STATYKA 
1. Postulaty statyki: 
1. postulat – równoległoboku – jak dodawać siły. 2 siły P

1

 i P

2

 dodaje się, 

że ich suma jest wektorem utworzonym z przekątnej równoległoboku R= 
√P

1

2 

+ P

2

2 

+ 2P

1

P

2

cosα  jeżeli mamy więcej niż dwie siły dodajemy je za 

pomocą wielokątów 
2. postulat – dwie siły działające na ciało sztywne pozostają w 
równowadze, jeśli działają wzdłuż jednej prostej i mają te same wartości i 
są przeciwnie skierowane – tworzą układ zerowy 
3. postulat – jeżeli na ciało działa pewien układ sił to jego działanie nie 
ulega zmianie przez dodanie lub odjęcie zerowego układu sił. Siła jest 
wektorem przesuwnym, można go przesuwać wzdłuż jego kierunku. 
4. postulat – zesztywnienia – układ sił przyłożonych do ciała 
odkształcalnego nie zmienia się (jego działanie się nie zmienia) po 
zesztywnieniu tego ciała 
5. postulat – akcji i reakcji – każdemu działaniu towarzyszy leżące na tej 
samej prostej, przeciwnie skierowane i o tej samej wartości 
przeciwdziałanie 
6. postulat – oswobodzenie od więzów – każde ciało nieswobodne na 
które działa układ sił zew. – czynnych można myślowo oswobodzić od 
więzów zastępując ich działanie siłami reakcji więzów. Dalej rozpatrujemy 
ciało jako poddane działaniu sił czynnych i reakcji wiązów. 
2. Układy sił: 
1. zbieżne – kierunki wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie 
2. równoległe – siły są do siebie równoległe 
3. dowolne 
3. Tw. o trzech siłach: 
Trzy nierównoległe do siebie działające w jednej płaszczyźnie pozostają w 
równowadze wtedy i tylko w tedy gdy tworzą układ zbieżny a ich kierunki 
tworzą trójkąt zamknięty.P

1

=P

2

+P

3

 

4. Moment sił względem punktu:  M

o

=r∙F 

5. Moment sił względem osi: 
M=r∙P , moment ten jest wektorem swobodnym do płaszczyzny π czuli ma 
kierunek prostej l 
6. Tw. Varignona: 
Suma momentów sił układu zbieżnego względem dowolnego punktu jest 
równa momentowi wypadkowej tego układu względem punktu 
∑

n

i=1

r∙∑P

i

=r∙W 

7. Para sił: 
Parą sił nazywamy układ 2 sił równoległych do siebie, równych co do 
wielkości, przeciwnie skierowanych P

1

+P

2

=0 

8. Redukcja dowolnego układu płaskiego: 
Redukcja układu polega na wyznaczeniu wektora głównego oraz momentu 
głównego R=∑

n

i=1

P

i

  M

o

=∑

n

i=1

M

i

 

9. Kratownice 
Kratownicą nazywamy układ sztywno nieważkich prętów połączonych 
przegubowo. Kratownica ma zastąpić ciało sztywne, kratownice obciążamy 
zawsze w więzach, siły muszą działać wzdłuż pręta. Kratownica musi 
spełniać warunek sztywności p=2w-3 gdzie p – ilość prętów, w – ilość 
więzów. Musi byś kinematycznie niezmienna. Metody rozwiązywania 
kratownic: węzłów – polega na rozpatrywaniu poszczególnych węzłów, 
Rittera – pozwala obliczyć siły w wybranych prętach. 
10. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił: 
Każdą siłę działającą na ciało sztywne możemy sprowadzić do dowolnego 
punktu O przekładając parę sił o momencie równym momentowi siły wzg. 
punktu O R=P

1

+P

2

+…+P

n

=∑P

i

 , M

o

=M

1o

+M

2o

+…+M

no

=∑M

io

 

11. Zagadnienia statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne: 
Nie można projektować kratownic aby pręt leżał w jednej linii łączone 
przegubowo – układ statycznie niewyznaczalny. 
 
