PRĘTY ZAKRZYWIONE 

 

Pręt zakrzywiony – gdy oś pręta jest krzywą (pręty zakrzywione płasko i przestrzennie). 

pręty słabo zakrzywione 

r/h > 5

, przyjmujemy wzory jak dla prętów prostych, 

pręty silnie zakrzywione 

r/h < 5. 

Omówimy stan naprężenia w prętach silnie zakrzywionych. 
W przekroju poprzecznym wystąpią N,M i T (T- pominiemy).

 

 

Zakładamy podobnie jak dla prętów 

prostych: 
- 

płaskie przekroje, 

- 

odległości w kierunku promieniowym nie 

zmieniają się, 
- naciski w kierunku 



 

są pomijalne. 

Rozpatrując element klinowy pręta – 
warunki: 
geometryczne, fizyczne i równowagi 
otrzymamy wyrażenia na naprężenia. 

1. 

Działa tylko siła rozciągająca N: 

F

N

N





 

- 

rozkład równomierny 

2.  Zginanie momentem M: 







0

0

r

e

F

M

y

r

y

e

F

M

M













 

F e 

– 

moment statyczny wzgl. osi oboj.

 

3. 

Równoczesne działanie N i M: 

r

M

k

N













 

UWAGA !     

Siły z założenia są  

przykładane w środku przekroju,  
M 

odnosimy również do środka  

ciężkości przekroju. 

 

 

 

Gdy przekrój ma dwie osie symetrii 



w



 > 



z



 

 

WYZNACZENIE PROMIENIA WARSTWY OBOJĘTNEJ 

 

 

 

 

ogólnie 

 





F

dF

F

r



0

 

np. dla prostokąta 

 

 

 

 

2

2

ln

ln

0

0

1

2

0

2

1

h

h

h

h

d

b

h

b

dF

F

r

F





































 

 

 

 

 

 

 

 

dF=bd



 

Przykład. Ustalić wartości siły dopuszczalnej P przykładanej do pręta zakrzywionego o 
przekroju prostokątnym. Naprężenie dopuszczalne k=140 MPa, b=5 cm, h=8 cm, 



0

=20 cm. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

M

g

=P 2



0

 

 

N=P  - 

rozciąganie 

Wyznaczamy położenie osi obojętnej: 

 

   

 

 

 

 





F

dF

F

r



0

 

dla prostokąta 

cm

h

h

h

r

o

73

,

19

3

2

ln

8

4

20

4

20

ln

8

2

2

ln

0

0





















 

e=



0

-r

0

=20-19,73=0,27 cm 

Naprężenia         

P

P

bh

P

e

h

b

P

F

N

r

e

F

M

g

888

,

0

40

1

16

27

,

0

40

73

,

3

40

16

16

73

,

19

2

0

0





















































 



















2

1

1

0

1

888

,

0

cm

N

P

bh

P

r

e

F

M

g







 















































2

2

634

,

0

40

1

24

27

,

0

40

27

,

4

40

2

cm

N

P

P

bh

P

e

F

r

P



 

 

P

F

P

025

,

0

0









   

 

k

P





89

,

0

1



 

 

   

 

 

 

 

 

   

 

N

k

P

15730

10

89

,

0

10

140

89

,

0

4

6











 

gdy P = P

dop

  to:   

 

 

 

 

   

licząc naprężenia jak dla pręta prostego 



1

=140 MPa 

 

 

 

 

 

 













bh

P

bh

P

F

N

W

M

g

6

2

2

0





 



2

=-99 MPa 

 

 

 

 

 

 

 

 



c

=114,1 MPa 



0

=3,9 MPa 

 

 

 

 

 

 

 

 



r

=121,8 MPa 

oś obojętna 

 zginanie 
    proste

 



2

=-99 MPa 



N

+



g

 



g 



0

=3,9 MPa 



1

=140 MPa 





P 

h 

b 

y 

z