Zmienne losowe wielowymiarowe
Definicja:
Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ) i w tej przestrzeni n zmiennych losowych
n
X
X
X
,...,
,
2
1
. Uporządkowany układ n zmiennych losowych oznaczamy jako:
}
,...,
,
{
2
1
n
X
X
X
X
=
i
nazywamy n – wymiarową zmienną losową lub wektorem losowym X.
W ten sposób kaŜdemu zdarzeniu elementarnemu
Ω
∈
ω
przyporządkowujemy układ n liczb
rzeczywistych, czyli punkt n – wymiarowej przestrzeni euklidesowej
n
ℜ
.
Przykład 1:
Wyobraźmy sobie doświadczenie, w czasie którego wykonujemy jednoczesny rzut kostką i monetą.
Wyniki rzutu kostką moŜna uwaŜać za zmienną losową :
1
X
- przyjmującą wartości 1, 2, ... , 6 z prawdopodobieństwem 1/6.
2
X
- przyjmującą wartości 0 –orzeł, 1 – reszka z prawdopodobieństwem ½.
W wyniku jednoczesnego rzutu kostką i monetą otrzymujemy 2 wartości. Mamy więc do czynienia ze
zmienną losową dwuwymiarową
)
,
(
2
1
X
X
, która moŜe przyjąć jedną z 12 wartości:
(1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (4,0), (4,1), (5,0), (5,1), (6,0), (6,1).
Jest sprawą intuicyjnie oczywistą, Ŝe wszystkie12 wartości zmiennej losowej
)
,
(
2
1
X
X
są równo
prawdopodobne. Czyli:
12
/
1
)
,
(
2
1
=
=
=
l
X
k
X
P
dla k = 1, ... , 6 ; l = 0, 1.
Tabelaryczny zapis tej dwuwymiarowej zmiennej losowej
)
,
(
2
1
X
X
:
1
X
2
X
0
1
1
1/12
1/12
2
1/12
1/12
3
1/12
1/12
4
1/12
1/12
5
1/12
1/12
6
1/12
1/12
Definicja:
Dystrybuantą zmiennej losowej n – wymiarowej
)
,...,
,
(
2
1
n
X
X
X
nazywamy funkcję:
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
F
=
)
,...,
,
(
2
2
1
1
n
n
x
X
x
X
x
X
P
<
<
<
Właściwości:
1.
)
,...,
,
(
∞
∞
∞
F
=
1
)
,...,
,
(
2
1
=
∞
<
∞
<
∞
<
n
X
X
X
P
2. Dystrybuanta jest funkcją lewostronnie ciągłą.
3.
0
)
,...,
,
,...,
,
(
1
,
1
2
1
=
∞
−
+
−
n
i
i
x
x
x
x
x
F
. Wynika to z tego, Ŝe zdarzenie polegające na tym, Ŝe
zmienna losowa
i
X
przyjmuje wartość mniejszą niŜ
∞
−
, jest zdarzeniem prawie niemoŜliwym
(prawdopodobieństwo równe zeru).
4. JeŜeli zbiór wartości dystrybuanty jest skończony lub przeliczalny, to zmienną losową n –
wymiarową nazywamy dyskretną lub typu skokowego.
JeŜeli dystrybuanta jest róŜniczkowalna ( w sensie klasycznym), to zmienną losową
wielowymiarową nazywamy ciągłą.
Definicja:
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa wielowymiarowej zmiennej losowej ciągłej jest pochodną jej
dystrybuanty:
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
=
n
n
x
x
x
x
x
x
F
∂
∂
∂
∂
...
)
,...,
,
(
2
1
2
1
Własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
1.
0
)
,...,
,
(
2
1
≥
n
x
x
x
f
2.
1
...
)
,...,
,
(
...
2
1
2
1
=
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
n
n
dx
dx
dx
x
x
x
f
Momenty zmiennej losowej wielowymiarowej
Mamy zmienną losową n – wymiarową
)
,...,
,
(
2
1
n
X
X
X
. Zakładamy, Ŝe dla kaŜdej z tych
zmiennych
i
X
( i = 1, 2, ... , n ) są określone momenty zwykłe.
Definicja:
Momenty mieszane rzędu r + s zmiennej losowej wielowymiarowej definiuje się następująco:
(
)
s
l
r
k
rs
kl
X
X
E
⋅
=
α
dla k, l = 1, 2, ... , n
Sumę r + s nazywamy rzędem momentu.
