mechanika plynow opracowanie zagadnien

ALICZENIE

MECHANIKI PŁYNÓW

Przedmiot mechaniki płynów. Pojęcia podstawowe

Klasyfikacja płynów

Pojęcie lepkości. Miary lepkości. Jednostki

Metody pomiaru ciśnienia. Wakuometry, barometry, manometry. Jednostki ciśnienia

Warunek równowagi. Powierzchnie stałego potencjału. Paradoks hydrostatyczny

Równowaga względna. Powierzchnie stałego potencjału. Przykłady równowagi względnej

Napór na ściany płaskie. Współrzędne środka naporu

Napór na ściany zakrzywione. Współrzędne środka naporu

Zjawisko wyporu. Odkrycie Archimedesa (czas, epoka i miejsce)

10.

Stany stateczności pływania. Metacentrum i odległość metacentryczna

11.

Kinematyka płynów. Cele, zadania, parametry kinematyczne

12.

Metoda Eulera i Lagrange'a w kinematyce płynów

13.

Pochodna wędrowna. Operator Stokesa, przyśpieszenie elementu płynu

14.

Pojęcie cyrkulacji. Interpretacja fizyczna i analogia

15.

Równania toru i linii prądu, rurka i powierzchnia prądu, struga

16.

Przepływy potencjalne. Funkcja prądu i potencjału, jej interpretacja. Potencjał zespolony

17.

Przepływy elementarne. Superpozycja przepływów

18.

Zasada zachowanie masy. Równanie ciągłości

19.

Zasada zachowania pędu. Równanie Eulera i Naviera – Stokesa

20.

Równanie Daniela Bemoulliego dla płynu doskonałego, rzeczywistego i gazów

21.

Formalizm matematyczny, zastosowania

22.

Przygotować wykaz zagadnień opracowanych samodzielnie (poza wykładem i ćwiczeniami)

1. Przedmiot mechaniki płynów. Poj

cia podstawowe

Zagadnienia mechaniki płynów wyst

puj

niemal we wszystkich dziedzinach techniki,

dzy innymi:

- lotnictwie;

- maszynach przepływowych (turbiny, spr

ęż

arki, pompy); - przepływowych układach regulacji

automatycznej;

- układach hydrauliki siłowej, - itd..

Mianem płynów okre

lamy te ciała wyst

puj

ce w przyrodzie, które w odró

nieniu od

ciał stałych zmniejszaj

swe kształty w sposób trwały pod działaniem dowolnie małych sił

mechanicznych, je

li działanie tych sił trwa dostatecznie długo.

Płyny dzielimy na ciecze i gazy.

Cieczami nazywamy te spo

ród płynów, które zmieniaj

bardzo nieznacznie sw

obj

ść

pod działaniem nawet bardzo wielkich sił mechanicznych. Inaczej mówimy,

e ciecze

nie

liwe.

Gazami nazywamy te płyny, które pod działaniem sił mechanicznych zmieniaj

swe

obj

ci bardzo znacznie. Mówimy równie

e gazy s

to płyny

liwe.

Przedmiotem mechaniki płynów jest badanie zjawisk wyst

puj

cych podczas ruchu,

spoczynku płynów, ze zwróceniem uwagi na oddziaływanie płynów na

cianki ciał stałych

ograniczaj

cych płyn i

cianki ciał zanurzonych całkowiciew płynie.

Zadaniem mechaniki płynów jako dyscypliny podstawowej jest poznanie praw

cych spoczynkiem i ruchem płynów oraz stworzenie podstaw teoretycznych

i do

wiadczalnych dla całego szeregu dziedzin specjalistycznych.

W zale

ci od rodzaju u

ytych kryteriów mechanik

płynów mo

na podzieli

na:

1. hydromechanik

, to znaczy mechanik

cieczy;

- mechanik

cieczy idealnej;

- mechanik

cieczy rzeczywistej;

2. aeromechanik

, to znaczy mechanik

gazu. Ponadto mechanik

płynów dzieli si

na:

- statyk

;

- kinematyk

;

- dynamik

Statyka płynów jest nauk

o zjawiskach zachodz

cych podczas spoczynku cieczy

i gazów.

Kinematyka płynów zajmuje si

analiz

ruchu w oderwaniu od wyst

puj

cych sił.

Dynamika płynów, czyli dynamika cieczy (hydrodynamika) i dynamika gazów (aerodynamika),

jest nauk

o ruchu cieczy i gazów w powi

zaniu z wyst

puj

cymi siłami.

Istnieje równie

inny podział mechaniki płynów, a mianowicie w oparciu o własno

dyssypatywne płynów. Bior

c za podstaw

wła

ciwo

ci takie jak lepko

ść

i przewodno

ść

ciepln

na podzieli

mechanik

płynów na tak zwan

mechanik

płynów doskonałych

opart

o model płynu nielekkiego i nie przewodz

cego ciepła i na mechanik

płynów

rzeczywistych.

Z podziałem mechaniki płynów wi

ąż

e si

poj

cie hydrauliki. Jest ona najstarszym

historycznie działem mechaniki cieczy i opiera si

na modelu jednowymiarowego przepływu

cieczy lepkiej i nie

liwej. Model ten polega na stosowaniu empirycznych współczynników

ujmuj

cych straty tarcia w przepływie cieczy. Przez mechanik

płynów rozumiemy nauk

zajmuj

badaniem ruchów płynów ( cieczy i gazów b

cych pod działaniem sił ).

W obliczeniach stosuje si

przybli

one modele dotycz

ce idealnych, cieczy

rzeczywistych, gazów pół-doskonałych i rzeczywistych.

Prekursorami w dziedzinie mechaniki płynów byli Newton, który sformułował pojecie

lepko

ci, Euler jako pierwszy napisał ró

niczkowe równania cieczy i Archimedes staro

ytny

konstruktor, który zbudował maszyn

, na jego cz

ęść

nazwan

" Spiral

Archimedesa " ,

słu

żą

do wymuszania przepływu cieczy.

2. Klasyfikacja płynów

Płyn nielepki i nie

liwy - zwany idealnym.

Jego definicja wynika wprost z definicji cieczy idealnej

Mówimy,

e płyn jest nie

liwy, je

li jego współczynnik

liwo

ci k równa si

zero.

Współczynnik

liwo

ci oznacza si

wzorem.

Wyra

a on zmian

sto

σσσσ

pod wpływem zmiany ci

nienia p

Jak wiemy ciecze s

nieznacznie

liwe, to znaczy, ich współczynnik

liwo

ci jest

bardzo mały, podobnie zachowuj

równie

gazy przy małych pr

dko

ciach. Opisuj

przepływ cieczy, oraz przepływ gazu przy małych pr

dko

ciach, mo

emy przyj

ąć

stał

warto

ść

sto

ci.

Ten typ płynu opisuje równanie Eulera

gradp

−

Definicja lepko

ci znajduje si

w dalszej cz

ęś

ci rozprawki.

Płyn lepki i nie

liwy

Modelem płynu lepkiego i nie

liwego badamy przepływy w warstwie przy

ciennej.

Warstwa przy

cienna charakteryzuje si

tym,

e gradienty pr

dko

ci przepływu, s

w niej bardzo du

e, oddalaj

c si

cianek w gł

b strumienia pr

dko

ci te gwałtownie

rosn

. Poza warstw

przy

cienn

gradienty pr

dko

ci s

bardzo małe.

∇

−

gradp

∇

W obszarze warstwy przy

ciennej napr

ęż

enia styczne, uzyskuj

znaczne warto

ci,

niezale

nie od lepko

ci płynu jest niewielka, ze wzgl

dem na gradienty pr

dko

ci napr

ęż

enia

styczne s

pomijalnie małe. Ten typ płynu opisuje równanie:

Płyn nielepki i

liwy

Modelem tego płynu posługujemy si

w dynamice gazów. Jest to nauka zajmuj

ca si

przepływami z du

ymi pr

dko

ciami.

Poniewa

zachodz

wyra

ne zmiany g

sto

ci s nale

y uwzgl

dni

zale

ść

p od ci

nienia

i temperatury. Tymi zale

ciami zajmuje si

termodynamika. Powi

zania z termodynamik

mog

daleko bardziej id

ce np.: w przepływach w których doprowadzamy lub

odprowadzamy ciepło lub prac

. Gazy s

płynami ekspansywnymi, to znaczy zajmuj

cał

woln

przestrze

, w której s

zamkni

te.

Płyn lepki i

liwy

Charakteryzuje si

lepko

i niewielk

liwo

, jest modelem płynów rzeczywistych

wyst

puj

cych w przyrodzie. Na tym modelu bazuj

najbardziej ogólne i

cisłe rozwi

zania.

Jednak

e przy rozwi

zywaniu równa

opisuj

cych ten typ płynu napotykamy na ogromne

trudno

ci, głównie natury matematycznej, ze wzgl

du na du

y stopie

skomplikowania tych

równa

Obserwuj

c zjawisko przepływu płynów zauwa

amy,

e jest ono ogromnie

skomplikowane. Opisanie tak zło

onych zjawisk nie jest łatwe. Dlatego te

ze wzgl

du na

trudno

ci w ich rozwi

zywaniu staramy si

je nieco upro

, pomijaj

c te wielko

ci które

w stosunku do pozostałych s

bardzo małe.

3. Poj

cie lepko

ci. Miary lepko

ci. Jednostki

Hipoteza Newtona

Płyny rzeczywiste wykazuj

zdolno

ść

przenoszenia napr

ęż

stycznych, przy czym

napr

ęż

enia

powstaj

dzy

siednimi

warstwami

płynu

poruszaj

cymi

z ró

nymi pr

dko

ciami. Napr

ęż

enia styczne powstaj

równie

pomi

dzy poruszaj

cym si

płynem i ciałem stałym, nie wyst

puj

natomiast w czasie spoczynku, lub w płynie

poruszaj

cym si

z wyrównan

dko

przepływu w całym przekroju. Zgodnie

z hipotez

Newtona, napr

ęż

enia styczne i wyst

puj

ce mi

dzy s

siednimi warstwami, lub

elementami płynu s

proporcjonalne do przyrostu pr

dko

ci w kierunku normalnym do

kierunku przepływu. Sytuacje t

przedstawia rysunek numer 1, oraz opisuje poni

szy wzór.

