1. 2 układy wektorów są równoważne, gdy mają
równe sumy i równe momenty liczone względem
jednego ustalonego wektora
2 układy wektorów są równoważne, gdy maja
równe momenty liczone wzgl. 3 odp, nie
współliniowych punktów.
2. Momentem względem prostej nazywamy
iloczyn wektorowy promienia wodzącego, czyli
wektora łączącego punkt prostej najbliższy
kierunkowi siły i punkt przyłożenia siły, i wektora
siły:
DF
𝑀
𝑙
≝ 𝐹
𝜋
× 𝐴
′
𝑂 <=>
𝑘𝑖𝑒𝑟𝑢𝑛𝑒𝑘: 𝑀
𝑙
||𝑙
𝑚𝑜𝑑𝑢ł: |𝑀
𝑙
= 𝐹
𝜋
𝐴
′
𝑂 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑧𝑤𝑟𝑜𝑡: 𝑤𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟𝑦 𝐹
𝜋
, 𝐴
′
𝑂, 𝑀
𝑙
𝑠𝑡𝑎𝑛𝑜𝑤𝑖ą 𝑡𝑟ó𝑗𝑘ę 𝑝𝑟𝑎𝑤𝑜𝑠𝑘𝑟ę𝑡𝑛ą
TW𝑀
𝑙
=
𝑀
𝑜
∗𝑛
𝑛
2
𝑛
jest równy 0 gdy siła i prosta tworzą płaszczyzne
bo iloczyn wektor =0
3. Wnioski z TW o zmianie bieguna
- jeśli S=0 to moment układu jest stały
(niezależny od wyboru bieguna, wzgl. Którego
jest liczony)
- jeśli momenty ukł. Liczone wzgl. 3
niewspółliniowych pkt. Są równe, to suma ukł.
Jest równa zeru
-Iloczyn skalarny i momenty liczone względem
dow. Pkt. Jest dla ukł. Sił wielkością stałą i
nazywamy ją parametrem ukł: K= M
0
*S=M
A
*S
4. Przyp. redukcji do najpr. postaci:
a. Układ zerowy (S=0, M
R
=0)
b. Para sił (S=0, M
R
≠0)
c. Wypadkowa (S≠0, K=0)
d. Ukł. Złoż z dwu sił skośnych (K≠0)
5. DF i TW o równoważności ukł wektorów:
Dwa ukł sił nazywamy równoważnymi, jeśli
wykonując skooczoną ilośd przekształceo
elementarnych I i II rodzaju otrzymamy drugi
układ. Ukł równoważne to takie, które mają
równe sumy i równe momenty liczone wzgl
dowolnego punktu.
Dwa ukł sił są równoważne, gdy mają równe
sumy i równe momenty liczone wzgl jednego
punktu
Dwa ukł sił są równoważne, gdy mają równe
momenty liczone wzgl trzech niewspółliniowych
punktów.
6. Przekształcenia elementarne ukł wektorów:
a. Dodanie do ukł 2 wektorów leżących na
jednej prostej, równych co do długości lecz
przeciwnych zwrotów
b. Dodanie do ukł kilku wektorów o wspólnym
początku i sumie równej zeru
Nie zmieniają one sumy ani momentu ukł
7. WKW by ukł miał oś środkową: chyba że S=0
8. Wektor prędkości kątowej:
𝜔 ≝ lim
𝛿𝑡 →0
𝜙 𝑡+𝛿𝑡 − 𝜙 (𝑡)
𝛿𝑡
𝑒
𝑙
= 𝜙
′
𝑒
𝑙
= 𝜔𝑒
𝑙
9. Wektor przyspieszenia kątowego:
𝜖 =
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=ω’
10.Prędkośd i przyspieszenie w ruchu względnym
a. Pręd bezwzględna pktu v
b
≡r’
pręd względna v
W
=p’
w
pręd unoszenia v
U
≡r
A
+ω
A
xp
b. Przysp względne a
W
=p’’
w
przysp Coriolisa a
C
=2ω
A
x p’
W
przysp unoszenia a
U
=r’’
A
+ ω
A
x p + ω
A
x(ω
A
x p)
przysp bezwzględne a
B
= r’’
11.Swobodna bryła sztywna ma 6 stopni swobody,
bryła której jeden punkt został unieruchomiony
3 stopnie swobody. Bryła podparta w dwóch
punktach ma 1ss, w ruchu płaskim ma 3ss
12.Tw o rozkładzie prędkości w bryle sztywnej:
a. W ruchu dowolny ciała sztywnego rzuty
prędkości punktów leżących na prostej na tę
prostą są równe
b. W ruchu dowolnym ciała sztywnego kooce
wektorów prędkości punktów leżących na tej
prostej też leżą na tej prostej
13.Definicje ruchów
a. Ruch postępowy - ruch w którym odcinek
łączący każde dwa dowolnie wybrane punkty
ciała zajmuje w czasie jego trwania położenie
równoległe do położenia poprzedniego (lub
początkowego)
b. Ruch kulisty – ruch ciała wokół stałego punktu.