Definicja dla zmiennej losowej wielowymiarowej skokowej
i
X
( i = 1, 2, ... , n ) przyjmującej wartości
i
im
x
)
,...,
2
,
1
(
i
i
K
m
=
:
)
,
(
1
1
l
k
l
k
k
l
l
k
lm
l
km
k
s
lm
K
m
K
m
r
km
rs
kl
x
X
x
X
P
x
x
=
=
=
∑∑
=
=
α
Definicja dla zmiennej losowej wielowymiarowej ciągłej:
n
n
s
l
r
k
rs
kl
dx
dx
dx
x
x
x
f
x
x
...
)
,...,
,
(
...
2
1
2
1
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
=
α
Momenty poszczególnych zmiennych losowych
i
X
moŜna uwaŜać za graniczne przypadki momentów
mieszanych, np.
k
kl
EX
=
10
α
- jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej
k
X
Centralne momenty mieszane rzędu r + s zmiennej losowej
)
,
(
l
k
X
X
[
]
s
l
l
r
k
k
rs
kl
EX
X
EX
X
E
)
(
)
(
−
⋅
−
=
µ
Z tej definicji wynika, Ŝe:
0
)
(
10
=
−
=
k
k
kl
EX
X
E
µ
dla k, l = 1, 2, ... , n
)
(
)
(
2
20
k
k
k
kl
X
V
EX
X
E
=
−
=
µ
)
(
)
(
0
k
r
r
k
k
r
kl
X
EX
X
E
µ
µ
=
−
=
- r –ty moment centralny zmiennej losowej
k
X
.
Momenty mieszane dla zmiennej losowej dwuwymiarowej ( X, Y )
)
(
s
r
rs
Y
X
E
⋅
=
α
- moment mieszany zwykły,
]
)
(
)
[(
s
r
rs
EY
Y
EX
X
E
−
⋅
−
=
µ
- centralny moment mieszany,
EX
Y
X
E
=
⋅
=
)
(
0
1
10
α
EY
Y
X
E
=
⋅
=
)
(
1
0
01
α
0
)]
[(
10
=
−
=
EX
X
E
µ
bo:
0
)
(
=
−
=
−
∑
∑
∑
i
i
i
i
i
i
i
i
EXp
p
x
p
EX
x
0
)]
[(
01
=
−
=
EY
Y
E
µ
2
2
20
]
)
[(
x
EX
X
E
σ
µ
=
−
=
2
2
02
]
)
[(
y
EY
Y
E
σ
µ
=
−
=
)
,
(
)]
(
)
[(
11
Y
X
Cov
EY
Y
EX
X
E
=
−
⋅
−
=
µ
- moment mieszany 2-go rzędu.
Kowariancja zmiennej losowej dwuwymiarowej ( X, Y )
Definicja:
Kowariancją zmiennej losowej dwuwymiarowej ( X, Y ) nazywamy liczbę
)
,
(
Y
X
Cov
określoną
wzorem:
11
)]
(
)
[(
)
,
(
XY
EY
Y
EX
X
E
Y
X
Cov
µ
=
−
⋅
−
=
Jest to oczywiście centralny moment mieszany rzędu drugiego.
Czyli:
EY
EX
Y
X
E
Y
X
Cov
⋅
−
⋅
=
)
(
)
,
(
gdzie:
∑∑
=
⋅
i
k
ik
k
i
p
y
x
Y
X
E
)
(
- dla zmiennej losowej skokowej ,
oraz:
)
,
(
k
i
ik
y
Y
x
X
P
p
=
=
=
.
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
=
⋅
dxdy
y
x
xyf
Y
X
E
)
,
(
)
(
- dla zmiennej losowej ciągłej.
Twierdzenie 1:
Jeśli zmienne losowe X i Y są niezaleŜne i mają wartości oczekiwane, to:
EY
EX
Y
X
E
⋅
=
⋅
)
(
Twierdzenie 2:
Jeśli:
∞
<
2
EX
i
∞
<
2
EY
, to:
)
,
(
2
)
(
Y
X
Cov
VY
VX
Y
X
V
⋅
±
+
=
±
Twierdzenie 3:
Dla dowolnych liczb
d
c
b
a
,
,
,
zachodzi:
)
,
(
)
,
(
Y
X
Cov
c
a
d
cY
b
aX
Cov
⋅
⋅
=
+
+
Twierdzenie 4:
Y
X
Y
X
Cov
σ
σ ⋅
≤
)
,
(
Współczynnik korelacji
XY
ρ
zmiennych losowych X, Y
Niech zmienne losowe X i Y posiadają momenty dwóch pierwszych rzędów:
EX
m
X
=
,
EY
m
Y
=
,
0
)
(
2
>
=
X
V
X
σ
,
0
)
(
2
>
=
Y
V
Y
σ
.
