dr Józef Szymczak
Politechnika Opolska
LICZBY ZESPOLONE
– notatki z wykładu
1.
Ciało liczb zespolonych.
Niech
R
R
Z
×
=
. W zbiorze
Z
traktowanym jako zbiór par liczb rzeczywistych określamy dodawanie i
mnożenie w następujący sposób:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
2
2
1
1
b
b
a
a
b
a
b
a
+
+
=
+
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
.
Algebra
)
,
,
(
⋅
+
Z
jest ciałem, które nazywamy ciałem liczb zespolonych. Każdą parę
Z
b
a
∈
)
,
(
nazywamy liczbą
zespoloną i oznaczamy
)
,
(
b
a
z
=
.
Przykładowo, jeżeli
)
1
,
0
(
),
2
,
3
(
),
4
,
2
(
),
2
,
3
(
4
3
2
1
=
=
=
−
=
z
z
z
z
, to mamy
)
2
,
5
(
)
4
2
,
2
3
(
)
4
,
2
(
)
2
,
3
(
2
1
=
+
−
+
=
+
−
=
+
z
z
,
)
8
,
14
(
)
4
2
1
,
8
6
(
)
2
)
2
(
4
3
,
4
)
2
(
2
3
(
)
4
,
2
(
)
2
,
3
(
2
1
=
−
+
=
⋅
−
+
⋅
⋅
−
−
⋅
=
⋅
−
=
⋅
z
z
,
)
0
,
13
(
)
6
6
,
4
9
(
)
3
)
2
(
2
3
,
2
)
2
(
3
3
(
)
2
,
3
(
)
2
,
3
(
3
1
=
−
+
=
⋅
−
+
⋅
⋅
−
−
⋅
=
⋅
−
=
⋅
z
z
,
)
0
,
1
(
)
0
0
,
1
0
(
)
0
1
1
0
,
1
1
0
0
(
)
1
,
0
(
)
1
,
0
(
4
4
−
=
+
−
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
=
⋅
z
z
.
Pierwszy element pary
)
,
(
b
a
, czyli liczbę
a
, nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, natomiast drugi
element pary
)
,
(
b
a
nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z. Oznaczamy:
.
Im
,
Re
b
z
a
z
=
=
(Skrót Re pochodzi od łacińskiego słowa realis, skrót Im pochodzi od łacińskiego słowa imaginarius).
Liczby zespolone postaci
)
0
,
(
a
będziemy dalej oznaczać krótko przez
a
, natomiast liczbę zespoloną
)
1
,
0
(
nazywamy jednostką urojoną i będziemy oznaczać ją symbolem
i
. Zauważmy, że
1
2
−
=
=
⋅
i
i
i
.
Ze względu na te oznaczenia każdą liczbę zespoloną
)
,
(
b
a
z
=
zapisaną w postaci pary, będziemy mogli zapisać
w postaci algebraicznej:
bi
a
z
+
=
(ponieważ
)
,
(
)
,
0
(
)
0
,
(
)
0
0
1
,
1
0
0
(
)
0
,
(
)
1
,
0
(
)
0
,
(
)
0
,
(
b
a
b
a
b
b
a
b
a
bi
a
z
=
+
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
+
=
⋅
+
=
+
=
).
Postać
algebraiczna jest najczęściej używana przy zapisywaniu liczb zespolonych. Łatwo jest przy jej pomocy zapisywać
działania algebraiczne na liczbach zespolonych, pamiętając przy tym, że
1
2
−
=
i
.
Przykładowo jeżeli
i
z
i
z
4
2
,
6
2
1
+
−
=
−
=
, wtedy
i
i
i
z
z
3
4
4
)
2
(
6
2
1
+
=
+
−
+
−
=
+
,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
z
26
8
4
2
24
12
4
)
(
)
2
(
)
(
4
6
)
2
(
6
)
4
2
(
)
6
(
2
2
1
+
−
=
−
+
+
−
=
⋅
−
+
−
⋅
−
+
⋅
+
−
⋅
=
+
−
⋅
−
=
⋅
,
i
i
i
i
i
z
16
12
16
16
4
16
4
)
2
(
2
4
)
4
2
(
2
2
2
2
−
−
=
−
−
=
+
⋅
−
⋅
+
=
+
−
=
.