∂

gdzie:

- napr

ęż

enia styczne;

- współczynnik lepko

ci dynamicznej, zwany lepko

dynamiczn

Rys.1. Ilustracja do równania opisuj

cego hipotez

Newtona

Pojecie lepko

ci dynamicznej

Lepko

ść

dynamiczna

jest funkcj

temperatury, ci

nienia i rodzaju płynu. Zale

ść

lepko

ci płynu od ci

nienia jest nieznaczna, i ro

nie bardzo wolno wraz z jego wzrostem,

a jedynym wyj

tkiem jest woda, która w zakresie poni

ej 32°C maleje ze wzrostem ci

nienia.

Zale

ść

lepko

od temperatury jest natomiast bardzo znaczna i zupełnie odmienna dla

cieczy i gazów. Zale

ść

ilustruje rysunek 2 . lepko

ść

dynamiczna

cieczy maleje ze

wzrostem temperatury. Wynika z tego,

e w cieczach ruch molekuł jest stosunkowo mało

intensywny, wobec czego napr

ęż

enia styczne powstaj

głównie w skutek molekularnych sil

spójno

ci; przy wzro

cie temperatury rosn

odległo

ci pomi

dzy molekułami, a zatem malej

siły spójno

ci. W gazach, jak mo

emy wnioskowa

z rysunku jest na odwrót.

Rys.2. Zale

ść

lepko

ci od temperatury

Jednostka lepko

ci dynamicznej

w układzie SI wynika z równania Newtona:









Pojecie lepko

ci kinematycznej

Współczynnik lepko

ci kinematycznej, zwany lepko

kinematyczn

, okre

lony jest

wzorem:

Jednostk

lepko

ci kinematycznej jest:

1stokes [1St]=

−

W u

yciu s

stosowane jednostki mniejsze, takie jak:

1centistokes [1cSt]

Poza układem SI dla okre

lenia lepko

ci u

ywa si

szeregu innych jednostek, takich

- stopie

Eulera [E];

- sekunda Redwood'a [R sek];

- i inne.

Jednostki te wynikaj

ze sposobu pomiaru i rodzaju u

ytej aparatury.

4. Metody pomiaru ci

nienia.

Manometry, barometry, wakuometry. Jednostki ci

nienia

Przyrz

dy do pomiaru ci

nie

Przyrz

dy do pomiaru ci

nienia mierz

nie jego warto

ść

lecz ró

nice tej warto

i warto

ci ci

nienia odniesienia. Ci

nieniem odniesienia najcz

ęś

ciej jest:

- pró

nia absolutna (bezwzgl

dna);

- ci

nienie panuj

ce aktualnie w miejscu i czasie pomiaru.

Ogólnie przyrz

dy do pomiaru ci

nie

nazywaj

nieniomierzami. Przyrz

dy do

pomiaru ci

nie

absolutnych nazywaj

barometrami i ci

nieniomierzami ci

nienia

absolutnego, nad ci

nie

- manometrami, a podci

nie

wakuometrami. Poza tym wyró

nia si

jeszcze ci

nieniomierze (manometry) ró

nicowe - do pomiaru ró

nicy ci

nie

. Poni

szy

rysunek przedstawia wy

ej wymienione zale

ci w sposób graficzny.

Rys.3. Rodzaje ci

nie

Manometry

Dzielimy je na:

- hydrostatyczne ( cieczowe )

- pr

ęż

ne ( rurkowe lub przeponowe )

- przeponowe

Elementem pr

ęż

nym tego manometru jest przepona (0) płaska lub falista. Pod wpływem

nienia p przepona ulega odkształceniu. Odkształcenie to przenosi si

przez przekładni

(S)

na wskazówk

(W)

Poni

szy rysunek przedstawia zasad

działania manometru.

Metoda pomiaru manometrem

Manometr (1) mierzy ci

nienie statyczne ps płynu (wektor pr

dko

ci w płynie jest styczny do

otworu wlotowego manometru). Je

eli otwór wlotowy manometru jest prostopadły do wektora

dko

ci w, to manometr (2) wska

e wzrost ci

nienia. Wzrost ten jest wywołany zmian

energii kinetycznej płynu o pr

dko

ci w i g

sto

ci p na energi

potencjaln

, jest ci

nieniem

kinematycznym i zwyczajowo nazywamy je ci

nieniem dynamicznym

Barometr

Barometr - przyrz

d do pomiaru ci

nienia atmosferycznego. Pierwszy tak zwany barometr

ciowy został wynaleziony w roku 1643 przez E. Torricellego w zwi

zku z jego badaniami

nad ci

nieniem sferycznym. Barometr rt

ciowy został ulepszony w 1665 przez R. Hook'ea

który wprowadził podziałk

umo

liwiaj

bezpo

rednie odczytywanie wielko

ci.

Poni

szy rysunek przedstawia zasad

działania barometru.

Barometr

wykorzystuje

pomiaru

nie

barometrycznych.

Do zbiorniku (1) wstawiona jest szklana rurka manometryczna (2), z której uprzednio

wypompowano cale powietrze, do stanu pró

ni absolutnej. W przestrzeni pomi

dzy jej

górnym zamkni

tym ko

cem, a meniskiem rt

ci panuje pró

nia Torrcelleogo (3) pró

nia

bezwzgl

dna Poło

enie słupka rt

ci okre

la ci

nienie barometryczne (otoczenia) pb.

Wynaleziony

barometr

odegrał

podstawowe

znaczenie

dla

rozwoju

metrologii.

B. Pascal powtarzaj

c i kontynuuj

c badania Torricellego, zauwa

ył,

e ci

nienie

atmosferyczne zale

y nie tylko od wysoko

ci miejsca, w którym przyrz

d si

znajduje, ale

tak

e od stanu pogody.

Wakuometr

Wakuometr jest ci

nieniomierzem słu

żą

cym do pomiaru podci

nie

. Zasada działania i

budowa nie ró

od manometrów pr

ęż

nych i hydrostatycznych. Cz

sto wykonuje si

manometry pr

ęż

ne, które mog

słu

do pomiaru nadci

nie

i podci

nie

. Nazywamy je

mano-wakuometrami.

Jednostki ci

nienia.

W układzie jednostek miar SI główn

jednostk

nienia jest Pascal ( Pa ) czyli niuton na

metr kwadratowy

Pascal jest jednostk

mał

, dlatego w praktyce stosuje si

megapascal

1MPa =10

oraz bar

1bar =10

Dawniej manometry skalowano w atmosferach technicznych, czyli kilogramach siły na

centymetr kwadratowy.

80665

sto mierzy si

nienie za pomoc

wysoko

ci słupa cieczy

Przy małych ci

nieniach wzgl

dnych cz

sto mierzy si

nienie za pomoc

wysoko

ci słupa

wody:

mmH

80665

Przy wi

kszych ci

nieniach wzgl

dnych cz

sto mierzy si

nienie za pomoc

wysoko

słupa rt

ci ( Hg )

Tor ( Tr ) jest jednostk

nienia równ

nieniu wywieranemu w pró

ni przez słup rt

o wysoko

ci 1 mm i temperaturze 0°C przy normalnym przyspies zeniu ziemskim.

= 9,8066









1 Tr = 1 mm Hg = 133,3224 Pa

Jako normalne ci

nienie fizyczne przyj

to ci

nienie jednej atmosfery fizycznej

Pn = 1 atm = 760 Tr = 101325 Pa

Wnioski

Nauka mechaniki płynów skłania nas do rozwa

nad procesami zachodz

cymi obok nas,

a nawet w nas. Układ krwiono

ny jest takim specyficznym układem hydrodynamicznym.

Układ krwiono

ny jest takim specyficznym układem hydrodynamicznymi, w którym zachodzi

wiele przemian. Wiemy ze ci

nienie jaki temperatura krwi nie jest stała a co si

z tym wi

ąż

jej g

sto

ść

jest zmienna. St

d te

wyznaczenie relacji krew - zastawki jest ogromnie

skomplikowane, ale ciekawe.

Wchodz

c w XXI wiek coraz bardziej modne staje si

pozyskiwanie energii

w sposób ekologiczny. Jednym ze sposobów pozyskiwania energii ekologicznej jest

budowanie elektrowni wodnych, zarówno szczytowo - pompowych jak i zaporowych.

Dziedzina hydroenergetyki wi

ąż

e si

le z mechanik

płynów. Projektowanie tych

elektrowni wymaga bowiem znajomo

ci praw rz

cych cieczami, jak na przykład: prawa

naporu hydrostatycznego, i innych, bez których wykorzystanie energii tkwi

cej

w cieczach byłoby niemo

liwe.

5 i 6. Warunek równowagi , równowaga wzgl

dna, powierzchnie stałego

potencjału

W hydrostatyce modele cieczy lepkiej i idealnej s

równowa

ne sobie. Rozpatruj

równowag

ciała płynnego poddanego działaniu sił powierzchniowych mo

emy okre

jego

stan napi

cia przy pomocy tensora napr

ęż

enia, podstawiaj

c w nim zerowe warto

napr

ęż

stycznych.













i,j=x,y,z

W przypadku cieczy w której nie uwzgl

dniamy sił masowych , tensor napr

ęż

tworzy

przynale

mu struktur

, poniewa

wszystkie składowe tensora s

sobie równe.

Otrzymali

my w ten sposób twierdzenie które w hydrostatyce nosi nazw

prawa

Pascala. Ustalmy element płynu P(x,y,z) za pomoc

prostopadło

cianu o wymiarach dx,dy,dz

cianach zorientowanych równolegle do osi układu współrz

dnych, a ponadto funkcja

nienia p(x,y,z) jest niewiadom

Układamy warunki równowagi na kolejne osie układu współrz

dnych

)

(

−

dydz

pdydz

XdV

)

(

−

dxdz

pdxdz

YdV

)

(

−

dxdy

pdxdy

ZdV

Po podstawieniu otrzymujemy

−

Otrzymali

my w ten sposób równanie równowagi płynu pozostaj

cego w spoczynku lub

ogólnie warunki równowagi płynów

Powy

sze równania mo

na zast

równaniem wektorowym

−

)

(

−

= 0

(1)

−

gradp

Skalarne pole ci

nie

na wyznaczy

całkuj

c te równania, otrzymamy wtedy

szukan

funkcj

p(x,y,z). Je

li funkcja ta jest stała to otrzymujemy powierzchni

stałego

nienia nazywane powierzchniami izobarycznymi. Stwierdzamy ,

e wektor siły obj

ciowej

jest prostopadły w ka

dym punkcie powierzchni izobarycznej prostopadły do niej.

Na podstawie (1) mo

na wyprowadzi

prawo Pascala :

li (1) pomno

przez przyrost wektora promienia , to otrzymamy

gradpd

(2)

Niech F b

dzie sił

potencjaln

. Wtedy musi istnie

takie U(x,y,z) ,

e F=-gradU (3).