Współczynnik korelacji jest parametrem słuŜącym do badania zaleŜności między zmiennymi losowymi X i
Y . SłuŜy on do dwóch celów:
a) zaprzeczeniu zdania: zmienne losowe X i Y są niezaleŜne,
b) pokazaniu, Ŝe między zmiennymi losowymi X i Y istnieje zaleŜność liniowa z
prawdopodobieństwem 1.
Definicja:
Współczynnikiem korelacji
XY
ρ
zmiennych losowych X i Y nazywamy liczbę:
Y
X
Y
X
Y
X
XY
Y
X
Cov
m
Y
m
X
E
σ
σ
σ
σ
ρ
)
,
(
)}
)(
{(
=
−
−
=
Własności współczynnika korelacji
Twierdzenie 5:
Wartość bezwzględna współczynnika korelacji jest niezmiennikiem przekształceń liniowych, czyli:
|
|
|
|
,
,
,
0
,
d
cY
b
aX
XY
d
b
c
a
+
+
≠
=
∧
ρ
ρ
, czyli:
|
)
,
(
|
|
)
,
(
|
Y
X
d
cY
b
aX
ρ
ρ
=
+
+
Twierdzenie 6:
Moduł współczynnika korelacji jest nie większy od jedności:
1
|
|
≤
XY
ρ
Twierdzenie 7:
Jeśli zmienne losowe X i Y są niezaleŜne, to
0
=
XY
ρ
.
O zmiennych losowych, dla których
0
=
XY
ρ
mówimy, Ŝe są nieskorelowane.
Praktyczne znaczenie współczynnika korelacji
RozwaŜmy zaleŜność liniową zmiennych losowych X i Y :
b
aX
Y
+
=
Obliczmy współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y :
Y
X
XY
Y
X
Cov
σ
σ
ρ
)
,
(
=
=
−
−
−
+
=
−
−
=
)]
)(
[(
)]
)(
[(
)
,
(
EX
X
b
aEX
b
aX
E
EX
X
EY
Y
E
Y
X
Cov
=
−
=
−
=
−
−
=
]
)
[(
]
)
(
[
)]
)(
(
[
2
2
EX
X
aE
EX
X
a
E
EX
X
EX
X
a
E
2
X
a
σ
=
2
2
2
2
2
2
]
))
(
[(
]
)
[(
]
)
[(
X
Y
a
EX
X
a
E
b
aEX
b
aX
E
EY
Y
E
σ
σ
=
−
=
−
−
+
=
−
=
X
X
Y
a
a
σ
σ
σ
|
|
2
2
=
=
Zatem współczynnik korelacji wyniesie:
|
|
|
|
2
a
a
a
a
X
X
X
XY
=
=
σ
σ
σ
ρ
Czyli współczynnik korelacji tych zmiennych losowych wyraŜa się wzorem:
<
−
>
=
0
1
0
1
a
dla
a
dla
XY
ρ
Dla
1
=
XY
ρ
i
1
−
=
XY
ρ
zaleŜność stochastyczna przechodzi w zaleŜność funkcyjną:
y
a>0
x
Y=
aX
+b
y
a<0
x
Y=a
X+b
1
=
XY
ρ
1
−
=
XY
ρ
y
x
y
x
0
1
<
<
−
XY
ρ
1
0
<
<
XY
ρ
y
x
0
=
XY
ρ
- zmienne losowe nieskorelowane.
Rozkłady brzegowe zmiennych losowych dwuwymiarowych (
X, Y )
Dla dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X, Y ) funkcje dystrybuant:
)
,
(
)
(
lim
y
x
F
x
F
y
X
∞
→
=
)
,
(
)
(
lim
y
x
F
y
F
x
Y
∞
→
=
są funkcjami jednej zmiennej losowej, odpowiednio x oraz y i kaŜda z nich ma wszystkie własności
dystrybuanty jednowymiarowej.
Definicja:
Funkcje
X
F
oraz
Y
F
, otrzymane jako odpowiednie wartości graniczne funkcji
F
, nazywamy
dystrybuantami brzegowymi, a jednowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa wyznaczone przez funkcje
X
F
oraz
Y
F
, nazywamy rozkładami brzegowymi.
