8. Fale elektromagnetyczne.
8.1.Wyprowadzenie równania falowego.
Własności operatorów.
1.
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
grad
div
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Δ
=
∇
=
∇
⋅
∇
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
2.
(
)
(
)
0
0
=
∇
×
∇
=
∇
×
∇
=
ϕ
ϕ
ϕ
3
2
1
r
r
r
r
grad
rot
Przykład:
Skoro
E
V
E
gradV
r
r
r
=
∇
−
⇒
=
−
więc
(
)
( )
0
0
=
×
∇
=
∇
×
∇
−
⇔
=
=
−
E
V
E
rot
gradV
rot
r
r
r
r
r
co
oznacza,
że pole
elektryczne jest bezwirowe.
3.
( )
(
)
z
y
x
A
A
A
z
y
x
k
j
i
A
A
rot
div
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇
=
×
∇
⋅
∇
=
ˆ
ˆ
ˆ
r
r
r
r
r
wynik jest wielkością skalarną.
Przykład:
( )
(
)
0
0
0
=
×
∇
⋅
∇
⇔
=
3
2
1
r
r
r
r
E
E
rot
div
pole elektryczne jest bezwirowe
Fala elektromagnetyczna w próżni.
0
=
E
div
r
⇔ brak ładunków
0
=
B
rot
r
⇔ brak prądu
( )
1
dt
B
d
E
rot
r
r
−
=
( )
2
0
0
dt
E
d
B
rot
r
r
ε
μ
=
Obliczamy rotację równania (1):
Prawa strona:
(
)
(
)
3
2
1
r
r
r
r
r
r
r
dt
dE
B
dt
d
dt
B
d
E
0
0
ε
μ
×
∇
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
×
∇
−
=
×
∇
×
∇
Lewa strona:
(
)
( )
3
2
1
r
r
r
r
r
r
r
r
0
2
=
⋅
∇
⋅
∇
+
−∇
=
×
∇
×
∇
E
div
E
E
E
A więc:
2
2
0
0
2
dt
E
d
E
ε
μ
−
=
∇
−
r
czyli
2
2
0
0
2
dt
E
d
E
ε
μ
=
∇
r
jest
to
”część elektryczna” równania falowego.
Analogicznie dla równania (2):
(
)
(
)
3
2
1
r
r
r
r
r
r
r
r
r
dt
B
d
E
rot
E
dt
d
dt
E
d
B
−
=
×
∇
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
×
∇
=
×
∇
×
∇
ε
μ
ε
μ
0
0
0
czyli
(
)
2
2
0
0
dt
B
d
B
r
r
r
r
ε
μ
−
=
×
∇
×
∇
druga strona równania (2):
(
)
( )
3
2
1
r
r
r
r
r
r
r
r
0
2
=
⋅
∇
⋅
∇
+
−∇
=
×
∇
×
∇
B
div
B
B
B
łącząc obie strony otrzymamy
2
2
0
0
2
dt
B
d
B
r
r
ε
μ
=
∇
to równanie jest „częścią
magnetyczną” równania falowego dla fali elektromagnetycznej w próżni.
Przypominając równanie 3-wymiarowej fali płaskiej:
2
2
2
2
1
dt
d
v
ξ
ξ
=
∇
zauważymy, że dla fali elektromagnetycznej w próżni
0
0
0
0
2
1
1
ε
μ
ε
μ
=
⇒
=
c
c
8.2. Fala elektromagnetyczna w ośrodku – zależności pomiędzy prędkością,
współczynnikiem załamania (n), a stałymi przenikalności magnetycznej i
elektrycznej.
Równania fali dla ośrodka:
2
2
0
0
2
dt
E
d
E
εε
μμ
=
∇
r
2
2
0
0
2
dt
B
d
B
r
r
εε
μμ
=
∇
zatem
0
0
0
0
2
1
1
εε
μμ
εε
μμ
=
⇒
=
v
v
Bezwzględny współczynnik załamania fali elektromagnetycznej:
με
=
=
v
c
n
8.3. Energia fali elektromagnetycznej w próżni.
Założenie:
Fala rozchodzi się w kierunku osi OX:
E
x
= E
z
= 0; E
y
= E
B
x
= B
y
= 0; B
z
= B
E(x,t) = E
m
⋅cos(ωt-kx)
B(x,t) = B
m
⋅cos(ωt-kx)
3
2
1
r
r
0
ˆ
ˆ
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
z
E
i
x
E
k
E
z
y
x
k
j
i
E
y
y
y
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∇
(
)
(
)
kx
t
B
kx
t
E
dt
dB
dx
dE
m
m
z
y
−
⋅
+
=
−
⇒
−
=
ω
ω
ω
sin
sin
A więc
k
B
E
m
m
ω
=
x
B
j
y
B
i
B
z
y
x
k
j
i
B
z
z
z
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∇
ˆ
ˆ
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
0
3
2
1
r
r
(
)
(
)
kx
t
E
kx
t
k
B
dt
dE
dx
dBz
m
m
y
−
⋅
=
−
⇒
=
−
ω
ω
ε
μ
ω
ε
μ
sin
sin
0
0
0
0
A więc
k
E
B
m
m
ω
ε
μ
0
0
=
Czyli
0
0
2
2
0
0
ε
μ
ε
μ
=
⇒
=
m
m
m
m
m
m
E
B
B
E
E
B
a więc
c
B
E
m
m
=
Energia całkowita gęstości energii pola E i B.
0
2
2
0
2
2
μ
ε
B
E
U
U
U
B
E
+
=
+
=
Skoro
2
0
0
0
0
2
2
0
0
0
2
2
2
2
E
E
E
U
E
B
ε
μ
ε
μ
ε
ε
μ
=
+
=
⇒
=
- gęstość energii całkowitej, fali
elektromagnetycznej jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy pola E i B.
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
2
μ
μ
μ
ε
μ
ε
B
U
B
B
B
U
=
⇒
=
+
=
Dla ośrodka:
2
0
0
2
0
2
2
0
;
E
B
B
U
E
U
εε
μμ
μμ
εε
=
⇒
=
=
v
B
E
B
E
m
m
=
⇒
=
0
0
2
2
1
εε
μμ
8.4. Wektor Poyntinga.
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
×
=
2
0
1
m
W
B
E
S
r
r
r
μ
wyraża szybkość przepływu energii przez jednostkową
powierzchnię. Wektory E i B są chwilowymi wartościami pola elektromagnetycznego w
rozpatrywanym punkcie przestrzeni.
Przykład 1:
Radiostacja o mocy P
0
= 30 kW wysyła izotropowo falę elektromagnetyczną. Obliczyć
natężenie sygnału (moc/powierzchnia) odbieranego w odległości r = 10 km.
Średnia wartość
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
=
2
2
0
24
4
m
W
r
P
S
μ
π
B
c
E
bo
E
c
EB
S
⋅
=
=
=
2
0
0
1
1
μ
μ
Pole
( )
t
E
t
E
m
ω
2
2
sin
=
Średnia wartość
( )
2
1
2
2
0
2
m
m
E
c
S
E
t
E
μ
=
⇒
=
Ostatecznie: amplituda
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
=
m
V
E
cP
r
E
m
m
13
,
0
2
1
0
0
π
μ
amplituda
[ ]
T
B
c
E
B
m
m
m
10
,
10
4
−
⋅
=
=
- pole B jest bardzo małe!
Przykład 2:
Założenia: j = const
E
- j
ednorodne
∫
=
i
l
d
0
μ
B
r
o
r
∫
=
A
d
j
i
r
o
r
gdzie A – przekrój
przewodnika
∫
∫
=
A
d
j
l
d
B
r
o
r
r
o
r
0
μ
Czyli:
2
2
0
2
0
jr
B
r
j
r
B
μ
π
μ
π
=
⇒
=
B
j
l
E
r
Φ
S
j
E
r
r
⋅
=
ρ
gdzie
ρ
- opór właściwy przewodnika
Stąd
2
2
1
1
2
2
0
0
0
r
j
r
j
EB
S
⋅
=
=
=
ρ
μ
ρ
μ
μ
Wektor Poyntinga S
∼ j
2
Strumień wektora Poyntinga
Φ
S
:
∫
=
Φ
F
d
S
S
r
o
r
gdzie F = 2
π
rl – powierzchnia pobocznicy walca (przewodnika)
{
.
.
2
2
2
2
2
2
przew
obj
S
l
r
j
rl
r
j
rl
S
π
ρ
π
ρ
π
=
=
⋅
=
Φ
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
=
Φ
3
2
m
W
j
V
S
ρ
Moc:
{
.