Uwzgl

dniaj

c ( 1 ) i (2) otrzymujemy

gradUdr

−

li p=const , to mo

emy to scałkowa

i otrzymamy

const

Jedynie siły masowe s

w stanie wywoła

równowag

cieczy nie

liwej.

W szczególnym przypadku gdy p=const ( dp=0 ) , to pdU=0 ~ U=const. Czyli powierzchnie

stałego ci

nienia s

równie

powierzchniami ekwipotencjalnymi.

Wyra

enie w nawiasie jest równe zupełnej dU, st

dp=

*dU

Z równania tego wynika,

e dla dp=0 jest dU=0. Oznacza to,

e powierzchnie jednakowego

nienia (dp=0, p=const), czyli powierzchnie izobaryczne, s

w polu sił masowych

jednocze

nie powierzchniami stałego potencjału (dU=0, U=const), czyli powierzchniami

ekwipotencjalnymi.

Powierzchnie ekwipotencjalne z natury rzeczy nie mog

wzajemnie przecina

i ka

da z nich jest albo powierzchni

zamkni

, albo ko

czy si

cianie zbiornika

(naczynia). Swobodne powierzchnie cieczy, czyli powierzchnie oddzielaj

ce cieczy od gazu,

oczywi

cie powierzchniami ekwipotencjalnymi.

Dla powierzchni ekwipotencjalnych (dU=0) z równania wy

ej wynika,

e siły masowe przy

przesuni

ciu wzdłu

tych powierzchni nie wykonuj

adnej pracy (X*dx=Y*dy=Z*dz=0).

Parcie cieczy na powierzchnie

cian

Parcie jest to siła, jak

wywiera ciecz w spoczynku na dowolnie zorientowan

powierzchni

. Rozwa

ania obejm

parcie na powierzchnie płask

i zakrzywion

Powierzchnia płaska lub

ciana płaska jest w ogólnym przypadku nazywana

płaszczyzn

pochylon

pod k

tem

wzgl

dem poziomu (rys. 4) za

w szczególnych

przypadkach – płaszczyzn

pionow

lub poziom

)

(

∂

)

(

∂

Rys 4. Parcie cieczy na

cian

płask

W przypadku zbiornika (naczynia) otwartego, ci

nienie atmosferyczne P

nie jest

uwzgl

dniane, gdy

działa ono jednocze

nie tak

e na zewn

trzn

stron

ciany.

W przypadku zbiornika (naczynia) zamkni

tego nale

y uwzgl

dni

ewentualn

ró

nic

nie

, jaka istnieje pomi

dzy czynnikami gazowymi wewn

trz i na zewn

trz.

Parcie F na płaszczyzn

pochyła A, o

rodku ci

ęż

ci S i współrz

dnych

rodka

ęż

ci Xs, Ys, Zs, wynosi

gdzie

∫∫

z*dA=z

*A – moment statyczny powierzchni A wzgl

dem powierzchni cieczy

– ci

nienie hydrostatyczne na gł

boko

ci z

rodka ci

ęż

ci S.

Powierzchnie zakrzywione

Parcie na powierzchnie zakrzywione sprowadza si

w ogólnym przypadku do skr

tnika,

tzn. parcia wypadkowego i pary sił, wzgl

dnie do dwóch sił sko

nych. Tak wi

c utrzymanie

zakrzywionej powierzchni w równowadze wymaga przyło

enia nie tylko siły przeciwnej parciu,

ale i pary sił o odpowiednim momencie.

Znalezienie parcia polega praktycznie na znalezieniu jego rzutów na kierunki osi

współrz

dnych. W tym celu zostanie przyj

ty układ współrz

dnych prostok

tnych,

w którym osie X, Y le

żą

na swobodnej powierzchni cieczy, a o

z skierowania jest na dół (rys.

5). Element dA stanowi cz

ęść

powierzchni cylindrycznej o tworz

cych prostopadłych do

płaszczyzny yz.

∫∫

Rys 5. Parcie cieczy na element powierzchni zakrzywionej

dF=

*g*z*dA

Paradoks hydrostatyczny

Składowa pozioma F

parcia na powierzchni

zakrzywion

A równa si

zatem parciu na

powierzchni

, która jest rzutem powierzchni A na płaszczyzn

pionow

. Tak samo oblicza

poziom

składow

parcia na płaszczyzn

pochyl

. Sposób obliczania poziomej skł

dowej

parcia nie ró

ni si

jak wida

, od sposobu obliczania parcia na płaszczyzn

pionow

gdzie V, m, G – obj

ść

, masa i ci

ęż

ar słupa cieczy nad powierzchni

zakrzywion

gdzie

W przypadku płaszczyzn poziomych (

=0), zale

ci upraszczaj

rodek parcia

y w

rodku ci

ęż

ci płaszczyzny dna naczynia lub zbiornika.

Rys.6. Paradoks hydrostatyczny

∫∫

∫∫∫

∫∫

gdz

⇒

























Jak wida

z powy

szego równania ci

nienie na dnie zbiornika , a wi

c i napór na jego dno

nie zale

y od kształtu zbiornika , ale od wysoko

ci słupa cieczy. To zjawisko okre

la si

mianem paradoksu hydrostatycznego.

Moment siły naporu

Moment siły naporu wzgl

dem dowolnego punktu definiujemy nast

puj

co:

(

)

r pn dS

= −

∫

(4)

Gdzie r jest promieniem ł

cym punkt, wzgl

dem którego liczymy moment,

z elementem powierzchni dS.

Tak wi

c siły hydrostatyczne sprowadzaj

do naporu hydrostatycznego

i momentu hydrostatycznego. Jak wiadomo ze statyki, taki układ przestrzennych sił daje si

sprowadzi

do wypadkowej siły wtedy i tylko,wtedy, kiedy

⊥

⊥⊥

⊥

L. (5)

Prostopadło

ść

momentu i naporu jest oczywista dla płaskich

cian. Wówczas

wektorem r

na okre

poło

enie linii działania siły naporu

*N = L. (6)

Punkt przebicia

ciany lini

działania siły naporu nazywamy

rodkiem naporu.

eli obliczone s

N i L to równanie (6) staje si

równaniem dla trzech składowych

, r

wektora r

z y

y z

z x

x z

y x

x y

N r

−

(7)

7 i 8. Napór hydrostatyczny na

ciany płaskie i zakrzywione Współrz

dne

rodka naporu

Pole sił masowych

∫ ∫

→

pdA

∫

∫ ∫

∫

−

pomijamy

gzdA

)

(

∫ ∫

)

cos(

)

cos(

)

cos(

Po podstawieniu i uporz

dkowaniu otrzymujemy

∫ ∫

gzdA

∫ ∫

gzdA

∫ ∫

gzdA

Dla p

, p

obliczamy sił

naporu

∫ ∫

gzdA

zdA

∫ ∫

Analogicznie

, z

, -współrz

dne

rodka ci

ęż

ci rzutu powierzchni w kierunku osi x i y.

, A

-pola powierzchni rzutów w kierunku osi x i y.

Warto

ść

wyliczamy w sposób odmienny.

∫ ∫

zdA

-obj

ść

słupa cieczy nad poziomym rzutem powierzchni.

rodek naporu

]

[

Sumaryczny moment od naporów elementarnych wynosi

∫ ∫

Moment od wypadkowej

)

(

∫ ∫

gzdA

zdp

∫ ∫

- moment bezwładno

- moment statyczny

yzdA

gyzdA

ydp

∫ ∫

;

9. Zjawisko wyporu. Odkrycie Archimedesa (czas, epoka, miejsce)

eli ciało jest zanurzone w płynie (rys.4.4),wypór hydrostatyczny jest okre

lony wzorem:

∫

−

pndS

(9.1)

W takim przypadku całk

zawart

w powy

szym wzorze mo

na przekształci

na całk

obj

ciow

∫

−

gradpd

(9.2)

a po uwzgl

dnieniu równania równowagi powy

sze wyra

enie przyjmuje posta

∫

−

(9.3)

Ale

∫

)

(

)

(

Jest obj

ciała zanurzonego w płynie. St

d siła wyporu

N= -

ρρρρ

gk=-G

(9.4)

jest równa ci

ęż

arowi cieczy wypartej przez zanurzone ciało i skierowana jest przeciwnie do

zwrotu siły ci

ęż

ci. Tak wi

c otrzymali

my znane prawo Archimedesa.

Siła wyporu N przechodzi przez

rodek ci

ęż

ci obj

ci płynu zajmowanej przez

zanurzone ciało, i wyra

a si

wzorem:

××××

====

−−−−

××××

====

)

(

(9.5)

Archimedes

Jeden z najwybitniejszych greckich matematyków i fizyków staro

ytno

ci, odkrył wiele praw

matematycznych i fizycznych, sformułował wa

ne zasady mechaniczne. Archimedes urodził

w 287 roku przed Chrystusem w Syrakuzach; a o jego

yciu opowiadaj

Livius, Polibius.

Nie sprawował

adnego urz

du, oddaj

c si

wył

cznie nauce. Przebywał przez pewien czas

w sławnej akademii Aleksandryjskiej, jako ucze

matematyka Konona, z którym utrzymywał

pó

niej tak

e korespondencj

. Zgin

ł tragicznie w roku 212 przy zdobywaniu Syrakuz przez

Rzymian pod wodz

Marcellusa ( podczas drugiej wojny Punickiej )

Prawo Archimedesa

de ciało zanurzone w cieczy traci pozornie na ci

ęż

arze tyle, ile wynosi ci

ęż

ar cieczy

wypartej przez to ciało tzn. ciało zanurzone w cieczy doznaje ze strony tej cieczy parcia do

góry, równego co do warto

ci ci

ęż

arowi cieczy wypartej przez to ciało.

Z czasem prawo to uogólniono na gazy ( i ciała sypkie spełniaj

ce okre

lone warunki)

Jak głosi legenda, Hieron II zamówił dla siebie koron

z czystego złota. Władca nie dowierzał

jednak złotnikowi. Pos

dzał go to,

e koron

wykonał ze srebra i z zewn

trz tylko pozłocił.

Zwrócił si

wtedy do przebywaj

cego na jego dworze Archimedesa, aby ten sprawdził jego

przypuszczenie, nie niszcz

c pi

knej korony.

Archimedes długo my

lał nad tym zadaniem, niestety bez skutku. Zastanawiał si

nad

tym nawet w k

pieli. Siedz

c kiedy

w wannie zauwa

ył,

e ciała zanurzone

w cieczy wydaj

ejsze. W tym momencie przyszło na

nienie. Z okrzykiem eureka!

