3.4. Badanie funkcji – analiza pierwszej pochodnej
(1) Wyznaczanie przedziałów monotoniczności funkcji
Twierdzenie
Niech f: x
→
f(x) będzie funkcją określoną w zbiorze D
f
oraz róŜniczkowalną
w przedziale
( )
b
a,
zawartym w dziedzinie.
a) JeŜeli dla kaŜdego
( )
b
a
x
,
∈
mamy
( )
0
<
′
x
f
, to funkcja
f
jest malejąca w
( )
b
a,
.
b) JeŜeli dla kaŜdego
( )
b
a
x
,
∈
mamy
( )
0
>
′
x
f
, to funkcja
f
jest rosnąca w
( )
b
a,
.
c) JeŜeli dla kaŜdego
( )
b
a
x
,
∈
mamy
( )
0
=
′
x
f
, to funkcja
f
jest stała w
( )
b
a,
.
Praktyczna reguła
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji róŜniczkowalnej
f
wystarczy:
•
ustalić dziedzinę funkcji f,
•
wyznaczyć funkcję pochodną
f
′
,
•
wyznaczyć te przedziały, w których pochodna f ’ jest dodatnia (ujemna), czyli
rozwiązać nierówność
( )
0
>
′
x
f
(rozwiązać
( )
0
<
′
x
f
),
•
ustalić, które rozwiązania tych nierówności nie naleŜą do dziedziny funkcji f,
•
zinterpretować otrzymane podzbiory dziedziny: rozwiązania nierówności
f ’(x) > 0 wyznaczają zbiór, w którym funkcja jest rosnąca, a rozwiązania nierówności
f ’(x) < 0, w którym funkcja jest malejąca.
Przykład 1.
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji
f
, określonej w zbiorze liczb
rzeczywistych wzorem
( )
2
4
4
2
3
+
−
+
−
=
x
x
x
x
f
.
D
f
= R
Mamy :
( )
4
8
3
2
−
+
−
=
′
x
x
x
f
;
( )
(
)
0
2
3
2
3
0
4
8
3
0
2
>
−
−
−
⇔
>
−
+
−
⇔
>
′
x
x
x
x
x
f
, więc
( )
∈
⇔
>
′
2
,
3
2
0
x
x
f
;
( )
(
)
(
)
+∞
∪
−
∞
−
∈
⇔
<
−
−
−
⇔
<
′
,
2
3
2
,
0
2
3
2
3
0
x
x
x
x
f
.
Stąd na mocy podanego twierdzenia funkcja
f
jest malejąca w przedziałach:
−
∞
−
3
2
,
oraz
(
)
+∞
,
2
i
f
jest rosnąca w przedziale
2
,
3
2
.
(2) Wyznaczanie ekstremów lokalnych
Definicja
Niech funkcja
f
będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
.
Mówimy, Ŝe funkcja f w punkcie x
0
ma ekstremum lokalne równe f(x
0
), przy czym;
a) jest to maksimum lokalne, gdy dla kaŜdego punktu x z sąsiedztwa punktu x
0
zachodzi
warunek f(x)
≤
f(x
0
),
b) jest to minimum lokalne, gdy dla kaŜdego punktu x z sąsiedztwa punktu x
0
zachodzi
warunek f(x)
≥
f(x
0
).
Uwaga
Ekstremum funkcji w punkcie x
0
jest pojęciem lokalnym, tzn. związane jest z
zachowaniem się funkcji w pewnym dostatecznie małym otoczeniu punktu x
0
, a nie
zaleŜy od wartości funkcji poza tym otoczeniem. Aby dać temu wyraz mówimy o
ekstremum lokalnym.
Pojęcia te naleŜy odróŜniać od pojęcia największej lub najmniejszej wartości funkcji w
pewnym zbiorze. To ostatnie jest pojęciem integralnym, gdyŜ odnosi się do całego zbioru,
w którym rozpatrujemy funkcję, np. do dziedziny tej funkcji.
Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej w przedziale domkniętym [a, b], ilustruje jej
maksima lokalne: w punkcie x
1
równe f(x
1
), w punkcie x
3
równe f(x
3
), w punkcie b
równe
f(b), minima lokalne: w punkcie x
2
równe f(x
2
), w punkcie a
równe f(a), w punkcie x
4
równe
f(x
4
). Ma jednocześnie wartość największą w punkcie b
równe f(b) oraz najmniejszą w punkcie
a
równe f(a).
