ANALIZA 

KINEMATYCZNA 

MANIPULATORÓW 

ROBOTÓW METODĄ 

WEKTOROWĄ

 

 

Względne  usytuowanie  osi  par  kinematycznych  i 
położenie 

ogniw 

przestrzennego 

łańcucha 

kinematycznego 

można 

opisać 

za 

pomocą 

następujących  iloczynów  skalarowych                i 
wektorowych

i

i

i

e

e



cos

1











i

i

i

i

a

e

e



sin

1













1

1

cos









i

i

i

a

a







1

1

sin









i

i

i

i

e

a

a









 

 

z  powyższych  równań  można  wyprowadzić   
następujące zależności





i

i

i

i

i

i

e

a

e

e





sin

cos

1





















i

i

i

i

i

i

a

e

a

a





sin

cos

1

















gdzie: 

i

e

-  wersor  osi  pary  kinematycznej  łączącej 
ogniwo i z ogniwem i-1, 

i

a

- 

wersor 

prostopadłej 

do 

osi 

par 

kinematycznych ogniwa i

α 

i    

-   kąt zawarty między osiami par 

kinematycznych ogniwa i, które mogą być 
usytuowane skośnie,

θ

i

   - kąt obrotu względnego członów i-1 

oraz i

 

 

Kąty

α

i

   i   θ

i

przyjmuje  się  jako  kąty  zorientowane.  Ich  zwroty 
określa  się  według  śruby  prawoskrętnej,  czyli  tak 
aby trójka wersorów

i

e

1



i

e

i

a

tworzyła układ prawoskrętny

W  podobny  sposób  definiuje  się  zwrot  kąta  θ

i

  tak, 

aby trójka wersorów 

1



i

a

i

a

i

e

 

 

tworzyła układ prawoskrętny

Gdy znane są dwa wersory

i

e

j

e

oraz kąty jakie tworzą z trzecim nieznanym wersorem

k

e

wtedy stosując wzór Chace’a można otrzymać



 







2

1

 

 

ij

j

i

ij

j

ik

ij

jk

i

jk

ij

ik

k

c

e

e

D

e

c

c

c

e

c

c

c

e

























 

 

jk

ik

ij

jk

ik

ij

ij

c

c

c

c

c

c

D

2

1

2

2

2











j

i

ij

e

e

c









k

i

ik

e

e

c









k

j

jk

e

e

c









W  wielu  przypadkach  analizy  kinematycznej 
wykorzystuje  się  równanie  zamknięcia  łańcucha 
kinematycznego,  które  można  zapisać  w  postaci 
równania wektorowego













n

i

i

i

i

i

a

l

e

1

0







 

 

gdzie
: 

λ

i 

–  odległość  między  ogniwem  i-1  oraz 

ogniwem i, mierzona wzdłuż osi pary łączącej 
te człony w przypadku pary przesuwnej λ

i

 jest 

zmienna, a w przypadku pary obrotowej  λ

i

 = 

idem; 

Odległość 

między 

osiami 

par 

kinematycznych  członu  i  oznaczono  przez  l

i

; 

w przypadku, gdy jedna z par jest przesuwna 
l

i

 = 0 

Z równania wektorowego













n

i

i

i

i

i

a

l

e

1

0







można  wyznaczyć  jeden  niewiadomy  wersom  lub 
trzy  niewiadome  wartości  skalarów  –  długości  i 
kątów

 

 

Figure 4-7 The vectors o, a, 

n, and p for a robot 

manipulator.

Rysunek 4-7 Wektory o, a, n oraz p dla 

manipulatora robota.

 

 

Figure 4-9 A three-dimensional 3 degree-of-freedom 
manipulator (type TRL).

Rysunek 

4-9 

Trójwymiarowy, 

trójczłonowy  manipulator  (typ:  z 
translacją, rotacją, wysuwem).