Przekształcenie Laplace’a
czyli
zaczynamy ułatwiać sobie Ŝycie
Przekształcenie Laplace’a
czyli
zaczynamy ułatwiać sobie Ŝycie
Przekształcenie Laplace’a
RozwaŜmy dowolną funkcję (dystrybucję)
f(t). Transformatą
Laplace’a f(t) nazywa się następujące przekształcenie całkowe
( )
{ }
( )
( )
0
e
d
st
f t
f t
t
F s
∞
−
−
=
∫
≜
L
gdzie
jest zespolonym parametrem przekształcenia,
j
s
σ
ω
= +
gdzie
jest zespolonym parametrem przekształcenia,
nazywanym zespoloną pulsacją.
Obszar
S
na płaszczyźnie
zespolonej nazywa się obszarem zbieŜności transformaty Laplace’a,
jeŜeli dla kaŜdego
całka Laplace’a jest zbieŜna.
j
s
σ
ω
= +
s
∈
S
Obszar zbieŜności jest niepusty, jeŜeli f(t) jest funkcją typu
wykładniczego, tzn.
( )
0
e
t
M
t
f t
M
ρ
ρ
>
<
∨∨∧
Odwrotne przekształcenie Laplace’a
Wzór Riemanna-Mellina
( )
{
}
( )
( )
+j
1
j
1
e d
2πj
c
st
c
F s
F s
s
f t
∞
−
− ∞
=
=
∫
L
Z wzoru Riemanna-Mellina otrzymuje się funkcję przyczynową
( )
0
dla
0.
f t
t
≡
<
Z wzoru Riemanna-Mellina otrzymuje się funkcję przyczynową
( )
( )
( )
{ }
( )
{
}
( )
( )
1
2
1
2
1
2
JeŜeli
0
i
0
dla
0
to
f t
f
t
t
f t
f
t
f t
f
t
≡
≡
<
=
⇔
=
L
L
Twierdzenie o jednoznaczności przekształcenia Laplace’a
( )
{ }
( )
( )
{
}
( )
1
f t
F s
F s
f t
−
=
⇔
=
L
L
f(t) — oryginał
F(s) — transformata
Stosuje się równieŜ oznaczenie
( )
( )
f t
F s
⇌
Przykład 1.
( ) ( )
( )
( )
( )
0
δ
δ
e
d
1
δ
1
st
f t
t
F s
t
t
t
∞
−
−
=
=
=
∫
⇌
Przykład 2.
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
0
0
0
0
e
,
e
e
d
e
d
1
1
e
δ
e
d
at
s a t
at
st
s a t
s a t
f t
t
a
F s
t
t
t
t
t
t
t
s
a
s
a
∞
∞
− −
−
−
−
∞
∞
− −
− −
−
−
=
∈
=
=
=
= −
+
−
−
∫
∫
∫
1
1
1
1
ℝ
0
0
−
−
Całka będzie zbieŜna, gdy Re{s – a} > 0. Wówczas
( )
( )
1
1
e
at
F s
s
a
t
s
a
= −
−
1
⇌
Obszarem zbieŜności S na płaszczyźnie zespolonej jest
półpłaszczyzna Re{s} =
σ
> a
j
ω
σ
a
j
ω
σ
a
j
ω
σ
a
S
S
S
0
a
<
0
a
=
0
a
>
JeŜeli f(t) jest funkcją typu wykładniczego, to obszar
zbieŜności transformaty Laplace’a S jest półpłaszczyzną
Re{s} >
σ
0
.
σ
0
nazywa się odciętą zbieŜności transformaty
Laplace’a. W szczególności moŜe zachodzić
σ
0
→
–
∞
, czyli
obszarem zbieŜności jest cała płaszczyzna zespolona.