Twierdzenie
JeŜeli funkcja f jest róŜniczkowalna w przedziale (a, b) oraz w punkcie x
0
tego
przedziału jest f ’(x
0
) = 0 oraz w pewnym:
a) podprzedziale ( x
0
-
ε
, x
0
) pochodna f ’ jest dodatnia a w przedziale ( x
0
, x
0
+
ε
)
pochodna f ’ jest ujemna (
ε
> 0) , to w x
0
funkcja ma maksimum lokalne równe
f(x
0
),
b) podprzedziale ( x
0
-
ε
, x
0
) pochodna f ’ jest ujemna a w przedziale ( x
0
, x
0
+
ε
)
pochodna f ’ jest dodatnia, to w x
0
funkcja ma minimum lokalne równe
f(x
0
).
Uwaga
Ciągłość funkcji f w punkcie x
0
oraz istnienie pochodnej f’ róŜnych znaków w
lewostronnym sąsiedztwie i prawostronnym sąsiedztwie punktu x
0
jest warunkiem
wystarczającym do tego, aby funkcja f miała w tym punkcie ekstremum lokalne.
Praktyczna reguła
Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji róŜniczkowalnej f wystarczy:
•
ustalić dziedzinę D
f
funkcji f,
•
wyznaczyć funkcję pochodną
f
′
,
•
rozwiązać równanie
( )
0
=
′
x
f
, czyli wyznaczyć miejsca zerowe funkcji pochodnej f’,
•
jeśli równanie to nie ma rozwiązań, to funkcja
f
nie posiada ekstremów lokalnych,
y
x
f(x
4
)
f(b)
maksimum lokalne
maksimum lokalne
maksimum lokalne
minimum lokalne
minimum lokalne
minimum lokalne
x
2
x
3
x
4
x
1
b
a
•
gdy istnieją rozwiązania tego równania ustalić, które z nich naleŜą do dziedziny D
f
funkcji f, wybrać te rozwiązania,
•
zbadać znak pochodnej f ’ w pewnym otoczeniu kaŜdego argumentu x
0
, który jest
rozwiązaniem równania f ’(x) = 0, czyli rozwiązać nierówności f ’(x) > 0, f ’(x) < 0,
•
ustalić, czy w otoczeniu punktu x
0
pochodna f ’ zmienia znak,
•
zinterpretować otrzymany rezultat:
a) jeśli w otoczeniu punktu x
0
pochodna f ’ zmienia znak, wówczas w x
0
funkcja ma
ekstremum lokalne (ustalić, czy jest to maksimum, czy minimum lokalne oraz
wyznaczyć jego wartość),
b) jeśli w otoczeniu punktu x
0
pochodna f ’ nie zmienia znaku, wówczas w x
0
funkcja
nie ma ekstremum lokalnego.
Przykład 2.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f
określonej wzorem
( )
4
3
2
3
+
−
=
x
x
x
f
.
Oczywiście D
f
= R.
Mamy:
( )
x
x
x
f
6
3
2
−
=
′
, więc
( )
(
)
2
0
0
2
3
0
=
∨
=
⇔
=
−
⇔
=
′
x
x
x
x
x
f
;
( )
(
)
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
⇔
>
−
⇔
>
′
,
2
0
,
0
2
3
0
x
x
x
x
f
;
( )
( )
2
,
0
0
∈
⇔
<
′
x
x
f
.
Wynik badania wartości i znaków pochodnej
f
′
przedstawiamy schematycznie:
0 2
Stąd i z podanego twierdzenia wynika, Ŝe funkcja
f
osiąga minimum lokalne w punkcie 2
(
2
0
=
x
) równe
( )
0
2
min
=
f
oraz
f
osiąga maksimum lokalne w 0 (
0
0
=
x
) równe
( )
4
0
max
=
f
.
Praktyczna reguła
W zadaniach praktycznych (i nie tylko) waŜne jest wyznaczenie najmniejszej i
największej wartości funkcji
f
w przedziale domkniętym [a, b] zawartym w jej dziedzinie. W
tym celu wystarczy:
−
+
+
−
+
+
0
0
0
1
wyznaczyć pochodną
f
′
i rozwiązać równanie
( )
0
=
′
x
f
,
0
2
jeśli równanie
( )
0
=
′
x
f
ma rozwiązania naleŜące do przedziału ( a, b), to obliczyć
wartość funkcji
f
dla wyznaczonych rozwiązań,
0
3
obliczyć wartości: f(a), f(b) funkcji f
0
4
spośród wartości funkcji obliczonych w punktach
0
2
i
0
3
wybrać wartość najmniejszą
i największą.
Przykład 3.
Wyznacz ekstrema lokalne, wartość największą, najmniejszą funkcji f określonej wzorem
f(x) = 2x
3
+ 3x
2
– 12x + 7.
