Reinhard Kulessa

1

Wykład 22

18.1  Impedancja obwodów prądu zmiennego 

c.d.

18.2  Sumowanie 
impedancji

18.3  Moc prądu zmiennego

18.4   Transformator
18.5  Rezonans szeregowy (prądowy)

Reinhard Kulessa

2

Jedynym rzeczywistym oporem w obwodzie prądu 
przemiennego 
jest opór omowy. Stosując na opory poszczególnych 
elementów wyrażenia zespolone, możemy problem 
obwodów zawierających te elementy rozwiązać 
bardziej ogólnie. Wprowadźmy następujące 
oznaczenia: 

.

.

,

,

,

1

,

0

pr

nat

e

V

L

i

C

i

R

t

i

L

C

R



























Wtedy stosując prawo Ohma możemy otrzymać:









a stąd

)]

(

Re[

)

(

t

t

I





.

)]

(

Re[

)

(

t

t

V





,

Reinhard Kulessa

3

18.2  Sumowanie 
impedancji

Rozważmy obwód R-L posługując się wielkościami zespolonymi.

 = V

0

e

it



R

L

2

2

2

0

)

(

L

R

L

i

R

e

V

L

i

R

t

i









































Pamiętając, że dla liczby urojonej i zachodzi :

i = e

i/2

, oraz 

-i = e

-i/2

, otrzymujemy:





















)

2

(

2

2

2

0











t

i

t

i

Le

e

R

L

R

V

(18.7)

Ogólna zależność pomiędzy zwykłym a 
eksponencjalnym zapisem liczby zespolonej jest 
następująca:

Reinhard Kulessa

4

Jeśli                              a                        
to

2

2

2

2

2

2

sin

,

cos

,

b

a

b

b

a

a

b

a

e

ib

a

i

































Związek pomiędzy a, b,  i , jest taka sama jak 

między współrzędnymi układu kartezjańskiego i 
biegunowego.









sin

,

cos





b

a

Dla rozważanego równania 

(18.7),

 możemy narysować następujący 

diagram:

Reinhard Kulessa

5

(

t)

R

(R

2

+

2

L

2

)

1/2

t

L



(t)

Z przedstawionego rysunku możemy odczytać, że 
wyrażenie w nawiasie kwadratowym we wzorze 
(18.7) jest równe:

 

)

(

2

2

2

.....















t

i

e

L

R

, 

A przesunięcie fazowe  liczymy z wzoru

R

L

tg







.

Reinhard Kulessa

6

W oparciu o prawo Ohma możemy więc napisać:

)

cos(

)

Re(

)

(

2

2

2

0

)

(

2

2

2

0

R

L

arctg

t

L

R

V

t

I

e

L

R

V

t

i



































Do rezultatu możemy dojść jeszcze szybciej rysują na diagramie
tylko składowe impedancji.

Im()

L

||

R

Re()



Identyczne rozważania
możemy przeprowadzić
dla obwodu
 

a). R-C, 

czy też obwodu 
 

b). R-L-C.

Reinhard Kulessa

7

Otrzymujemy wtedy:

)

1

(

1

1

C

L

i

R

C

i

L

i

R

Z

C

i

R





























dla a).

dla b).

Należy jeszcze podkreślić, że impedancje spełniają regułę dodawania
oporów. Dla połączenia szeregowego:













A dla połączenia równoległego:













1

1

(18.8)

.

Reinhard Kulessa

8

18.3  Moc prądu zmiennego

Załóżmy, że mamy źródło prądu zmiennego o 
następujących parametrach:

)

(

cos

)

(

cos

)

(

0

0













t

I

t

I

t

V

t

V

Identyczną zależność napięcia i natężenia 
otrzymujemy również,
gdy w obwodzie znajdują się również elementy z 
indukcyjnością L i pojemnością C.

Chwilowa moc prądu wynosi:

)

(

)

(

)

(

t

I

t

V

t

P





V(t)

 

 

I(t)

t

Reinhard Kulessa

9

Policzmy średnią moc prądu dla jednego okresu T.

















T

T

dt

t

t

T

I

V

dt

t

P

T

P

0

0

0

0

)

cos(

cos

1

)

(

1







Całka w powyższym równaniu ma wartość: 

½ cos

.

Wobec tego:





cos

cos

2

2

0

0













ef

ef

I

V

I

V

P

(18.9)

V

ef

 oraz I

ef

 oznaczają kolejno napięcie i 

natężenie skuteczne prądu.

Reinhard Kulessa

10

18.4   Transformator

Transformator służy do uzyskiwania większych lub mniejszych sił
Elektromotorycznych niż dają źródła prądu.

Mamy dwa obwody połączone strumieniem 
indukcji magnetycznej. Po włączeniu zmiennego 
napięcia w obwodzie pierwotnym, w obydwu 
obwodach powstają siły elektromotoryczne indukcji 
własnej i wzajemnej. 

N

1



p



w

L

1

L

2

N

2



R



00

Obwód pierwotny

Obwód wtórny

L

12

=L

21

A

l

Reinhard Kulessa

11

W obwodzie wtórnym pojawia się również spadek potencjału na 
oporze omowym.Możemy więc napisać dwa równania:

R

L

L

L

L

w

p

w

w

p





































12

2

21

1

00

0



Z tego układu równań eliminujemy d

p

/dt, 

pamiętając, że:

w

t

i

w

i

e

I

L

L























)

(

0

12

21

.

