt
dB
A
N
V
ind
1
2
1
1
0
1
1
2
2
Postępując w sposób analogiczny przyłączając
źródło prądu do cewki 2, otrzymamy na siłę
elektromotoryczną indukcji w cewce 1 wyrażenie:
dt
dI
l
N
N
A
dt
dB
A
N
V
ind
2
2
1
1
0
2
1
1
1
Reinhard Kulessa
10
Widzimy, że w obydwu wyrażeniach na siłę
elektromotoryczną indukcji występuje wspólny człon
zależny jedynie o geometrii zwojnic i przenikalności
magnetycznej ośrodka. Otrzymujemy bowiem:
dt
dI
L
V
dt
dI
L
V
ind
ind
1
12
2
2
21
1
(16.7)
Widzimy, że
l
N
N
A
L
L
2
1
1
0
21
12
.
Jednostką indukcji wzajemnej jest 1 Henry =
[Wb/A=V·s·A
-1]
Reinhard Kulessa
11
16.6 Zjawisko samoindukcji
Z dotychczasowej dyskusji można odnieść
wrażenie, że siła elektromotoryczna indukcji
powstaje tylko wtedy, gdy zmienny strumień
indukcji magnetycznej pochodzi z zewnątrz. Tak
jednak nie jest. Okazuje się bowiem,
że
siła
elektromotoryczna indukcji powstaje również
wtedy, gdy pętla, lub inny obwód z prądem sama
jest przyczyną zmian strumienia indukcji
.
Rozważmy dowolną pętlę z prądem.
A
r
dl
A
I
Strumień indukcji magnetycznej
M
wytworzony przez prąd I płynący w
pętli wynosi:
I
r
r
l
d
A
d
A
d
B
A
A
M
3
0
4
Reinhard Kulessa
12
Równanie to możemy napisać w postaci
.
I
L
M
Współczynnik indukcji własnej pętli z prądem jest więc równy:
3
0
4
r
r
l
d
A
d
L
A
(16.8)
Gdy zmienia się natężenie prądu w przewodniku
indukuje się siłą elektromotoryczna indukcji:
.
dt
dI
L
V
ind
i
0
.
(16.9)
A). Policzmy współczynnik indukcji własnej dla
cewki o długości l i liczbie zwojów N i przekroju o
powierzchni A, przez którą płynie prąd o natężeniu
I.
Reinhard Kulessa
13
l
I(t)
B(t)
V
0
ind
(t)
Liczyliśmy już dla takiej cewki pole indukcji magnetycznej. Mamy
więc:
I
L
A
N
l
I
N
A
N
B
M
0
.
Współczynnik indukcji własnej cewki wynosi więc:
l
A
N
L
2
0
(16.10)
Reinhard Kulessa
14
B). Współczynnik indukcji własnej kabla koncentrycznego
x
r
2b
2
a
V(x
0
)
V(x
0
+x)
B(r)
I
I
Policzmy sobie jako przykład indukcję własną kabla
koncentrycznego. Tworzą go dwa współśrodkowe
walce, w których
antyrównolegle płynnie prąd o natężeniu I. Strefa
zewnętrzna jest
wolna od pola indukcji
magnetycznej. Wokół
cylindra wewnętrznego
roztacza się pole indukcji
B(r), jako zamknięte
pierścienie, dla których:
r
I
r
B
2
)
(
0
Strumień indukcji magnetycznej przez zakreskowaną powierzchnię
wynosi
b
a
x
x
x
A
M
r
dr
x
I
dx
dr
r
I
A
d
B
2
'
2
0
0
0
0
.
Reinhard Kulessa
15
Mamy więc
b
a
x
I
M
ln
2
0
.
Zmiana strumienia indukcji magnetycznej w czasie
wynosi więc:
dt
dI
x
L
dt
dI
a
b
x
dt
d
)
(
ln
2
0
.
Współczynnik indukcji własnej kabla
koncentrycznego wynosi więc:
a
b
x
L
ln
2
0
(16.11)
,
gdzie x jest długością kabla. Wraz z długością
kabla zmienia się również różnica potencjału
między wewnętrzna a zewnętrzną częścią kabla:
dt
dI
x
L
x
V
x
x
V
)
(
)
(
)
(
0
.