(ła

. znalazłem) Archimedes pono

wyskoczył z wanny i w stroju mocno niekompletnym

pobiegł przez miasto do swego króla, aby mu zakomunikowa

o rozwi

zaniu problemu. Je

c wierzy

legendzie, to dzi

ki zadaniu króla Hierona Archimedes odkrył wa

ne prawo,

zwane dzi

prawem Archimedesa, które stanowi podstaw

teorii pływania ciał.

eli rzeczywi

cie Archimedes odkrył to prawo w wannie, to trudno si

dziwi

e był

zaskoczony prostot

metody, jak

nale

ało zastosowa

, aby rozwi

postawione mu

zadanie. Srebro ma bowiem g

sto

ść

prawie dwa razy mniejsz

złoto. Fałszywa korona

musiałaby wi

c mie

znacznie wi

ksz

obj

ść

korona z czystego złota o tej samej

masie i - co za tym idzie - wypierałaby wi

cej wody, a zatem wi

cej " traciłaby pozornie na

ęż

arze ". Inaczej fałszywa korona byłaby w wodzie znacznie l

ejsza ni

próbka czystego

złota o tej samej masie.

Prawo Archimedesa jest najwa

niejszym, lecz bynajmniej nie jedynym osi

gni

ciem

Archimedesa w zakresie hydrostatyki. Jego badania i spostrze

enia dotycz

ce warunków

równowagi cieczy i warunków pływania ciał legły u podstaw rozwoju tej dziedziny. Oprócz

praw fizyki i matematyki Archimedes odkrył równie

podstawow

zasad

mechaniki ciał

płynnych, zwi

ęź

le sformułowana brzmi: ciało zanurzone w cieczy ulega parciu do góry i traci

pozornie na ci

ęż

arze tyle, ile wa

y wyparta prze ze

ciecz. Z tej zasady korzysta si

przy

wyznaczaniu ci

ęż

aru wła

ciwego, mianowicie dzieli si

ęż

ar bezwzgl

dny przez obj

ść

równ

liczbowo ci

ęż

arowi wypartej wody. Wszystkie przyrz

dy, słu

żą

ce do pomiaru ci

ęż

aru

wła

ciwego, jak piknometr, waga hydrostatyczna, wolumometr, a dla cieczy areometr,

opieraj

na zasadzie Archimedesa.

10. Stan stateczno

ci pływania. Metacentrum i odległo

ść

metacentryczna

Na ciało zanurzone w cieczy działa ci

ęż

ar ciała G

i wypór W. Je

eli potraktuje si

wypór

W jako wypór ciała całkowicie zanurzonego, to mo

liwe s

trzy przypadki:

•

<W, siła (w-G

) wypiera ciało do góry powoduj

c jego cz

ęś

ciowe wynurzenie; stan

równowagi zostaje osi

gni

ty wtedy, gdy ci

ęż

ar ciała b

dzie równy wyporowi

zanurzonej cz

ęś

ci ciała; w tym stanie równowagi ciało pływa

•

=W, ciało jest całkowicie zanurzone na dowolnej gł

boko

•

>W, ciało tonie.

Stateczno

ść

pływania jest to zdolno

ść

powrotu ciała pływaj

cego wychylonego ze stanu

równowagi do pierwotnego poło

enia.

rys.7. Stateczno

ść

ciała całkowicie zanurzonego: a) równowaga stała, b) chwiejna,

c) oboj

tna

Pływanie ciała całkowicie zanurzonych. Na ciało całkowicie zanurzone działaj

dwie siły;

wypór W i ci

ęż

ar G

(rys. wy

ej). Punkt S oznacza

rodek ci

ęż

ci ciała zanurzonego

i w ogólnym przypadku nie musi pokrywa

rodkiem wyporu N, który le

y w

rodku

geometrycznym ciała. Równowaga pływania, jak wiadomo, zachodzi wówczas gdy W= G

i gdy W i G

żą

wzdłu

tej samej osi pionowej, czyli wzdłu

osi pływania. Mo

liwe s

trzy

przypadki:

•

Punkt S le

y poni

ej punktu N,

•

Punkt S le

y powy

ej punktu N

•

Punkt S i N pokrywaj

na zatem stwierdzi

1) równowaga stała –

rodek ci

ęż

ci S le

y poni

rodka wyporu N,

2) równowaga chwiejna – S le

y powy

ej N,

3) równowaga oboj

tna – punkt S i N pokrywaj

Bardziej zło

onym zagadnieniem jest stateczno

ść

pływania ciał cz

ęś

ciowo zanurzonych.

Dowolne wychylenie ciała jest, ogólnie bior

c, wypadkow

trzech przesuni

ęć

i trzech obrotów

wzgl

dem osi X, Y, Z., przy czym o

x jest prostopadła do płaszczyzny. Przy takim poło

eniu

rodka ci

ęż

ci mo

liwe jest zachowanie stateczno

ci pływania, co było wykluczone

w przypadku ciała pływaj

cego całkowicie zanurzonego.

Ciało jest stateczne, czyli posiada równowag

stał

, przy przesuni

ciu wzdłu

osi z.

Przy takiej wymuszonej zmianie gł

boko

ci zanurzenia zostaje naruszona równowaga

pomi

dzy ci

ęż

arem ciała G

i wyporem W, co prowadzi do zmiany zanurzenia i powrotu do

stanu pocz

tkowego. Równowaga oboj

tna ma miejsce, natomiast, podczas przesuni

ęć

równoległych do zwierciadła cieczy, czyli podczas przesuni

ęć

wzdłu

osi x i y oraz podczas

obrotu wokół osi z..

Te rozwa

ania mo

na uzupełni

, wprowadzaj

c poj

cia punktu M., zwanego

metacentrum, czyli punkt przeci

cia linii działania wyporu chwilowego W i pionowej osi ciała

pływaj

cego. Odległo

ść

punktu M od

rodka ci

ęż

ci ciała S nosi nazw

odległo

(wysoko

) metacentrycznej m. Dla informacji mo

na poda

e minimalna odległo

ść

metacentryczna statków wynosi m = 0,5

4,5 m.

Odległo

ść

metacentryczna m. mo

na wyrazi

przez parametry geometryczne ciała

pływaj

cego. Przy wychyleniu o mały k

, wypór chwilowy W jest równy sumie algebraicznej

wyporu pocz

tkowego W i wyporów W

obj

ci klinowych.

11. Kinematyka płynów. Cele, zadania, parametry kinematyczne.

DWIE METODY OPISU STANU PŁYNU

Wprowadzaj

c omówion

we Wst

pie cech

gło

ci, mo

emy traktowa

płyn wypełniaj

rozwa

any przez nas obszar jako kontinuum materialne. Ka

demu punktowi tego obszaru

przyporz

dkowujemy pewne jego otoczenie, o wymiarach małych w porównaniu z wymiarami

ciał opływanych lub wymiarami obszaru, a du

ych w porównaniu z odległo

ciami mi

dzy

molekułami. Otoczenie takie nazywamy elementem płynu, a przestrze

traktujemy jako

wypełnion

tymi elementami w sposób ci

gły. Posługiwanie si

poj

ciem elementu płynu jest

bardzo dogodne — mo

emy uto

sami

go z punktem któremu przypisane s

wszystkie

parametry charakteryzuj

ce płyn lub te

traktowa

go jako sko

czon

obj

ść

o cechach

kontinuum materialnego.

Stan płynu zajmuj

cego okre

lony obszar przestrzeni mo

emy opisa

w dwojaki sposób.

Pierwszy z nich polega na okre

leniu parametrów w ka

dym punkcie przestrzeni zajmowanej

przez płyn. Parametry te mog

zmienia

zarówno w przestrzeni (mog

funkcj

współrz

dnych przestrzeni), jak i w czasie. Metoda ta nosi nazw

metody Eulera albo metody

lokalnej.

Omawiaj

c drugi sposób, wyobra

my sobie,

e wyodr

bnili

my element płynu

ledzimy jego zachowanie si

w czasie. Znaj

c wszystkie interesuj

ce nas parametry

dowolnych elementów płynu, mamy opisany stan płynu w całym zajmowanym przez niego

obszarze.

Ta metoda nosi nazw

metody Lagrange^a lub metody w

drownej.

KINEMATYCZNY PODZIAŁ PRZEPŁYWÓW

eli parametry opisuj

ce stan płynu s

niezale

ne od czasu f, to d/dt = O i stan taki

nazywamy stanem stacjonarnym (ustalanym). Je

eli za

parametry te zale

żą

jawnie od

czasu,

to przepływ nazywamy przepływem niestacjonarnym (nieustalonym}.

Z punktu widzenia kinematycznego b

dziemy rozró

niali przepływy jednowymiarowe,

w których mamy tylko jedn

składow

wektora pr

dko

przepływy dwuwymiarowe

oraz przepływy trójwymiarowe

W ka

dym z tych przypadków składowe wektora pr

dko

ci mog

funkcj

dowolnej

kombinacji zmiennych niezale

nych x, y, z, t. Tak na przykład, mo

emy mie

przepływ

jednowymiarowy niestacjonarny, w którym

= u

(x,f),

lub przepływ dwuwymiarowy stacjonarny

= u

(x,y), u

= u

(x,y)

12. Metoda Eulera i Lagrange’a w kinematyce płynów

METODA EULERA

eli wybrany zostanie układ współrz

dnych odniesienia, to obszar zajmowany przez

płyn b

dzie opisany promieniem wodz

cym r. W najprostszym przypadku, je

eli układ

współrz

dnych b

dzie układem kartezja

sktm, to

Wówczas parametry opisuj

ce stan płynu b

funkcjami promienia wodz

cego r

i czasu t. Ka

demu poło

eniu elementu płynu w chwili r, które jest okre

lone współrz

dnymi

x, y, z, odpowiada

dzie poło

enie *„, y

, z<> w chwili poprzedzaj

cej t

,. Zapisujemy t

odpowiednio

ść

w nast

puj

cej postaci:

(12.1)

W metodzie Eulera mamy nast

puj

cy zapis dla wektora pr

dko

ci:

co oznacz,a,

e wektor pr

dko

ci mo

e by

przedstawiony nast

puj

co:

(12.2)

lub w skrócie

Nie tylko składowe wektora pr

dko

ci s

funkcjami współrz

dnych przestrzennych i czasu,

ale i inne parametry, takie jak: ci

nienie, g

sto

ść

, temperatura

(12.3)

li posługujemy si

metod

opisu parametrów płynu, to w dowolnym miejscu układu

współrz

dnych i w dowolnym czasie powinny by

okre

lone powy

sze funkcje czterech

zmiennych x, y, z, t.

