RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Zadanie 1 Obliczyć granice funkcji:
a) lim
x→0
+
ln sin x + 1
x
2
m) lim
x→0
+
x +
√
x
x
b) lim
x→0
−
(x − 1)e
−
1
x
n) lim
x→∞
16
4 + e
−x
c) lim
x→∞
e
−3x
x
+ (4 + 3x) · ln
3 + 5x
4 + 3x
!
o) lim
x→∞
(xe
−
1
x
+ 2)
d) lim
x→0
+
ln cos x + 3 sin x
sin x − 2
p) lim
x→1
x −
√
2 − x
x − 1
e)
lim
x→−∞
(5 − x
2
)e
4x
2
r) lim
x→2
ln(x − 2 + e) +
1
π
x+4
(x−2)2
f ) lim
x→∞
(x −
√
x
2
+ 1)
s)
lim
x→−∞
4
x+2
+ 3
−x
− 1
2
2x−1
+ 3
x
− 5
g)
lim
x→−1
−
(x
2
+ 1)e
−
2
x+1
t) lim
x→−2
x
2
− 4
x
3
+ 8
h) lim
x→∞
(ln
x + 1
x
− 2arctg x)
u) lim
x→2
+
(x + 5)e
x
4−x2
i) lim
x→0
−
x − ln
2x
x
2
− 4
w) lim
x→∞
5x + 3
5x − 1
4x
j) lim
x→1
+
x
ln x
x) lim
x→∞
(3x −
√
16x
2
− 2x + 4)
k) lim
x→1
arctg x
1 + e
4
(1−x)2
y)
lim
x→−
π
2
−
2 − sin x
cos x
l)
lim
x→−∞
arcctg x
ln(4 − 3x)
z)
lim
x→−1
+
e
2−3x
1 − x
2
Zadanie 2 Korzystając z reguły de l’Hospitala obliczyć granice funkcji:
a) lim
x→0
+
e
2x
− 1
x
2
i) lim
x→0
+
xe
6
x
b) lim
x→∞
x + 3
e
x
+ 2x
j) lim
x→0
−
xe
−
2
x
c) lim
x→0
+
x
2
+ 3x
sin x
k) lim
x→0
+
x
3
ln x
d) lim
x→1
ln x
x − 1
l) lim
x→∞
xarcctg x
e) lim
x→0
+
x
arcsin x
m) lim
x→1
−
1
ln x
−
1
x − 1
f ) lim
x→∞
3
√
x
ln x
n) lim
x→0
+
1
x
−
1
e
2x
− 1
g) lim
x→∞
x
2
e
−2x
o) lim
x→∞
xe
1
x
− x
h)
lim
x→−∞
(2x + 5)e
4x
p)
lim
x→−∞
x − xe
−
2
x
Izabela Jóźwik
Małgorzata Terepeta
1
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Zadanie 3 Wyznaczyć dziedzinę funkcji i obliczyć granice funkcji w punktach brzegowych dziedzi-
ny
a) f (x) = ln
x − 1
x
g) f (x) = xe
−5
√
x−3
b) f (x) =
e
1
x
− 1
e
1
x
+ 1
h) f (x) =
1
1 + e
−
1
x
c) f (x) =
e
x
+ e
−x
e
x
− e
−x
i) f (x) =
7
ln(2 − 3x)
d) f (x) = arctg
x
2
x − 1
j) f (x) =
−3
x
2
− 4x − 5
e) f (x) =
1
2 − ln x
k) f (x) =
√
2x + 1
arcsin x
f ) f (x) =
x − 2
√
x − 1 − 1
l) f (x) =
3x + 5
√
9 − x
2
Zadanie 4 Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji:
a) f (x) = e
1
x3+4x2
g) f (x) = ln
3
x + 3 ln
2
x
b) f (x) = e
2x
(−2x
2
+ 2x + 7)
h) f (x) =
4 − ln x
x
c) f (x) = x
4
e
−x
i) f (x) = (x + 1)e
−
2
x
d) f (x) = 4x
2
ln
x
2
j) f (x) = ln(x
2
+ 12)
e) f (x) =
x
3
1 − ln x
k) f (x) = x
3
e
−3x
f ) f (x) = (x
2
− 8)e
x
l) f (x) = 4arctg x − ln x
Zadanie 5 Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia krzywej danej
wzorem:
a) f (x) =
2 + ln x
x
h) f (x) =
2 − 3 ln x
x
2
b) f (x) = (x
2
+ 1)e
−x
i) f (x) =
e
x