Rozwiązanie
a) Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.
b) Pochodna funkcji f(x) = 2x
3
+ 3x
2
– 12x + 7 wynosi f’(x) = 6x
2
+6x - 12 = 6(x+2)(x-1).
c) f’(x) = 0
⇔
x = -2 lub x = 1.
d) f’(x) < 0 w przedziale (-2, 1), a w obu przedziałach ( -
∞
, -2) oraz (1,
∞
) pochodna f’ jest
dodatnia.
e) Na mocy twierdzenia, funkcja f jest rosnąca w przedziale ( -
∞
, -2), następnie maleje w
przedziale (-2, 1) i znowu rośnie w przedziale (1,
∞
). Wobec tego w punkcie x = -2 osiąga
maksimum lokalne równe f(-2) = 27, a w punkcie x = 1minimum lokalne równe f(1) = 0.
f) PoniewaŜ
∞
→
x
lim (2x
3
+ 3x
2
– 12x + 7) =
∞
oraz
−∞
→
x
lim (2x
3
+ 3x
2
– 12x + 7) = -
∞
, zatem
funkcja f nie ma ani wartości najmniejszej, ani wartości największej.
Odpowiedź
Funkcja f ma w punkcie -2 maksimum lokalne równe 27 oraz w punkcie 1 ma minimum
lokalne równe 0. Nie ma wartości najmniejszej, ani największej.
Przykład 4.
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
( )
x
x
x
f
+
=
3
2
w przedziale [
−
1, 4].
0
1
Dziedziną D
f
funkcji
f jest R\ {
−
3}; zatem [
−
1, 4]
⊂
D
f
.
2
o
Dla
3
−
≠
x
,
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
6
3
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
=
+
−
+
=
′
.
3
o
( )
6
0
0
6
0
2
−
=
∨
=
⇔
=
+
⇔
=
′
x
x
x
x
x
f
, ale tylko
(
)
4
,
1
0
−
∈
, więc obliczamy
( )
0
0
=
f
.
4
o
( )
2
1
1
3
1
1
=
−
=
−
f
,
( )
7
16
4
3
16
4
=
+
=
f
.
5
o
Z rozwaŜań w punktach 3
o
i 4
o
wynika, Ŝe najmniejsza wartość
f
w tym przedziale jest
równa
0
, a największa
7
16
.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1.
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f, gdy:
a) f(x) = x
3
– 7,5 x
2
+ 18x +4 , b) f(x) = 3 x
4
- 6x
2
+ 7 , c) f(x) = 0,2 x
5
-
3
1
x
3
+ 11 ,
d) f(x) =
4
2
−
x
x
, e) f(x) =
2
3
−
x
x
, f) f(x) =
1
2
2
2
+
x
x
, g) f(x) = x+
5
4
−
x
.
Zadanie 2.
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f, gdy:
a) f(x) = x + sin x , dla x
∈
[ 0, 2
π
] , b) f(x) = x – cos x, dla x
∈
[ 0, 2
π
] ,
c) f(x) = sin x + cos x dla x
∈
[ 0, 2
π
] , d) f(x) = tg
2
x dla x
∈
[-
π
/2 ,
π
/2 ] ,
e) f(x) = x ln x dla x > 0 , f) f(x) = x (ln x)
-1
dla 0 < x
≠
1.
Zadanie 3.
Wyznacz te wartości parametru a, dla których funkcja f w całym zbiorze R jest:
a) rosnąca, f(x) = x
3
+ ax
2
– ax + 2 ,
b) malejąca , f(x) = - x
3
+ 6(a+2)x
2
+60(a+2)x + 12 .
Zadanie 4.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f, jeŜeli:
a) f(x) = x
3
– 6x
2
+ 9x – 4 , b) f(x) = - x
4
+2x
2
, c) f(x) = x x – 3x + 1 ,
d) f(x) =
2
2
x
x
−
, e) f(x) = x
2
(x
2
– 4)
3
, f) f(x) = x x –
3
5
,
1
x
.
Zadanie 5.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f, jeŜeli:
a) f(x) =
x
x
−
3
3
, b) f(x) =
4
2
+
x
x
, c) f(x) =
2
2
9
x
x
−
, d) f(x) = x + x
-1
,
e) f(x) =
x
x
2
1
2
−
, f) f(x) =
1
2
+
x
x
, g) f(x) = x ln x , h) f(x) = x e
-x
.
Zadanie 6.