Otrzymamy wtedy na natężenie
prądu w obwodzie wtórnym wyrażenie:

























12

2

12

2

1

12

1

)

(

0

)

(

L

L

L

L

i

L

L

R

e

V

t

t

i

w







(18.10)

Reinhard Kulessa

12

Policzmy sobie jakie jest natężenie i napięcie 
prądu w obwodzie wtórnym dla przedstawionego 
na ostatnim rysunku transformatorze. Rdzeń o 
przenikalności magnetycznej >>1, przekroju A i 

długości l,  zamyka w sobie linie indukcji 
magnetycznej,  tak, że zarówno w uzwojeniu 
pierwotnym i wtórnym strumień indukcji jest taki 
sam. Możemy więc napisać:

2

1

0

12

2

2

0

2

2

1

0

1

N

N

l

A

L

N

l

A

L

N

l

A

L

























Z równań tych wynika, że

2

1

12

2

12

2

1

0

L

L

L

L

L

L







Prąd wtórny wynosi:

Dostajemy stąd 
bezpośrednio , że
gdy znamy L

1

, L

2

 i L

12

. 

w

w

w

RI

t

V

t

I







)

(

),

Re(

)

(

Reinhard Kulessa

13

2

1

12

1

12

1

0

,

)

(

N

N

L

L

L

L

R

e

V

t

t

i

w











Mamy więc:

t

V

R

N

N

t

t

I

w

w



cos

1

)

(

Re(

)

(

0

1

2









(18.11)

Napięcie na oporze R w obwodzie wtórnym 
wynosi:

t

V

N

N

t

I

R

t

V

w

w



cos

)

(

)

(

0

1

2









(18.12)

.

.

.

Z ostatniego równania mamy 
bezpośrednio;

1

2

N

N

V

V

p

w





(18.13)

Reinhard Kulessa

14

Można również pokazać policzywszy uprzednio 
w podobny sposób natężenie prądu pierwotnego, 
że

w

w

p

p

I

V

I

V







(18.14)

Oznacza to, ze cała moc z układu pierwotnego jest przekazywana
do układu wtórnego.

 = V

0

e

it



R

L

C

I(t)

18.5  Rezonans szeregowy (prądowy)

Impedancja przedstawionego
obwodu wynosi:

)

1

(

1

C

L

i

R

C

i

L

i

R

























Reinhard Kulessa

15

Wartość bezwzględna impedancji jest równa:

2

2

)

1

(

|

|

C

L

R













Z poprzednich rozważań 
pamiętamy, że:

)

(

0

|

|

)

(













t

i

e

V

t

Wypadkową zawadę możemy
otrzymać graficznie.

Otrzymamy więc:

R

C

L

tg

t

C

L

R

V

t

I















1

)

Re(

)

Im(

)

cos(

)

1

(

)

(

2

2

0



















(18.15)

R

iL

-i/C





Reinhard Kulessa

16

Największe natężenie prądu będzie wtedy, gdy

|

|

|

|

C

L







Oznaczając częstość dla której to zachodzi przez 

r

, częstość

rezonansową, mamy:

1

1

2







r

r

r

LC

C

L







Dla częstości rezonansowej zawada jest 
najmniejsza i równa się R. Wtedy również faza  

jest równa zero.

Również natężenie prądu jest maksymalne:

t

R

V

t

I

r



cos

)

(

0



Osłabienie natężenia prądu  możemy uzyskać przez zwiększenie 
oporu R. Opór ten odgrywa rolę tłumienia. Prześledźmy zależność 
natężenia prądu i fazy dla dwóch różnych oporów.

Reinhard Kulessa

17

Możemy wyznaczyć 
składowe napięcia na 
poszczególnych 
elementach obwodów











I()

R

1

R

2

V

0

/R

1

V

0

/R

2

()

+/2

-/2







r



r

V

0

/R2

2

Względna półszerokość 
krzywej rezonansowej jest
równa

Q

L

R

r

r

1

2













Reinhard Kulessa

18

t

Q

V

e

CR

V

e

R

V

C

i

t

Q

V

e

R

L

V

e

R

V

L

i

t

V

e

V

e

R

V

R

r

t

i

r

t

i

r

C

r

t

i

r

t

i

r

L

r

t

i

t

i

R

r

r

r

r

r

r





































sin

1

)

sin

(

cos

0

)

2

(

0

0

0

)

2

(

0

0

0

0

0

































Współczynnik

dobroci 

Q

Napięcie

rzeczywiste

Z powyższych wzorów 
widzimy, że :

1. Suma rzeczywistych napięć V

L

+V

C

= 0

2. Dla pojemności i indukcyjności QV

0

>V

0

, czyli napięcie na tych elementach

       jest większe od napięcia źródła.
3.    Gdy mamy słabe tłumienie, Q = 

r

L/R krzywa rezonansowa jest symetryczna.

Q jest nazywany współczynnikiem dobroci