1 kolokwium z Metod Probabilistycznych i Statystyki 2.04.2012 

Część zadaniowa 

Zadanie 1. (4p) Ile można utworzyć liczb parzystych pięciocyfrowych o nie powtarzających się cyfrach 
i przy założeniu, że zero nie występuje na pierwszym miejscu. 

Zadanie 2. (4p) Dwie osoby X i Y umówiły się na spotkanie w określonym miejscu między godziną 12 i 
13 w ten sposób, że osoba która przyjdzie pierwsza czeka jedynie 30 minut, po czym odchodzi. Obli-
czyć prawdopodobieństwo, że osoby X i Y spotkają się, jeśli każda z nich przychodzi losowo w poda-
nym przedziale czasu i niezależnie od siebie. 

Zadanie 3. (4p) Na rys.1, gdzie z

1

, z

2

, z

3

, oznaczają żarówki, dany jest schemat fragmentu sieci elek-

trycznej. Prawdopodobieństwo nieprzepalenia się w czasie t godzin jest dla wszystkich żarówek jed-
nakowe i wynosi p. Zakładając, że żarówki przepalają się niezależnie od siebie, obliczyć prawdopodo-
bieństwo ciągłego przepływu prądu w czasie t. 

 

Zadanie 4. (4p) Na linii łączności nadaje się dwa rodzaje sygnałów w postaci kodowych kombinacji 11 
albo 00 z prawdopodobieństwami (a priori) odpowiednio równymi 0.8 i 0.2. Sygnały podlegają loso-
wym zakłóceniom, w rezultacie czego symbol 1 może być odebrany jako 0 z prawdopodobieństwem 
0.1,  i  z  takim  samym  prawdopodobieństwem  symbol  0  może  być  odebrany  jako  1.  Zakładamy,  że 
symbole 1 i 0 ulegają zakłóceniom niezależnie jeden od drugiego. Obliczyć prawdopodobieństwa: a) 
odebrania na wyjściu sygnału 11, b) na wyjściu odebrano sygnał 01, jakie jest prawdopodobieństwo, 
że został on nadany jako sygnał 11. 

Zadanie 5. (4p)  Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: 

x

i

 

–5 

–2 

0 

1 

3 

8 

pi 

0.1 

0.2 

0.1 

0.2 

c 

0.1 

 
Obliczyć:  a)  stałą  c,  b)  dystrybuantę  i  sporządzić  jej  wykres,  c)  prawdopodobieństwa:  P(X = 1), 
P(X = 2), P(X < 3), P(–2 ≤ X < 3) 

Część teoretyczna 

Pytanie 1. Podaj i opisz twierdzenie Bayesa dla zdarzeń losowych. (3p.) 

Pytanie 2. Jak można obliczyć prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową ciągłą wartości z 
przedziału <a,b)? Podaj interpretację geometryczną. (3p.) 

Pytanie 3. Czy dwa zdarzenia losowe, które są rozłączne są niezależne? Odpowiedź uzasadnij. (4p.)