Istotnym poj

ciem dla metody Eulera jest poj

cie pochodnej substancjalnej, oznaczonej dla

dowolnej funkcji f (x, y, z, t) symbolem d//dr.

Pochodn

substancjaln

buduje si

bior

c za punkt wyj

cia poj

cie ró

niczki zupełnej funkcji

wielu zmiennych. W tym przypadku

∂

∇

(12.4)

W wyra

eniu tym przyrosty dx, dy i dz s

przyrostami dowolnymi w przestrzeni ryz. Je

eli na

przyrosty te nało

ymy ograniczenia

(12.5)

co oznacza,

e s

one wybierane wzdłu

kierunku ruchu cz

stki, to wyra

enie (12.4) mo

zapisa

nast

puj

co:

(12.6)

Odnosz

c przyrost d/ do przyrostu czasu dt, z (12.6) otrzymujemy

(12.7)

Zapis ten mo

e by

zastosowany do dowolnej funkcji/. Istotny jest jedynie operator typu:

(12.8)

Ze sposobu budowania operatora pochodnej substancjalnej wynika nast

puj

ca interpretacja

fizyczna poszczególnych wyra

d/df oznacza zmian

danej wielko

ci w czasie z punktu widzenia obserwatora poruszaj

cego

wraz z elementem płynu,

d/dt oznacza zmian

w czasie danej wielko

ci w danym punkcie przestrzeni (przy ustalonym

x, y, z) — jest to pochodna lokalna,

oznacza zmian

danej wielko

ci w przestrzeni w danym

ustalonym czasie t — jest to pochodna konwekcyjna (cz

sto tak

e zwana adwekcyjn

Tak wi

c pochodna substancjalna jest sum

pochodnej lokalnej i pochodnej

konwekcyjnej (adwekcyjnej).

na łatwo zauwa

e pochodna konwekcyjna jest iloczynem skalarnym

wektora pr

dko

ci u i operatora gradient (nabla) grad =

(12.9)

Stosuj

c operator ró

niczkowania substancjalnego do składowych wektora pr

dko

ci,

otrzymujemy przyspieszenie substancjalne

(12.10; 12.11; 12.12)

Po pomno

eniu powy

szych równa

przez wektory i, j, k oraz ich zsumowaniu mo

emy

relacje (1.10)—(1.12) zapisa

w sposób zwarty

(12.13)

Podobnie, stosuj

c operator (1.8) do innych parametrów, otrzymujemy

(12.14; 12.15; 12.16)

Z powy

szych wzorów wida

, i

zmiana parametru w elemencie płynu okre

lona jest

zmienno

w czasie i zmienno

w przestrzeni, co wymaga znajomo

ci pola pr

dko

ci.

Ponadto człony okre

laj

ce pochodn

konwekcyjn

członami nieliniowymi typu iloczynu

dko

ci i pochodnej danego parametru.

Nieliniowo

ść

ta, pojawiaj

ca si

w podstawowych relacjach mechaniki płynów, jest przyczyn

znacznych trudno

ci w rozwi

zywaniu problemów przepływowych.

METODA LAGRANGE'A

W metodzie tej opisujemy histori

zmiany danego parametru, zwi

zanego z wybranym

elementem płynu. Oznaczamy wybrany element płynu w chwili f

współrz

dnymi x

, Y

, Z

Z czasem b

dzie si

zmieniało jego poło

enie i inne parametry. Zapisujemy ten fakt

nast

puj

co:

(12.17)

lub w zapisie wektorowym

Dla ci

nienia, g

sto

ci i temperatury mamy

(12.18)

dko

ci i przyspieszenia w metodzie Lagrange'a otrzymujemy przez ró

niczkowanie

współrz

dnych poło

enia elementu płynu wzgl

dem czasu. Tak wi

c dla pr

dko

(12.19)

lub w zapisie wektorowym

a dla przyspiesze

(12.20)

W dalszym ci

gu posługiwa

dziemy przewa

nie metod

Eulera.

13.Pochodna w

drowna. Operator Stokesa, przy

pieszenie elementu

płynu.

li wezmiemy pod uwag

dowoln

wielko

ść

fizyczn

f, skalarn

lub wektorow

zwi

zan

z poruszaj

cym si

elementem płynu, to wyra

enie zmian tej wielko

ci w czasie

przy u

yciu zmiennych Eulera napotka na pewne trudno

ci. Mamy wyrazi

zmiany f,

zwi

zane z poruszaj

cym si

po swym torze elementem płynu, przy pomocy wielko

zwi

zanych z wybranym punktem przestrzeni x,y,z i wybran

chwil

czasu t. Mamy zatem

obliczy

dla elementu płynu

Chc

c to wyrazi

za pomoc

operacji ró

niczkowania wzgl

dem x,y,z,t musimy x,y,z w

powy

szym wzorzepotraktowa

jako równanie parametryczne toru elementu płynu

przechodz

cego przez wybranu punkt przestrzeni, a wi

c jako:

Uwzgl

dniaj

c to piszemy

Korzystaj

c ze zwi

zków dla toru elementu płynu otrzymujemy

Przy u

yciu operatora mo

emy ten wzór zapisa

nast

puj

Wyra

enie

uwa

amy formalnie za iloczyn skalarny

i wektora pr

dko

Wynik tej operacji traktujemy jako operator, którym działamy na dowoln

wielko

c skalarn

np.

lub wektorow

np.

Gdy podstawimy

to równanie oznacza przy

pieszenie elementu płynu

Składowe przy

pieszenia w układzie współrz

dnych kartezja

skich s

okre

lone wzorami

Pochodn

df/dt dowolnej wielko

ci f nazywamy pochodn

substancjaln

. Ma to okre

lony

sens fizyczny, gdy

d/dt oznacza zmiany dla tego samego poruszaj

cego si

elementu płynu,

czyli zmiany zwi

zane z jego „substancj

’’.

We współrz

dnych Eulera zmiany dotycz

ce poruszaj

cego so

elementu trzeba

wyrazi

przy pomocy pochodnych cz

stkowych wzgl

dem czasu i pkt. Przestrzeni. Pochodna

substancjalna jest sum

pochodnej lokalnej

∂

f /

∂

t wyra

cej zmiany wielko

ci f w czasie

lecz w tym samym punkcie przestrzeni i pochodnej konwekcyjnej.

wyra

cej

zmiany wielko

ci f przy przej

ciu z pkt. X,y,z do jego najbli

szego otoczenia, co zwi

zane jest

z polem pr

dko

ci.

14.Poj

cie cyrkulacji. Interpretacja fizyczna i analogia.

Cyrkulacja pr

dko

ci wzdłu

odcinka BC krzywej s w ogólnej krzywej przestrzennej, jest to

całka liniowa z iloczynu skalarnego

i skierowanego elementu tej lini

czyli

Cyrkulacja pr

dko

ci wyra

ona równaniem wcze

niejszym mo

e by

równie

przedstawiona

w nast

puj

cy sposób:

gdzie

- rzut wektora

na kierunek

W przypadku całki liniowej po krzywej zamkni

tej s , czyli całki

cyrkulacja pr

dko

wynosi:

Jako dodatni kierunek obchodu zamkni

tej linii konturowej przy obliczaniu całki przyjmiejmy

kierunek przeciwny do ruch wskazówek zegara.

Poj

cie cyrkulacji pr

dko

ci wyst

puje w zagadnieniach opływu ciał, profili, łopatek itd.

Poj

cie to jest podobne do poj

cia pracy z tym,

e zamiast wektora siły wyst

puje wektor

dko

ci.

Cyrkulacja pr

dko

ci wzdłu

zewn

trznej lini konturowej równa si

sumie cyrkulacji wzdłu

konturów składowych. Zilustrowano to na rys. gdzie lini

konturow

s podzielono odcinkiem

BD na dwie linie konturowe. Zatem mo

na napisa

gdy

cyrkulacja wzdłu

BD znosz

z uwagi na przeciwne znaki.

W teorii pola dowodzi si

tw. Stokesa, Które dotyczy zwi

zku mi

dzy całk

liniow

powierzchniow

. Dla ró

niczkowalnych pól wektorowych

ma ono posta

gdzie

oznacza elementarny skierowany odcinek zamkni

tej lini s stanowi

cej lini

konturow

powierzchni A.

Inaczej tw. Stokesa mo

na napisa

Twierdzenie formułowane w kategoriach kinematycznych mówi

e cyrkulacja pr

dko

wzdłu

zamkni

tej krzywej s równa si

strumieniowi wirowa

(rotacji) przechodz

cemu przez

powierzchni

A, której brzegiem jest krzywa s.

15.Równania toru i lini pr

du, rurka i powierzchnia pr

du, struga.

Linia pr

du jest to linia pola wektorowego pr

dko

ci. Je

li mamy pole pr

dko

o składowych w układzie Kartezja

skim

oraz element linii pr

o skł. Dx, dy, dz to warunek równoległo

w ka

dym

punkcie pola dla dowolnej chwili czasu mo

emy napisa

w postaci

czyli

da składowa tego iloczynu musi by

równa zeru i st

d otrzymujemy równanie lini pr

W równaniu tym czas wyst

puje jako parametr, od którego zale

żą

warto

ci Vx, Vy, Vz ale nie

jest on zmienn

niezale

. W ruchu nieustalonym obraz linii pr

du ma charakter chwilowy,

zale

ny od warto

ci t. W ruchu ustalonym obraz linii pr

du dla danego przepływu jest

niezmienny w czasie, tzn. kształt ka

dej linii pr

du dla przepływu ustalonego nie zmienia si

w czasie.

Powierzchnia pr

du jest to powierzchnia utworzona z linii pr

du przecinaj

cych

dowoln

lini

l nie b

lini

du. Je

li linia jest zamkni

ta, powierzchnia pr

nazywana jest rurk

du.

Zbiór linii pr

du wypełniaj

cych w sposób ci

gły rurk

du nazywamy włoknem pr

du lub

strug

du.

Torem elementu płynu nazywamy lini

, po której porusza si

Element płynu dV traktowany

jako pkt materialny. Gdy elementarny odcinek toru oznaczymy przez

o składowych dx,

dy, dz a elementarny odcinek czasu przez dt, to równanie ró

niczkowe toru jest nast

puj

ce:

Równania skalarne toru elementu wynikaj

ce ze wzoru to:

Czas odgrywa tu rol

zmiennej niezale

nej. Ostatnie równanie ró

niczkowe toru wyra

ona za

pomoc

składowych mal

posta

16.Przepływy potencjalne.