KINEMATYKA 
1. Opis ruchu 
Aby zbadać ruch musimy to sprawdzić względem jakiegoś punktu 
odniesienia. Ruch jest to zmiana położenia w czasie. r – wektor położenia 
(początek w początku ukł. A koniec wodzi za punktem) r=xi+yj+zk 
Współrzędne zmieniają się w czasie więc są funkcjami czasu x=x(t) y=y(t) 
z=z(t). Krzywa po której porusza się punkt to tor ruchu, jest to krzywa 
przestrzenna.  
2. Prędkość 
v=lim Δr/Δt = dr/dt = r’  prędkość zawsze jest styczna do toru i zawsze 
jest wektorem v=x’i+y’j+z’k  v=√(x’)

2

+(y’)

2

+(z’)

2

 

3. Przyspieszenie 
a=lim Δv/Δt = dv/dt = r’’ przyspieszenie nigdy nie jest styczne do toru 
chyba że jest linią prostą  v=x’’i+y’’j+z’’k  v=√(x’’)

2

+(y’’)

2

+(z’’)

2

 

4. Naturalny układ współrzędnych: 
Płaszczyzna styczna do krzywej w punkcie A to każda płaszczyzna 
zawierającą styczną do tej krzywej w punkcie. Płaszczyzna ściśle styczna 
jest to płaszczyzna do której dąży płaszczyzna styczna A

1

 równoległa do 

stycznej  do krzywej w punkcie A gdy punkt A

1

 dąży do A. 

Płaszczyzna normalna do stycznej w punkcie A jest to płaszczyzna 
zawierająca wszystkie proste prostopadłe do stycznej do tej krzywej w tym 
punkcie. Na przecięciu pł. normalnej i pł. stycznej leży linia normalna 
główna. 
Płaszczyzna prostująca to pł. prostopadła do pł. normalniej pł. ściśle 
stycznej zawierającej punkt A.  
5. Przyspieszenie styczne i normalne: 
a

s

=dv/dt – przyspieszenie styczne 

a

n

=v

2

/ρ – przyspieszenie normalne 

6. Droga:  s=∫

t2

t1

Vdt 

7. Kinematyczne równania ruchu: x=x(t). y=y(t). z=z(t) 
10. Przyspieszenie Coriolisa 
Przyspieszenie Coriolisa równe jest podwojonemu iloczynowi 
wektorowemu prędkości kątowej układu ruchomego i prędkości względem 
punktu A. p

c

=2ω×v

r. 

Przyspieszenie Coliolisa nie występuje gdy ruchem 

unoszenia są ruchy: prostoliniowy, harmoniczny prosty i postępowy (= 
zero),gdy wektor prędkości kątowej jest równoległy do wektora prędkości 
względnej oraz gdy prędkość względna jest równa zeru. 
11. Rodzaje ruchów bryły sztywnej: 
l. ruch postępowy - to taki ruch w którym dowolna prosta sztywno 
związana z tą bryłą zajmuje położenie wzajemnie równoległe (3 stopnie 
swobody). 
2. ruch obrotowy - to taki ruch bryły w którym dowolne dwa punkty bryły 
są nieruchome, prosta przechodząca przez dwa punkty to oś obrotu (1 
stopień swobody). 
3.ruch płaski - to taki ruch bryły w którym dowolny przekrój tej bryły 
płaszczyzną zajmuje położenie równoległe i jest równoległy do pewnej 
stałej płaszczyzny zwanej kierującą (3 stopnie swobody). 
4. ruch kulisty - to taki ruch bryły w którym bryła porusza się dookoła 
nieruchomego punktu bryły (3 stopnie swobody). 
5. ruch ogólny -jest to złożenie ruch postępowego i kulistego. 
12. Ruch postępowy bryły sztywnej: 
v=dr

o

/dt=v

o 

        a=d

2

r

o

/dt

2

=dv

o

/dt=a

o 

- wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same 
prędkości v

o

 i przyśpieszenia a

o

 w tej samej chwili czasu. 

- tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt.  
-  dla  opisu  ruchu  postępowego  bryły  wystarczy  podać  równanie  ruchu 
jednego punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych O’.  
13. Ruch obrotowy bryły: 
ω=dφ/dt      ε=dω/dt=d

2

φ/dt

2

      v=ωr’      a=εr’+ω(ωr’) 

a=εr’+ω(ω∙r’)-ω

2

r’ 

14. Ruch płaski bryły: 
v=v

o

+ωr’      a=a

o

+εr’+ω(ω∙r’)-ω

2

r’ 

Tw. o trzech rzutach – jeśli bryła znajduje się w ruchu płaskim to rzuty 
prędkości 2 dowolnych punktów A i B na łączące je proste są równe. 
Taki punkt należący do bryły lub leżący poza nią który w pewnej chwili ma 
prędkość 0 nazywa się chwilowym środkiem obrotu (punkt C). Przy 
pomocy chwilowego środka obrotu możemy znaleźć prędkość punktów 
posługując się wzorem v=ωCA. Wektor prędkości kątowej jest zawsze 
taki sam i jest jeden dla wszystkich punktów bryły. 
 
