Przemiana adiabatyczna gazu doskonałego
Wyprowadzenie równania Poissona
I zasada termodynamiki w postaci różniczkowej
{
W
d
Q
d
d
w
+
=
=
0
ε
(1)
gdzie różniczkowa praca wykonana nad gazem
V
d
p
W
d
−
=
(2)
energia wewnętrzna gazu doskonałego
T
C
n
T
R
n
f
V
w
=
=
2
ε
stąd:
T
d
C
n
d
V
w
=
ε
(3)
podstawiamy (2) i (3) do (1):
V
d
p
T
d
C
n
V
−
=
(4)
obliczamy różniczkę równania stanu gazu doskonałego
T
R
n
V
p
=
(zmienne: p, V, T)
T
d
R
n
dp
V
V
d
p
=
+
podstawiamy
V
p
C
C
R
−
=
T
d
C
C
n
dp
V
V
d
p
V
p
)
(
−
=
+
(5)
dzielimy stronami (5) przez (4), a następnie zamieniamy stronę lewą z prawą:
V
d
p
dp
V
V
d
p
C
C
C
V
V
p
+
−
=
−
→
1
1
−
−
=
−
V
d
dp
p
V
C
C
V
p
przemiana
adiabatyczna
– bez
wymiany ciepła z otoczeniem
V
d
dp
p
V
C
C
V
p
−
=
/
⋅ dV, : V
p
dp
V
V
d
C
C
V
p
−
=
całkujemy obustronnie (czynniki stałe wyłączamy przed znak całki)
∫
∫
−
=
dp
p
V
d
V
C
C
V
p
1
1
α
+
−
=
p
V
C
C
V
p
ln
ln
korzystamy z własności logarytmu naturalnego (obowiązuje dla logarytmu o dowolnej
podstawie): a ln x = ln x
a
:
α
=
+
p
V
V
p
C
C
ln
ln
suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu
α
=
V
p
C
C
V
p
ln
stosujemy obustronnie funkcję odwrotną do logarytmu naturalnego – funkcję wykładniczą e
x
const
e
=
=
=
β
α
V
p
C
C
V
p
stosujemy oznaczenie
κ
≡
V
p
C
C
κ –
współczynnik Poissona
ostatecznie równanie przyjmuje postać:
const
=
κ
V
p
(6)
jest to najczęściej używana forma równania Poissona
korzystając z równania stanu gazu doskonałego można zapisać równanie Poissona
korzystając z innej pary parametrów termodynamicznych (np. T i V lub T i p)
T
R
n
V
p
1
=
→
1
1
−
=
=
κ
κ
κ
V
T
R
n
V
T
R
n
V
V
p
const
=
=
β
κ
V
p
→
const
1
1
=
=
−
β
κ
R
n
V
T
stała całkowania
druga forma równania Poissona:
const
1
=
−
κ
V
T
(7)
T
R
n
p
V
1
=
→
)
1
(
)
(
1
−
−
=
=
κ
κ
κ
κ
p
T
R
n
T
R
n
p
p
V
p
const
=
=
β
κ
V
p
→
const
)
(
1
1
=
=
−
β
κ
κ
κ
R
n
p
T
→
const
)
(
1
1
1
1
=
=
−
−
κ
κ
β
κ
κ
R
n
pT
trzecia forma równania Poissona:
const
1
=
−
κ
κ
pT
(8)
Obliczenie całkowitej pracy wykonanej nad gazem
przy przejściu gazu doskonałego od stanu początkowego (objętość V
P
) do stanu końcowego
(objętość V
K
) nad gazem wykonywana jest praca
∫
−
=
K
P
V
V
V
d
p
W
(9)
z równania Poissona (6):
κ
κ
P
P
V
p
V
p
=
=
const
→
κ
κ
V
V
p
p
P
P
1
=
podstawiamy do (9):
−
−
=
=
−
−
=
−
−
=
=
+
−
−
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
+
−
∫
∫
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
K
P
P
P
K
P
P
P
P
P
K
P
P
V
V
P
P
V
V
P
P
V
V
P
P
V
V
V
p
V
V
V
V
p
V
V
V
p
V
V
p
V
d
V
V
p
V
d
V
V
p
W
K
P
K
P
K
P
z równania stanu gazu doskonałego podstawiamy
P
P
P
T
R
n
V
p
=
i otrzymujemy
−
−
=
−
1
1
1
1
κ
κ
K
P
P
V
V
T
R
n
W
(10)