Kopyrajt – orajt! 

 

Filip Jarmuszczak 2014 

PPS Wejściówka 2. 

DFT,FFT: wzory, właściwości transformat. 

Ciągła transformacja Fouriera – jest to rozkład funkcji okresowej na nieskończony, zespolony szereg 
Fouriera: 

 

 

DFT  –  Dyskretna  transformata  Fouriera,  jest  transformatą  Fouriera  wyznaczoną  dla  sygnału 
próbkowanego.  DFT  przekształca  skończony  ciąg  próbek  sygnału  o  wartościach  rzeczywistych 

(a

0

,a

1

,a

2

,…,a

N−1

),

 

a

i

∈R 

w 

ciąg 

harmonicznych 

o 

wartościach 

zespolonych 

(A

0

,A

1

,A

2

,…,A

N−1

),

 

A

i

∈C 

zgodnie ze wzorem: 

𝑋(𝑘) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒

−𝑗2𝜋𝑘𝑛

𝑁

𝑁−1

𝑛=0

, 

przy czym 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1, 

gdzie 

j – jednostka urojona 

k – numer harmonicznej 

n – numer próbki sygnału 

x(n) – wartość próbki sygnału 

N – całkowita liczba próbek. 

 

Transformacja odwrotna: 

 

 

 

 

Kopyrajt – orajt! 

 

Filip Jarmuszczak 2014 

Właściwości transformaty Fouriera: 

 

 

 

 

FFT  –  Fast  Fourier  Transform  –  szybka  transformacja  Fouriera.  Jest  to  algorytm  liczenia  dyskretnej 
transformaty  Fouriera,  tzn.  obliczania  składników  sumy  występującej  w  jej  definicji.  Istnieje  wiele 
takich 

algorytmów, 

znajdujących 

efektywne 

zastosowanie 

w 

różnych 

przypadkach. 

Najpopularniejszą wersją FFT jest FFT o podstawie 2. Jest to bardzo efektywna operacja, jednak wektor 
próbek wejściowych (spróbkowany sygnał) musi mieć długość N=2

k

, gdzie k to pewna liczba naturalna. 

Wynik  otrzymuje  się  na  drodze  schematycznych  przekształceń,  opartych  o  tak  zwane  struktury 
motylkowe. 
 
Na podstawie: Wikipedia, J. Szabatin – Podstawy teorii sygnałów, B. Szlachetko – materiały do wykładu 
PPS.