Tensory ortogonalne
Obrót układu współrzędnych (bazy)
1 2 3
Ox x x
- układ pierwotny
1 2 3
Ox x x
′ ′ ′
- po transformacji
Definiując kąty obrotu
(
)
,
ij
i
j
x x
α
′
=
Określa się macierz transformacji
(
)
cos
cos
,
ij
ij
i
j
A
x x
α
⎡
⎤
′
⎡
⎤
=
=
⎣
⎦ ⎣
⎦
np.
(
)
12
1
2
cos
,
A
x x
′
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
1
W układzie pierwotnym dowolny punkt P ma współrzędne
w nowym układzie ten sam punkt ma
współrzędne
{
1
2
3
T
j
x
x
x x x
=
=
}
{
}
1
2
3
T
j
x
x
x x x
′
′
′ ′ ′
=
=
Transformacja współrzędnych punktu P (zarazem współrzędnych
wektora wodzącego tego punktu)
.
T
x
A
= x
j
lub
i
ij
x
A x
′ =
1
11 1
12 2
13 3
2
21 1
22 2
23
3
31 1
32 2
33
x
A x
A x
A x
x
A x
A x
A x
x
A x
A x
A x
′ =
+
+
′ =
+
+
′ =
+
+
3
3
gdzie
(
)
cos
,
ij
i
j
A
x x
′
=
, np.
(
)
12
1
2
cos
,
A
x x
′
=
Własności macierzy transformacji
– długości wektorów wodzących i
x
x′
punktu P w obu układach są
jednakowe, stąd:
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
2
2
T
k k
jk
j k
x
x x
x x
x
δ
=
=
=
x
(
)
(
)
2
T
i i
ij
j
ik k
ij
ik
j k
x
x x
x x
A x
A x
A A x
′
′ ′
′ ′
=
=
=
=
x
Długość wektora jest stała:
(
)
0
ij
ik
ik
j k
A A
x x
δ
−
=
dla każdego
x
Stąd
ij ik
ik
A A
δ
=
lub
T
A A I
=
więc
1
T
A
A
−
=
ik
A A
≡
– tensor ortogonalny (reprezentacja: macierz ortogonalna)
Wyznacznik
( ) (
)
(
) (
)
2
det
det
det
det
1
T
T
A A
A
A
A
=
=
=
więc det
1
A
= ±
Macierz (tensory) o powyższych własnościach
– grupa ortogonalna – obroty i przekształcenia (odbicia) układów
współrzędnych ~
Gdy det
1
A
= → grupa obrotów
specjalna, ortogonalna, w
przestrzeni trójwymiarowej
(3)
SO
Gdy det
1
A
= − →
Łączne działania – grupa ortogonalna
.
odbicia (nie tworzą grupy),
(3)
O
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
3
Transformacja wielkości tensorowych
Podstawa – transformacja wektorów bazowych:
(
)
i
ij j
e
Ae
e
A e
′
′
=
=
Współrzędne dowolnego wektora:
(
)
i
ij j
u
Au
u
A u
′
′
=
=
Współrzędne tensora 2 walencji:
(
)
T
ij
ik
jl kl
T
ATA
T
A A T
′
′
=
=
Współrzędne tensora dowolnej walencji:
.....
....
....