Prawie zawsze mo

na potraktowa

w przybli

eniu ka

dy przepływ przestrzenny jako

przepływ dwuwymiarowy (płaski lub osiowo – symetrycznu). Takie uproszczenie jest
niezmiernie korzystne ze wzgl

dów matematycznych, gdy

pozwala stosowa

bardzo

dogodn

i dobrze opracowan

teori

funkcji zmiennej zespolonej. W niniejszych

rozwa

aniach b

omawiane tylko płaski przepływy potencjalne.\

Mimo,

e poj

cie potencjału ma charakter abstrakcyjny, to przy jego pomocy

rozwi

zuje si

szereg wa

nych zagadnie

praktycznych. W dalszej tre

ci b

podane

przykłady takich rozwi

Zale

ci podstawowe.

Niektóre podst. poj

cia przepływów potencjalnych, jak potencjał pr

dko

równanie Laplace’a, zostały podane przy opisie pola bezwirowego.

Równania Laplace’a, tj. równanie dla układu płaskiego ma nast

puj

posta

Jak wiadomo, wa

cech

równania Laplace’a jest jego liniowo

ść

, co jest wykorzystywane

przy superpozycji, czyli nakładaniu przepływów. Zagadnienie superpozycji b

dzie omawiane

w dalszej cz

ęś

ci tre

ci.

Przyrost potencjału pr

dko

ci mo

e by

wyra

ony jako ró

niczka zupełna:

17.Przepływy elementarne. Superpozycja przepływów

1. Przepływy elementarne.

a. Przepływ jednostajny.

ogólnym

przypadku,

jednostajny

przepływ

potencjalny

odbywa

dko

skierowan

pod

tem

wzgl

dem

jednej

osi

układu,

np. wzgl

dem osi x. Składowe pr

dko

ci v

i v

wynikaj

z zale

ci trygonometrycznych.

Potencjał pr

dko

obliczymy z równania

Otrzymuj

∂

∫













∂

Z równa

∂Φ

∂

∂Φ

∂

jak i rysunku wynika:

* cos

∂Φ =

∂

* sin

∂Φ =

∂

Funkcj

du obliczymy z równania

∂Ψ

Ψ =

∂

edz

∂Ψ ∂Φ

−

∂

, otrzymamy

(

)

* sin

* cos

Ψ = −

Podstawiaj

c do równania

( )

f x

= Φ + Ψ

otrzymuje si

warto

ść

potencjału zespolonego

( ) (

)

(

)

(

)(

)

* cos

sin

cos

sin

* *

f z

x i y

i x y

x i y

z e

α ν

−





+ − +

−





(17.1)

Potencjał zespolony wyra

ony równaniem ( ) ma zatem posta

f(z)=a*z

(17.2)

gdzie a jest liczb

zespolon

Jest to potencjał zespolony przepływu jednostajnego.

ródlo płaskie.

ródło płaskie mo

e by

dodatnie, lub ujemne.

ródło dodatnie nazywane jest po

prostu

ródłem, za

ródło ujemne nosi nazw

upustu. Potencjał zespolony wyra

a si

równaniem

f(z)=a*lnz

(a)

V gdzie: a

- liczba rzeczywista

V-wydajno

ść

ródła, lub upustu płaskiego.

(

) (

)

sin

cos

sin

cos

∫

W układzie współrz

dnych biegunowych potencjał zespolony, przy wykorzystaniu

równania z = r * e

przyjmie posta

( )

* ln

ln( *

)

(ln *

)

f z

r e

r i

= Φ + Ψ =

(17.3)

Potencjał pr

dko

ci jako cz

ęść

rzeczywista wynosi

Φ =

Linie

stałego

potencjału

dko

okr

gami

współ

rodkowymi,

gdy

dla

= const jest r = const.

Funkcja pr

du jako cz

ęść

urojona wynosi

ln( *

)

r e

gdzie

-k

t(współrz

dna biegunowa).

Linie pr

du (

= const) s

ortogonalne do linii

= const, a wi

c s

prostymi

wychodz

cymi z pocz

tku układu współrz

dnych (

= const).

ródle i upu

cie istnieje tylko pr

dko

ść

promieniowa

gdy

dko

ść

obwodowa V

jest równa zero. Zwrot pr

dko

ródle i upu

cie jest odwrotny, przy czym przyjmuje si

e w niesko

czenie bliskim otoczeniu punktu

rodkowego płynu pojawia si

lub przestaje

istnie

Warto

ść

dko

na znale

źć

w nast

puj

cy sposób. Ró

niczkuj

c równanie (a)

i wykorzystuj

c równania z=r*e

( )

df z

otrzymujemy kolejno

( )

df z

−

( )

df z

dko

ść

jako rzeczywista równania wynosi

dko

ść

jest równa zero gdy

ęść

urojona pr

dko

ci zespolonej nie istnieje.

c. Wir płaski potencjalny.

W ruchu cieczy nazywamy kołowym, płaskim wirem potencjalnym(swobodnym) cyrkulacja

dko

ci po dowolnej krzywej nie obejmuj

cej

rodka wiru jest równa zero-st

d wir

potencjalny. Cyrkulacja po krzywej jeden raz obejmuj

cej

rodek wiru jest równa F.

Dla kołowego wiru płaskiego warto

ść

potencjału zespolonego wynosi

f(z)=-i*a*lnz, (17.4)

gdzie: a=

-liczba rzeczywista,

- cyrkulacja pr

dko

ci.

W układzie współrz

dnych biegunowych potencjał zespolony, uwzgl

dniaj

c powy

sze

warunki przyjmie posta

( )

(

)

(

)

−

(17.5)

Potencjał pr

dko

ci jako cz

ęść

rzeczywista wynosi

Linie stałego potencjału pr

dko

ci s

prostymi wychodz

cymi z pocz

tku układu

współrz

dnych, gdy

dla

= const jest

= const

Funkcja pr

du jako cz

ęść

urojona wynosi :

Linie pr

du s

okr

gami współ

rodkowymi, gdy

dla Y = const jest r = const.

Role

dla

ródła i wiru zamienne. W zwi

zku z tym, pr

dko

ść

promieniowa jest równa

zett| a pr

dko

ść

obwodowa wynosi :

(17.6)

Ogólnie mo

na powiedzie

e zamiana ról

zachodzi w tzw. Przepływach

sprz

ęż

onych, którymi s

w danym przypadku

ródło i wir płaski.

d. Dipol.

Dipol, lub

ródło podwójne płaskie ma miejsce wówczas, gdy odległo

ść

/ pomi

dzy

ródłem i upustem wynosi l

→

∞

.Obowi

zuje przy tym taka zale

ść

odległo

ść

l maleje w takim stopniu, w jaki wzrasta strumie

obj

ci V

ródła

i upustu, czyli l

→

O, V

→

∞

, przy czym l*V=M = const. Moment dipola M. zostaje stały

i ró

ny od zera.

Potencjał zespolony dipola wynosi

)

(

(17.7)

gdzie

Po uwzgl

dnieniu równania z=x+z * y i pomno

eniu licznika i mianownika przez

(x-i * y) otrzymuje si

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

(17.8)

Potencjał pr

dko

ci jako cz

ęść

rzeczywista potencjału zespolonego wynosi :

)

(

(17.9)

Funkcja pr

du jako cz

ęść

urojona wynosi

)

(

(17.10)

Z tych zale

wynika,

e linie pr

du (

= const ) stanowi

rodzin

okr

gów stycznych do

osi x w pocz

tku układu, za

linie

const s

tak

e okr

gami, lecz stycznymi w pocz

tku

układu do osi y.

Okr

= const i

= const s

wzajemnie ortogonalne. Osi

dipola jest wspólna

styczna okr

gów

= const

Jej zwrot jest zgodny z kierunkiem przepływu.

2. Superpozycja przepływów.

cech

równania Laplace'a jest jego liniowo

ść

wykorzystywana przy

superpozycji,

czyli

nakładaniu

dwóch,

lub

cej

przepływów

potencjalnych.

W przypadku dwóch przepływów mo

na zapisa

)

(

)

(

(17.11)

)

(

)

(

)

(

(17.12)

gdzie k

, k

- dowolne współczynniki.

W wyniku superpozycji został otrzymany nowy przepływ o potencjale zespolonym

f(z), którego cz

ęś

rzeczywist

i urojon

odpowiednio

(17.13)

Superpozycja

wykonywana

metod

analityczn

lub

wykre

W metodzie analitycznej zadanie sprowadza si

do znalezienia wypadkowego

(sumarycznego) potencjału zespolonego, a zwłaszcza cz

ęś

ci urojonej tego potencjału.

W metodzie wykre

lnej natomiast nale

y nanie

ść

linie

=const, zachowuj

c mi

dzy nimi

takie odleg

ci, jakie wynikaj

z równo

ci strumieni obj

ci obu przepływów,

a wi

c :

∆

(17.14)

Utworzona w ten sposób siatka linii pr

du mo

e by

oznakowana w sposób umowny.

Zagadnienie superpozycji sprowadza si

wła

ciwie do sumowania wektorów

dko

ci.

Szczególne znaczenie w aerodynamice posiadaj

przypadki superpozycji przepływu

jednostajnego i

ródła, lub układu

ródeł.

∫∫

∫∫∫

div

)

(

∫∫∫

∂

18.Zasada zachowania masy. Równanie ci

gło

Równanie ci

gło

ci przepływu w wynika z zasady zachowania masy (niezniszczalno

materii). Równanie ci

gło

ci odnosi si

tylko do pól bez

ródłowych tzn.

e w

adnym

punkcie pola masy nie mo

e si

tworzy

ani znika

Równanie ci

gło

ci przepływu ma charakter kinematyczny i z tej racji jest identyczny dla

płynów nielepkich i lepkich. Warunek ci

gło

ci ma jednak inny sens dla płynów

nie

liwych i

liwych.

Dla płynów nie

liwych (p=const), w obj

ci kontrolnej musi by

zawarta

w ka

dej chwili tak sama masa płynu, czyli przez powierzchni

kontroln

musi dopływa

i wypływa

taka sama masa płynu. Warunek ten jest taki sam dla przepływów ustalonych

i nieustalonych.

W przepływie ustalonym musi by

zachowany powy

szy warunek, bo masa zawarta

wewn

trz powirzchni kontrolnej jest niezmienna w czasie. W przepływie nieustalonym

natomiast, mog

mie

miejsca lokalne zmiany g

sto

ci płynu, które wywołuj

ró

nic

w bilansie dopływaj

cym przez powierzchni

kontroln

strumieni masy.

