WPROWADZENIE DO

KINEMATYKI

MANIPULATORÓW

ROBOTÓW

Rozważa się manipulatory robotów z parami
obrotowymi i postępowymi (V klasy)

Fig. 4 -1

Figure 4-1 Two different 2-jointed manipulators. (a)
two rotational joints (RR), (b) two linear joints (LL).

(a)

(b)

Rysunek 4-1 Dwa dwuczłonowe manipulatory: (a) z
dwoma parami obrotowymi, (b) z dwoma parami
postępowymi.

Rozważa się manipulator robota dwuogniwowego z
parami obrotowymi, pokazany na rysunku

Fig. 4 -2

Figure 4-2 A two-dimensional
2 degree-of-freedom
manipulator (type RR).

Rysunek 4-2 Płaski manipulator o 2
stopniach swobody ( z dwoma parami
obrotowymi)

Położenie dowolnego punktu dowolnego członu
w przestrzeni (konfiguracji) ( w rozważanym
przypadku na płaszczyźnie) można określić
jako funkcję:





2

1

,







j

P

lu
b

 

y

x

P

w

,



Promienie-wektory członów (ogniw) manipulatora
są funkcjami





1

1

1

1

1

sin

,

cos





L

L

r 















2

1

1

2

1

2

2

sin

,

cos















L

L

r

[w ten sposób zdefiniowano ‘dodatni’ kąt obrotu
członu (ogniwa) jako przeciwny do ruchu
wskazówek zegara]

współrzędne

kartezjańskie

chwytaka

są

w

rozważanym przypadku równe





2

1

2

1

1

cos

cos













L

L

x





2

1

2

1

1

sin

sin













L

L

y

Niejednoznaczność położenia interesującego nas
punktu manipulatora robota pokazano na rysunku

Fig. 4-3

Figure 4-3 The arm at point P(x,y), indicating
two possible configurations to achieve the
position.

Rysunek 4-3 Dwie możliwe konfiguracje
położenia ramienia robota dla zadanego
punktu P(x,y).

Wykorzystując

podstawowe

tożsamości

trygonometryczne, czyli

B

A

B

A

B

A

sin

sin

cos

cos

)

cos(







A

B

B

A

B

A

cos

sin

cos

sin

)

sin(







współrzędne kartezjańskie chwytaka wynoszą

2

1

2

2

1

2

1

1

sin

sin

cos

cos

cos











L

L

L

x







2

1

2

2

1

2

1

1

sin

cos

cos

sin

sin











L

L

L

y







Podnosząc obie strony ostatnich równości do
kwadratu oraz dodając je do siebie, otrzymuje się

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

cos

L

L

L

L

y

x











Definiując kąty α i β tak jak na rysunku (Fig. 4-4)

(Fig. 4-4)

Figure 4-4 Solving for the joint angles.

Rysunek 4-4 Rozwiązanie w przypadku kątów.

otrzymuje się

1

2

2

2

1

cos

sin

tan

L

L

L











x

y





tan

Wykorzystując kolejna tożsamość trygonometryczną

B

A

B

A

B

A

tg

tg

1

tg

tg

)

tg(

























2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

tg











yL

L

L

x

xL

L

L

y











Znając długości L

1

i L

2

można wyznaczyć kąty

ogniw, w położeniu x i y w przestrzeni roboczej

otrzymuje się

Rozważa się z kolei trzyogniwowy (trójczłonowy)
manipulator robota pokazany na rysunku

(Fig. 4-5)

Figure 4-5 The two-dimensional 3 degree-
of-freedom manipulator with orientation
(type RR:R).

Rysunek 4-5 Płaski trzy-
ogniwowy

manipulator

z

trzema parami obrotowymi.









3

2

1

3

2

1

2

1

1

cos

cos

cos

























L

L

L

x









3

2

1

3

2

1

2

1

1

sin

sin

sin

























L

L

L

y





3

2

1















Rozwiązanie otrzymuje się podobnie jak w
przypadku poprzednim ustalając położenie x

3

i y

3

jako



cos

3

3

L

x

x







sin

3

3

L

y

y





Ustalając zatem położenie połączenia 3 problem
wyznaczenia kątów θ

1

i θ

2

sprowadza się do zadania

już rozwiązanego w przypadku manipulatora
dwuogniwowego

Fig. 4-6 A three-dimensional
4

degree-of-freedom

manipulator (type TRL:R)

Na rysunku (Fig. 4-6) pokazano manipulator o
czterech stopniach swobody, czyli o ruchliwości
równej cztery

.

Rys.

4-6

Trójwymiarowy

manipulator

o

4

stopniach

swobody (o parach wykonujących
kolejno translacje, obrót, wysuw i
obrót).

Położenie robota w przestrzeni możliwości położeń
przegubu P można zdefiniować następująco











cos

cos

cos

4

L

L

x















cos

cos

sin

4

L

L

y









sin

sin

4

1

L

L

L

z







Ustalając położenie punktu P(x,y,z) oraz kąt ψ,
można znaleźć dowolną konfigurację ogniw
manipulatora. Wykorzystując położenie przegubu
P

4

(x

4

,y

4

,z

4

), można przykładowo wyznaczyć:









cos

cos

4

4

L

x

x













cos

sin

4

4

L

y

y







sin

4

L

z

z





A zatem wartości L,



oraz θ można wyznaczyć następująco





2

1

4

2

4

2

4

1

L

z

y

x

L









L

L

z

1

4

sin







L

y

4

cos 