ijk
ip
jq km
pqm
T
A A A
T
=
Formalna reprezentacja wielkości tensorowych
Tensor walencji 1 – wektor – składowe w danej bazie
{ } {
}
1
2
3
i
e
e
e e e
=
=
,
i i
k k
i i
u u e
u e
u
u e
′
′ ′
≡
=
≡
Tensor walencji 2 – składowe w 9-wymiarowej polibazie
(działanie mnożenia tensorowego) utworzonej z par wektorów
bazowych
i
j
e
e
⊗
kl k
l
kl k
l
T
T e
e
T e
e
′ ′
′
≡
⊗ =
⊗
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
4
Działania na tensorach walencji 1 i 2 – przykłady:
Zapis
wskaźnikowy
Zapis
absolutny
Nazwa działania i rezultat
i i
a b
ab a b
= ⋅
zwężenie (kontrakcja) – w przypadku
wektorów
Ø iloczyn skalarny - liczba
i j
a b
a b
⊗
mnożenie tensorowe (diada) wektorów –
Ø macierz (tensor walencji 2)
ij j
C b
C b
zwężenie (kontrakcja)
tensora walencji 2 i wektora
Ø wektor
ij k
C b
C
b
⊗
mnożenie tensorowe (diada) tensora
walencji 2 i wektora
Ø tensor walencji 3
ij
jk
E F
E F
zwężenie (kontrakcja) tensorów walencji 2
Ø tensor walencji 2
ij
km
E E
E
F
⊗
mnożenie tensorowe (diada) tensorów
walencji 2
Ø tensor walencji 4
ij
ij
E F
,
:
E F E F
i
zwężenie pełne tensorów walencji 2
Ø liczba
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
5
Przypadek tensora walencji II – problem własny
(analogia do problemu własnego macierzy)
Dany jest tensor
ij
A A
≡
, szukamy wektora
0
j
p
p
≡
≠
takiego,
że
Ap
p
λ
=
, gdzie
λ jest mnożnikiem.
Postać
(
)
0
A I
p
λ
−
=
det(
) 0
daje w rezultacie równanie algebraiczne
A I
λ
−
=
, trzy rozwiązania
i
λ (wartości własne tensora
A
)
i odpowiadające im wektory
(wektory własne).
( )
i
p
:
Inna postać równania
det(
) 0
A I
λ
−
=
3
2
0
A
A
A
I
II
III
λ
λ
λ
−
+
−
=
gdzie
11
22
33
A
ij ij
ii
I
trA A
A
A
A
A
δ
=
=
=
=
+
+
( )
2
2
1
1
2
2
A
ii
jj
ij
ji
II
trA
trA
A A
A A
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
=
−
⎣
⎦
⎣
⎦
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
6
1
2
det
3
A
ijk
i
j
k
III
A
A A A
ε
=
=
Unormowane wektory
,
i
tworzą ortonormalną bazę
(1)
p
(2)
p
(3)
p
tensor
11
12
13
21
22
23
31
32
33
ij
A
A
A
A A
A
A
A
A
A
A
⎡
⎤
⎢
⎥
≡
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
w bazie tej ma postać
1
2
3
0
0
'
0
0
0
0
A
λ
λ
λ
⎡
⎤
⎢
⎥
≡ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
tak więc
1
2
A
I
3
λ λ λ
=
+
+
,
1 2
2 3
1 3
A
II
λ λ λ λ λ λ
=
+
+
1 2 3
A
III
λ λ λ
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
7
Dowolny tensor walencji II można rozłożyć na tzw. część kulistą i
dewiator
11
12
13
11
12
13
21
22
23
21
22
23
31
32
33
31
32
33
0
0
0
0
0
0
A
A
A
p
A
p
A
A
A
A
A
p
A
A
p
A
A
A
A
p
A
A
A
p
−
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
=
+
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
lub w zapisie absolutnym
A
pI S
=
+
gdzie
(
)
11
22
33
1
1
tr
3
3
ii
p
A
A
A
A
=
+
+
=
=
1
3
A
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
8
Wielkości tensorowe różnych walencji (z odpowiednią liczbą
składowych) traktowane są jako funkcje położenia punktu –
współrzędnych
,
1,2,
i
x i
3
=
Funkcja skalarna
( )
(
)
1
2
3
, ,
d
d x
d x x x
≡
=
(pole skalarne w
3
R
)
Funkcja wektorowa
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
3
1
2
3
2
1
2
3
3
1
2
3
, ,
, ,
, ,
, ,
u x x x
u u x
u x x x
u x x x
u x x x
⎧
⎫
⎪
⎪
≡
=
= ⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
pole wektorowe - trzy funkcje skalarne
Funkcja tensorowa II walencji
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
11
12
13
21
22
23
31
32
33
A x
A
x
A
x
A A x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
⎡
⎤
⎢
⎥
≡
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
pole tensorowe II walencji - 9 funkcji skalarnych
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
9
Oznaczenia pochodnych:
,i
i
M
M
x
∂
=
∂
M – funkcja skalarna lub składowa funkcji tensorowej
dowolnej walencji, np.