Twierdzenie
Transformata
jest w obszarze zbieŜności S (czyli w półpłaszczyźnie Re{s} >
σ
0
)
funkcją holomorficzną, tzn. w kaŜdym punkcie tego obszaru istnieje
pochodna
( )
( )
{ }
F s
f t
=
L
( )
( )
d
e
d .
st
F s
t f t
t
∞
−
= −
∫
( )
( )
0
e
d .
d
st
t f t
t
s
−
−
= −
∫
W praktycznych przypadkach funkcji f(t), reprezentującej przebieg
fizyczny, jej transformata poza obszarem zbieŜności moŜe mieć co
najwyŜej przeliczalny zbiór odosobnionych punktów osobliwych,
którymi mogą być jedynie osobliwości usuwalne lub bieguny.
Funkcja taka nazywa się funkcją meromorficzną.
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
0
0
0
pod warunkiem, Ŝe
e
,
e
e
d
e
d
1
1
e
,
at
s a t
at
st
s a t
f t
t
a
F s
t
t
t
s
a
s
a
∞
∞
− −
−
+
+
∞
− −
+
=
∈
=
=
=
= −
=
−
−
∫
∫
1
1
ℝ
{ }
pod warunkiem, Ŝe
Re
.
s
a
>
Wniosek:
JeŜeli f(t) jest funkcją (nie zawiera składników dystrybucyjnych), to
jako dolną granicę całkowania moŜna przyjąć zarówno 0– jak i 0+.
Własności przekształcenia Laplace’a
Stosować będziemy oznaczenia
( )
( )
( )
( )
,
f t
F s
g t
G s
⇌
⇌
1. Liniowość
( )
( )
( )
( )
1
2
1
2
a f t
a g t
a F s
a G s
+
+
⇌
2. Przesunięcie w dziedzinie s
( )
(
)
e
,
t
f t
F s
ξ
ξ
ξ
−
−
⇌
dowolna liczba
(rzeczywista, zespolona, urojona)
( )
{
}
( )
( )
(
)
(
)
0
0
e
e
e
d
e
d
s
t
t
t
st
f t
f t
t
f t
t
F s
ξ
ξ
ξ
ξ
∞
∞
− −
−
−
−
=
=
=
−
∫
∫
L
Dowód:
3. RóŜniczkowanie (dystrybucyjne) oryginału
( )
( )
( ) ( )
d
0
d
f t
f t
sF s
f
t
′
=
−
−
⇌
Dowód:
( )
{
}
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
0
e
d
st
f
t
f
t
t
∞
−
−
∞
∞
−
−
′
′
=
=
=
−
−
= −
− +
∫
∫
L
( )
( )
(
)
( )
( )
0
0
e
e
d
0
st
st
f t
f t
s
t
f
sF s
∞
−
−
−
−
=
−
−
= −
− +
∫
4. Całkowanie (dystrybucyjne) oryginału
( )
( )
0
1
d
t
f
F s
s
τ τ
−
∫
⇌
5. Przesunięcie w dziedzinie t
(
) (
)
( )
0
0
0
e
st
f t
t
t
t
F s
−
−
−
1
⇌
Dowód:
(
) (
)
{
}
(
)
( )
(
)
( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
e
d
e
d
e
e
d
e
s x t
st
t
st
st
sx
f t
t
t
t
f t
t
t
f x
x
f x
x
F s
∞
∞
−
+
−
∞
−
−
−
−
−
=
−
=
=
=
=
∫
∫
∫
1
L
6. RóŜniczkowanie transformaty
6. RóŜniczkowanie transformaty
( )
( )
d
d
t f t
F s
s
−
⇌
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
0
0
0
d
d
e
d
e
d
d
d
e
d
st
st
st
F s
f t
t
f t
t
s
s
s
t f t
t
t f t
∞
∞
−
−
−
−
∞
−
−
∂
=
=
=
∂
=
−
= −
∫
∫
∫
L
Dowód:
7. Skalowanie
( )
( )
1
,
0
s
f at
F
a
a
a
>
⇌
8. Splot w dziedzinie t
( ) ( )
( ) (
)
( ) ( )
0
d
t
f t
g t
f
g t
F s G s
τ
τ τ
+
−
∗
=
−
∫
⇌
Dowód (szkic):
Dowód (szkic):
( ) ( )
{
}
( ) (
)
( ) (
)
( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0 0
0
0
d
e
d
e
e
d d
e
d
e
d
st
s t
s
s
s
f t
g t
f
g t
t
f
g t
t
f
g
F s G s
τ
τ
τ
ζ
τ
τ τ
τ
τ
τ
τ
τ
ζ
ζ
∞
∞
−
−
−
∞ ∞
−
−
−
− −
∞
∞
−
−
−
−
∗
=
−
=
=
−
=
=
=
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
L
8. MnoŜenie funkcji w dziedzinie t
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
j
j
1
1
d
2πj
2πj
c
c
f t g t
F s
G s
F
G s
λ
λ λ
+ ∞
− ∞
∗
=
−
∫
⇌
Transformaty elementarnych funkcji
( )
δ
1
t ⇌
( )
1
t
s
1
⇌
( )
1
e
at
t
s
a
−
+
1
⇌
( )
1
t
t
1
⇌
( )
2
1
t
t
s
1
⇌
(
) ( )
1
1
1 !
