ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
LINIOWYCH
ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
LINIOWYCH
SPIS TREŚCI
• Podstawowe pojęcia
• Metoda macierzowa rozwiązywania
układów równań Cramera
• Przykład
• Rozwiązywanie układów równań
liniowych metodą kolejnych eliminacji
Jordana-Gaussa
• Przykłady
Niech dany będzie układ m równań
liniowych o n niewiadomych x
1
, x
2
,...,x
n
postaci:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+...+
a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+...+ a
2n
x
n
=
b
2
... ... ... ... ... ...
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+...+ a
mn
x
n
= b
m
Dany układ można zapisać w postaci
macierzowej AX =B gdzie:
Podstawowe pojęcia
Działania na
równaniach
Układ równań (1) przejdzie w
równoważny mu układ, gdy na
równaniach układu dokonamy
następujących operacji:
– zmienimy kolejność zapisu równań,
– pomnożymy obie strony dowolnego równania
przez dowolną liczbę różną od zera,
– dodamy stronami do innego równania dowolne
równania pomnożone przez dowolna liczbę,
– odrzucimy z układu równanie, które jest
kombinacją pozostałych równań.
Metoda macierzowa
rozwiązywania układów
równań Cramera
Układ n równań liniowych o n niewiadomych,
którego wyznacznik jest różny od zera nazywamy
układem Cramera
Mnożąc lewostronnie obie strony równania
macierzowego AX=B przez macierz odwrotną
A
-1
i korzystając z własności iloczynu macierzy
otrzymamy:
A
-1
(AX) = A
-1
B
(A
-1
A)X = A
-1
B
X = A
-1
B
Przykład 1.
Rozwiąż układ równań:
x + y + z =0
2x + y + z = 1
x - y + z = -4.
Dany układ można zapisać w postaci
macierzowej AX = B, gdzie:
4
1
0
,
,
1
1
1
1
1
2
1
1
1
B
z
y
x
X
A
Ponieważ macierz A jest nieosobliwa, więc
istnieje macierz odwrotna A
-1
i rozważany
układ ma dokładnie jedno rozwiązanie
wyrażone wzorem X= A
-1
B.
Podstawiając do wzoru i wykonując mnożenie
otrzymamy:
Zatem jedynym rozwiązaniem danego
układu jest: x = 1, y = 2, z = - 3.
3
2
1
4
1
0
5
,
0
1
5
,
1
5
,
0
0
5
,
0
0
1
1
X
Rozwiązywanie układów
równań liniowych metodą
kolejnych eliminacji
Jordana-Gaussa
Metoda ta jest metodą uniwersalną
pozwalającą
na rozwiązywanie dowolnych układów m
równań liniowych o n niewiadomych.
Przykład 2.
x + y + z = 3
x + y - z = 1
x + 2y +2z = 6
2x + 3y + 4z = 4
Macierz uzupełniona tego układu ma
postać:
4
4
3
2
6
2
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
U
Na wierszach tej macierzy będziemy wykonywać
takie operacje elementarne, aby w pierwszym
bloku macierzy U otrzymać macierz jednostkową
możliwie najwyższego stopnia.
W tym celu konstruować będziemy w pierwszym
bloku macierzy U kolejne kolumny macierzy
jednostkowej. Ponieważ element a
11
= 1, więc
pierwszy wiersz pozostawiamy bez zmian
i traktujemy go jako wiersz operacyjny.
Mnożąc pierwszy wiersz kolejno przez (-1), (-1), (-
2), a następnie dodając odpowiednio do drugiego,
trzeciego, czwartego wiersza otrzymujemy
:
4
4
3
2
6
3
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
U
2
2
1
0
3
2
1
0
2
2
0
0
3
1
1
1
IV
I
III
I
II
I
)
2
(
)
1
(
)
1
(
Dalej należy postępować tak aby nie
„popsuć” pierwszej kolumny i w drugiej
kolumnie skonstruować wektor
jednostkowy mający jedynkę na drugim
miejscu.
Ponieważ w otrzymanej macierzy
element a
22
= 0, więc konstruując drugą
kolumnę macierzy jednostkowej
zamieniamy wiersze tak, by element
a
22
był różny od 0, a najlepiej równy 1.
