1 kolokwium z Metod Probabilistycznych i Statystyki 2.04.2012 

Część zadaniowa 

Zadanie  1.  (4p)  Ile  można  utworzyć  liczb  parzystych  sześciocyfrowych  o  nie  powtarzających  się 
cyfrach i przy założeniu, że zero nie występuje na pierwszym miejscu. 

Zadanie  2.  (4p)  Dwie  osoby  X  i  Y  umówiły  się  na  spotkanie  w  określonym  miejscu  między  godziną 
12:30  i  13:30  w  ten  sposób,  że  osoba  która  przyjdzie  pierwsza  czeka  jedynie  10  minut,  po  czym 
odchodzi.  Obliczyć  prawdopodobieństwo,  że  osoby  X  i  Y  spotkają  się,  jeśli  każda  z  nich  przychodzi 
losowo w podanym przedziale czasu i niezależnie od siebie. 

Zadanie  3.  (4p)  Na  rys.1,  gdzie  z

1

,  z

2

,  z

3

,  oznaczają  żarówki,  dany  jest  schemat  fragmentu  sieci 

elektrycznej. Prawdopodobieństwo nieprzepalenia się w czasie  t godzin jest dla wszystkich żarówek 
jednakowe  i  wynosi  p.  Zakładając,  że  żarówki  przepalają  się  niezależnie  od  siebie,  obliczyć 
prawdopodobieństwo ciągłego przepływu prądu w czasie t. 

 

Zadanie 4. (4p) Na linii łączności nadaje się dwa rodzaje sygnałów w postaci kodowych kombinacji 11 
albo  00  z  prawdopodobieństwami  (a  priori)  odpowiednio  równymi  0.6  i  0.4.  Sygnały  podlegają 
losowym  zakłóceniom,  w  rezultacie  czego  symbol  1  może  być  odebrany  jako  0  z 
prawdopodobieństwem 0.2, i z takim samym prawdopodobieństwem symbol 0 może być odebrany 
jako  1.  Zakładamy,  że  symbole  1  i  0  ulegają  zakłóceniom  niezależnie  jeden  od  drugiego.  Obliczyć 
prawdopodobieństwa: a) odebrania na wyjściu sygnału 00, b) na wyjściu odebrano sygnał 01, jakie 
jest prawdopodobieństwo, że został on nadany jako sygnał 00. 

Zadanie 5. (4p)  Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: 

x

i

 

–5 

–2 

0 

1 

3 

5 

p

i

 

0.1 

0.2 

0.1 

0.2 

c 

0.1 

 
Obliczyć:  a)  stałą  c,  b)  dystrybuantę  i  sporządzić  jej  wykres,  c)  prawdopodobieństwa:  P(X = 1), 
P(X = 2), P(X < 3), P(–2 ≤ X < 3) 

Część teoretyczna 

Pytanie 1. Podaj definicję i właściwości dystrybuanty zmiennej losowej. (5p) 

Pytanie 2. Podaj definicję i właściwości gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej. (3p.) 

Pytanie 3. Podaj i omów częstościową definicję prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. (2p.)