 

15. Ruch złożony bryły 
Ruchem bezwzględnym punktu materialnego nazywamy ruch względem 
nieruchomego układu. 
Ruchem względnym punktu materialnego nazywamy ruch punktu 
względem ruchomego układu współrzędnych. 
Ruchem unoszenia punktu materialnego nazywamy ruch punktu sztywno 
związanego z układem ruchomym obserwowanym względem 
nieruchomego układu. 
v=v

u

+v

w

 

v

u

=v

o

+ωr’ 

a=a

u

+a

w

+a

c 

a

u

=a

o

+εr’+ω(ωr’) 

a

c

=2ωv

w

 

 
DYNAMIKA 
1. Prawa Newtona: 
I prawo bezwładności: punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub 
działające siły się równoważą, pozostaje w spoczynku lub porusza się 
ruchem jednostajnym po linii prostej.  
II prawo: przyśpieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły 
działającej na ten punkt i ma kierunek taki jak ta siła. F=ma. 
III prawo akcji i reakcji: siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów 
materialnych mają jednakowe wartości, leżą na prostej łączącej te punkty 
i są przeciwnie skierowane.  
IV prawo zasady superpozycji: jeżeli na punkt materialny działa 
jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a 
wszystkie razem działają jak jedna siła równa wektorowej sumie danych 
sił.  
V prawo powszechnego ciążenia: Każde dwa punkty materialne o masach 
m

1 

i m

2 

przyciągają się z siłą wprost 

proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do 
kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te 
punkty. F=k m

1

m

2

/r

2

 

2. Pierwsze i drugie zagadnienie dynamiki 
1 polega na wyznaczaniu siły działającej na poruszający się znanym 
ruchem punkt materialny. Jest ono również znane jako zagadnienie proste 
dynamiki. F=m d

2

r/dt

2

 

2 polega na wyznaczaniu ruchu punktu materialnego poddanego działaniu 
nieznanej siły. Zagadnienie to jest odwróceniem pierwszego zagadnienia 
dynamiki i stąd jest ono również znane pod nazwą – zagadnienie 
odwrotne dynamiki. m d

2

r/dt

2

=F(t,r,v)

 

3. Zasada d’Alamberta: 
Suma sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt 
materialny jest w każdej chwili równa zeru. 
F+(-ma)=0 
4. Dynamiczne równania ruchu punktu: 
a=dv/dt e

s

 +v

2

/ρ e

n

 

e

s

=m dv/dt 

e

n

=m v

2

/ρ 

e

b

=e

s

e

n

 

5. Drgania: 
Drgania swobodne mx’’=-kx ; ω

2

=k/m → x’’+ ω

2

x=0 

x=Asinω

o

t gdzie. x-wychylenie ciała z położenia równowagi w chwili czasu 

t, A – amplituda drgań, ω – częstość kołowa drgań. Brak tłumienia i brak 
wymuszenia. 
Drgania tłumione mx’’+βx’+kx=0 ; x’’+β/m x’+k/m x=0 ; β/m = 2u ; 
k/m=ω

2

 

Drgania słabo tłumione(u<ω).Okres drgań jest dłuższy od okresy drgań 
nie tłumionych zachodzących pod działaniem takiej samej siły sprężystej. 
Drgania tłumione nie są drganiami periodycznymi. Drgania silnie tłumione 
(u>ω) drgania tłumione są drganiami aperiodycznymi dla tych drgań 
wychylenie maleje wykładniczo z czasem. Tłumienie krytyczne (u=ω). 
Drgania wymuszone mx’’+kx=Hsinpt gdzie p- częstość kołowa siły 
wymuszającej, H- amplituda wymuszenia; 
x’’+k/m x=H/m sinpt; x’’+ω

2

x=hsinp 

p<ω – wówczas przesunięcie fazowe dąży do 0 i mówimy że częstość siły 
wymuszającej jest zgodna w fazie z siłą wymuszającą 
p>ω – przesunięcie fazowe dąży do –π i wychylenia drgań harmonicznych 
zależy od masy ciała wykonującego drgania 
p=ω – przesunięcie fazowe dąży do π/2 i zachodzi zjawisko rezonansu. 
6. Pęd punktu 
Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn 
masy punktu i jego prędkości: p=mv 
Zasada pędu: Pochodna względem czasu pędu układu punktów 
materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych 
działających na ten układ. ma=F ; a=dv/dt → m dv/dt=F ; m=const. d/dt 
(mv)=F → dp/dt=F. 
Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu 
układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi 
wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ. p(t)-
p(0)=∫

t

0

Fdt 

Zasada zachowania pędu: jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych 
działających na ten układ materialny jest równy zeru, to pęd tego układu 
materialnego jest stały: dp/dt=F; F=0; dp/dt=0; p=const. 
7. Kręt punktu 
Krętem k

o

 punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy 

moment pędu p=mv tego punktu materialnego względem punktu O: 
k

o

=rp=rmv. 

