WYKŁAD 1
TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI
Mechanika Ciała Stałego
Mechanika Ośrodków Ciągłych
Porównanie TS z Mechaniką Budowli i Wytrzymałością Materiałów
1. Mechanika budowli (kurs MO i MB) – elementy prętowe
Zadanie: siły wewnętrzne M, T, N w elementach (przekrój
poprzeczny jako punkt osi pręta; w nim określone są siły
wewnętrzne
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
1
2. Wytrzymałość materiałów – elementy prętowe
Zadanie: rozkład naprężeń w przekrojach elementów prętowych.
Naprężenie – wielkość zdefiniowana w punkcie obiektu,
odniesiona do określonego w tym punkcie przekroju zadaną
płaszczyzną (wektor normalny)
3. Teoria Sprężystości i Plastyczności – obiekty 2D i 3D
określone: kształt (geometria) i parametry materiałowe, zadane
obciążenie
zadanie: w każdym punkcie określić
• wielkości statyczne – naprężenia [jedn. siły/ jedn. pow.]
• wielkości geometryczne – przemieszczenia i odkształcenia
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
2
Dwa podejście do problemu:
• rozwiązanie analityczne – właściwy kurs TSiP;
wynik: funkcje położenia punktu – współrzędnych
pola w 3D: naprężeń , przemieszczeń odkształceń);
ujęcie analityczne, ciągłe (kontynualne);
narzędzie: podstawowe równania TS – równania różniczkowe
cząstkowe.
{
}
1
2
3
T
x
x x x
=
• rozwiązanie numeryczne – dyskretyzacja (podział na elementy,
siatki węzłów)
wynik: w zadanych węzłach wartości (pomiędzy węzłami
interpolacja) – zbiór wartości naprężeń, przemieszczeń,
odkształceń;
ujecie numeryczne, dyskretne (dyskretyzowane)
narzędzie: metody rachunku macierzowego, rozwiązywanie
układu równań:
grupa metod; najbardziej powszechna Metoda Elementów
Skończonych
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
3
Kurs TSiP – jedynie ujęcie analityczne
Część wykładowa – analiza 2D i 3D, ogólne prawa mechaniki
• opis stanu geometrycznego (przemieszczenia, odkształcenia)
• opis stanu naprężenia
• związki pomiędzy stanami naprężenia i odkształcenia.
Część ćwiczeniowa – analiza 2D – dźwigary powierzchniowe
(tarcze, płyty), stany PSO
W kursie WM naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia
obliczane są w sposób uproszczony, inżynierski
(faktycznie są one wielkościami tensorowymi).
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
4
TENSOR
(wielkość tensorowa)
– ogólna matematyczna kategoria, grupująca zarówno wielkości
skalarne, wektorowe jak i bardziej złożone, o większej liczbie
składowych.
Założenie: przestrzeń euklidesowa z kartezjańskim układem
współrzędnych (bazą)
{
} { }
1
2
3
,
1, 2,
T
i
x
x x x
x
i
=
=
=
3
Rząd tensora (walencja) – liczba wskaźników (indeksów)
swobodnych, definiująca dana wielkość – liczbę jej składowych
Tensor walencji 0 – skalar – jedna liczba (np. masa, temperatura,
gęstość)
Tensor walencji 1 – wektor – w danym układzie współrzędnych
trzy składowe
{
} { }
1
2
3
,
1, 2,
T
i
u
u u u
u
i
=
=
=
3
(np. wektor
położenia punktu, wektor prędkości, wektor przyspieszenia, wektor
przemieszczenia)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
5
Tensor walencji 2 – w danym układzie współrzędnych macierz
11
12
13
21
22
23
31
32
33
ij
A
A
A
A A
A
A
A
A
A
A
⎡
⎤
⎢
⎥
≡
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
,
1, 2, 3
i j
=
→
9 składowych
Tensor walencji n – zawiera składowych (przestrzeń
trójwymiarowa)
3
n
Dwojaki zapis (notacja) wielkości tensorowych:
• zapis wskaźnikowy (indeksowy) – liczba wskaźników
swobodnych (wolnych) równa jest walencji tensora np.
