Kolokwium nr 1 – przykładowy zestaw nr 1 

Blok 1. 

Zadanie 1. (3 pkt) Oblicz całkę 

∫

𝑑𝑥

𝑥ln𝑥

e

1

 

 

Zadanie 2. (4 pkt) Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi 

𝑦 =

1

𝑥

2

− 4𝑥 + 8

,

𝑦 = 0 

 

 

Blok 2.  

Zadanie 1. (3 pkt) Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach 𝐴 = (0,2,4), 𝐵 = (1, −1,0), 𝐶 = (1,2,3). 
 
Zadanie 2. (4 pkt) Napisz równania prostej prostopadłej do prostych 𝑙

1

, 𝑙

2

 przechodzącej przez punkt 

𝐴, jeśli 

𝑙

1

: {

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 3 = 0
2𝑥 + 𝑧 + 1 = 0

,

𝑙

2

: {

𝑥 = 𝑡
𝑦 = −2 + 𝑡
𝑧 = 1 + 2𝑡

𝑡 ∈ ℝ, 𝐴 = (2,1,0) 

 

Blok 3.  

Zadanie  1.  (3  pkt)  Przedsiębiorstwo  wytwarza  wyroby  𝐴,  𝐵.  Limity  dziennego  zużycia  dwóch 
surowców  wynoszą  odpowiednio:  surowiec  I  –  84  kg,  surowiec  II  –  120  kg,  surowiec  III  –  150  kg.  
W tabeli podano jednostkowe zużycie surowców na produkcję wyrobów. 

Surowce 

Jednostkowe nakłady 

𝐴 

𝐵 

I 

2 

1 

II 

3 

1 

III 

2 

4 

Zysk osiągany na jednostce  wyrobu  𝐴  wynosi 30  zł,  na jednostce  wyrobu  𝐵  wynosi 20  zł. Wyznacz 
optymalne  wielkości  produkcji  poszczególnych  wyrobów  tak,  aby  zysk  był  maksymalny.  Podaj 
maksymalny zysk. 
 
Zadanie 2. (4 pkt) Wyznacz, o ile istnieją, ekstrema lokalne funkcji 

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + ln(4 − 𝑦 − 𝑥

2

) 

 
 

 

Kolokwium nr 1 – przykładowy zestaw nr 2 

Blok 1. 

Zadanie 1. (3 pkt) Oblicz całkę 

∫ 𝑥e

−𝑥

2

+∞

1

𝑑𝑥 

 

Zadanie 2. (4 pkt) Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dokoła osi 𝑂𝑥 figury ograniczonej 
liniami 

𝑦 =

1

√𝑥ln𝑥

dla 𝑥 > e

2

, 𝑥 = e

2

, 𝑦 = 0 

 

 

Blok 2. 

Zadanie 1. (3 pkt) Oblicz sin ∢(𝑢

⃗ , 𝑣 ), jeśli 𝑢

⃗  = [1,0,2] i 𝑣  = [1,3, −2]. 

 

Zadanie 2. (4 pkt) Sprawdź czy proste 𝑙

1

, 𝑙

2

 są równoległe lub prostopadłe 

𝑙

1

: {

𝑥 = −2 − 𝑡
𝑦 = 1 + 3𝑡
𝑧 = 1

𝑡 ∈ ℝ, 𝑙

2

: {

𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 2 = 0

 

 

Blok 3. 

Zadanie 1. (3 pkt) Oszacuj maksymalny błąd względny jaki można popełnić obliczając objętość stożka  
o promieniu podstawy 𝑟 i wysokości ℎ ze wzoru 

𝑉 =

1
3

𝜋𝑟

2

ℎ, 

jeżeli  maksymalne  błędy  pomiarów  długości  promienia  podstawy  i  wysokości  stożka  wynoszą 
odpowiednio 𝛿𝑟 = 0,2 i 𝛿ℎ = 0,2 oraz ponadto 𝑟 = 8, ℎ = 12. 

 

Zadanie 2. (4 pkt) Wyznacz, o ile istnieją, ekstrema lokalne funkcji 

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦

2

)e

−𝑥

 

 

 

 

 

Kolokwium nr 1 – przykładowy zestaw nr 3 

Blok 1. 

Zadanie 1. (3 pkt) Oblicz całkę 

∫

𝑑𝑥

√4𝑥 − 𝑥

2

4

0

𝑑𝑥 

 

Zadanie 2. (4 pkt) Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi 

𝑦 =

1

𝑥ln

2

𝑥

dla

𝑥 ≥ e, 𝑥 = e, 𝑦 = 0 

 

 

Blok 2. 

Zadanie 1. (3 pkt) Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, jeśli 

𝐴 = (1, −2,0), 𝐵 = (2,0, −1), 𝐶 = (2,1,3) 

 

Zadanie 2. (4 pkt) Napisz równania parametryczne i krawędziowe prostej 𝑙, jeśli 

𝑙: 3𝑥 − 6 =

1 + 𝑦

−2

=

3 − 4𝑧

2

 

 

Blok 3. 

Zadanie 1. (3 pkt) Wyznacz i naszkicuj dziedzinę funkcji 

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −

ln(𝑧 − 𝑥

2

− 𝑦

2

)

√1 − 𝑧

 

 

Zadanie 2. (4 pkt) Przedsiębiorstwo prowadzi hodowlę kur, które żywione są dwoma rodzajami pasz 
𝑃

1

, 𝑃

2

. Wiadomo, że kury muszą mieć dostarczane dwa podstawowe składniki diety w odpowiednich 

ilościach.  Minimum  spożycia  składnika  𝐴  wynosi  32  kg  dziennie,  a  minimum  spożycia  składnika  𝐵 
wynosi 12  kg  dziennie  (dla  stada).  100  kg  paszy  𝑃

1 

zawiera  30  kg  składnika  𝐴  i  10  kg  składnika  𝐵,  

a 100 kg paszy 𝑃

2 

zawiera 10 kg składnika 𝐴 i 4 kg składnika 𝐵. 50 kg paszy 𝑃

1 

kosztuje 200 zł, a 50 

kg  paszy  𝑃

2 

kosztuje  75  zł.  Ponadto  wiadomo,  że  maksymalna  dzienna  ilość  spożycia  paszy  przez 

stado  kur  wynosi  250  kg

.

  Ile  należy  dostarczyć  dziennie  pasz,  aby  stado  kur  miało  zapewnione 

niezbędne składniki diety przy minimalnym koszcie zakupu pasz i jaki będzie koszt zakupu tych pasz?