ZMIENNE LOSOWE SKOKOWE
Rozkład prawdopodobieństwa
Funkcję przyporządkowywującą realizacjom zmiennej losowej X odpowiadające im prawdopodobieństwa nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (rozkładem prawdopodobieństwa) i zapisujemy następująco: n
(
P X = x ) = p ,
przy czym ∑ p 1 (∑∞ p
) i dla każdego i p
i ≥ 0
i = 1
i =
i
i
i=1
i=1
Dystrybuanta (poniższy tekst dotyczy zmiennych losowych skokowych i ciągłych) Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy funkcję F( x ) = (
P X < x ) . Charakteryzuje się następującymi własnościami:
1) 0 ≤ F( x ) ≤ 1
2) jest funkcją niemalejącą
3) jest funkcją lewostronnie ciągłą
4) F( −∞ ) = 0 oraz F( +∞ ) = 1
(Warto dodać, że (
P a ≤ X < b ) = F( b ) − F( a )) Parametry zmiennej losowej – wartość oczekiwana i wariancja
Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) Wartość oczekiwana informuje (zarówno dla zmiennych losowych skokowych jak i ciągłych) jaki jest przeciętny poziom wartości, jakie przyjmować może zmienna losowa.
Wartość oczekiwaną oblicza się ze wzoru:
n
E( X ) = ∑ x p
( E( X ) = ∑∞ x p ) i
i
i
i
i=1
i=1
Własności wartości oczekiwanej (dla zmiennych losowych skokowych i ciągłych): 1) E( c) = c , gdzie c dowolna stała 2) E( cX + k) = c ⋅ E( X ) + k , gdzie k – dowolna stała 3) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ) 4) dla niezależnych zmiennych losowych X i Y zachodzi E( X ⋅ Y ) = E( X )⋅ E(Y ) Wariancja
Pierwiastek z wariancji informuje (zarówno dla zmiennych losowych skokowych jak i ciągłych) o ile przeciętnie realizacje zmiennej losowej odchylają się od wartości oczekiwanej tej zmiennej.
Wariancję oblicza się ze wzoru:
n
2
D ( X ) = ∑( x − E( X
=
−
i
)2
2
) p
E( X )
i
[ E( X ]2
)
i 1
=
Własności wariancji (dla zmiennych losowych skokowych i ciągłych): 1) 0
2
D ( c) = , gdzie c to dowolna stała 2) )
2
D ( cX + k)
2
2
= c ⋅ D ( X , gdzie k to dowolna stała 3) dla niezależnych zmiennych losowych X i Y zachodzi D 2 ( X ± Y ) = D 2 ( X ) + D 2 (Y ) 1
ZMIENNE LOSOWE CIĄGŁE
Funkcja gęstości
Jeśli dystrybuanta F(x) ma pochodną w każdym punkcie x, to funkcję f(x)=F`(x) nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa (funkcją gęstości) Funkcja gęstości jest funkcją spełniającą dwa warunki: 1) 0
f ( x ) ≥
+∞
2) ∫ f ( x dx
)
= 1
−∞
Dystrybuanta
x
F( x ) = ∫ f (t dt
)
−∞
Zachodzą poniższe równości
(
P X = x ) = 0
0
b
(
P a < X < b ) = (
P a ≤ X ≤ b ) = f ( x dx
)
F
= ( b ) − F( a )
∫
a
Parametry zmiennej losowej – wartość oczekiwana i wariancja Wartość oczekiwana
+∞
E( X ) = ∫ xf ( x dx
)
−∞
Wariancja
D 2 ( X ) = [
+∞
x − E( X ]
∫
) 2 f ( x dx
)
−∞
+∞
2
2
D ( X ) = E( X ) − [ E( X ]2
) , gdzie E( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x dx
)
−∞
2