wektora , tensora drugiej walencji
i
a
jk
B
• zapis absolutny – wymaga określenia walencji tensora (liczby
wskaźników):
a
,
B
dla odróżnienia (umowa): wektory oznaczać będziemy małymi
literami, tensory wyższej walencji – wielkimi literami.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
6
Zachodzi równoważność:
{
}
1
2
3
,
1, 2, 3;
1,2,
T
i
j
a
a a a
a
a i
j
≡
=
=
=
=
3
11
12
13
21
22
23
31
32
33
jk
m
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
⎡
⎤
⎢
⎥
≡
=
n
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
, , ,
1, 2, 3
m n
=
i j
=
Reguła sumacyjna Einsteina
gdy w wyrażeniu jednomianowym wskaźnik występuje dwukrotnie,
względem niego, w zakresie od 1 do 3 następuje sumowanie (jest to
tzw. wskaźnik niemy – niewystępujący w wyrażeniu wynikowym
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
7
Przykłady:
•
3
1 1
2 2
3 3
1
i i
i i
i
a b
a b
a b
a b
a b
c
=
≡
=
+
+
∑
=
– iloczyn skalarny wektorów; wynik – skalar (liczba)
Przypadek szczególny – kwadrat długości wektora
3
2
2
2
2
1
2
3
1
i i
i i
i
a a
a a
a
a
a
a
=
≡
=
+
+
=
∑
•
3
1 1
2 2
3 3
1
ij j
ij i
i
i
i
i
j
A b
A b
A b
A b
A b
=
≡
=
+
+
∑
d
=
– wektor (trzy składowe względem i)
•
3
3
11 1 1
12 1 2
1
1
...
ij i
j
ij i
j
i
j
A u u
A u u
A u u
A u u
k
=
=
≡
=
+
+
∑∑
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
8
– liczba (tensor walencji 0, skalar) – jest to forma kwadratowa
tensora (macierzy)
ij
A A
≡
względem wektora
k
u u
≡
• wyrażenie
i
il l
p
K q
=
, można zastąpić np. formą
m
ml l
p
K q
=
rozwinięcie – układ równań liniowych:
1
1
11 1
12 2
13 3
2
2
21 1
22 2
23 3
3
3
31 1
32 2
33 3
1:
2 :
3 :
l l
l l
l l
i
p
K q
K q
K q
K
i
p
K q
K q
K q
K
i
p
K q
K q
K q
K
=
=
=
+
+
=
=
=
+
+
=
=
=
+
+
q
q
q
W zapisie absolutnym
p Kq
=
Uwaga: działanie „mnożenia” ma zastosowanie także do tensorów
wyższych rzędów (tzw. kontrakcja, nasunięcie proste);
w odniesieniu do tensorów walencji 1 i 2 – interpretacja
macierzowa.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
9
•
3
11
22
33
1
ii
ii
i
T
T T
T
T
t
=
=
= +
+
=
∑
rT
ślad tensora walencji 2 (macierzy) – liczba
Można użyć tzw. symbolu Kroneckera
1 gdy
0 gdy
ik
i k
i k
δ
=
⎧
= ⎨
≠
⎩
w zapisie absolutnym
ik
I
δ
=
(
9 składowych, tylko 3 niezerowe
)
•
i j
k ijk
u v w
b
ε
=
wynik jest liczbą, wszystkie wskaźniki nieme
symbol permutacji Ricci:
1
permutacja parzysta (123, 231, 312)
1 permutacja nieparzysta (132, 213, 321)
0
którekolwiek wskaźniki wspólne
ijk
ε
−
⎧
⎪
= − −
⎨
⎪
−
⎩
W rozwinięciu 27 wyrazów, tylko 6 niezerowych
1 2
3
2 3 1
3 1
2
1 3
2
2 1
3
3 2
1
b u v w
u v w
u v w
u v w
u v w
u v w
=
+
+
−
−
−
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
10
•
ij
jk
ik
A B
C
=
wynik – tensor walencji 2 (i, k – wskaźniki swobodne,
j – wskaźnik niemy)
zapis absolutny
AB C
=
działania tensorowe – kontrakcja, nasunięcie proste w
odniesieniu do tensorów walencji 2,
interpretacja – mnożenie macierzy
jeden z wyrazów
11
11 11
12
21
13 31
C
A B
A B
A B
=
+
+
rozpisanie
11
12
13
11
12
13
11
12
13
21
22
23
21
22
23
21
22
23
31
32
33
31
32
33
31
32
33
A
A
A
B
B
B
C
C
C
A
A
A
B
B
B
C
C
C
A
A
A
B
B
B
C
C
C
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
11
Tensory ortogonalne
Obrót układu współrzędnych (bazy)
1 2 3
Ox x x
- układ pierwotny
1 2 3
Ox x x
′ ′ ′
- po transformacji
Definiując kąty obrotu
(
)
,
ij
i
j
x x
α
′
= )
Określa się macierz transformacji
(
)
cos
cos
,
ij
ij
i
j
A
x x
α
⎡
⎤
′
⎡
⎤
=
=
⎣
⎦ ⎣
⎦
np.