1. Sformułowanie ogólne

Równanie ci

gło

ci zostanie wyprowadzone dla trójwymiarowego nieustalonego

przepływu

liwego, w którym został wyodr

bniony obszar o obj

ci V otoczony

zamkni

powierzchni

kontroln

Przyrost masy na obszarze V w czasie dt mo

e nast

na skutek dopływu

z zewn

trz

znak minus wynika st

e przyrost masy ma miejsce wtedy, gdy przepływ odbywa si

rodka, czyli przeciwnie do jednostkowego normalnego zewn

trznie skierowanego

wektora n.

Wyra

enie całkowe jest strumieniem masy.

Przyrost masy mo

e, w przypadku nieustalonego ruchu

liwego, nast

tylko na

skutek lokalnego przyrostu g

sto

Z równo

ci obydwu wyra

otrzymuje

równanie ci

gło

ci w formie całkowej

∫∫

−

;

)

(

)

(

)

(

∂

∫∫∫

∫∫

∂

∫∫∫

∫∫

div

)

(

)

(

∫∫∫

∂

div

)]

(

[

∂

div

)

(

div

;

∂

(a)

Drugi wyraz równania mo

na przekształci

zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego. Zgodnie

z tym twierdzeniem

Po podstawieniu otrzymuje si

(18.1)

Przy zało

eniu ci

gło

ci v i p (brak fal uderzeniowych) i z uwagi na dowolno

ść

obszaru całkowania

na zapisa

to równanie w formie ró

niczkowej, czyli dla elementu dV

(b)

Równania (a) i (b) s

równaniami ci

gło

ci przepływu w postaci całkowej i ró

niczkowej w zapisie

wektorowym. W zapisie skalarowym równanie (b) przyjmuje posta

(c)

Która obowi

zuje w kartezja

skim układzie współrz

dnych.

Równanie (c) mo

na zapisa

w nast

puj

cy sposób:

Pierwsze

cztery

wyrazy

stanowi

pochodn

substancjaln

sto

ci,

wyra

enie

w nawiasie jest diwergencj

wektora pr

dko

ci. Zatem równanie (b) przyjmie posta

(18.2)

Dla przepływu ustalonego z równania (b) wynika

(f)

czyli

(18.3)

Dla cieczy (p = const) z równania (f) otrzymuje si

(18.4)

czyli w układzie kartezja

skim

(18.5)

;

)

(

)

(

)

(

∂

;















∂

)

(

)

(

)

(

∂

)

(

∇

∂

Inn

form

zapisu wektorowego równania (b) jest

(18.6)

19.Zasada zachowania p

du. Równanie Eulera i Naviera-Stokesa

Równanie zachowania p

du.

Zasad

zachowania p

du zastosujemy do obszaru płynnego V, ograniczonego

powierzchni

płynn

Zasad

sformułujemy nast

puj

co: pochodna p

du płynu zwartego wewn

trz V wzgl

dem

czasu jest równa sumie sil zewn

trznych działaj

cych na ten obszar.

Elementarny p

d płynu zwartego w niesko

czenie małej obj

ci dV jest równy

d płynu zwartego w całym obszarze płynnym jest równy sumie tych wszystkich

dów elementarnych, któr

wyra

amy za pomoc

całki

(ilustracja do równania zachowania p

du )

∫ ∫ ∫

Siły zewn

trzne działaj

ce na obszar V podzielimy na siły powierzchniowe i siły masowe

(obj

ciowe).

Siłami powierzchniowymi b

dziemy nazywa

siły oddziaływania płynu znajduj

cego si

zewn

trz obszaru V na płyn znajduj

cy si

wewn

trz V, przyło

one na powierzchni płynnej A.

Na ka

dym niesko

czenie małym elemencie dA działa jednostkowa siła powierzchniowa

wymiarze napr

ęż

enia [

] zwrócona w kierunku obszaru płynnego. Oznaczamy j

przez pA.

Linia jej działania tworzy w przypadku poruszaj

cego si

płynu lepkiego pewien kat ró

ny od

zera z kierunkiem jednostkowego wektora normalnego n. Polem sił pA, które jest polem

tensorowym, zajmiemy si

szczegółowo przy wyprowadzaniu równa

ruchu płynów lepkich.

W przypadku płynu nieruchomego lub nielepkiego jednostkow

sił

powierzchniow

wyra

amy za pomoc

nienia i zgodnie z tym ci poprzednio powiedzieli

my o kierunku siły

powierzchniowej, oznaczamy - n p.

Suma sił powierzchniowych działaj

cych na cał

powierzchni

A b

dzie okre

lona

całk

∫ ∫

p *

Dla płynu nieruchomego lub płyn

cego, ale nielepkiego, siła powierzchniowa jest równa

∫ ∫

Siły masowe ( obj

ciowe ) s

to siły wywierane na ka

dy element masy

q dV zawarty wewn

trz V przez zewn

trzne pola sił ,np. pole grawitacyjne,

elektromagnetyczne

gdy

płyn

jest

przewodnikiem

elektryczno

ci,

rodkowe

i Coriolisa - gdy płyn porusza si

w wiruj

cym układzie współrz

dnych. Załó

my,

e układ

współrz

dnych, w który rozpatrujemy ruch jest nieruchomy lub porusza si

ruchem

jednostajnym po linii prostej i uwzgl

dniamy tylko siły masowe niezale

nie od ruchu płynu

w tym układzie. Reprezentantem pola sił masowych jest siła masowa przypadaj

ca na

jednostk

masy czynnika, czyli mierzymy je w [N/kg] i oznaczamy przez Fm. W przypadku sił

grawitacyjnych b

dzie to po prostu g, czyli przyspieszenie ziemskie. Suma sił masowych

działaj

cych na obszar płynny wynosi zatem

∫ ∫ ∫

Ostatecznie zapisujemy powy

zasad

zachowania p

du dla całego obszaru

płynnego V, a wi

c w formie całkowej

∫ ∫

p *

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Zasad

wyrazi

na równie

według sformułowania d'Alamberta, które mówi,

suma sił zewn

trznych i siły bezwładno

ci musi by

w ka

dej chwili równa zeru.

Poniewa

siła bezwładno

ci b

dzie tutaj równa

∫ ∫ ∫

−

To zamiast powy

szego wzoru mo

na zapisa

Z powy

szych dwóch równa

wynika,

e istnieje to

samo

ść

∫∫∫

∫∫

−

∫ ∫ ∫

Której udowodnienie jest mo

liwe na innej drodze rozumowania. Nale

y podkre

e wy

napisana równo

ść

(to

samo

ść

) obowi

zuje równie

w przypadku, gdy zamiast v podstawimy

w niej dowolny inny skalar lub wektor.

Analogicznie do zasady zachowania p

du mo

emy napisa

zasad

zachowania kr

tu.

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

)

(

)

(

)

(

Zasada zachowania p

du.

Zasad

zachowania p

du zastosujemy do obszaru płynnego V, ograniczonego powierzchni

płynn

A. Zasad

sformułujemy nast

puj

co: pochodna p

du płynu zawartego wewn

trz F

wzgl

dem czasu jest równa sumie sił zewn

trznych działaj

cych na ten obszar.

Elementarny p

d płynu zawartego w niesko

czenie małej obj

ci dVjest równy

v * p * dV . P

d płynu zawartego w całym obszarze płynnym jest równy sumie tych

wszystkich p

dów elementarnych, któr

wyra

amy za pomoc

całki

(19.1)

Siły zewn

trzne działaj

ce na obszar V podzielimy na siły powierzchniowe i siły

masowe(obj

ciowe).

Siłami powierzchniowymi b

dziemy nazywa

siły oddziaływania płynu znajduj

cego si

wewn

trz V, przyło

one na powierzchni płynnej A. Na ka

dym niesko

czenie małym

elemencie dA działa jednostkowa siła powierzchniowa zwrócona w kierunku obszaru

płynnego. Oznaczymy j

przez p

. Linia jej działania tworzy w przypadku poruszaj

cego si

płynu

lepkiego

pewien

ró

zera

z kierunkiem jednostkowego wektora normalnego

przypadku płynu nieruchomego, lub nielepkiego jednostkow

sił

powierzchniow

wyra

amy za pomoc

nienia i zgodnie z tym

oznaczamy - .p.

Suma sił powierzchniowych działaj

cych na cał

powierzchni

A b

dzie okre

lana całk

Dla płynu nieruchomego, lub

płyn

cego, ale nie lepkiego, siła

powierzchniowa jest równa

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

−

;

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

(19.3)

Siły masowe(obj

ciowe) s

to siły wywierane na ka

dy element masy p *dV zawarty

wewn

trz V przez zewn

trzne pola sił, np. pole grawitacyjne, elektromagnetyczne-gdy płyn

jest przewodnikiem elektryczno

ci, od

rodkowe i Coriolisa-gdy płyn porusza si

w wiruj

cym

układzie współrz

dnych. Załó

my,

e układ współrz

dnych, w którym rozpatrujemy ruch jest

nieruchomy, lub porusza si

ruchem jednostajnym po linii prostej i uwzgl

dniamy tylko siły

masowe

niezale

ruchu

płynu

w tym układzie. Reprezentantem pola sił masowych jest siła masowa przypadaj

ca na

jednostk

masy czynnika, czyli mierzymy jaw [N/kg] i oznaczamy przez F

. W przypadku sił

grawitacyjnych b

dzie to po prostu g, czyli przy

pieszenie ziemskie. Suma sił masowych

działaj

cych na obszar płynny wynosi zatem

(19.4)

Ostatecznie zapisujemy zasad

zachowania p

du dla całego obszaru płynnego V w formie

całkowej

(19.5)

Zasad

na wyrazi

równie

według sformułowania d'Alemberta, które mówi,

e suma

sił zewn

trznych i sił bezwładno

ci musi by

w ka

dej chwili równa zero.

Poniewa

siła bezwładno

ci b

dzie tutaj równa

(19.6)

to zamiast (19.5) mo

na zapisa

(19.7)

Z równa

(19.5) i (19.6) wynika,

e istnieje to

samo

ść

(19.8)

samo

ść

(19.8) obowi

zuje równie

w przypadku, gdy zamiast v podstawimy w niej

dowolny inny skalar, lub wektor.

2.Równanie Eulera.

