Zmienne losowe

 

Zmienna   losowa

Definicja Niech będzie przestrzenią zdarzeń 

elementarnych. Każdą funkcję określoną na zbiorze  i 

o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych nazywać 
będziemy zmienną losową.

Przykład 1  Rzut jedną kostką. 

 3         2         1          4         5   
     6

X(w

i

) = i

Przykład 2  Rzut dwoma  kostkami.

Zdarzenia elementarne w

ij

= (i,j) , gdzie 

 i, j =1,2,3,4,5,6 

X(

w

ij

) = 

i+j

Y(

w

i

) = 1 gdy  i  parzyste     Y(

w

i

) =0 gdy i  

nieparzyste

Y(

w

ij

) = i/j

Nazwa zmiennejWartość zmiennej

dla zdarzenia wi

Z(

w

ij

) = max(i,j)

Zmienne

dyskretne

Niezależność zmiennych 

losowych

Definicja Powiemy, że dwie zmienne losowe X i Y są 
niezależne jeżeli dla dowolnych przedziałów  I, J w 
zbiorze liczb rzeczywistych
       P (XI  i Y J) = P(XI) * P(Y J)

Przykład 
X

K

 (data) - liczba stłuczek samochodowych w Krakowie

X

W 

(data) - liczba stłuczek samochodowych w Warszawie

Ilość stłuczek w Warszawie nie powinna mieć wpływu na 
liczbę stłuczek w Krakowie. Intuicyjnie te zmienne są 
niezależne.

W przypadku zmiennych dyskretnych : niezależność 
wyraża się warunkiem: 

              P(X=x i Y= y) = P(X=x) * P(Y=y)   dla 
dowolnych x,y  R.

Definicję tę można

 uogólnić na dowolny

  ciąg zmiennych 

losowych

Przykład

Rozważmy 
doświadczenie z rzutem 
dwoma kostkami do gry.

Definiujemy    zmienne losowe X , Y i Z :  X(i,j)= i , Y(i,j) = 
j, Z(i,j)=i+j

Zdarzenie A= „liczba 
oczek na kostce 1 jest 
nie większa niż 3”

   X   

3

Zdarzenie B = „liczba oczek 
na drugiej kostce wynosi co 
najmniej 5 

   Y 5

Uwaga  P(A) = 1/2 = P(X   3)    P(B) =1/3 =P(Y 5)

Dla dowolnych k i l mamy 
 P(X=k  i Y=l) = 1/36 = P(X=k) * P(X=l)

tzn. X i Y są zmiennymi 

niezależnymi

Zmienne X i Z 

nie są niezależne

Rozkład   prawdopodobieństwa

Niech X będzie  zmienną losową określoną w 
przestrzeni .

Definicja Funkcję f

X

 określoną  na zbiorze R  i o 

wartościach 
w zbiorze [0,1] taką, że
 

  

f

X

(x) = P(X=x) dla x R 

nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej 
losowej X

f

X

(x) 

= 

1/6  dla 
x=1,2,3,4,5,6

0 dla 
pozostałych x

f

Z

 (x) 

= 

1/36  dla x=2 i x= 
12
2/36  dla x=3 i 
x=11
3/36  dla x=4 i 
x=10
4/36  dla x=5 i 
x=9
5/36  dla x=6 i 
x=8 6/36  dla  x=7
0    dla 
pozostałych x

Przykład Rozważmy zmienne X, Y,  Z  
rozpatrywane 
w przykładzie z rzutem dwoma kostkami do 
gry.

Przykład

Rzucamy n-krotnie monetą . Niech 

X

i 

(w i-tym rzucie wypadł orzeł) = 1

X

i 

(w i-tym rzucie wypadła reszka) = 0

Orzeł

Reszka

Mamy   P( X

i

 = 1)= 1/2

Niech S

n

= X

1

 + X

2

 +...+   X

n

Liczba orłów w n rzutach monetą

P(S

n

 = k) = (n nad k)/ 2 

n

 

k orłów 

w n rzutach monetą

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych są 
następujące:

f

Xi

(x) 

= 

1/2  dla x=0,1

0 dla pozostałych 
x

f

Sn

(x) = 

(n nad x)/ 2 

n

 dla x 

N
0 dla pozostałych x

Rozkład

 dwumianowy

Dystrybuanta

Definicja Niech X będzie zmienną losową określoną na 
dowolnej przestrzeni zdarzeń losowych .  