(
)
12
1
2
cos
,
A
x′
=
x
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
12
W układzie pierwotnym dowolny punkt P ma współrzędne
,
w nowym układzie ten sam punkt ma współrzędne
.
{
}
1
2
3
T
j
x
x
x x x
=
=
{
}
1
2
3
T
j
x
x
x x x
′
′
′ ′ ′
=
=
Transformacja współrzędnych punktu P (zarazem współrzędnych
wektora wodzącego tego punktu)
T
x
A
=
x
j
lub
i
ij
x
A x
′ =
1
11 1
12 2
13
2
21 1
22 2
23
3
31 1
32 2
33
x
A x
A x
A x
x
A x
A x
A x
x
A x
A x
A x
′ =
+
+
′ =
+
+
′ =
+
+
3
3
3
gdzie
(
)
cos
,
ij
i
j
A
x x
′
=
, np.
(
)
12
1
2
cos
,
A
x x
′
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
13
Własności macierzy transformacji
– długości wektorów wodzących i
x
x′
punktu P w obu układach są
jednakowe, stad:
2
T
k k
jk
j k
x
x x
x x
x x
δ
=
=
=
(
)
(
)
2
T
i i
ij
j
ik k
ij
ik
j k
x
x x
x x
A x
A x
A A x x
′
′ ′
′ ′
=
=
=
=
Długość wektora jest stała:
(
)
0
ij
ik
ik
j k
A A
x x
δ
−
=
dla każdego
x
Stąd
ij ik
ik
A A
δ
=
lub
T
A A I
=
więc
1
T
A
A
−
=
ik
A A
≡
– tensor ortogonalny (reprezentacja: macierz ortogonalna)
Wyznacznik
( ) (
)
(
) (
)
2
det
det
det
det
1
T
T
A A
A
A
A
=
=
=
więc det
1
A
= ±
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
14
Macierz (tensory) o powyższych własnościach
– grupa ortogonalna – obroty i przekształcenia (odbicia)
układów współrzędnych
Gdy det
1
A
= →
grupa obrotów
specjalna, ortogonalna,
w przestrzeni trójwymiarowej
(3)
SO
Gdy det
1
A
= − →
Łączne działania – grupa ortogonalna
.
odbicia (nie tworzą grupy),
(3)
O
Transformacja wielkości tensorowych
Podstawa – transformacja wektorów bazowych:
(
)
i
ij
e
Ae
e
A e
j
′
′
=
=
Współrzędne dowolnego wektora:
(
)
i
ij
u
Au
u
A u
j
′
′
=
=
Współrzędne tensora 2 walencji:
(
)
T
ij
ij
jl kl
T
ATA
T
A A T
′
′
=
=
Współrzędne tensora dowolnej walencji:
.....
....
....
ijk
ip
jq km
pqm
T
A A A
T
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
15
Formalna reprezentacja wielkości tensorowych
Tensor walencji 1 – wektor – składowe w danej bazie
{ } {
}
1
2
3
i
e
e
e e e
=
=
,
i i
k k
i i
u u e
u e
u
u e
′
′
≡
=
≡
Tensor walencji 2 – składowe w 9-wymiarowej polibazie
(działanie mnożenia tensorowego) utworzonej z par wektorów
bazowych
i
j
e
e
⊗
kl k
l
kl k
l
T
T e
e
T e
e
′ ′
′
≡
⊗ =
⊗
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG
16