Przykładowe badanie funkcji
2
1)
(
)
(
++++
====
x
e
x
f
x
1.
Dziedzina
0
1
≠≠≠≠
++++
x
1
−−−−
≠≠≠≠
⇔
⇔
⇔
⇔
x
)
;
(
)
;
(
}
{
\
+∞
+∞
+∞
+∞
−−−−
∪
∪
∪
∪
−−−−
−∞
−∞
−∞
−∞
====
−−−−
====
1
1
1
R
D
2.
Granice na krańcach przedziałów określoności i asymptoty
a.
Asymptota pionowa
⇒
⇒
⇒
⇒
+∞
+∞
+∞
+∞
====
====
++++
====
+∞
+∞
+∞
+∞
====
====
++++
====
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
→
→
→
→
−−−−
→
→
→
→
−−−−
→
→
→
→
−−−−
→
→
→
→
...
)
(
lim
)
(
lim
...
)
(
lim
)
(
lim
2
1
1
2
1
1
1
1
x
e
x
f
x
e
x
f
x
x
x
x
x
x
b.
Asymptota pozioma
0
0
1
2
====
∞
∞
∞
∞
====
++++
====
∞
∞
∞
∞
−−−−
→
→
→
→
∞
∞
∞
∞
−−−−
→
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
x
e
x
f
x
x
x
⇒
⇒
⇒
⇒
prosta
0
====
y
- asymptota pozioma w
∞
∞
∞
∞
−−−−
+∞
+∞
+∞
+∞
====
====
++++
====
∞
∞
∞
∞
++++
→
→
→
→
∞
∞
∞
∞
++++
→
→
→
→
...
)
(
lim
)
(
lim
2
1
x
e
x
f
x
x
x
⇒
⇒
⇒
⇒
brak asymptoty poziomej w
∞
∞
∞
∞
++++
c.
Asymptota ukośna
Istnieje asymptota pozioma w
∞
∞
∞
∞
−−−−
, zatem brak asymptoty ukośnej w
∞
∞
∞
∞
−−−−
Badamy istnienie asymptoty ukośnej w
∞
∞
∞
∞
++++
+∞
+∞
+∞
+∞
====
====
++++
====
∞
∞
∞
∞
++++
→
→
→
→
∞
∞
∞
∞
++++
→
→
→
→
...
)
(
lim
)
(
lim
2
1
x
x
e
x
x
f
x
x
x
⇒
⇒
⇒
⇒
brak asymptoty ukośnej w
∞
∞
∞
∞
++++
.
3.
Punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych
OX:
0
====
)
(x
f
0
1
2
====
++++
⇔
⇔
⇔
⇔
)
(x
e
x
∅
∅
∅
∅
∈
∈
∈
∈
⇔
⇔
⇔
⇔
x
⇒
⇒
⇒
⇒
brak miejsc zerowych
OY:
1
1
0
0
2
0
====
++++
====
)
(
)
(
e
f
4.
Przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne
3
)
1
(
)
1
(
...
)
1
(
)
(
2
+
−
=
=
′
+
=
′
x
e
x
x
e
x
f
x
x
1
0
)
1
(
0
)
1
(
)
1
(
0
)
(
3
=
⇔
=
−
⇔
=
+
−
⇔
=
′
x
e
x
x
e
x
x
f
x
x
– punkt stacjonarny
0
)
1
(
)
1
(
0
)
1
(
)
1
(
0
)
(
3
0
3
<
+
−
⇒
<
+
−
⇔
<
′
>
x
x
x
e
x
x
f
x
e
x
Prosta
1
−−−−
====
x
- asymptota pionowa
obustronna