Dystrybuantą zmiennej X nazywamy funkcję F : R  

[0,1] taką, że

F

X

(x) = P(X  x) dla x  R

W przypadku zmiennej losowej 
dyskretnej mamy    F

X

(x) = 



 

y  x

 

f

X

(y) 

Dystrybuanta akumuluje

wartości rozkładu

prawdopodobieństwa

Przykład

Dystrybuanta 
zmiennej losowej X w 
rzucie jedną kostką 
do gry:

1
5/6
4/6
3/6

1  2  3  4  5  6  7  8

Przykłady

Przykład  Zliczanie liczby  orłów w n rzutach monetą.

Dystrybuanta  każdej ze zmiennych X

i

 jest określona:

F

X

(y) = 0  gdy  y <0     F

X

 (y) = 1/2 gdy  0y <1   F

X

 

(y)=1 dla y  1
Dystrybuanta zmiennej S  ma postać

F(y) = 



 

x  y

  (n nad x) / 2 

n

Przykład  Wybieramy losowo liczbę z przedziału [0,1). 
 = [0,1). Niech U będzie zmienną losową taką że dla 

x [0,1), U(x)=x.

Zmienna

 jednostajna

P( U[a,b))= b-a   b>a i b,a 

[0,1)

To nie jest 

dyskretna zmienna 

losowa

Dystrybuanta  F

U

(y) = P(U 

 y) 

0 gdy y<0
y gdy 0 

y<1
1 gdy y 1

F

U

(y) 

=

Wartość oczekiwana

Definicja  - skończona przestrzeń zdarzeń 

elementarnych, X zmienna losowa określona w .  

Wartością oczekiwaną zmiennej X nazywamy liczbę

 E(X) = 



 

w

  X(w)* P({w}).

  

Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są 
jednakowo prawdopodobne, to P({w}) = 
1/card() czyli

 

)

(

)

(

)

(











card

X

X

E





Przykład  Rzucamy jedną kostką do gry. Liczba 
wyrzuconych oczek X jest zmienną losową o 
wartościach 1,2,3,4,5,6 i ma rozkład jednostajny 
P(X=i)=1/6. 

Zatem E(X)= (1+2+...6)/6 = 3.5 

Wartość oczekiwana zmiennej 

dyskretnej

Niech X będzie zmienną losową   dyskretną określoną w 
pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych  

}

,...,

2

,

1

:

{

n

i

x

i







)

(

1

i

n

i

i

x

X

P

x

EX









i

i

i

p

x

X

P

x

fX







)

(

)

(

i

n

i

i

i

n

i

i

p

x

x

fX

x

EX













1

1

)

(

Przykład

Zmienna losowa przypisująca losowi wygraną ma 
rozkład prawdopodobieństwa f :  
  f(x

1

)=P(X=x

1

) = n

1

/n ,  f(x

2

)=P(X=x

2

) = n

2

/n  ... 

f(x

k

)=P(X=x

k

) = n

k

/n

Wartość oczekiwana zmiennej X , EX=  

i=1...k

 (x

i

 *n

i

/n)=  

i=1...k

 (x

i

 *n

i

)/n 

1 los = EX zł

Zysk = n *EX 

Suma 
wygranych = 
 

i=1...k

 x

i

 *n

i

W pewnej loterii sprzedaje się n losów, z których n

1 

wygrywa sumę x

1

 zł., n

2

 - wygrywa x

2

 zł., ...n

k

 losów 

wygrywa x

k

 zł.

Loterię nazywamy sprawiedliwą, jeśli suma 
wygranych jest równa ilości pieniędzy uzyskanych 
ze sprzedaży biletów.

Jaka powinna być cena jednego losu, żeby loteria była 
sprawiedliwa?

Przykład 

5 biletów po 1,20zł 4 bilety po 2,40 zł

1,20

2,40

4,80

6 biletów po 4,80 
zł

W tramwaju zgasło światło i pasażer skasował losowo 
wyciągnięty bilet. Jaka jest wartość oczekiwana jego 
opłaty za przejazd?

Rozkład prawdopodobieństwa  f

X

:

f(1,20)= 5/15 f(2,40)= 4/15 
f(4,80)= 6/15

bilet

Cena 
tego 
biletu

X

EX = 1,20 *5/15 + 2,40* 4/15+ 4,80 * 6/15 = 
 2,96

Własności wartości oczekiwanej

- przestrzeń zdarzeń, w której określone są zmienne 

losowe X i Y.

Twierdzenie 1

E(cX) = c E(X)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(a) = a
E(X – E(X)) = 0

Twierdzenie 2

Jeśli X i Y są 
niezależnymi 
zmiennymi losowymi, 
to 
E(X * Y) = E(X) * E(Y).