W przypadku zmiennej losowej dwuwymiarowej ( X, Y ) typu ciągłego o funkcji gęstości
prawdopodobieństwa
)
,
(
y
x
f
, mamy:
∫
ℜ
=
1
)
,
(
)
(
dy
y
x
f
x
f
X
,
∫
ℜ
=
1
)
,
(
)
(
dx
y
x
f
y
f
Y
Funkcje
)
(x
f
X
i
)
( y
f
Y
są funkcjami gęstości prawdopodobieństwa odpowiednio zmiennych losowych
X oraz Y i nazywać je będziemy brzegowymi gęstościami prawdopodobieństwa.
Oczywiście zachodzi:
)
(
)
(
x
f
x
F
x
X
X
=
∂
∂
,
)
(
)
(
y
f
y
F
y
Y
Y
=
∂
∂
Dla zmiennej losowej dwuwymiarowej typu skokowego o rozkładzie określonym parami liczb
)
,
(
k
i
y
x
p
,
mamy:
∑
=
k
k
i
i
X
y
x
p
x
p
)
,
(
)
(
,
∑
=
i
k
i
k
Y
y
x
p
y
p
)
,
(
)
(
Liczby
)
(
i
X
x
p
- wyznaczają rozkład brzegowy prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Liczby
)
(
k
Y
y
p
- wyznaczają rozkład brzegowy prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y.
Zostały one określone jako odpowiednie sumy prawdopodobieństw
)
,
(
k
i
y
x
p
dwuwymiarowej zmiennej
losowej ( X, Y ).
Znając rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X, Y ), moŜemy zawsze wyznaczyć dla niej 2 rozkłady
brzegowe:
- brzegowy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X,
- brzegowy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y.
Rozumowanie odwrotne nie jest prawdziwe, tzn. znając rozkłady brzegowe, na ogół, nie moŜna
jednoznacznie wyznaczyć rozkładu prawdopodobieństwa dwuwymiarowego.
Zmienne losowe niezaleŜne
Definicja:
Dana jest zmienna losowa dwuwymiarowa ( X, Y ). Zmienne losowe X i Y nazywamy niezaleŜnymi
jeśli zachodzą relacje:
- dla zmiennych losowych typu skokowego:
)
(
)
(
)
,
(
,
y
F
x
F
y
x
F
Y
X
y
x
⋅
=
∧
lub
)}
(
)
(
)
,
(
{
,
k
Y
i
X
k
i
y
x
y
p
x
p
y
x
p
k
i
⋅
=
∧
- dla zmiennych losowych typu ciągłego:
)
(
)
(
)
,
(
,
y
f
x
f
y
x
f
Y
X
y
x
⋅
=
∧
Przykład 2:
Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową ( X, Y ) typu skokowego przyjmującą skończoną
liczbę wartości
)
,
(
k
i
y
x
i = 1, 2, ..., r k = 1, 2, ..., m z prawdopodobieństwami
)
,
(
)
,
(
k
i
k
i
y
Y
x
X
P
y
x
p
=
=
=
.
Przedstawmy naszą dwuwymiarową zmienną losową ( X, Y ) za pomocą tabeli:
Y
X
1
y
2
y
...
m
y
Rozkłady brzegowe zm. l.
X
1
x
11
1
1
)
,
(
p
y
x
p
=
12
2
1
)
,
(
p
y
x
p
=
...
m
m
p
y
x
p
1
1
)
,
(
=
.
1
p
2
x
21
1
2
)
,
(
p
y
x
p
=
22
2
2
)
,
(
p
y
x
p
=
m
m
p
y
x
p
2
2
)
,
(
=
.
2
p
.
.
.
...
.
.
.
.
.
...
.
.
r
x
1
1
)
,
(
r
r
p
y
x
p
=
2
2
)
,
(
r
r
p
y
x
p
=
...
rm
m
r
p
y
x
p
=
)
,
(
.
r
p
Rozkłady
brzegowe zm.
l. Y
1
.
p
2
.
p
...
m
p
.
1
.
.
=
=
∑
∑
i
i
k
k
p
p
gdzie:
m
p
p
p
p
1
12
11
.
1
...
+
+
+
=
m
p
p
p
p
2
22
21
.
2
...
+
+
+
=
rm
r
r
r
p
p
p
p
+
+
+
=
...
2
1
.
- rozkłady brzegowe zmiennej losowej X,
1
21
11
1
.
...
r
p
p
p
p
+
+
+
=
2
22
12
2
.
...
r
p
p
p
p
+
+
+
=
rm
m
m
m
p
p
p
p
+
+
+
=
...
2
1
.
- rozkłady brzegowe zmiennej losowej Y.