x + 2
c) f (x) = ln(4 − x
2
)
j) f (x) = x
3
ln x
d) f (x) = ln
2
x
k) f (x) =
1 − ln x
x
e) f (x) = ln(x
2
+ 16)
l) f (x) = x ln
3
x
f ) f (x) = e
arctg x
m) f (x) = e
−2x
2
g) f (x) = xe
−
2
x
n) f (x) = e
x
x−1
Izabela Jóźwik
Małgorzata Terepeta
2
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Zadanie 6 Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji:
a) f (x) =
x ln x
1 − 2 ln x
g) f (x) = e
1
x
− x
b) f (x) = x + ln
x
x + 2
h) f (x) = x
2
ln x
c) f (x) = 2 −
x
2
+ 1
3 − x
i) f (x) =
2x ln x − 1
ln x
d) f (x) = xe
x
x−5
j) f (x) =
√
x
2
+ 4
x
e) f (x) =
ln(x + 2)
x + 1
k) f (x) = xe
4
x
f ) f (x) = x − 2arctg x
l) f (x) =
ln
2
x + 1
ln x
Zadanie 7 Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć granice w punktach brzegowych dziedziny, wy-
znaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji oraz sporządzić jej wykres:
a) f (x) =
e
−2x
3 − x
g) f (x) =
x ln x
1 − 2 ln x
b) f (x) =
2 − ln x
x
2
h) f (x) =
2 − ln x
x
c) f (x) = e
−x
2
i) f (x) = e
1
1−x2
d) f (x) = xe
−
3
x
j) f (x) = (x − 6)e
−
1
x
e) f (x) =
x
ln x
k) f (x) =
ln
2
x
x
f ) f (x) = x
2
ln(−x)
l) f (x) = ln
x
x − 3
Zadanie 8 Zbadać przebieg zmienności funkcji:
a) f (x) =
1 − ln x
x
h) f (x) =
(x − 1)
3
x
2
b) f (x) = x ln
2
x
i) f (x) =
ln x
1 − ln x
c) f (x) = e
−x
2
j) f (x) =
x
4 − ln x
d) f (x) = xe
−
1
x
k) f (x) = ln
2
x − ln x
e) f (x) =
2 − ln x
x
2
l) f (x) = ln
x − 1
x
f ) f (x) = x
2
e
−x
m) f (x) =
e
x
x
2
g) f (x) = ln
3
x − 3 ln
2
x
n) f (x) = (9 − x)
√
x
Izabela Jóźwik
Małgorzata Terepeta
3
ODPOWIEDZI
LEKTURA UZUPEŁNIAJĄCA:
1. Arkusz- reguła de l’Hospitala (hasło: Reguła H)
2. K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow ”Matematyka 1” (rok wyd. 2002 lub później)
• Granice funkcji: str. 110 zad. 2-10
• Pochodna: str. 136 zad. 3, 6, 12, 16, 17
• Badanie funkcji: str. 152 zad. 3, 6; str. 162 zad. 5, 6, 7, 9 (a, b), 10; str. 169 zad. 5;
str. 175 zad. 3; str. 190 zad. 1 (a- k), 2 (a- f, i, l, o)
3. M.Terepeta, K.Dems, I.Jóźwik, D.Szymczak ”Analiza matem. i algebra. Kolokwia i egzaminy
cz.1” (zadania dotyczące rachunku różniczkowego)
ODPOWIEDZI
1.
a) −∞; b) −∞; c) ∞; d) 0; e) −∞; f) 0; g) ∞; h) −π; i) ∞; j) ∞; k) 0; l) 0; m) ∞; n) 4; o) ∞;
p)
3
2
; r) 1; s) −∞; t) −
1
3
; u) 0; w) e
16
5
; x) −∞; y) −∞; z) ∞.
2.
a) ∞; b) 0; c) 3; d) 1; e) 1; f) ∞; g) 0; h) 0; i) ∞; j) −∞; k) 0; l) 1; m)
1
2
; n) ∞; o) 1; p) 2.