Dokonując zamiany wiersza drugiego i
trzeciego otrzymujemy macierz:
2
2
1
0
2
2
0
0
3
2
1
0
3
1
1
1
Dalsze konstruowanie macierzy jednostkowej w
pierwszym bloku jest bezcelowe gdyż odpowiadający
tej macierzy układ
1x + 0y - 1z = 0
0x + 1y + 2z = 3
0x + 0y - 2z = -2
0x + 0y + 0z = -5
zawiera sprzeczne równanie 0 = -5, zatem rozważany
układ jest sprzeczny.
Traktując drugi wiersz jako operacyjny i mnożąc go
przez (-1), a następnie dodając do pierwszego i
czwartego mamy:
2
2
1
0
2
2
0
0
3
2
1
0
3
1
1
1
5
0
0
0
2
2
0
0
3
2
1
0
0
1
0
1
IV
II
I
II
)
1
(
)
1
(
Przykład 3.
x + y + z = 6
2x + y + z = 7
x + 2y = 5
x - y + z = 2
Macierz uzupełniona tego układu ma
postać:
2
1
1
1
5
0
2
1
7
1
1
2
6
1
1
1
U
Kolejne działania wykonywane na wierszach
macierzy
zapisujemy obok:
Otrzymanej macierzy odpowiada układ:
Zatem rozwiązaniem układu jest: x = 1, y = 2, z
= 3.
2
1
1
1
5
0
2
1
7
1
1
2
6
1
1
1
4
0
2
0
1
1
1
0
5
1
1
0
6
1
1
1
4
0
2
0
1
1
1
0
5
1
1
0
6
1
1
1
IV
I
III
I
II
I
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
II
IV
II
III
II
I
II
)
2
(
)
1
(
)
1
(
6
2
0
0
6
2
0
0
5
1
1
0
1
0
0
1
6
2
0
0
3
1
0
0
5
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
3
1
0
0
2
0
1
0
1
0
0
1
2
1
III
IV
III
II
III
)
2
(
)
1
(
0
0
0
0
3
1
0
0
2
0
1
0
1
0
0
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Przykład 4.
x + 2y + 3z = 1
4x + 5y + 6z = 1
7x + 8y + 9z = 1
x + y + z = 0
Macierzą uzupełnioną tego układu jest
macierz:
0
1
1
1
1
9
8
7
1
6
5
4
1
3
2
1
U
Otrzymanej macierzy odpowiada układ równań postaci: x - z = -1
y + 2z = 1
Ponieważ otrzymaliśmy w pierwszym bloku macierzy U macierz
jednostkową stopnia drugiego, więc pierwsze dwie niewiadome tego
układu będziemy uważali za niewiadome bazowe, a pozostałe niewiadome
traktujemy jako parametry, zatem z = k.
Rozwiązanie ogólne układu ma postać:
x = -1 + k
y = 1 - 2k
z = k
Układ jest układem nieoznaczonym, ma nieskończenie
wiele rozwiązań, którymi są trójki liczb x, y, z. Rozwiązania
te otrzymamy przyjmując za parametr k dowolne liczby rzeczywiste.
Dokonujemy przekształceń na macierzy:
0
1
1
1
1
9
8
7
1
6
5
4
1
3
2
1
1
2
1
0
6
12
6
0
3
6
3
0
1
3
2
1
1
2
1
0
6
12
6
0
1
2
1
0
1
3
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
0
1
1
0
1
IV
I
III
I
II
I
)
1
(
)
7
(
)
4
(
3
1
II
IV
II
III
II
I
II
)
6
(
)
2
(
Przykład 5.
x - y + z - w = 2
- x + 2y + z - w = 4
x + 3z - 3w = 8
Macierz uzupełniona tego układu ma
postać:
8
3
3
0
1
4
1
1
2
1
2
1
1
1
1
U
Ponieważ otrzymaliśmy w pierwszym bloku macierzy U macierz jednostkową drugiego
stopnia, więc pierwsze dwie niewiadome będą niewiadomymi bazowymi, a pozostałe
niewiadome traktujemy jako parametry, zatem niech:
z = k, w = m.
Stąd rozwiązanie ogólne tego układu ma postać:
x = 8 - 3k + 3m
y = 6 - 2k + 2m
z = k
w = m
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które otrzymujemy przyjmując za parametry
m i k dowolne liczby rzeczywiste.
Dokonujemy przekształceń na macierzy:
8
3
3
0
1
4
1
1
2
1
2
1
1
1
1
6
2
2
1
0
6
2
2
1
0
2
1
1
1
1
0
0
0
0
0
6
2
2
1
0
8
3
3
0
1
III
I
II
I
)
1
(
III
II
I
II
)
1
(