n
n
t
t
n
s
−
−
1
⇌
( )
0
0
2
2
0
sin
t
t
s
ω
ω
ω
⋅
+
1
⇌
( )
0
2
2
0
cos
s
t
t
s
ω
ω
⋅
+
1
⇌
Przykład 1.
( ) ( )
( )
3
1 e
t
f t
t
t
−
= −
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
3
3
3
3
2
e
e
1
e
3
d
1
1
e
d
3
3
t
t
t
t
f t
t
t
t
t
s
t
t
s s
s
−
−
−
−
=
−
+
−
=
+
+
1
1
1
1
⇌
⇌
( )
( )
{ }
(
)
(
)
2
2
1
1
2
3
3
3
s
F s
f t
s
s
s
+
=
=
−
= −
+
+
+
L
Inaczej
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
2
2
3
2
2
1
1
1
1
1
3
2
e
1
3
3
t
s
t
t
s
s
s
s
s
t
t
s
s
−
−
−
− =
− +
+
−
= −
+
+
1
1
⇌
⇌
Przykład 2.
( )
(
) ( )
2
e
cos3
2sin 3
t
f t
t
t
t
−
=
−
1
( )
( )
(
)
( )
2
2
2
cos 3
9
2
e
cos 3
2
9
3
sin 3
t
s
t
t
s
s
t
t
s
t
t
−
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
1
1
1
⇌
⇌
⇌
( )
( )
(
)
2
2
2
3
sin 3
9
3
e
sin 3
2
9
t
t
t
s
t
t
s
−
⋅
+
⋅
+
+
1
1
⇌
⇌
( )
( )
{ }
(
)
(
)
2
2
2
2
3
4
2
4
13
2
9
2
9
s
s
F s
f t
s
s
s
s
+
−
=
=
−
=
+
+
+
+
+
+
L
Przykład 3.
( )
(
) ( )
0
2 sin
f t
F
t
t
ω
θ
=
+ ⋅
1
( )
( )
( )
0
0
2 cos sin
2 sin cos
f t
F
t
t
F
t
t
θ
ω
θ
ω
=
⋅
+
⋅
1
1
( )
( )
{ }
0
2 cos
2 sin
s
F s
f t
F
F
ω
θ
θ
=
=
+
=
L
( )
( )
{ }
(
)
0
2
2
2
2
0
0
0
2
2
0
2 cos
2 sin
2
cos
sin
s
F s
f t
F
F
s
s
F
s
s
ω
θ
θ
ω
ω
ω
θ
θ
ω
=
=
+
=
+
+
+
=
+
L
Przykład 4.