Reinhard Kulessa
16
Zjawisko indukcji własnej ma bardzo ważne
znaczenie przy włączaniu i wyłączaniu obwodów
L
R
U
0
I
R
L
t
e
/
0
I
I
)
1
(
I
I
/
0
R
L
t
e
t
e
/
I
0
L/R
R
U
I
0
0
L
U
dt
dI
0
t
zał
t
wył
Reinhard Kulessa
17
17 Energia pola indukcji
magnetycznej
Załóżmy, że mamy szpulę, dla której opór jest równy
zero. W takim razie, aby utrzymać w szpuli prąd o
natężeniu I lub I+dI, nie trzeba włożyć żadnej pracy.
Równocześnie przy przejściu z prądem od I do I+dI
powstaje siła elektromotoryczna indukcji własnej V
L
,
która sprzeciwia się zmianie natężenia prądu.
I
t
I
I+
dI
t
t+dt
dt
dI
L
V
L
Reinhard Kulessa
18
Aby wymusić zmianę natężenia prądu o dI, trzeba
wykonać pracę:
)
(
2
1
2
I
d
L
dt
I
dt
dI
L
dt
I
V
dW
L
Wynika stąd, że aby zmienić prąd w szpuli od 0 do I
trzeba wykonać pracę:
2
2
1
I
L
W
(17.1)
Równocześnie w szpuli powstaje pole indukcji
magnetycznej
N
l
B
I
l
NI
I
B
o
1
)
(
0
Biorąc ze wzoru (16.10) wyrażenie na współczynnik
samoindukcji takiej szpuli, uzyskamy następujące
wyrażenie na pracę W:
Reinhard Kulessa
19
)
(
2
1
2
)
(
2
0
A
l
H
B
B
A
l
W
(17.2)
,
bo . (l·A) = jest objętością
zajmowaną przez pole indukcji magnetycznej.
Otrzymujemy więc na gęstość energii pola
magnetycznego wyrażenie:
H
B
0
H
B
W
w
2
1
(17.3)
Rozważania dotyczące szpuli możemy uogólnić dla
dowolnego pola, które jest jednorodne w objętości
d. Pole w objętości d można sobie przedstawić
jako pochodzące od maleńkiego solenoidu. Wobec
tego równanie (17.3) obowiązuje dla każdego
przypadku.
Reinhard Kulessa
20
18Prądy zmienne
18.1 Impedancja obwodów prądu zmiennego
Przy omawianiu siły elektromotorycznej indukcji
rozważaliśmy SEM indukcji dla obracającej się pętli
z prądem (równanie (16.4)).
t
sin
0
,
Gdzie
jest amplitudą i przedstawia
największą wartość SEM. Możemy użyć
sinusoidalnie zmienną w czasie siłę
elektromotoryczną jako źródło prądu.
W dowolnym obwodzie, oprócz tej siły
elektromotorycznej pojawi się siła
elektromotoryczna indukcji własnej:
dt
dI
L
S
0
Reinhard Kulessa
21
Zgodnie z prawem Kirchoffa mamy
S
IR
Czyli,
t
dt
dI
L
RI
sin
0
(18.1)
Rozwiązania tego równania będziemy szukali w
postaci:
)
sin(
0
t
I
I
gdzie I
0
i są stałymi
całkowania.
Po wstawieniu przewidzianego rozwiązania do
równania (18.1) i kilku przekształceniach
otrzymujemy;
R
L
Reinhard Kulessa
22
2
2
2
0
0
R
L
I
R
L
tg
(18.2
)
Na natężenie prądu otrzymamy następujące
wyrażenie:
)
sin(
2
2
2
0
R
L
arctg
t
R
L
I
(18.3)
R
C
Dla obwodu z oporem i pojemnością
uzyskamy następujące równania:
C
V
Q
V
IR
23
t
dt
dV
dt
dI
R
dt
dV
C
I
dt
dQ
cos
0
Równanie, które mamy rozwiązać jest nastepujące:
t
I
C
dt
dI
R
cos
1
0
(18.4)
I znów szukając rozwiązania takiego jak poprzednio, uzyskujemy:
2
2
2
0
0
1
1
C
R
I
R
C
tg
(18.5)
Reinhard Kulessa
24
Natężenie prądu płynącego w obwodzie będzie miało następującą
postać:
)
1
sin(
1
2
2
2
0
R
C
arctg
t
C
R
I
(18.6)
.
Wyrażenia
2
2
2
2
2
2
1
C
R
Z
L
R
Z
C
L
nazywamy oporem pozornym obwodu lub impedancją.