Jaka liczba zespolona jest elementem neutralnym dodawania, a jaka liczba zespolona jest elementem
neutralnym mnożenia liczb zespolonych? Sprawdzić, że dodawanie i mnożenie liczb zespolonych to działania
przemienne i łączne oraz że zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania.
2.
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych.
Liczby zespolone
bi
a
z
+
=
interpretujemy geometrycznie jako punkty
)
,
(
b
a
P
płaszczyzny z określonym
prostokątnym układem współrzędnych. Taką płaszczyznę nazywamy płaszczyzną zespoloną lub płaszczyzną
Gaussa.
Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej
bi
a
z
+
=
nazywamy liczbę
bi
a
z
−
=
.
Ma ona taką samą część rzeczywistą jak liczba
z
, natomiast przeciwną
część urojoną.
Moduł liczby zespolonej
z
oznaczamy symbolem
z
i określamy
go wzorem:
2
2
b
a
z
+
=
(geometrycznie jest to odległość punktu
)
,
(
b
a
od punktu
)
0
,
0
(
).
Zauważmy, że
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
z
b
a
i
b
a
bi
a
bi
a
z
z
=
+
=
−
=
−
⋅
+
=
⋅
,
czyli iloczyn liczby zespolonej przez jej sprzężenie jest równy sumie
kwadratów części rzeczywistej i urojonej.
Mamy oczywiście równość
z
z
=
. Zachodzą też równości:
z
z
z
−
=
=
,
2
1
2
1
z
z
z
z
⋅
=
⋅
,
2
1
2
1
z
z
z
z
=
oraz oczywista nierówność
2
1
2
1
z
z
z
z
+
≤
+
.
Wykorzystując sprzężenie liczb zespolonych, możemy w prosty sposób wykonać dzielenie dwóch liczb
zespolonych:
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
z
z
z
z
z
z
z
z
z
⋅
=
⋅
=
⋅
Przykładowo, jeżeli
i
z
i
z
3
1
,
2
3
2
1
+
−
=
−
=
, wtedy
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
z
7
,
0
9
,
0
10
7
9
9
1
6
2
9
3
)
3
1
)(
3
1
(
)
3
1
)(
2
3
(
3
1
2
3
2
2
1
−
=
−
−
=
+
+
+
−
−
=
−
−
+
−
−
−
−
=
+
−
−
=
.
Równość dwóch liczb zespolonych określamy warunkiem:
)
Im(
)
Im(
)
Re(
)
Re(
2
1
2
1
2
1
z
z
z
z
z
z
=
∧
=
⇔
=
,
czyli że liczby zespolone są równe jeżeli mają takie same części rzeczywiste i takie same części urojone. Zwróćmy
uwagę, że nie da się wprowadzić relacji nierówności między liczbami zespolonymi innymi niż czysto rzeczywiste.
Przykład 1. Rozwiązać następujące równanie w zbiorze liczb zespolonych:
i
z
z
2
6
2
+
=
−
.
Zakładając, że
yi
x
z
+
=
, możemy napisać dane równanie w formie:
i
yi
x
y
x
2
6
2
2
+
=
−
−
+
.
Porównując części rzeczywiste i części urojone obu stron tego równanie otrzymamy układ dwóch równań:
=
−
=
−
+
2
6
2
2
y
x
y
x
. Z drugiego równania mamy, że
2
−
=
y
, czyli że
4
2
=
y
i po podstawieniu do pierwszego
równania przekształci się ono do postaci
0
2
2
=
−
−
x
x
, skąd otrzymujemy, że
2
,
1
2
1
=
−
=
x
x
. Przy znanej już
wartości
y
otrzymujemy zatem, że równanie spełniają dwie liczby zespolone:
i
z
i
z
2
2
,
2
1
2
1
−
=
−
−
=
.