( )
( )
3
1
f t
t
t
=
−
1
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
{ }
( ) ( )
( )
( )
3
3
2
2
3
4
3
2
4
1
1
3
3
6
3 2
3
1
6 6
3
1
e
s
t
f t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
s
s
s
s
t
s
s
s
s
s
f t
t
F s
s
ϕ
Φ
ϕ
ϕ
Φ
−
=
+ = +
=
+
+
+
⋅
+ +
+
=
=
+
+
+ =
=
−
⇒
=
1
1
1
1
1
L
( ) ( )
( )
( )
1
e
s
f t
t
F s
s
ϕ
Φ
−
=
−
⇒
=
( )
( )
{ }
2
3
4
6
6
3
e
s
s
s
s
F s
f t
s
−
+
+
+
=
=
L
Przykład 5.
f(t)
t
1
2
1
2
3
4
–1
( )
( ) ( ) ( ) (
) (
) (
) (
) (
)
2
3
1
1
4
2
2
4
4
4
f t
t
t
t
t
t
t
t
t
= ⋅
−
−
− +
−
− − −
− −
−
1
1
1
1
1
( )
( ) ( ) ( ) (
) (
) (
) (
) (
)
2
3
1
1
4
2
2
4
4
4
f t
t
t
t
t
t
t
t
t
= ⋅
−
−
− +
−
− − −
− −
−
1
1
1
1
1
( )
( )
{ }
(
)
2
4
4
2
2
2
2
4
2
2
3
4
1
1
e
e
e
e
2
3e
4e
1
e
s
s
s
s
s
s
s
F s
f t
s
s
s
s
s
s
s
s
−
−
−
−
−
−
−
=
= −
+
−
−
=
−
+
− +
=
L
Przykład 6.
f(t)
t
1
1
"ćwiartka" sinusoidy
( )
( )
( ) ( )
π
π
sin
cos
1
1
2
2
f t
t
t
t
t
=
⋅
−
− ⋅
−
1
1
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
π
π
e
2
2
e
π
π
π
2
2
2
s
s
s
s
F s
f t
s
s
s
−
−
−
=
=
−
=
+
+
+
L
Transformata funkcji okresowej
( )
(
)
( )
,
1, 2,...,
0
dla
0
f t
f t
kT
k
f t
t
=
−
=
≡
<
f(t)
T
2T
t
T
f
T
(t)
t
T
f(t) – f
T
(t)
t
2T
( )
( )
(
) (
)
T
f t
f
t
f t
T
t
T
−
=
−
−
1
Niech
( )
{ }
( )
f t
F s
=
L
( )
{ }
( )
( )
{
}
( )
T
T
f t
F s
f
t
F
s
=
=
L
L
Wówczas
( )
( )
( )
e
sT
T
F s
F
s
F s
−
−
=
( )
( )
1 e
T
sT
F
s
F s
−
=
−
czyli
Przykład 7.
f(t)
t
1
1
3
2
T = 1
f
T
(t)
1
t
1
( )
( )
( ) ( )
sin π
sin π
1
1
T
f
t
t
t
t
t
=
⋅
+
− ⋅
−
1
1
( )
( )
{
}
(
)
2
2
π 1 e
π
s
T
T
F
s
f
t
s
−
+
=
=
+
L
( )
( )
{ }
( )
(
)
(
)(
)
2
2
π 1 e
1 e
π
1 e
s
T
s
s
F s
F s
f t
s
−
−
−
+
=
=
=
−
+
−
L
R
R
0
E
0
C
K
t = 0
u(t)
E
0
= const.
Warunek początkowy
( )
0
0
0
0
R
u
E
R
R
− = +
( )
0
d
1
1
,
0
d
u
C
u t
E
t
t
R
R
+
=
>
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
{ }
0
0
d
,
0
,
d
E
u
u t
U s
sU s
u
E
t
s
=
=
−
−
=
L
L
L
( ) ( )
( )
0
1
1
0
E
C sU s
u
U s
R
R s
−
− +
=
( )
( )
( )
0
0
0
0
1
1
0
1
1
sCR
E
Cu
R
R
R
R s
U s
E
sC
s sC
R
R
+
+
−
+
=
=
+
+
( )
( )
{
}
1
?
