Równania konstytutywne
(równania materiałowe, związki fizyczne, związki fizykalne)
– definicje idealnych ośrodków ciągłych, postulowane na podstawie
teoretycznych analiz, weryfikowane doświadczalnie.
Z zestawu równań podstawowych Teorii Sprężystości równania te,
jako jedyne, definiują materiał – opis stanu geometrycznego i stanu
naprężenia jest jednakowy dla wszystkich ośrodków ciągłych.
Zależność stanu naprężenia w danej chwili od historii obciążenia –
tzw. materiały z pamięcią.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 1
Przykład: plastyczne płynięcie dla danej wartości
ε
nie może
znaleźć odpowiadającej (jednoznacznej) wartości
σ
.
Klasa materiałów bez pamięci – materiały sprężyste.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 2
OŚRODEK (MATERIAŁ) SPRĘŻYSTY
Tensor naprężenia w ośrodku sprężystym zależy tylko od
aktualnego stanu odkształcenia, nie zależy od historii odkształcenia
(materiał sprężysty - bez pamięci)
(
ij
ij
)
f e
σ
=
,
( )
ij
ij
e
g
σ
=
, e
ij
– ogólnie: tensor odkształcenia
f
i - funkcje tensorowe, wzajemnie odwracalne na ogół
nieliniowe
g
Ośrodek (materiał) liniowo sprężysty, małe odkształcenia:
ij
ijkl kl
C
σ
ε
=
ij
σ σ
≡
– tensor naprężeń Cauchy
kl
ε ε
≡
– tensor małych odkształceń
Zapis absolutny:
C
σ
ε
= i (działanie: zwężeniae pełne, brak
analogii w rachunku macierzowym)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 3
– tensor stałych sprężystych - tensor IV walencji,
ogólnie 81 składowych
ijkl
C C
≡
Z symetrii tensorów
σ
i
ε
(
ij
ji
σ
σ
=
,
kl
lk
ε
ε
=
) wynikają
tożsamości
,
pozostaje więc 36 niezależnych współrzędnych
C
ijkl
jikl
jilk
C
C
C
=
=
Związek konstytutywny
ij
ijkl kl
C
σ
ε
=
, obejmujący 36 stałych
sprężystych, to tzw. uogólnione prawo Hooke’a dla ciał
anizotropowych.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 4
Przykład – efekt anizotropii (poza kursem WM)
Odkształcenie postaciowe – w tensorze odkształceń
ε
niezerowa
jedynie składowa
12
ε
Obecność w tensorze
C niezerowej składowej
powoduje, że
1112
C
11
1112 12
0
C
σ
ε
=
≠
Efekt ten nie jest możliwy w ośrodku izotropowym (w każdym
kierunku własności materiału identyczne)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 5
Notacja alternatywna
(stany naprężenia i odkształcenia – wektory)
:
1
11
4
23
3
2
22
5
31
13
3
33
6
12
21
2
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
≡
≡
≡
≡
≡
≡
σ
=
=
=
1
11
4
23
32
2
22
5
31
13
3
33
6
12
21
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
≡
≡
≡
≡
≡
≡
ε
=
=
=
W takiej postaci związki konstytutywne można podać w formie
macierzowej :
0,
,
1,...,6
K
KL L
C
K L
σ
ε
=
≠
=
Macierz
KL
C C
=
zawiera 36 stałych sprężystych.
Istnieje funkcja zwana potencjałem sprężystym
Φ
(inaczej energią
właściwą odkształcenia sprężystego), w najprostszej postaci
wyrażona formą kwadratową
1
2
KL K L
C
ε ε
Φ =
Z istnienia tej funkcji wynika
KL
L
C
C
K
=
,
tylko 21 niezależnych stałych.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 6
Symetrie i wynikające z nich uproszczenia:
Trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii w każdym
punkcie – ośrodek ortotropowy, macierz stałych sprężystych w
postaci
11
12
13
21
22
23
31
32
33
44
55
66
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
12 niezależnych stałych, warunek
KL
L
C
C
K
=
– 9 stałych
Przykładowo: drewno o idealnej strukturze włóknistej.
Symetria obrotowa względem jednej osi (np. ) – izotropia
poprzeczna, pozostaje 5 stałych sprężystych.
3
x
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 7
Pełna izotropia
– izotropowy tensor stałych sprężystych
Możliwa postać:
ijkl
ij kl
ik
jl
il
jk
C
b
c
λδ δ
δ δ
δ δ
=
+
+
– trzy stałe sprężyste
Uogólnione prawo Hooke’a dla ciał izotropowych:
(
)
(
)
2
ij
ijkl kl
ij kl
ik
jl
il
jk
kl
ij kk
ij
ji
ij kk
ij
ij kk
ij
C
b
c
b
b c
c
σ
ε
λδ δ
δ δ
δ δ ε
λδ ε
ε
ε
λδ ε
ε
λδ ε
µε
=
=
+
+
=
+
+
=
+ +
=
+
=
lub
tr
2
I
σ λ ε
µ
=
+
ε
Liniowosprężyste prawo konstytutywne, ośrodek izotropowy –
dwie stałe sprężyste, tzw. stałe Lame
λ
i
µ
– postać
( )
f
σ
ε
=
Zależności odwrotne
( )
g
ε
σ
=
Relacja pomocnicza:
tr
tr
σ
ε
↔
:
(
)
3
2
3
2
ii
kk
ii
kk
σ
λε
µε
λ
µ ε
=
+
=
+
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 8
Stąd
1
3
2
kk
ii
ε
σ
λ
µ
=
+
Zatem
1
1
2
2 3
2
ij
ij
ij
kk
λ
ε
σ
δ
µ
µ λ
µ
=
−
+
σ
Zależności między stałymi Lame
λ
i
µ
a stałymi technicznymi
i
E
ν
.
Zapis wskaźnikowy związków konstytutywnych:
(
)
11
11
22
33
12
21
12
1
...
1
...
E
E
ε
σ
ν σ
σ
ν
ε
ε
σ
=
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
+
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 9
Zapis łączony:
1
ij
ij
ij
kk
E
E
ν
ν
ε
σ
δ σ
+
=
−
Zależności
(
)
1
1
2
2 1
E
G
E
ν
µ
µ
ν
+
=
⇒ =
=
+
(
)(
)
1
2 3
2
1
1 2
E
E
λ
ν
ν
λ
µ λ
µ
ν
ν
=
⇒ =
+
+
−
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 10
Bilans równań i niewiadomych zadania teorii sprężystości
(podstawa sformułowania ogólnego problemu TS !!!!!)
Niewiadome:
symetryczny tensor naprężeń Cauchy
ij
σ σ
≡
– 6 składowych
symetryczny tensor małych odkształceń
ij
ε ε
≡
– 6 składowych
wektor przemieszczeń
k
u u
≡
razem 15 składowych
– 3 składowe
Zależności:
równania równowagi
div
0
b
σ ρ
+
=
– 3 równania
związki geometryczne
(
)
1
2
T
u
u
ε
=
∇ + ∇
– 6 równań
prawa konstytutywne
tr
2
I
σ λ ε
µε
=
+
razem 15 równań
– 6 równań
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 11
Document Outline