3.
a) D = (−∞, 0) ∪ (1, ∞), lim
x→−∞
f (x) = lim
x→∞
f (x) = 0, lim
x→0
−
f (x) = ∞, lim
x→1
+
f (x) = −∞;
b) D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), lim
x→−∞
f (x) = lim
x→∞
f (x) = 0, lim
x→0
−
f (x) = −1, lim
x→0
2
f (x) = 1;
c) D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) lim
x→−∞
f (x) = −1, lim
x→0
−
f (x) = −∞, lim
x→0
+
f (x) = ∞, lim
x→∞
f (x) = 1;
d) D = (−∞, 1) ∪ (1, ∞), lim
x→−∞
f (x) = −
π
2
, lim
x→1
−
f (x) = −
π
2
, lim
x→1
+
f (x) =
π
2
, lim
x→∞
f (x) =
π
2
;
e) D = (0, e
2
) ∪ (e
2
, ∞), lim
x→0
+
f (x) = lim
x→∞
f (x) = 0, lim
x→e
2−
f (x) = ∞, lim
x→e
2+
f (x) = −∞;
f) D = h1, 2) ∪ (2, ∞), f (1) = 1, lim
x→2
−
f (x) = lim
x→2
+
f (x) = 2, lim
x→∞
f (x) = ∞;
g) D = (3, ∞), lim
x→3
+
f (x) = 0, lim
x→∞
f (x) = ∞;
h) D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), lim
x→−∞
f (x) = lim
x→∞
f (x) =
1
2
, lim
x→0
−
f (x) = 0, lim
x→0
+
f (x) = 1;
Izabela Jóźwik
Małgorzata Terepeta
4
ODPOWIEDZI
i) D = (−∞,
1
3
) ∪ (
1
3
,
2
3
), lim
x→−∞
f (x) = lim
x→
2
3
−
f (x) = 0, lim
x→
1
3
−
f (x) = ∞, lim
x→
1
3
+
f (x) = −∞;
j) D = (−∞, −1) ∪ (−1, 5) ∪ (5, ∞), lim
x→−∞
f (x) = lim
x→∞
f (x) = 0,
lim
x→−1
−
f (x) = lim
x→5
+
f (x) = −∞, lim
x→−1
+
f (x) = lim
x→5
−
f (x) = ∞;
k) D = h−
1
2
, 0) ∪ (0, 1i, f h−
1
2
i = 0, lim
x→0
−
f (x) = −∞, lim
x→0
+
f (x) = ∞, f (1) =
2
√
3
π
;
l) D = (−3, 3), lim
x→−3
+
f (x) = −∞, lim
x→3
−
f (x) = ∞.
4.
Zdanie ”funkcja jest malejąca na przedziale” zastępujemy symbolem: ”f &:” (analogicznie, jeśli
funkcja jest rosnąca piszemy ”f %:”).
a) f
min
= f
−
8
3
= e
27
256
;
f &: (−∞, −4),
−4, −
8
3
, (0, ∞);
f %:
−
8
3
, 0
.
b) f
min
= f (−2) = −5e
−4
, f
max
= f (2) = 3e
4
;
f &: (−∞, −2), (2, ∞);
f %: (−2, 2).
c) f
min
= f (0) = 0, f
max
= f (4) = 4
4
e
−4
;
f &: (−∞, 0), (4, ∞);
f %: (0, 4).
d) f
min
= f
2e
−
1
2
= −8e
−1
;
f &:
0, 2e
−
1
2
;
f %: (2e
−
1
2
, ∞).
e) f
max
= f
e
4
3
= −3e
4
;
f &:
e
4
3
, ∞
;
f %: (0, e),
e, e
4
3
.
f) f
min
= f (2) = −4e
2
, f
max
= f (−4) = 8e
−4
;
f &: (−4, 2);
f %: (−∞, −4), (2, ∞).
g) f
min
= f (1) = 0, f
max
= f (e
−2
) = 4;
f &: (e
−2
, 1) ;
f %: (0, e
−2
), (1, ∞).
h) f
min
= f (e
5
) = −e
−5
;
f &: (0, e
5
) ;
f %: (e
5
, ∞).
i) brak ekstremów,
f %: (−∞, 0), (0, ∞).
j) f
min
= f (0) = ln 12;
f &: (−∞, 0);
f %: (0, ∞).
k) f
max
= f (1) = e
−3
;
f &: (1, ∞);
f %: (−∞, 1).
l) f
min
= f
2 −
√
3
= 4arctg
2 −
√
3
+ ln
2 −
√
3
;
f
max
= f
2 +
√
3
= 4arctg
2 +
√
3
+ ln
2 +
√
3
;
f &:
0, 2 −
√
3
;
2 +
√
3, ∞
; f %:
2 −
√
3, 2 +
√
3
.