,1
1
f
f
x
∂
=
∂
;
2
2,3
3
u
u
x
∂
=
∂
;
13
13,2
2
A
A
x
∂
=
∂
;
1
1,
,
1,2
k
k
u
u
k
x
,3
∂
=
=
∂
Gradient pola skalarnego
,1
,1
,2
,1
,2
,3
,3
grad =
T
i
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
⎡
⎤
∂
⎢
⎥
=
=
= ⎡
⎤
⎣
⎦
⎢
⎥
∂
⎢
⎥
⎣
⎦
-
wektor
Gradient pola wektorowego
1,1
1,2
1,3
,
2,1
2,2
2,3
3,1
3,2
3,3
grad =
T
i
i j
j
u
u
u
u
u
u
u
u
u
x
u
u
u
⎡
⎤
∂
⎢
⎥
=
= ⎢
⎥
∂
⎢
⎥
⎣
⎦
-
tensor walencji II
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
10
Dywergencja pola wektorowego
,
1,1
2,2
3
div =
i
i i
i
u
u
u
u
u
x
,3
u
∂
=
=
+
+
∂
-
skalar
Dywergencja pola tensorowego walencji 2:
1 ,
,
2 ,
3 ,
div =
j j
ij
ij j
j j
j
j j
A
A
A
A
A
x
A
⎡
⎤
∂
⎢
⎥
=
= ⎢
⎥
∂
⎢
⎥
⎣
⎦
- wektor
Laplasjan pola skalarnego
2
,
,11
,22
,33
=
ii
i
i
x x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∆
=
=
+
+
∂ ∂
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
11
DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO
Opis zmian stanu geometrycznego.
Dowolny obiekt w przestrzeni rozpatrujemy w dwóch chwilach:
• początkowej (
0
t
=
) – konfiguracja początkowa
0
B
• aktualnej (określone t) – konfiguracja aktualna
B
Deformacja – całkowita zmiana stanu geometrycznego obiektu.
Dwa składniki:
1) translacja i obrót jak dla bryły sztywnej (bez zmiany
wzajemnych odległości)
2) zmiana wymiarów i kształtu (wzajemnych odległości między
punktami), tak globalne w skali całego obiektu jak i lokalne, w
otoczeniu danego punktu
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
12
Dwie formy opisu deformacji:
1) zmiana położenia wybranego punktu obiektu (np. punktu na
osi belki), współrzędne aktualne w funkcji współrzędnych
początkowych:
( )
x
X
ϕ
=
Jest to opis MATERIALNY (opis Lagrange’a) odnosi się do
współrzędnych początkowych – współrzędnych materialnych
(Lagrange’a) – opis właściwy w mechanice ciała stałego
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
13
2) Obserwacja wybranego punktu w przestrzeni (np. przepływ
cieczy przez określony punkt) – w punkcie tym, o
współrzędnych
, mogą pojawić się różne cząstki, o różnych
współrzędnych aktualnych , stąd
i
X
i
x
( )
(
1
X
x
γ
ϕ
−
=
=
)
x
.
Jest to opis PRZESTRZENNY (opis Eulera), odnosi się do
współrzędnych aktualnych – współrzędnych przestrzennych
(Eulera) – opis właściwy w mechanice płynów
Elementarny odcinek (wektor)
z konfiguracji początkowej
przyjmuje w konfiguracji aktualnej postać
.
dX
dx
Zachodzi
( )
dx
dX
ϕ
=
Gdy odcinki są nieskończenie małe (liniowe), odwzorowanie
ϕ
można zapisać jako liniowe przybliżenie (aproksymację):
dx FdX
=
lub
i
ij
dx
F dX
j
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
14
Macierz
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
3
3
3
1
2
i
ij
j
x
x
x
X
X
X
x
x
x
x
F
F
X
X
X
X
x
x
x
X
X
X
3
3
3
⎡
⎤
∂
∂
∂
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎢
⎥
⎢
⎥
∂
∂
∂
∂
=
=
= ⎢
⎥
∂
∂
∂
∂
⎢
⎥
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎣
⎦
materialny
gradient
deformacji
Rozpisanie powyższego równania:
1
1
1
1
1
2
3
1
2
3
x
x
x
dx
dX
dX
dX
X
X
X
∂
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∂
W opisie materialnym
(
)
1
1
1
2
3
,
,
x
x X X X
=
- zmienne niezależne, - zmienna zależna
,
1,2,
i
X
i
=
3
1
x
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
15
W prostszej notacji:
(
) (
1
2
3
,
,
, ,
)
X X X
x y z
→
F
F
F
dF
dx
dy
dz
x
y
z
∂
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∂
1
( , , )
x
F
F x y
→
=
z
- wzór na różniczkę zupełną funkcji trzech zmiennych.