u t
U s
−
=
=
L
( )
(
)
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
sCR
R
R
R
R
U s
E
E
s
R
R
s
s sC
RC
R
+ +
=
=
−
+
+
+
( )
( )
1
0
0
1
e
t
RC
R
u t
E
t
R
R
−
=
−
+
1
Obliczanie transformat odwrotnych
Niech
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
,
,
— wielomiany,
st
st
L s
F s
L s
M s
L s
M s
n
M s
=
<
=
Ponadto
( )
(
)
1
n
k
k
M s
s
s
=
=
−
∏
Czyli pierwiastki mianownika (bieguny
funkcji F(s)) są jednokrotne
Wówczas F(s) moŜna rozłoŜyć na ułamki proste
Wówczas F(s) moŜna rozłoŜyć na ułamki proste
( )
1
n
k
k
k
c
F s
s
s
=
=
−
∑
( )
( )
{
}
( )
1
1
e
k
n
s t
k
k
f t
F s
c
t
−
=
=
=
∑
1
L
gdzie
(
) ( )
k
k
k
s s
c
s
s
F s
=
= −
Transformata odwrotna
Przykład 1.
( ) ( )( )( )
2
3
23
14
1
4
1
s
s
F s
s
s
s
+
+
=
+
+
−
( )
3
1
2
1
4
1
c
c
c
F s
s
s
s
=
+
+
+
+
−
(
) ( )
(
)(
)
2
1
1
3
23
14
1
1
4
1
s
s
s
c
s
F s
s
s
=−
+
+
= +
=
=
+
−
1
2
4
1
4
1
s
s
s
−
=
+
+
+
+
−
(
)(
)
(
) ( )
(
)(
)
(
) ( )
(
)(
)
1
1
2
2
4
4
2
3
1
1
4
1
3
23
14
4
2
1
1
3
23
14
1
4
1
4
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
c
s
F s
s
s
s
s
c
s
F s
s
s
=−
=−
=−
=−
=
=
+
−
+
+
= +
=
= −
+
−
+
+
= −
=
=
+
+
( )
(
)
( )
4
e
2e
4e
t
t
t
f t
t
−
−
=
−
+
1
Przykład 2.
( ) ( )
(
)
2
2
4
11
2
4
2
10
s
s
F s
s
s
s
+
−
=
+
+
+
( )
1
0
1
2
4
2
10
k s
k
c
F s
s
s
s
+
=
+
+
+ +
(
) ( )
1
4
4
1
s
c
s
F s
=−
= +
=
1
1
k
=
−
= +
⇒
= −
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0 :
3
3
20
4
10
3
1
1
1:
6
3
3
9
k
s
k
k
k
k
k
s
k
k
=
−
= +
⇒
= −
= −
− +
=
= −
− = +
⇒
− + = −
( )
(
)
(
)
2
2
2
1
3
3
1
1
3
3
2
4
4
2
10
1
9
1
9
s
s
F s
s
s
s
s
s
s
−
+
=
+
=
+
−
+
+
+ +
+
+
+
+
( )
(
) ( )
4
e
e
3cos3
2sin 3
t
t
f t
t
t
t
−
−
=
+
−
1
Niech
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
,
,
— wielomiany,
st
st
L s
F s
L s
M s
L s
M s
n
M s
=
<
=
( )
(
)
( )
1
1
,
st
k
m
m
k
k
k
k
M s
s
s
M s
n
α
α
=
=
=
−
= =
∑
∏
α
k
— krotność pierwiastka s
k
Rozkład na ułamki proste ma teraz postać
Rozkład na ułamki proste ma teraz postać
( )
(
)
1
1
k
m
kl
l
k
l
k
c
F s
s
s
α
=
=
=
−
∑∑
(
)
(
)
( )
1
d
! d
k
k
k
k
l
kl
k
l
k
s s
c
s
s
F s
l
s
α
α
α
α
−
−
=
=
−
−
PoniewaŜ
(
)
( )
( )
1
1
e
1 !
k
s t
l
kl
kl
l
k
c
c
t
t
l
s
s
−
−
=
−
−
1
L
( )
( )
{
}
( )
( )
1
1
e
k
k
m
s t
l
kl
c
f t
F s
t
t
α
−
−
=
=
=
∑∑
1
L
więc
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
e
1 !
e
1 !
k
k
k
s t
l
kl
k
l
m
s t
l
kl
k
l
f t
F s
t
t
l
c
t
t
l
α
−
−
=
=
−
=
=
=
=
=
−
=
−
∑∑
∑ ∑
1
1
L
Przykład 3.