Zasada krętu: pochodna względem czasu krętu układu punktów 
materialnych względem dowolnego nieruchomego punktu jest równa 
momentowi głównemu wszystkich sił zewnętrznych względem tego 
samego punktu. dk

o

/dt=M

o

 

Zasada zachowania krętu: jeżeli moment główny sił zewnętrznych 
względem nieruchomego punktu redukcji O jest równy zeru, to kręt układu 
materialnego (bryły) względem tego punktu jest wielkością stałą. Jeżeli 
M

o

=0 to k

0

=const. 

8. Praca mechaniczna 
Pracą mechaniczną nazywamy energię dostarczoną z zewnątrz za pomocą 
układu  sił  do  rozpatrywanego  układu  materialnego  w  czasie  jego  ruchu. 
dL=Pdr  –  praca  elementarna    L

AB

=∫

AB

Pdr=∫

AB

(FxdxFydyFzdz)  –  praca 

wykonana pomiędzy punktami krzywej 
9. Moc 
Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt: 
N=dL/dt. 
Moc jest równa iloczynowi skalarnemu siły P i prędkości v jej punktu 
przyłożenia.  N=P∙v 
Moc układu sił działających na bryłę sztywną: moc układu sił 
zewnętrznych działających na bryłę sztywną jest równa sumie iloczynu 
skalarnego wektora głównego i prędkości dowolnego bieguna redukcji 
oraz iloczynu skalarnego momentu głównego zredukowanego do tegoż 
bieguna i prędkości kątowej. N=W∙v

o

+M

o

∙ω. 

10. Zasada równoważności pracy i en. kinetycznej 
Przyrost energii kinetycznej układu na pewnym przesunięciu jest 
równy sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) i wewnętrznych 
działających na punkty układu na tym przesunięciu. L+L*=E

2

-E

1

 

Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu 
jest równa sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym 
przesunięciu. L=E

2

-E

1

 

11. Pole sił  
Jest to przestrzeń o takiej własności że na dowolnie umieszczony w niej 
punkt materialny działa ściśle określona siła zależna tylko od położenia 
punktu. 
14. Zasada zachowania energii 
Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii 
kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą. E+U=const. 
 
 
 
 
 
 

15. Twierdzenie o ruchu środka układu punktów materialnych 
Środek masy każdego układu punktów materialnych porusza się tak jakby 
była w nim skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przyłożone 
były wszystkie siły zewnętrzne. ma

c

=W lub mv

c

(t)-mv

c

(0)= ∫

t

0

Wdt 

16. Pęd UPM 
Q=

i=n

i=1

m

i

v

i

  dQ/dt=P

i

 – Pochodna względem czasu pędu układu 

punktów materialnych równa jest sumie geometrycznej wszystkich sił 
zewnętrznych działających na punkty tego układu. 
Q=d/dt (mr

c

)=mv

c

 – pęd układu punktów materialnych równy jest 

iloczynowi masy całkowitej układu i prędkości jego środka masy. 
17. Kręt UPM 
Nazywamy sumę geometryczną momentów pędu wszystkich punktów 
materialnych należących do rozpatrywanego układu. K

o

=r

i

m

i

v

i

 

Kręt ciała materialnego względem odi obrotu róny jest iloczynowi 
momentu bezwładności względem osi obrotu i prędkości kątowej ciala. 
K

z

=I

z

 ω 

Pochodna względem czasu krętu upm względem środka masy równa jest 
sumie geometrycnaej momentów wszystkich sił zewnętrznych względem 
tegoż środka. dK

c

/dt=M

ic 

18. En. kinetyczna UPM 
Nazywamy sumę energii kinetycznych wszystkich jego punktów 
T=

i=n

i=1

(m

i

v

2

i

)/2 

19. Geometria mas 
Środek masy- punkt geometryczny względem którego obliczany moment 
statyczny wynosi 0. 
Momentem statycznym układu punktów materialnych względem 
dowolnego punktu O nazywamy wektor będący sumą iloczynów mas tych 
punktów i ich promieni – wektorów  
S =  m