Przykład 2. Rozwiązać następujące równanie w zbiorze liczb zespolonych:
0
2
2
=
+
z
z
.
Zakładając, że
yi
x
z
+
=
, możemy napisać dane równanie w formie:
0
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
yi
x
y
xyi
x
.
Porównując części rzeczywiste i części urojone obu stron tego równanie otrzymamy układ dwóch równań:
=
−
=
+
−
0
2
2
0
2
2
2
y
xy
x
y
x
. Z drugiego równania mamy, że
0
)
1
(
2
=
−
x
y
, które jest spełnione gdy
1
=
x
lub gdy
0
=
y
.
Jeżeli
1
=
x
, to z pierwszego równania po podstawieniu wynika, że
3
2
=
y
, czyli
3
−
=
y
lub
3
=
y
. Jeżeli
0
=
y
, to z pierwszego równania po podstawieniu wynika, że
0
2
2
=
+
x
x
, czyli
0
=
x
lub
2
−
=
x
. Zatem mamy
cztery liczby zespolone spełniające wyjściowe równanie:
2
,
0
,
3
1
,
3
1
4
3
2
1
−
=
=
+
=
−
=
z
z
i
z
i
z
.
3.
Postać trygonometryczna liczb zespolonych.
Argumentem niezerowej liczby zespolonej
z
nazywamy jakikolwiek
kąt
ϕ
między osią rzeczywistą a półprostą Oz.
Argumentem głównym liczby zespolonej
z
(oznaczenie
z
arg
)
nazywamy ten z kątów
ϕ
, który spełnia nierówność:
π
ϕ
2
0
<
≤
(czasem wygodnie jest przyjmować
π
ϕ
π
≤
<
−
).
Każdy argument
ϕ
liczby zespolonej
0
≠
z
ma postać
π
ϕ
k
z
2
arg
+
=
, gdzie
C
k
∈
.
Argument
ϕ
liczby zespolonej
bi
a
z
+
=
spełnia układ równań:
=
=
.
sin
,
cos
z
b
z
a
ϕ
ϕ
Ze względu na powyższy układ równań, każdą niezerową liczbę zespoloną
bi
a
z
+
=
możemy przedstawić w
postaci trygonometrycznej:
)
sin
(cos
ϕ
ϕ
i
z
z
+
⋅
=
Przykład 3.
a) Jeżeli liczba zespolona ma postać trygonometryczną
)
sin
(cos
3
2
2
π
π
i
z
+
=
,
to jest to liczba
i
z
3
=
(ponieważ
1
,
0
2
2
sin
cos
=
=
π
π
).
Dla tej liczby mamy, że
3
=
z
,
2
arg
π
=
z
.
b)
)
sin
(cos
4
4
π
π
i
+
=
−
, ponieważ
4
4
=
−
,
0
sin
,
1
cos
=
−
=
π
π
.
Przykład 4. Poniżej przedstawione są graficzne interpretacje warunków, jakie spełniają określone zbiory liczb
zespolonych (zbiory punktów na płaszczyźnie zespolonej):
a)
2
1
≤
≤
z
b)
4
4
3
arg
π
π
≤
≤
z
c)
1
2
1
≤
−
−
i
z
d)
1
≤
z
oraz
π
π
2
arg
≤
≤
z
Wyznaczyć w podobny sposób inne graficzne interpretacje różnych warunków, które spełniają zbiory liczb
zespolonych.
Przykład 5. Przedstawić w postaci trygonometrycznej podaną liczbę zespoloną.
a)
i
z
2
2
+
−
=
.