V
A
=0 i a
A
=0 więc v
M
=ω
A
xAM oraz a
M
=ϵ
A
xAM+ω
A
x(ω
A
xAM)
c. Ruch obrotowy – szczególny przykład kulistego,
wektor prędkości kątowej ω
A
(t) jest stały co do
kierunku, może się zmieniad jego wielkośd i
zwrot. V
M
=ω
L
xAM , a
M
=ϵ
l
xAM +ω
L
x(ω
l
xAM)
d. Ruch płaski - punkty ciała sztywnego poruszają
się w płaszczyznach równoległych do
płaszczyzny π
0
zw. kierującą . v
m
=r’, a
m
=r’’
14.Aksjomaty mechaniki
a. Bezwładności – masa jest miarą bezwładności
b. Działania – jeżeli na pkt materialny działają siły,
których suma jest różna od 0 następuje zmiana
pędu w ten sposób że p’=F (p=p(t))
c. Wzajemnego działania – F
1
→, F
2
<- ; F
1
=-F
2
15.Równowaga Ciala i sił:
a. Ciało jest w równowadze jeśli wszystkie jego
punkty nie zmieniają swego położenia wzgl.
Przyjętego ukł. Odniesienia
b. Ukł. sił działających na ciało jest w równowadze
jeżeli przyłożony do ciała nie zmienia ruchu
tego ciała
c. Równowaga ciała => równowaga sił; <≠
16.WKiW równowagi ciała jest równowaga sił i by
w momencie przyłożenie tych sił ciało było w
spoczynku
17.Powierzchnia ekwipotencjalna (powierzchnia
równego potencjału) - powierzchnia w polu
potencjalnym, której wszystkie punkty mają
jednakowy potencjał. Powierzchnie
ekwipotencjalne są w każdym punkcie pola
prostopadłe do wektora siły, czyli do linii
natężenia pola
18. Zasada równoważności pracy i energii
kinetycznej:
Przyrost energii kinetycznej miedzy chwilami t
0
i
t
k
jest równy pracy wykonanej przez siły pola w
tym samym przedziale czasu
19.Zasada równowartości pracy i energii
kinetycznej w potencjalnym polu sił:
E
K
(t
k
)+(-V
B
)=E
K
(t
0
)+(-V
A
)=const
20.Pęd i kręt:
a. Pęd układ pkt. Materialnych: p(t)=
𝑚
𝑖 V
i
𝑛
𝑖=1
b. Pęd dla bryły: 𝑝 𝑡 = 𝜌
𝐴
𝜔
𝑉
𝐴
𝑑𝜔
c. Kręt dla układ pkt mater: 𝐾
0
=
𝑝
𝑖
𝑛
𝑖=1
×
𝐴
𝑖
0 =
𝑟
𝑖
× 𝑝
𝑖
𝑛
𝑖=1
d. Kręt dla bryły: 𝐾
0
= 𝜌𝑟
𝐴
×
𝜔
𝑣
𝐴
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
21.TW Steinera:
moment bezwładności ukł mater liczony wzgl
prostej l jest równy momentowi bezwładności
układu wzgl prostej l
0
przechodzącej przez
środek masy i równoległej do prostej l,
powiekszony i iloczyn masy układu i kwadratu
odległości miedzy tymi prostymi: J
l
=J
l0
+md
2
22.Zasada Pędu i Krętu:
a. Pędu: pochodna po czasie układu materialnego
jest równa sumie sił działających na dany układ.
