Ruch drgający

 

 

Ruch harmoniczny prosty: ciężarek 

drgający na sprężynie.

Siła sprężystości (prawo Hooke’a):

Rozwiązanie równania różniczkowego: 

kx

F 



x

m

k

dt

x

d

dt

x

d

m

kx

ma

kx





































2

2

2

2













t

A

x

cos

m

k





k

m

T







2

2





 

 

Drgania harmoniczne:

A – amplituda drgań;

 - częstość;



 - faza początkowa.



















































t

A

dt

x

d

dt

dv

a

t

A

dt

dx

v

t

A

x

cos

sin

cos

2

2

2

 

 

Okres drgań:

Częstotliwość drgań:





2



T

T

f

1



Izochronizm drgań.

 

 

Energia w ruchu harmonicznym 

prostym:

Energia kinetyczna:

Energia potencjalna:

Całkowita energia mechaniczna:

















t

mA

mv

E

k

2

2

2

2

sin

2

1

2

1















t

kA

kx

E

p

2

2

2

cos

2

1

2

1

2

2

1

kA

E

E

E

p

k







 

 

Powszechność drgań harmonicznych:

• Wahadło;
• Ruch po okręgu;
• Drgania atomów w 

cząsteczkach;

• Struna gitary.

 

 

Drgania tłumione

Siła tłumiąca:

Rozwiązanie:

dt

dx

b

bv

F

t









2

2

dt

x

d

m

dt

dx

b

kx























t

e

A

x

t

1

0

cos

m

b

2





2

2

1











 

 

Ruch słabo 
tłumiony

Ruch silniej 
tłumiony

 

 

Drgania wymuszone

Siła wymuszająca:

Rozwiązanie:

A

c

 nie jest stały i zależy od 



 i 



 !

t

F

F

w



 cos

0





2

2

0

cos

dt

x

d

m

t

F

dt

dx

b

kx



























t

A

x

c

cos

 

 

Rezonans

Przy odpowiedniej częstości siły 
wymuszającej, amplituda drgań 

osiąga bardzo dużą wartość.

 

 

Drgania złożone

Drgania harmoniczne o tej samej częstości:

• Drgania harmoniczne o tej samej częstości;
• Amplitudy drgań składowych dodają się, gdy 

fazy są zgodne, gdy fazy są przeciwne – 
odejmują się.









2

2

2

1

1

1

cos

cos

















t

A

x

t

A

x



 

 

Drgania złożone

Drgania harmoniczne o różnych częstościach

↓

 

na ogół drgania nieharmoniczne

Szczególny przypadek:

 

I drganie harmoniczne

(podstawowe)

II drganie harmoniczne

III drganie harmoniczne

itd.

Okres drgania wypadkowego = okres drgania podstawowego















3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

cos

2

cos

cos

























t

A

x

t

A

x

t

A

x

 

 

Drgania złożone

Dowolne drganie 

okresowe jest 

złożeniem drgań 

harmonicznych i 

można je przedstawić 

w postaci szeregu 

Fouriera.

analiza Fouriera



 

 

Dudnienia

Składanie drgań o częstościach bliskich sobie:

dudnienie











t

A

t

A

x

t

A

t

A

x





























cos

cos

cos

cos

2

2

2

2

1

1

1

1

 

 

Składanie drgań 

prostopadłych

Gdy A

1

=A

2

 to w zależności od                       :

 Drgania liniowe 

 Drgania eliptyczne

 Drgania kołowe









2

2

1

1

cos

cos

















t

A

y

t

A

x

1

2





















n





















4





n

















2





n

 

 

Składanie drgań 

prostopadłych

Ruch po okręgu ze stałą  prędkością:

Rzut ruchu po okręgu na oś X lub Y   ruch 

harmoniczny.

Złożenie ruchu harmonicznego wzdłuż osi X i Y,
 
gdy                   lub                      ruch po okręgu.

częstość kołowa = prędkość kątowa

2









4

3









 

 

Drgania harmoniczne prostopadłe o 

różnych częstościach

krzywe 

Lissajous

 

 

Krzywe Lissajous