 i 

r

 i 

     bryła: S = 

m

 rdm, S= r

c

M r

c

- promień do środka masy, M - 

masa  
20. Zasada Dirichleta 
Gdy układ materialny znajduje się w zachowawczym polu sił, wówczas 
położenie w którym energia potencjalna osiąga minimum jest położeniem 
równowagi trwałej. 
21. Zasada Torricellego   
dla pola grawitacyjnego położenie w którym środek masy nieswobodnego 
układu materialnego o więzach idealnych znajdującego się w jednorodnym 
polu sił ciężkości osiąga minimalne wzniesienie na wybrany poziom jest 
położeniem równowagi trwałej. 
22. Twierdzenie Koeniga 
Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii 
kinetycznej w ruch postępowym i energii kinetycznej w ruchu względnym 
dookoła środka masy C układu. E = ½ mv

c

2

 + ½  m

 i 

v

wi

2

 

23. Twierdzenie Steinera   
Moment bezwładności ciała sztywnego względem dowolnej osi jest równy 
sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej 
przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między 
tymi dwiema osiami. 
I

 z

 = I 

xx

 + I 

yy 

= I 

z’ 

+ md

2   

,( I

l 

= I

0

 = md

2

 )

 

Momenty bezwładności względem punktu 
I 

xx

 = x

2

 dm 

I 

yy

 = y

2

 dm 

I 

zz

 = z

2

 dm 

Momenty bezwładności względem osi 
I 

x

 = (y

2

 + z

2

 ) dm = I 

yy

 + I 

zz

 

I 

y

 = (x

2

 + z

2

 ) dm = I 

xx

 + I 

zz 

I 

z

 = (x

2

 + y

2

 ) dm = I 

xx

 + I 

yy

 

Momentem dewiacji (zboczenia) w płaszczyźnie dwóch osi układu 
współrzędnych kartezjańskich jest całka iloczynów mas i ich odległości od 
płaszczyzn. Jest on zależny od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej. 
I 

xy 

= I 

yx

 =   xy dm 

I 

yz 

= I 

zy

 =   yz dm 

I 

zx 

= I 

xz

 =   zx dm 

 
MECHANIKA ANALITYCZNA 
1. Stopnie swobody 
S=3n-k gdzie k-ilość więzów działających na obiekt, n-ilość punktów, które 
w sposób jednoznaczny modelują konstrukcję. 
2. Więzy 
Więzy są to ograniczenia ruchu ciał 
Rodzaje więzów: 
skleronomiczne lub reonomiczne (ze względu na czas) 
geometryczne i kinematyczne (ze względu na prędkość) 
holonomiczne i nieholonomiczne  
jednostronne i dwustronne 
idealne i nieidealne (ze względu na opory) 
3. Przesunięciem przygotowanym punktu swobodnego jest każde 
przesunięcie tego punktu. 
Przemieszczeniem przygotowanym swobodnego ciała sztywnego jest 
każde przesunięcie postępowe, każdy obrót lub każdy skręt chwilowy. 
Przesunięcie przygotowane jest nieskończenie małe, dowolne, zgodne z 
więzami, rzeczywiste 
r = xi + yj + zk 
4. Zasada prac przygotowanych - wirtualnych 
Pracę elementarną siły P na przygotowanym  przesunięciu jej punktu 
przyłożenia nazywamy pracą przygotowaną  L = Pr 
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego 
jest aby suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych i reakcji 
więzów przy dowolnym przesunięciu przygotowanym układu była równa 
zeru. 
5. Siła uogólniona 
Q

j

=∑

i=n

i=1

(P

ix

 ∂x

i

/∂q

j

 + P

iy

 ∂y

i

/∂q

j

 + P

iz

 ∂z

i

/∂q

j

) j=1,2,…s Wielkości 

Q

1

,Q

2

,…Q

s

 noszą nazwę sił uogólnionych odpowiadających współrzędnym 

uogólnionym q

1

,q

2

…q

s

 

6. Równanie Lagrange’a II rodzaju 
Są to równania różniczkowe ruchu układu materialnego o węzłach 
idealnych, holonomicznych i nie zawierają niewiadomych reakcji więzów. 
d/dt (∂T/∂q’

j

)- ∂T/∂q

j

=Q

j

 

 

L=T-V – funkcja Lagrange’a,  q’ – prędkość uogólnina 
W zachowawczym polu sił:  d/dt (∂T/∂q’

j

)- ∂T/∂q

j

= ∂V/∂q

j