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f w podanym przedziale:
a) f(x) = 2x
3
+3x
2
– 12x +1 , [-1, 5], b) f(x) = x
2
(x
2
-1) , [-2, 3] ,
c) f(x) =
x
4
5
−
, [-1, 1], d) f(x) = 2x
4
– x , [-1,1] , e) f(x) = x(32 + x
3
) , [-3, 1],
f) f(x) =
2
1
2
x
x
+
,[-2, 2] , g) f(x) =
2
2
4
3
x
x
x
−
−
, [-1,1] , h) f(x) = x
2
ln x, [-1, e].
Zadanie 7.
Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
f
, jeśli:
a)
( )
4
3
2
3
−
+
=
x
x
x
f
, b)
( )
2
3
2
2
−
+
−
=
x
x
x
x
f
.
Zadanie 8.
Wyznacz najmniejszą (m) i największą (M) wartość funkcji
f
, jeśli:
a)
( ) (
)
x
x
x
f
4
−
=
, w przedziale [0, 4], b)
( )
x
x
x
f
−
−
=
4
2
1
, w przedziale [0, 2].
Odpowiedzi
Zad. 1.: a) rosnąca w ( -
∞
, 2], [3,
∞
), malejąca w [2,3], b) rosnąca w [-1,0] , [1,
∞
),
malejąca w ( -
∞
, -1], [0,1], c) rosnąca w ( -
∞
, -1], [1,
∞
), malejąca w [-1,1],
d) malejąca w ( -
∞
, -2), (2,
∞
), (-2,2), e) rosnąca w (1,5; 2), (2,
∞
), malejąca
w ( -
∞
, 1,5), f) rosnąca w ( -
∞
, -1], (0, 1), malejąca w (-1, 0), (1,
∞
),
g) rosnąca w ( -
∞
, 3), (7,
∞
), malejąca w (3,5), (5,7).
Zad. 2.: a) rosnąca, b) rosnąca, c) rosnąca w (0; 0,25
π
), (1,25
π
; 2
π
) ,
malejąca w (0,25
π
; 1,25
π
), d) rosnąca w (0: 0,5
π
), malejąca w (- 0,5
π
;0),
e) rosnąca w [e
-1
,
∞
) , malejąca w (0, e
-1
] , f) rosnąca w [e,
∞
), malejąca w (0,1), (1,e).
Zad. 3.: a) a
∈
(-3, 0) , b) a
∈
(-7,-2) .
Zad. 4.: a) max: f(1) = 0, min: f(3) = - 4, b) max: f(1) = f(-1) = 1, min: f(0) = 0,
c) min: f(4) = - 3, d) max: f(1) = 1, e) max: f(0) = 0, f) min: f(
9
1
) =
27
2
−
.
Zad. 5.: a) max: f(4,5) = 60,75, b) min: f(-2) = -0, 25 ,max: f(2) = 0,25,
c) min: f(0) = 0, d) max: f(0) = 0, e) max: f(1) = -1, f) nie ma ekstremum,
g) min: f(e
-1
) = - e
-1
, h) max: f(1) = e
-1
.
Zad. 6.: a) max: f(5) = 266, min: f(-1) = - 6, b) max: f(3) = 72,
min: f(0) = f(-1)= f(1) = 0, c) max: f(-1) = 3, min: f(1) = 1,
d) max: f(-1) = 3, min: f(0,5) = - 0, 375, e) max: f(1) = 33, min: f(-2) = - 48,
f) max: f(1) = 1, min: f(-1) = - 1, g) max: f(1) =-
3
2
, min: f(-1) = -
3
4
,
h) max: f(e) = e
2
, min: f(1) = 0.
Zad.7.: a)
x
−
∞
….
−
1 … 0 … 1 …
∞
f’
−
0 + 0
−
0 +
f
1 4 1
Funkcja f jest malejąca w przedziałach (
−
∞
,
−
1), (0, 1), rosnąca w przedziałach
(
−
1, 0), (1,
∞
) ; f
max
(0) = 4; f
min
(
−
1) = 1, f
min
(1) = 1.
b)
x
−
∞
…. 2
−
3
… 2 … 2+
3
…
∞
f’
+ 0
−
*
−
0 +
f
2
−
2
3
* 2 +2
3
D
f
= R\{2} ; funkcja f jest rosnąca w przedziałach (
−
∞
, 2
−
3
), (2 +
3
,
∞
),
malejąca w przedziałach ( 2
−
3
, 2), (2, 2 +
3
); f
max
(2
−
3
) = 2
−
2
3
;
f
min
(2 +
3
) = 2 +2
3
.
Zad. 8.: a) M = 0; m =
9
3
16
−
; b) M = 0,25 ; m =
−
1,5.