Jeżeli suma układu sił jest równa zeru to pęd
układu jest stały
b. Krętu: pochodna po czasie krętu układu
materialnego liczonego względem stałego
punktu lub środka masy jest równa
momentowi układu sił względem tego puntku
23.Zasada zachowania pędu i krętu
a. Pędu - Jeżeli suma układu sił jest równa zeru to
pęd układu jest stały
b. Krętu – jeżeli moment układu sił względem
stałego punktu lub środka masy jest równy
zeru, to kręt układu materialnego jest stały
24.Definicja Lapunowa
Niech q=(q
1
,q
2
…,q
s
) opisuje położenie układu
materialnego, zaś q*=(q
1
*,q
2
*,…,q
s
*) położenie
jego równowagi. Stan równowagi układu
materialnego jest trwały, jeśli dla każdej
dowolnie małej liczby ϵ>0 można dobrad takie
η
1
(ϵ >0 i η
2
(ϵ >0, że jeśli spełnione są
nierówności: [ q t
0
)-q*|< η
1
(ϵ i q’ t
0
)-q’* <
η
2
(ϵ)] to zachodzi [|q(t
0
)-q <ϵ i q’ t
0
)-q’* <
ϵ] dla każdego t>t
0
.
25.Do czego redukuje się układ sił w punktach osi
środkowej?
w punktach osi środkowej układ redukuje się do
wypadkowej gdy K=0, zaś do skrętnika gdy K≠0
26.Czy moment układu sił zależy od punktu wzgl
którego jest liczony?
Przy zerowej sumie układu moment nie zależy
od punktu, bo jest stały, zaś dla sumy niezerowej
zależy, co wynika z tw o zmianie bieguna:
M
B
=M
A
+SxAB
27.Podad elementy naturalnego opisu punktu:
w naturalnym opisie należy podad: tor,
orientację toru, punkt początkowy toru (lub
ruchu) i równanie ruchu s=s(t)
28.TW o rozkładzie prędkości punktów ciała
sztywnego w ruchu dowolnym:
a. W dowolnym ruchu ciała sztywnego rzuty
wektorów prędkości punktów leżacych na
prostej na tę prostą są sobie równe
b. W dowolnym ruchu ciała sztywnego kooce
wektorów prędkości punktów leżacych na
prostej też leżą na prostej
29.ZPW: 𝛿𝐿 =
(𝐹
𝑖
𝑛
𝑖=1
∗ 𝛿
𝑠𝑖
) = 0 ∀𝛿
𝑠𝑖
30.Macierz przejścia
a. Macierz przejścia jest macierzą cosinusów
kierunkowych
α=(α
ij
)=
𝛼
11
𝛼
12
𝛼
13
𝛼
21
𝛼
22
𝛼
23
𝛼
31
𝛼
32
𝛼
33
; gdzie α
ij
=cos(x’
i
,∧ 𝑥
j
)
b. α * α
T
=1 i α
T
*α =1; detα =+/- 1
31.Właściwości głównych osi bezwładności:
Główne osie bezwładności są to osie
wyznaczone przez wektory własne tensora
bezwładności. Właściwości:
a. Każdy układ posiada min. 3 główne osie
bezwładności, 3 jeśli J
1
≠J
2
≠J
3
≠J
1
; jedną główną
oś i całą płaszczyznę głownych osi
bezwładności prostopadłych do tej osi gdy
J
1
≠J
2
=J
3
lub J
2
≠J
1
lub J
3
≠J
1
=J
2
; całą przestrzeo
głównych osi bezwładności gdy J
1
=J
2
=J
3
=J
1
b. Momenty bezwładności liczone względem
głównych osi bezwładności są ekstremalne
c. Momenty dewiacji liczone względem
płaszczyzn wuznaczonych przez głowne osie
bezwładności są równe zeru
32.Tensor II rzędu
tensorem II rzędu nazywamy macierz
dwuwskaźnikową, określoną w układzie
współrzędnych, której elementy przy przejściu
do drugiego układu współrzędnych transformują
się wg prawa transformacyjnego:
σ’
ij
= α
ik
α
jl
α
kl
lub σ
ij
= α
ki
α
lj
σ’
kl
T’
σ
=α *T
σ
*α
T
lub T
σ