Oczywiście, zachodzi:
∑
∑
=
=
=
m
k
k
i
r
i
y
x
p
1
1
1
)
,
(
Zmienne losowe typu skokowego X i Y są niezaleŜne, jeśli zachodzi:
k
i
ik
k
i
p
p
p
.
.
,
⋅
=
∧
Znając rozkłady brzegowe zmiennych losowych X i Y , moŜemy z nich łatwo wyznaczyć wartości
oczekiwane i wariancje tych zmiennych losowych:
∑
=
r
i
i
i
p
x
EX
.
,
∑
=
m
k
k
k
p
y
EY
.
2
.
2
)
(
)
(
EX
p
x
X
E
r
i
i
i
−
=
∑
,
2
.
2
)
(
)
(
EY
p
y
Y
V
m
k
k
k
−
=
∑
Dla dwuwymiarowej zmiennej losowej z przykładu 1, rozkłady brzegowe będą następujące:
Y
X
0
1
rozkł. brzeg. zm. l. Y
1
1/12
1/12
.
1
p
= 1/6
2
1/12
1/12
.
2
p
= 1/6
3
1/12
1/12
.
3
p
= 1/6
4
1/12
1/12
.
4
p
= 1/6
5
1/12
1/12
.
5
p
= 1/6
6
1/12
1/12
.
6
p
= 1/6
rozkł. brzeg. zm. l. X
1
.
p
= 1/2
2
.
p
=1/2
1
Zadania
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma rozkład prawdopodobieństwa:
Y
X
0
1
1
1/6
1/6
2
2/6
2/6
Zbadać, czy zmienne losowe X oraz Y są niezaleŜne.
2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma rozkład prawdopodobieństwa:
Y
X
1
2
3
0
0,3
0,2
0,1
1
0,2
0,1
0,1
a) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej :
Y
X
Z
+
=
2
.
b) Sprawdzić, czy zmienne losowe X i Y są niezaleŜne?
3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma rozkład prawdopodobieństwa:
Y
X
0
1
1
1/8
12
p
2
21
p
1/4
gdzie:
21
p
= prawdopodobieństwu wypadnięcia liczby parzystej przy rzucie kostką.
Obliczyć współczynnik korelacji
XY
ρ
zmiennych losowych X i Y.
4. Wyznaczyć stałą c tak, aby funkcja:
<
<
=
obszarem
tym
poza
y
x
dla
c
y
x
f
0
1
|
|
,
1
|
|
)
,
(
a) była funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej (X, Y) typu ciągłego,
b) obliczyć prawdopodobieństwo:
)
0
,
0
(
>
>
Y
X
P
.
5. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N( 2 ; 1 ), zaś zmienna losowa Y ma rozkład normalny
N( 1 ; 2 ). Zmienne losowe X i Y są zaleŜne, a współczynnik korelacji między nimi wynosi 0,4.
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej
10
3
2
−
−
=
Y
X
Z
.
6. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 10 i wariancji 4.
a) Obliczyć kwantyl rzędu ¼ w tym rozkładzie.
b) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej
20
3
+
−
=
X
Y
.
7. Sprzedawca zatrudniony w sklepie komputerowym dostaje miesięczną stałą pensję w wysokości
500,- zł, a do tego 10,- zł za kaŜdy sprzedany komputer i 20,- zł za kaŜdy sprzedany zestaw
oprogramowania. W ciągu miesiąca udaje mu się sprzedać średnio 40 komputerów oraz 20
zestawów oprogramowania z odchyleniem standardowym odpowiednio 10 i 5. Współczynnik
korelacji pomiędzy liczbą sprzedanych komputerów i liczbą sprzedanych zestawów
oprogramowania wynosi 0,5.
Obliczyć średnie miesięczne wynagrodzenie tego sprzedawcy oraz odchylenie standardowe
miesięcznego wynagrodzenia.
8. Pewna firma budowlana prowadzi działalność w Warszawie oraz poza Warszawą. Badania
dotyczące działalności firmy w ciągu ostatnich lat pokazały, Ŝe rozkład prawdopodobieństwa liczby
inwestycji prowadzonych jednocześnie w Warszawie oraz poza Warszawą moŜna przedstawić
tabelarycznie:
Poza Warszawą
W Warszawie
0
1
2
0
0,1
0,3
0,2
1
0,2
0,1
0,1
a) Czy liczby inwestycji prowadzonych jednocześnie w Warszawie i poza są niezaleŜne?
b) Czy liczby inwestycji w Warszawie i poza są skorelowane i w jakim stopniu?
c) Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja łącznej liczby inwestycji prowadzonych
jednocześnie w Warszawie i poza Warszawą?