( )
(
)(
)
3
1
2
1
s
F s
s
s
−
=
+
+
( )
(
) (
)
23
11
21
22
2
3
2
1
1
1
c
c
c
c
F s
s
s
s
s
=
+
+
+
+
+
+
+
(
) ( )
(
)
11
3
2
2
1
2
3
1
s
s
s
c
s
F s
s
=−
=−
−
= +
=
=
+
(
) ( )
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
2
3
23
1
1
3
22
2
2
1
1
1
2
3
21
2
2
3
1
1
1
1
1
2
2
2
1
d
3
1
3
d
2
2
1 d
1 d
3
3
1
3
2!
2 d
d
2
2
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
c
s
F s
s
s
s
c
s
F s
s
s
s
c
s
F s
s
s
s
s
=−
=−
=−
=−
=−
=−
=−
=−
=−
−
= +
=
= −
+
+ − −
=
+
=
=
=
+
+
−
=
+
=
=
= −
+
+
( )
(
) (
)
2
3
3
3
3
2
2
1
1
1
F s
s
s
s
s
=
−
+
−
+
+
+
+
( )
( )
{
}
(
)
( )
1
2
2
3e
3 3
e
t
t
f t
F s
t
t
t
−
−
−
=
=
+ − + −
1
L
Niech
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
,
,
— wielomiany,
st
st
L s
F s
L s
M s
L s
M s
n
M s
=
≥
=
( )
st L s
n
p
= +
Wówczas
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
,
st
st
p
i
i
L s
L s
F s
k s
L s
M s
M s
M s
=
=
+
<
∑
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
,
st
st
i
i
F s
k s
L s
M s
M s
M s
=
=
=
+
<
∑
( )
( )
δ
i
i
i
i
k s
k
t
≙
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
1
1
1
0
δ
p
i
i
i
L s
f t
F s
k
t
M s
−
−
=
=
=
+
∑
L
L
Przykład 4.
( )
3
2
2
6
14
11
4
4
s
s
s
F s
s
s
+
+
+
=
+
+
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
2
4 1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
s
s
F s
s
s
s
s
s
s
s
+
+ −
= + +
= + +
= + +
−
+
+
+
+
( )
( )
{
}
( )
( ) (
)
( )
1
2
δ
2
δ
2
e
t
f t
F s
t
t
t
t
−
−
′
=
=
+
+ −
1
L
Przykład 5.
Przykład 5.
( )
3
2
3
2
5
2
5
s
s
s
F s
s
s
s
+ + −
=
+
+
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
5
2
5 2
1
2
1
1
1
2
5
2
5
1
4
s
s
s
s
s
F s
s
s s
s
s s
s
s
+ +
+ + +
= −
= −
= − −
+ +
+ +
+
+
( )
( )
{
}
( )
(
)
( )
1
δ
1 e sin 2
t
f t
F s
t
t
t
−
−
=
=
− +
1
L
Niech
( )
( )
( )
( )
( )
1
e
,
i
k
i
st
i
i
i
i
L s
F s
s
s
M
s
Φ
Φ
−
=
=
=
∑
Wówczas
( )
{
}
( ) ( )
( )
{
}
(
) (
)
1
1
,
e
i
i
st
s
t
t
s
t
t
t
t
Φ
ϕ
Φ
ϕ
−
−
−
=
=
−
−
1
1
L
L
( )
{
}
(
) (
)
1
e
i
st
i
i
i
i
s
t
t
t
t
Φ
ϕ
−
−
=
−
−
1
L
( )
( )
{
}
(
) (
)
1
1
k
i
i
i
i
f t
F s
t
t
t
t
ϕ
−
=
=
=
−
−
∑
1
L
Przykład 6.
