1
Wyznaczanie rozwiązań układu równań liniowych
(układy typu Cramera)
Zakładamy, że układ równań liniowych AX = B ma rozwiązania, czyli rząd macierzy
współczynników A jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej [A|B]. Przyjmijmy, że układ ma
n niewiadomych (równań może być więcej niż n lub mniej niż n); oznaczmy ten wspólny rząd
obu macierzy literą r, czyli R(A) = R([A|B]) = r.
Mogą więc zachodzić dwa przypadki:
1° r = n, czyli liczba równań jest równa liczbie niewiadomych (bo rząd wynosi n, tyle ile
równań – to będą wiersze macierzy i tyle ile niewiadomych – bo to będą kolumny
macierzy współczynników); wtedy układ równań ma dokładnie jedno
rozwiązanie; taki układ nazywamy układem Cramera.
2° r < n, czyli liczba równań jest różna od liczby niewiadomych; wtedy układ ma
nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n
−
r parametrów, czyli zmiennych,
którym można nadawać dowolne wartości liczbowe.
Formalnie biorąc, rozwiązywanie układów równań liniowych, w tym również badanie
istnienia i jednoznaczności rozwiązań ( w obu przypadkach) sprowadza się do przeprowadzania
macierzy rozszerzonej układu [A | B] do postaci [ I | X ] i umiejętnego przeczytania tego re-
zultatu, gdzie I oznacza macierz jednostkową, X macierz, z której odczytujemy rozwiązania.
Ten sposób nazywa się metodą eliminacji Gaussa i wymaga wykonywania przekształceń ele-
mentarnych wyłącznie na wierszach macierzy.
Jeśli układ równań jest układem Cramera, to macierz A współczynników jest macierzą
kwadratową nieosobliwą (n równań o n niewiadomych oraz det A
≠
0).
Definicja
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych AX = B, w którym A
jest macierzą kwadratową nieosobliwą (n równań o n niewiadomych oraz det A
≠
0).
Twierdzenie
Układ Cramera A
⋅
X = B ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem X = A
-1
⋅
B .
2
Uzasadnienie
Załóżmy, że układ równań liniowych AX = B jest układem Cramera. To znaczy, że det A
≠
0.
Istnieje zatem macierz A
-1
odwrotna do A.
Rozumujemy: A
⋅
X = B,
mnożymy to równanie przez A
-1
i otrzymujemy kolejno:
A
-1
( A
⋅
X) = A
-1
⋅
B
(A
-1
⋅
A)X = A
-1
⋅
B
I
⋅
X = A
-1
⋅
B , ponieważ A
-1
⋅
A = I jest macierzą jednostkową.
Stąd X = A
-1
⋅
B.
Twierdzenie to pozwala rozwiązać układ Cramera wykorzystując pojęcie macierzy odwrotnej.
Twierdzenie
Rozwiązanie r = [r
1
, r
2
,… , r
n
] układu Cramera określają wzory: r
i
=
A
A
i
det
det
,
gdzie 1
≤
i
≤
n oraz A
i
jest macierzą powstałą z macierzy A, w której kolumnę o
numerze i zastąpiono kolumną wyrazów wolnych.
Twierdzenie to pozwala wyznaczyć wprost składowe wektora rozwiązań układu Cramera
wykorzystując pojęcie wyznacznika.
Ostatecznie układy Cramera można rozwiązywać trzema sposobami: metodą eliminacji
Gaussa, wykorzystując pojęcie macierzy odwrotnej, pojęcie wyznacznika.
Przykład
Rozwiąż układ równań
=
−
−
=
−
+
−
=
+
−
0
2
1
2
0
1
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
.
Mamy: A
3
=
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
1
2
1
, [A
3
| B
3
] =
−
−
−
−
−
0
1
1
2
1
2
1
0
1
1
2
1
, X
3
=
z
y
x
, A
3
⋅
X
3
= B
3
.
3
Sposób I (metoda eliminacji Gaussa)
Macierz [A
3
| B
3
] =
−
−
−
−
−
0
1
1
2
1
2
1
0
1
1
2
1
przekształcamy stosując operacje elementarne wy-
konywane wyłącznie na wierszach tej macierzy. A więc kolejno:
w
1
’= w
1
+ 2w
2
, w
3
’= w
3
+ w
2
, w
3
’= w
3
−
2w
2
, w
1
’= w
1
+ w
3
, w
2
’= w
2
+ w
3
,
w
3
’=
3
1
w
3
, w
2
’= w
2
+ w
3
. Otrzymujemy:
−
3
1
1
0
0
3
1
0
1
0
0
0
0
1
.
Stąd otrzymujemy x = 0 , y =
3
1
, z =
−
3
1
. Zatem X
3
=
−
3
1
3
1
0
.
Sposób II (metoda przez odwracanie macierzy)
Dany układ równań A
3
⋅
X
3
= B
3
.
A
3
jest macierzą nieosobliwą, więc ma macierz odwrotną
1
3
−
A
. Stąd X
3
=
1
3
−
A
. B
3
.
Wyznaczamy macierz
1
3
−
A
=
1
1
1
2
2
1
0
1
2
1
−
−
−
−
−
(w sposób opisany w paragrafie
Macierz
odwrotna):
1
3
−
A
=
1
1
1
2
2
1
0
1
2
1
−
−
−
−
−
=
3
1
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
1
2
1
=
3
1
−
−
−
−
−
1
3
2
2
3
4
3
3
3
.
X
3
=
1
3
−
A
. B
3
=
3
1
−
−
−
−
−
1
3
4
2
3
4
3
3
3
.
−
0
1
1
=
3
1
−
1
1
0
=
−
3
1
3
1
0
.
Mamy rozwiązanie: X
3
= [ 0 ,
3
1
,
−
3
1
]
Sposób III (metoda wyznaczników)
4
det A
3
= det
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
1
2
1
= 3 , det A
x
= det
−
−
−
−
−
1
1
0
2
1
1
1
2
1
= 0,
det A
y
= det
−
−
−
1
0
2
2
1
0
1
1
1
= 1, det A
z
= det
−
−
−
0
1
2
1
1
0
1
2
1
=
−
1.
Zgodnie z cytowanym wyżej twierdzeniem mamy rozwiązanie:
X
3
= [ 0 ,
3
1
,
−
3
1
].
Ćwiczenia
1. Rozwiąż układ równań wykorzystując wzory Cramera.
a)
=
+
+
=
+
+
−
=
+
−
18
5
2
5
4
3
7
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, b)
=
+
+
+
−
=
+
−
+
=
+
−
+
=
−
+
0
6
4
1
2
1
7
8
4
0
3
2
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
z
y
x
.
2. Rozwiąż układ równań wykorzystując pojęcie macierzy odwrotnej.
a)
=
+
=
−
5
3
2
2
7
y
x
y
x
, b)
=
+
+
=
+
=
+
12
6
10
2
6
4
2
5
z
y
x
y
x
y
x
.
3. Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa.
a)
=
+
+
=
+
−
−
=
+
−
3
3
3
2
12
4
1
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, b)
=
−
+
=
−
+
=
+
−
−
=
+
+
+
1
2
13
2
0
10
p
v
t
p
z
v
p
z
v
t
p
z
v
t
.
4. Wyznacz takie wartości parametru p, aby układ był układem Cramera.
a)
=
−
=
−
7
2
3
3
6
2
y
x
p
y
x
p
, b)
=
−
+
+
=
+
−
+
=
+
+
−
0
)
1
(
3
3
0
3
)
1
(
3
0
3
3
)
1
(
z
p
y
x
z
y
p
x
z
y
x
p
.