5.
Literą P oznaczamy punkt przegięcia krzywej y = f (x).
a) P =
e
−
1
2
,
3
2
e
1
2
, krzywa jest wypukła na
e
−
1
2
, ∞
, wklęsła na
0, e
−
1
2
.
b) P = (1, 2e
−1
) , P = (3, 10e
−3
), krzywa jest wypukła na (−∞, 1), (3, ∞), wklęsła na (1, 3).
c) brak punktów przegięcia, krzywa jest wklęsła na całej dziedzinie.
Izabela Jóźwik
Małgorzata Terepeta
5
ODPOWIEDZI
d) P = (e, 1), krzywa jest wypukła na (0, e), wklęsła na (e, ∞).
e) P = (−4, ln 32), P = (4, ln 32), krzywa jest wypukła na (−4, 4), wklęsła na (−∞, −4), (4, ∞).
f) P =
1
2
, e
arctg
1
2
, krzywa jest wypukła na
−∞,
1
2
, wklęsła na
1
2
, ∞
.
g) brak punktów przegięcia, krzywa jest wypukła na (0, ∞), wklęsła na (−∞, 0).
h) P =
e
3
2
,
1
2
e
−3
, krzywa jest wypukła na
0, e
3
2
, wklęsła na
e
3
2
, ∞
.
i) brak punktów przegięcia, krzywa jest wypukła na (−2, ∞), wklęsła na (−∞, −2).
j) P =
e
−
5
6
, −
5
6
e
−
5
2
, krzywa jest wypukła na
e
−
5
6
, ∞
, wklęsła na
0, e
−
5
6
.
k) P =
e
5
2
, −
3
2
e
−
5
2
, krzywa jest wypukła na
0, e
5
2
, wklęsła na
e
5
2
, ∞
.
l) P = (e
−2
, −8e
−2
) , P = (1, 0), krzywa jest wypukła na (0, e
−2
), (1, ∞), wklęsła na (e
−2
, 1).
m) P =
−
1
2
, e
−
1
2
, P =
1
2
, e
−
1
2
, krzywa jest wypukła na
−∞, −
1
2
,
1
2
, ∞
,
wklęsła na
−
1
2
,
1
2
.
n) P =
1
2
, e
, krzywa jest wypukła na
1
2
, 1
, (1, ∞), wklęsła na
−∞,
1
2
.
6.
a) asymptota pionowa (obustronna) x =
√
e;
b) asymptoty pionowe x = −2 (lewostronna), x = 0 (prawostronna); asymptota ukośna y = x
w ±∞;
c) asymptota pionowa (obustronna) x = 3; asymptota ukośna y = x + 5 w ±∞;
d) asymptota pionowa (prawostronna) x = 5, asymptota ukośna y = ex + 5e w ±∞;
e) asymptota pionowa (prawostronna) x = −2, asymptota ukośna y = 0 w ∞;
f) asymptoty ukośne: y = x + π w −∞ oraz y = x − π w ∞;
g) asymptota pionowa (prawostronna) x = 0, asymptota ukośna y = −x + 1 w ±∞;
h) brak asymptot;
i) asymptota pionowa (obustronna) x = 1, asymptota ukośna y = 2x w ∞;
j) asymptota pionowa (obustronna) x = 0, asymptoty ukośne: y = 1 w ∞ oraz y = −1 w −∞;
k) asymptota pionowa (prawostronna) x = 0, asymptota ukośna y = x + 4 w ±∞;
l) asymptota pionowa (prawostronna) x = 0, asymptota pionowa (obustronna) x = 1.
Izabela Jóźwik
Małgorzata Terepeta
6