=α
T
*T’
σ
*α
33.Def liczba stopni swobody
Liczba stopni swobody układu materialnego to
ilośd niezależnych parametrów, która jest
potrzebna do określenia położenia danego
układu materialnego: s=3n-k (s-l stopni swob, n-
l punktów jednoznacznie określających ten
układ, k-l. niezależnych równan więzów) Dla
płaskich: s=2n-k
34.Układ statycznie wyznaczalny: układ dla którego
liczba reakcji podporowych jest równa liczbie
niezależnych równao równowagi oraz liczba
stopni swobody równa się zeru
35.Redukcja układu sił działających na sztywne
ciało materialne:
mówią o tym aksjomaty równowagi sił:
a. Jeśli do układu sił działających na sztywny
układ materialny pozostający w równowadze
dołączymy (lub usuniemy) układ sił
przeciwnych leżących na jednej prostej, to
równowaga układu materialnego nie zostanie
naruszona
b. Jeżeli do układu sił działających na sztywny
układ materialny pozostający w równowadze
dołączymy (lub usuniemy) układ sił zbieżnych o
sumie równej zeru, to równowaga układu
materialnego nie zostanie naruszona
c. Jeżeli na sztywny układ materialny nie działają
żadne siły, to może on byd w równowadze
36.Moment siły względem prostej jest równy zeru
gdy kierunek działania siły i prosta wyznaczają
jedną płaszczyznę
37.Zbieżny układ sił redukuje się do układu
zerowego przy sumie równej zero lub do
wypadkowej gdy suma jest niezerowa
38.Dlaczego płaskiego układu sił nie można
zredukowad do skrętnika:
WKW red do skrętnika jest K≠0, dla płaskiego ukł
K=0
39.Dlaczego macierz bezwładności jest tensorem?
Wynika to z Tw. Jeśli elementy macierzy II rzędu
określone są w układzie współrzędnych i
mnożone wewnętrznie przez wektor dając na
wynik wektor, to ta macierz jest tensorem.
Licząc kręt wzgl. pktu dla sztywnego ukł
materialnego otrzymujemy zależnośd
K
0
=(J
o
)*ω (k-wek krętu, (J
0
)- macierz bezwł, ω-
wek pręd. kątowej)
40.Prawo ruchu środka masy sztywnego układu
materialnego:
mr’’
0
=S+ warunki początkowe
41.Def przesunięcia wirtualnego:
δ
S
= k v^; kϵ R\{0}
42.Równowaga ciała i układu sił
Przez równowagę ciała rozumiemy jego
spoczynek w danym układzie odniesienia. Układ
sił, który przyłożony do ciała nie zmienia jego
ruchu nazywamy układem sił będących w
równowadze. Zatem równowaga układu sił jest
war koniecznym równowagi ciała. WKW
równowagi ciała jest równowaga układu sił oraz
aby w chwili przyłożenia sił do ciała ciało było w
spoczynku.
43.Równanie Lagrande’a II rodzaju:
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐸
𝑘
𝜕𝑞
𝑗
−
𝜕𝐸
𝑘
𝜕𝑞
𝑗
= 𝑄
𝑗
gdzie: j=1,2,3…s; 𝐸
𝑘
=en kin ukł; 𝑄
𝑗
=
(𝐹
𝑖
𝑛
𝑖=1
∗
𝜕 𝑟
𝑖
𝜕 𝑞
𝑖
) -siła uogólniona; s- liczna stopni swobody
układu.
44.Energia kinetyczna sztywnej bryły w ruchu
obrotowym
E
k
=1/2 J
l
ω
2
; (Ek- en kinet; Jl- moment bezwl licz
wzgl osi obrotu; ω- wektor pręd kątowej)
45.WKW równowagi ukł sił działających na
sztywne ciało unieruchomione w jednym
punkcie:
𝐹
𝑖
× 𝐴
𝑖
𝐴 = 𝑀
𝐴
= 0
𝑛
𝑖=1