( )
(
)
2
2
e
1
s
s
F s
s
s
−
−
=
+
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
1
2
2
1
1
e
e
1
1
s
s
F s
s
s
s s
s
s
Φ
Φ
−
−
=
−
=
−
+
+
( ) ( )
( )
(
)
( )
1
1
1
1
1
1 e
,
1
1
t
s
t
t
s
s
s s
Φ
ϕ
−
=
= −
⇒
= −
+
+
1
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
1
1
1
2
2
2
2
2
1 e
,
1
1
0
1
1
1
1
1 e
,
1
1
2
t
s
t
t
s
s
s s
t
s
t
t
t
s
s
s
s
s
t
Φ
ϕ
Φ
ϕ
−
=
= −
⇒
= −
+
+
=
=
=
− +
⇒
= − +
+
+
=
1
1
( )
( )
{
}
(
)
( )
( )
(
)
2
1
1 e
3 e
2
t
t
f t
F s
t
t
t
− −
−
−
=
= −
− − +
−
1
1
L
Niech
( )
( )
1 e
sT
s
F s
Ψ
−
=
−
JeŜeli
to F(s) jest transformatą
funkcji okresowej f(t), która w przedziale 0
≤
t < T jest równa
( )
{
}
1
0
dla
s
t
T
Ψ
−
≡
>
L
( )
( )
{
}
1
.
T
f
t
s
Ψ
−
=
L
JeŜeli to F(s)
( )
{
}
1
0, czyli nie znika dla
s
t
T
Ψ
−
≠
>
L
JeŜeli to F(s)
nie jest transformatą funkcji okresowej. Wówczas
( )
{
}
0, czyli nie znika dla
s
t
T
Ψ
≠
>
L
( )
( )
(
)
2
3
1 e
e
e
sT
sT
sT
F s
s
Ψ
−
−
−
=
+
+
+
+
⋯
( )
( )
{
}
( ) ( )
(
) (
)
(
) (
)
1
2
2
f t
F s
t
t
t
T
t
T
t
T
t
T
ψ
ψ
ψ
−
=
=
=
+
−
−
+
−
−
+
1
1
1
⋯
L
( )
( )
{
}
1
t
s
ψ
Ψ
−
=
L
gdzie
Przykład 7.
( )
(
)
3
1 e
1 e
s
s
F s
s
−
−
−
=
−
( )
( )
{
}
( ) ( )
1
1 e
,
1
s
s
s
t
t
s
Ψ
Ψ
−
−
−
=
=
−
−
1
1
L
PoniewaŜ więc
( )
{
}
1
0
dla
3,
s
t
T
Ψ
−
≡
> =
L
( )
{
}
( )
1
T
s
f
t
Ψ
−
=
L
( )
( )
{
}
1
f t
F s
−
=
L
i jest funkcją okresową o okresie T = 3.
t
1
2
3
1
2
3
4
5
6
t
( )
( )
{
}
1
T
f
t
s
Ψ
−
=
L
( )
( )
{
}
1
f t
F s
−
=
L
1
1
Przykład 8.
( )
(
)
1
1 e
s
F s
s
−
=
−
( )
( )
{
}
( )
1
1
,
s
s
t
s
Ψ
Ψ
−
=
=
1
L
( )
( )
( )
{
}
( ) ( ) (
) (
)
2
3
1
1
e
e
e
1
2
3
s
s
s
F s
s
s
s
s
f t
F s
t
t
t
t
−
−
−
−
= +
+
+
+
=
=
+
− +
− +
− +
1
1
1
1
⋯
⋯
L
( )
( )
{
}
( ) ( ) (
) (
)
1
1
2
3
f t
F s
t
t
t
t
−
=
=
+
− +
− +
− +
1
1
1
1
⋯
L
( )
( )
{
}
1
f t
F s
−
=
L