Gradient deformacji jest liniowym przybliżeniem
odwzorowania
F
ϕ
.
Własności gradientu deformacji:
1)
- tensor nieosobliwy
det
0
F
≠
2) W ogólnym przypadku
lub
T
F
F
≠
ij
ji
F
F
≠
Naturalna miara odkształcenia jest zmienna długość w obu
konfiguracjach (różnica kwadratu ich długości)
2
2
T
T
dx
dX
dx dx dX dX
−
=
−
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
16
a) Opis materialny (współrzędne aktualne względem
początkowych ):
i
miary zmian w opisie materialnym (odnośnie konfiguracji
początkowej):
x
X
dx FdX
=
T
T
dx
dX F
=
T
=
(
)
2
2
T
T
T
T
T
T
T
dx
dX
dx dx dX dX
dX F FdX dX dX
dX
F F I dX
−
=
−
=
−
=
−
• tensor deformacji Greena
T
C
F F
=
ij
ki kj
C
F F
=
• tensor odkształceń Lagrange’a - Greena
(
)
(
)
1
1
2
2
T
E
C I
F F
=
−
=
− I
wtedy
(
)
2
2
2
2
T
T
ij
i
j
dx
dX
dX
C I dX
dX EdX
E dX dX
−
=
−
=
≡
forma kwadratowa tensora względem
- odniesienie
do konfiguracji początkowej.
E
dX
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
17
Własności: oba tensory
C
i (reprezentujące je macierze)
są symetryczne
E
T
C C
=
(
ij
ji
C
C
=
) oraz
T
E E
=
(
ij
ji
E
E
=
)
b) Opis przestrzenny (współrzędne początkowe względem
aktualnych ):
i
X
x
1
dX
F dx
−
=
( )
1
T
T
T
dX
dx F
−
=
stąd
(
)
1
2
2
T
T
dx
dX
dx I
FF
dx
−
⎡
⎤
−
=
−
⎢
⎥
⎣
⎦
miary zmian stanu geometrycznego w opisie przestrzennym
(względem konfiguracji aktualnej):
• tensor Fingera
T
b FF
=
ij
ik
jk
b
F F
=
• tensor deformacji Cauchy
(
) ( )
1
1
1
_
T
T
c b
FF
F
F
−
−
−
=
=
=
1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
18
• tensor odkształceń Eulera – Almansi
(
)
(
)
1
1
1
2
2
T
e
I c
I
FF
−
⎡
⎤
=
−
=
−
⎢
⎥
⎣
⎦
stąd
(
)
2
2
2
2
T
T
ij
i
j
dx
dX
dx I c dx
dx edx
e dx dx
−
=
−
=
≡
forma kwadratowa tensora względem wektora
-
odniesienie do konfiguracji aktualnej
e
dx
Własności: oba tensory c i (reprezentujące je macierze)
są symetryczne
e
T
c c
=
(
ij
ji
c
c
=
) oraz
(
T
e e
=
ij
ji
e
e
=
)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
19
Rozciąganie osiowe (bez zmiany pozostałych wymiarów)
1
1
1
l
x
X
X
L
λ
=
=
l
L
λ
=
rozciąganie
(w WM w stanie jednoosiowym definiowane
x
ε ε
=
1
λ
ε
→ +
)
Gradient deformacji
F
Ø
1
11
1
x
F
X
λ
∂
=
=
∂
,
Opis materialny (składowe diagonalne w kierunku X
1
):
z tensora deformacji Greena
C
Ø
2
11
C
λ
=
z tensora odkształceń Lagrange-Greena
E
Ø
(
)
2
11
1
1
2
E
λ
=
−
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
20