Mamy tutaj:
2
2
8
2
)
2
(
2
2
=
=
+
−
=
z
. Zatem
2
2
2
2
2
cos
−
=
−
=
ϕ
,
2
2
2
2
2
sin
=
=
ϕ
. Na
podstawie przebiegu funkcji
x
sin i
x
cos wynika, że kąt
ϕ
jest kątem z drugiej ćwiartki kąta pełnego i
wynosi on
π
4
3
. Możemy więc zapisać
)
sin
(cos
2
2
2
2
4
3
4
3
π
π
i
i
+
=
+
−
.
b)
i
z
2
3
2
1
−
=
.
Mamy tutaj:
1
4
3
4
1
=
=
+
z
. Zatem
2
1
cos
=
ϕ
,
2
3
sin
−
=
ϕ
. Z przebiegu funkcji
x
sin i
x
cos wynika, że
kąt
ϕ
jest kątem z czwartej ćwiartki kąta pełnego i wynosi on
π
3
5
. Możemy więc zapisać
π
π
3
5
3
5
2
3
sin
cos
2
1
i
i
+
=
−
.
c)
i
z
2
−
=
.
Mamy tutaj:
2
4
0
)
2
(
2
=
=
=
+
−
z
. Zatem
0
cos
=
ϕ
,
1
2
2
sin
−
=
−
=
ϕ
. Z przebiegu funkcji
x
sin i
x
cos wynika, że
π
ϕ
2
3
=
, czyli możemy napisać, że
)
sin
(cos
2
2
2
3
2
3
π
π
i
i
+
=
−
.
Mając liczby zespolone zapisane w postaci trygonometrycznej, możemy w łatwy sposób wykonywać na nich
operacje mnożenia i dzielenia.
Jeżeli zatem
)
sin
(cos
1
1
1
1
ϕ
ϕ
i
z
z
+
=
oraz
)
sin
(cos
2
2
2
2
ϕ
ϕ
i
z
z
+
=
, to wtedy
))
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
+
+
=
⋅
i
z
z
z
z
))
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
+
−
=
i
z
z
z
z
, gdzie
0
2
≠
z
Przy mnożeniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy.
Natomiast przy dzieleniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły dzielimy, a argumenty
odejmujemy.
Wzór dotyczący mnożenia liczb zespolonych jest słuszny również dla dowolnej liczby czynników. Z tego
względu w łatwy sposób otrzymujemy wzór na potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej,
zwany wzorem Moivre’a:
)
sin
(cos
ϕ
ϕ
n
i
n
z
z
n
n
+
⋅
=
, gdzie
N
n
∈
Przykład 6. Wykonać następujące potęgowania: a)
5
)
1
(
i
+
, b)
6
)
3
1
(
i
−
, c)
11
)
2
1
2
3
(
i
−
.
Ad a) Ponieważ
)
sin
(cos
2
1
4
4
π
π
i
i
+
=
+
, więc
i
i
i
i
i
4
4
)
(
2
4
)
sin
(cos
2
4
)
sin
(cos
)
2
(
)
1
(
2
2
2
2
4
5
4
5
4
4
5
5
5
−
−
=
−
=
+
=
+
=
+
−
π
π
π
π
.
Ad b) Ponieważ
)
sin
2(cos
3
1
3
5
3
5
π
π
i
i
+
=
−
, więc
64
)
0
sin
0
(cos
64
)
sin10
(cos10
4
6
)
sin
(cos
2
)
3
1
(
6
6
6
3
5
3
5
=
+
=
+
=
+
=
−
i
i
i
i
π
π
π
π
.
Ad c) Ponieważ
6
11
6
11
2
1
sin
cos
2
3
π
π
i
i
+
=
−
, więc
=
+
+
+
=
+
=
+
=
−
)
20
sin(
)
20
cos(
sin
cos
)
sin
(cos
)
6
6
6
121
6
121
6
11
6
11
2
1
11
11
2
3
(
π
π
π
π
π
π
π
π
i
i
i
i
i
i
2
1
6
6
2
3
sin
cos
+
=
+
=
π
π
.