Dowód Tw. 2:
E(X*Y) = 

w 

Y(w) *X(w) * P({w}) =  

xX(),y Y()

 x*y P(X=x i Y=y) 

=

                     

xX(),y Y()

 x*y P(X = x ) * P ( y = y )   = 

 

xX()

 x* P(X=x) *( 

yY()

 y * P(Y=y) ) = E(X) * E(Y).

Wariancja

Definicja

:    D

2

X = E((X-EX)

2

)

Rozważmy dwie zmienne o rozkładach {(100,1/2), 
(100,1/2)},   {(2,1/3), (-1,2/3)} Mamy EX = EY = 0. 
Chociaż zmienne bardzo się 
różnią, to  wartości oczekiwane są takie same.

Nowy parametr, który 
charakteryzuje rozrzut 
wartości zmiennej losowej.

Niech X  ma rozkład prawdopodobieństwa {(x

i

,p

i

)} 

i=1,...n.
Oznaczmy EX= m.  Wtedy D

2

X = ((x

1

- m)

2

*p

1

 +...+ (x

n

 –

m)

2

 *p

n.

Co to znaczy, że 
D

2

X jest małą 

liczbą? 

Twierdzenie  D

2

X  = E(X

2

) – (EX) 

2

Prawdopodobieństwo 
zdarzenia, że X przyjmuje 
wartość dużo różniącą się 
od m jest małe.

Przykład

Rozważmy zmienną losową o rozkładzie zero-
jedynkowym

Wtedy   EX = p oraz   

D

2

X =  E((X- EX)

2

) = (1-p) 

2

 p +(0-p) 

2

(1-p) =  

p(1-p)

 



p

prawdop

z

p

prawdop

z

X

.

1

.

1

0





Definicja  Liczbę                                     
nazywamy odchyleniem standardowym 
zmiennej X.     dyspersja

Na egzaminie jest 30 zadań i za każde można dostać 1 
punkt o ile poprawnie odpowie się na 3 wykluczające 
się pytania. Jaka jest wartość oczekiwana zmiennej 
losowej opisującej wynik egzaminu i jaka jest wariancja 
tej zmiennej.

X

D

2





Własności wariancji

Wniosek 

Jeżeli zmienne X i Y są 

niezależne, to  

D

2

(X-Y) = 

D

2

(X+Y).

Twierdzenie
D

2

(c) = 0

D

2

 (cX) = c 

2

 D

2

 (X)

D

2

(X + Y) = D

2

(X) + D

2

(Y) o ile X i Y są niezależne

Dowód 
D

2

(X+Y) = E((X+Y - E(X+Y)) 

2

 )= E((X-EX + Y-EY) 

2

)=

E((X-EX)

2

 +2(X-EX)(Y-EY) + (Y-EY) 

2

)=

E ((X-EX)

2

 ) + E(2(X-EX)(Y-EY)) + E((Y-EY)

2

) =D

2

(X) + 

D

2

(Y).

Ponieważ X i Y są 
niezależne więc również (X-
c) i (Y-c) są zmiennymi 
niezależnymi.

E(2(X-EX)(Y-EY))= 0

Zastosowanie

Dla ustalenia liczby ryb w jeziorze odławiamy pewną 
liczbę ryb, np. 1000sztuk. Złapane ryby znakujemy i 
wpuszczamy je do jeziora. Po upływie pewnego czasu 
dokonujemy odłowu uzyskując np.: 1200 ryb, wśród 
których było 25 znakowanych.

)

(

)

)(

(

N

n

C

c

B

b

N

P 

N liczba ryb = liczba kul w urnie
B ryby znakowane = kule białe
C ryby nieznakowane = kule czarne
n ryby odłowione = liczba losowań 
zależnych
b wyłowione znakowane =wylosowane 
białe
c wyłowione nieznakowane = 
wylosowane czarne

Prawdopodobieństwo wylosowania b kul 
białych i c kul czarnych w n losowaniach

Cd. ryby

Aby na podstawie tych danych empirycznych  
oszacować liczbę ryb w jeziorze zastosujemy zasadę 
największej wiarygodności, polegającej na wyznaczeniu 
takiej liczby N, aby prawdopodobieństwo P

N

  miało 

wartość największą.

P

N

/P 

N-1

  >1  dla N<B*n/b

P

N

/P 

N-1

 <1 dla N> B*n/b

b

n

B

N

N

Bn

BN

nN

N

P

P

B

N

b

n

B

b

N

n

N

n

B

N

b

n

B

b

N

N































(

)

)(

(

)

(

*

)

(

)

)(

(

2

1

1

1

P

N

 osiąga 

największą wartość 
dla N = [B n/b]