−

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

gradp









−

∫∫∫

gradp

)

(

div

)

(

div

gradp

Zasad

zachowania p

du w postaci całkowej podaje równanie (19.7). Dla płynu nielepkiego,

gdy podstawimy p

=-n* p, otrzymamy

(19.9)

Stosuj

c twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego do przekształcenia całki wyra

cej

siły powierzchniowe na całk

obj

ciow

, czyli

(19.10)

otrzymujemy

(19.11)

Ze wzgl

du na dowolno

ść

w wyborze obszaru całkowania V, dla ka

dego elementu

dV funkcja podcałkowa musi si

zerowa

, czyli dla przepływu o ci

głych zmianach v, p, p

dzie

(19.12)

Równanie (19.12) nazwane równaniem Eulerajest bilansem sił bezwładno

ci, ci

nienia

i sił masowych dla niesko

czenie małego elementu płynu o obj

ci dV podczas ruchu tego

płynu.

Równanie to ł

cznie z równaniem ci

gło

ci w formie ró

niczkowej stanowi zamkni

układ równa

wystarczaj

cy do rozwi

zywania zada

dotycz

cych przepływów cieczy

nielepkiej. Mamy wtedy cztery niewiadome

, p i cztery równania skalarne.

Przepływy gazu doskonałego opisujemy za pomoc

układu

(19.13)

(19.14)

3.Równania Naviera-Stokesa.

∫∫

p *

∂

Równanie zachowania p

du płynu lepkiego w postaci całkowej dla sko

czonego obszaru

płynnego V podałem jako równanie (19.7). W przypadku obszaru V, w którym wyst

puj

głe zmiany parametrów , p,pitd., równanie zachowania p

du mo

na wyrazi

dla

elementów obj

ci dV, czyli w formie ró

niczkowej. Przej

cie z formy (19.7) do

ró

niczkowej wymaga przedstawienia wszystkich wyst

puj

cych w (19.7) sił jako sił

obj

ciowych. W równaniu (19.7) sił

powierzchniow

jest

Korzystaj

c z zale

ci znanych

i analizy wektorowej wzorów na przekształcenie całek powierzchniowych na obj

ciowe,

mianowicie

emy (19.7) zapisa

w nast

puj

cej formie

Z powy

szego równania wida

e wyra

enie typu jest

charakterystyczne dla siły powierzchniowej, przypadaj

cej na jednostk

obj

ci.

Ze wzgl

du na dowolno

ść

obszaru V musi by

spełniony warunek zerowania si

funkcji

podcałkowej, czyli

Jest to najogólniejsze równanie zachowania p

du w formie ró

niczkowej. Zwane ono jest

równie

równaniem p

du w napr

ęż

eniach. Mo

na je przepisa

jako trzy równania skalarne

wykorzystuj

c zwi

zki

otrzymujemy

(19.15)

(19.16)

(

)

∫∫∫

∫∫















∂



























∂

−

∫∫∫

∂

Aby uzale

wyst

puj

ce w tym równaniu składowe napr

ęż

od parametrów przepływu musimy

skorzysta

z hipotez dotycz

cych zwi

zku mi

dzy napr

ęż

eniami i odkształceniami elementu płynu,

które s

wyra

one poprzez pola pr

dko

ci. Hipotezy te pochodz

z obserwacji empirycznych.

Skorzystamy z hipotezy Newtona mówi

cej,

e napr

ęż

enia w poruszaj

cym si

płynie s

proporcjonalne do pr

dko

ci deformacji elementu płynu. Gdy

zastosujemy prosty newtonowski

model przepływu mi

dzy dwoma warstwami cieczy

* i porównamy go z ogólniejszym

odkształceniem postaciowym elementu płynu, to zauwa

ymy, model Newtona opisuje szczególny

przypadek odkształcenia.

Vy +

dz V

ββββ

αααα

W modelu Newtona

i wszystkie wyrazy tensora pr

dko

deformacji elementu

płynu sprowadzaj

zgodnie ze wzorami

do członów













∂

[ ]

(19.17)

Hipoteza Newtona mówi w tym przypadku,

e napr

ęż

enie

wynosi

(19.18)

li przyjmiemy,

e napr

ęż

enia zawsze proporcjonalne do pr

dko

ci deformacji, czyli w tym

przypadku na podstawie (19.17)

(19.19)

gdzie k

-współczynnik proporcjonalno

ci mi

dzy tensorem deformacji i napr

ęż

Porównuj

c (18) i (19) widzimy,

1 =

(19.20)

li przeniesiemy ten rezultat na ogólne przypadki płynu, opisanych członami

tensora

deformacji

to porównuj

c tensory

[ ]

∂













∂













∂













∂













∂













∂













∂

−

≠

otrzymamy:

Wyja

nimy teraz struktur

napr

ęż

normalnych p

, p

, wyst

puj

cych

przek

tnej tensora napr

ęż

Przyjmiemy,

e ci

nienie musi by

zwarte we wzorach okre

laj

cych p

, p

Gdy

dko

ść

czynnika , to napr

ęż

enia normalne s

sobie równe i

równe ci

nieniu, a wi

-3p

(19.25)

Znak minus przy ci

nieniu wi

ąż

e si

z wyja

nionym ju

zwi

zkiem: dla v=0 jest

Jednoczenie suma napr

ęż

normalnych na podstawie ogólnych

twierdze

rachunku tensorowego jest stała i wynosi -3p równie

, gdy

dko

ci wydłu

elementu płynu E

, E

musz

z napr

ęż

eniami normalnymi. Dla cieczy, gdzie divv =0, napr

ęż

enia normalne

emy nast

puj

co uzale

od pr

dko

ci wydłu

(19.26)

Miar

dodatkowego odkształcenia obj

ci gazów jest ró

na od zera warto

ść

divv. Przyjmujemy zatem,

e dla gazów napr

ęż

enia normalne dodatkowo zale

żą

(19.24)

∂

−

∂

−

∂

−

divv,

a wi

(19.27)

Sumuj

c stronami równanie (19.27) z uwzgl

dnieniem (19.25) otrzymamy

- 3 p = -3 p + k

* divv + 3k

* divv,

(19.28)

Ostatecznie piszemy zwi

zki napr

ęż

normalnych z polem pr

dko

ci dla gazów:

(19.29)

Dla cieczy zale

ci te sprowadzaj

do (19.26). Do równania (19.16)

podstawimy zwi

zki napr

ęż

z polem pr

dko

ci i ci

nie

. Dla pierwszego z równa

(19.16) otrzymujemy w wyniku drobnych przekształce

przy zało

eniu,

= const,

(19.30)

div

−

div

−

div

−

div

−

∂

−

div

−

∂

−

div

−

∂

−

div

∂

−















∂















∂

−

∂

(19.31)

gdzie lepko

ść

kinematyczna

Analogicznie mo

na zapisa

równanie dla kierunku y i z.

(19.32)

Układ (19.31) i (19.32) mo

emy zapisa

w postaci wektorowej

(19.33)

Jest to równanie zachowania p

du płynu lepkiego,

liwego w formie

ró

niczkowej, tzw. Równanie Naviera-Stokesa. Dla cieczy odpada ostatni człon

równania ze wzgl

du na to,ze divv = O. Dla płynu nielepkiego v = O i równanie

(19.33) przechodzi w równanie Eulera (19.12).

Równanie (19.33) jest najogólniejszym równaniem p

du jakie znamy dla

nieustalonych trójwymiarowych przepływów lepkiego płynu newtonowskiego.

Fizycznie uzasadnionym warunkiem brzegowym, który stosuje si

przy

rozwi

zywaniu równa

N - S jest znikanie pr

dko

ci na nieruchomych

ciankach

kanałów lub ciał opływanych. Gdy

cianka porusza si

, pr

dko

ść

płynu na niej

równa si

dko

cianki.

Rozwi

zanie analityczne równania (19.33) jest mo

liwe tylko dla bardzo

uproszczonych jego postaci. Metody numeryczne i wykorzystanie maszyn

div

∂

∇

∂

−

div

∂

∇

∂

−

div

∂

∇

∂

−

graddiv

gradp

∇

−

cyfrowych umo

liwiaj

rozwi

zanie tego równania w szerszym zakresie. Jednak

nawet metody numeryczne nie zezwalaj

obecnie na teoretyczne rozwi

zywanie

dowolnych przepływów lepkich w oparciu o równanie N - S. Problemy te zostan

szczegółowiej omówione w dalszym ci

gu tego rozdziału. Równanie N- S jest

podstaw

w badaniu zjawisk podobie

stwa przepływu płynów bez potrzeby ich

rozwi

zywania.

20. Równanie Daniela Bernoulliego

Przy nast

puj

cych zało

eniach :

1. Płyn jest nielepki (



, = 0 )

2. Przepływ jest stacjonarny

3. Pole sił masowych ma potencjał II ( f = -grad II )

4. Płyn jest barotropowy (



(p) )

Równanie za chowania ilo

ci ruchu mo

na zapisa

nast

puj

co:

rotu

grad













)

(

Trójmian

)

(

nazywamy trójmianem Bernoulliego.

Jest pi

ęć

przypadków stało

ci tego trójmianu:

rotu

gradE

I - wektor jednostkowy

gradE

Iw,- wektor styczny do linii wirowej

rotu

grad E = 0

rotu=0

grad E = 0

5. Dla u=0

const

)

(

Stało

ść

trójmianu Bernoulliego wykazana dla pi

ciu przypadków, stanowi podstaw

do sformułowania równania Bernoulliego. Ma ono posta

const

ERROR: syntaxerror
OFFENDING COMMAND: --nostringval--

STACK:

(ZALICZENIE Z MECHANIKI P£YNW _Czarno-Bia‡e_Wojnar Brak

)

/Title
()
/Subject
(D:20041124224136)
/ModDate
()
/Keywords
(pdfcreator Version 0.8.0)
/Creator
(D:20041124224136)
/CreationDate
(root)
/Author
-mark-

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
mechanika plynow opracowane zagadnienia (2), Sprawka
mechana plynow opracowane zagadnienia kolo1, PG inżynierka, Semestr 3, Mechanika płynów, wykład
Mechanika płynów opracowane zagadnienia, Inżynieria Środowiska-Szczecin, Mechanika płynów, Wykłady+k
mechana plynow opracowane zagadnienia, OiO sem. III, mechanika płynów
mechanika płynów opracowanie
mechanika płynów 46-49, Mechanika płynów 1, Opracowania
Mechanika płynów opracowanie
mechanika plynow opracowanie
Mechanika plynow opracowanie
Mechanika plynow opracowanie wersja zmniejszona
mechanika plynow opracowanie
OPRACOWANE ZAGADNIENIE NR 3, POLITECHNIKA ŚLĄSKA Wydział Mechaniczny-Technologiczny - MiBM POLSL, Se
OPRACOWANE ZAGADNIENIA z Mechaniki Płynów, Hydrologia i Hydraulika
Opracowane pytania na mechanikę płynów

więcej podobnych podstron