.
2
2
2
2
przew
obj
l
A
j
A
l
A
j
R
i
Ui
P
⋅
=
=
=
=
ρ
ρ
Zatem
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
=
3
2
m
W
j
V
P
ρ
Strumień gęstości mocy fali elektromagnetycznej, wektora Poyntinga jest równy mocy
wydzielonej w przewodniku.
Falowód, wnęka rezonansowa.
h
r
X
X
X
X
X
X
X
X
X
•
•
•
•
•
•
•
•
X
X
X
X
B
E
Rura metalowa
Wnęka rezonansowa
Z prawa Faraday’a:
∫
Φ
−
=
dt
d
l
d
E
B
r
o
r
Z całkowania po konturze (linia przerywana) :
∫
⋅
=
h
E
l
d
E
r
o
r
Stąd
dt
d
E
dt
d
h
E
B
B
Φ
⇒
Φ
−
=
~
1
Z prawa Amper’a:
∫
+
Φ
=
i
dt
d
l
d
B
E
0
0
0
μ
ε
μ
r
o
r
ale ponieważ ładunek nie przepływa, więc i = 0
zatem
∫
Φ
=
dt
d
l
d
B
E
0
0
ε
μ
r
o
r
stąd
dt
d
B
dt
d
r
B
dt
d
r
B
E
E
E
Φ
⇒
Φ
=
⇒
Φ
=
~
2
2
0
0
0
0
π
ε
μ
ε
μ
π
8.5. Widmo fali elektromagnetycznej.
Zakres widzialny: 450
÷ 650 ⋅10
-9
m (nm)
Czułość
oka [%]
400
500 600
700 [
μm]
Krzywa czułości oka jest cechą
indywidualną. Środek obszaru
widzialnego – ok. 550 nm
Energia i pęd
Energia fali – wektor Poyntinga
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
×
=
2
0
1
m
W
B
E
S
r
r
r
μ
Pęd – wywieranie ciśnienia przez fale elektromagnetyczną:
Doświadczenia: Nicholas i Hull (1903) pomiar ciśnienia promieniowania.
Maxwell – fala elektromagnetyczna (~1870)
-
F
Z
E
v
B
y
x
Płaska fala świetlna padająca na cienką płytę o dużym oporze
właściwym
ρ
.
x
B
t
B
B
y
E
t
E
E
m
m
ω
ω
sin
sin
=
=
- fala pada w kierunku osi Z
siła pola E = siła tłumienia
eE = bv
u
gdzie b – współczynnik tłumienia e.
stąd
b
eE
v
u
=
prędkość elektronu
ruch oscylacyjny elektronu w środowisku „lepkim” (duże
ρ
). Częstość zmiany pola E
∼
v
u
Składowa magnetyczna
b
EB
e
evB
F
z
2
=
=
Z II zasady dynamiki:
b
EB
e
F
dt
dp
z
e
2
=
=
- pęd jest przekazywany każdemu
elektronowi płyty (a więc całej płycie).
Moc =
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
⇒
b
eE
eE
Fv
dt
dU
dt
dU
e
c
B
E
b
EBc
e
dt
dU
e
⋅
=
⇐
=
2
jest to równanie szybkości absorpcji energii przez jeden
elektron.
dt
dU
c
dt
dp
e
e
1
=
c
U
p
dt
dt
dU
c
dt
dp
e
e
t
t
e
e
=
⇒
=
∫
∫
0
0
1
p
e
– pęd przekazany jednemu elektronowi; U
e
– energia zaabsorbowana przez jeden elektron.
Mnożąc te wielkości przez liczbę elektronów swobodnych otrzymujemy całkowity pęd i
całkowitą energię przekazaną płycie.
Doświadczenie Nicholsa i Hulla – wahadło torsyjne
F
∼
Θ
siła jest proporcjonalna do kąta skręcenia
zawieszenie
wahadła
zwierciadła
Wiązka światła
Przykład:
Pada promieniowanie 10 W/cm
2
przez 1 h.
U = 10 [W/cm
2
]
⋅
1 cm
2
⋅
3600 s = 3,6
⋅
10
4
J
s
m
kg
s
m
J
c
U
p
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
4
8
4
10
4
,
2
10
3
10
6
,
3
2
2
N
t
p
F
8
4
10
7
,
6
3600
10
4
,
2
−
−
⋅
=
⋅
=
=