Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
1
Logiczne podstawy prawoznawstwa
Piotr Łukowski
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
1
Logiczne podstawy prawoznawstwa
Piotr Łukowski
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
2
WYKŁAD 9
klasyczny rachunek nazw
relacje
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
3
Ludwik Borkowski, Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa 1977, s.154
(cienka ksiąŜka)
(nie korzystamy z Ziębińskiego)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
4
Rachunek nazw (Arystoteles)
Zdanie kategoryczne, to zdanie o budowie podmiotowo-orzecznikowej, w którym występują
dwie nazwy (w roli podmiotu i w roli orzecznika) połączone funktorem zdaniotwórczym „jest”.
WyróŜniamy cztery typy zdań kategorycznych:
1. zdanie ogólno-twierdzące „KaŜde S jest P” (SaP)
2. zdanie ogólno-przeczące „śadne S nie jest P” (SeP)
3. zdanie szczegółowo-twierdzące „Niektóre S są P” (SiP)
4. zdanie szczegółowo-przeczące „Niektóre S nie są P” (SoP)
S -
s
ubiectum (podmiot)
SaP, SiP -
a
ff
i
rmo (twierdzę)
P -
p
raedicatum (orzecznik)
SeP, SoP - n
e
g
o
(przeczę)
Przykład
KaŜdy adwokat jest prawnikiem.
(SaP)
ś
aden sędzia nie jest prokuratorem.
(SeP)
Niektórzy prawnicy są prokuratorami.
(SiP)
Niektórzy prawnicy nie są prokuratorami.
(SoP)
Ex(S)
↔
SiS
(zdanie Ex(S) stwierdza istnienie obiektu będącego S, czyli stwierdza niepustość S)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
5
Zdania SaP i SiP mają tę samą JAKOŚĆ (w tym przypadku twierdzącą), zaś
zdania SaP i SeP mają tę samą ILOŚĆ (w tym przypadku ogólną).
Podobnie,
zdania SeP i SoP mają te samą JAKOŚĆ (w tym przypadku przeczącą), zaś
zdania SiP i SoP mają tę samą ILOŚĆ (w tym przypadku szczegółową).
Zmiana jakości zdania bez zmiany jego ilości oznacza zamianę,
albo SaP na SeP, albo SeP na SaP, albo SiP na SoP, albo zamianę SoP na SiP.
Zmiana ilości zdania bez zmiany jego jakości oznacza zamianę,
albo SaP na SiP, albo SiP na SaP, albo SeP na SoP, albo zamianę SoP na SeP.
Jednoczesna zmiana ilości i jakości zdania oznacza zamianę,
albo SaP na SoP, albo SoP na SaP, albo SeP na SiP, albo zamianę SiP na SeP.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
6
diagramy Venna
zdanie prawdziwe
zdanie fałszywe
SaP
SeP
SiP
SoP
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
7
Prawa z kwadratu logicznego
SaP
↔
∀
x (x
∈
S
→
x
∈
P)
↔
¬∃
x (x
∈
S
∧
x
∉
P)
↔
¬
SoP
SeP
↔
∀
x (x
∈
S
→
x
∉
P)
↔
¬∃
x (x
∈
S
∧
x
∈
P)
↔
¬
SiP
SiP
↔
∃
x (x
∈
S
∧
x
∈
P)
↔
¬∀
x (x
∈
S
→
x
∉
P)
↔
¬
SeP
SoP
↔
∃
x (x
∈
S
∧
x
∉
P)
↔
¬∀
x (x
∈
S
→
x
∈
P)
↔
¬
SaP
(SaP
∧
Ex(S))
→
¬
SeP
(
¬
SiP
∧
Ex(S))
→
SoP
(SaP
∧
Ex(S))
→
SiP
(SeP
∧
Ex(S))
→
¬
SaP
(
¬
SoP
∧
Ex(S))
→
SiP
(SeP
∧
Ex(S))
→
SoP
sprzeczne
sprzeczne
SaP
SoP
SiP
SeP
przeciwne
podprzeciwne
podporządkowane
podporządkowane
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
8
S
- zakres nazwy S
P
- zakres nazwy P
I - obiekty S, które są P
II - obiekty S, które nie są P
III - obiekty P, które nie są S
S
P
I
II
III
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
9
Zadanie WykaŜ, Ŝe:
(SaP
∧
Ex(S))
→
¬
SeP
Przykład potwierdzaj
ą
cy (weryfikuj
ą
cy)
(nie ma mocy dowodu)
: jeśli kaŜdy krasnal ma czapkę i jakiś
krasnal istnieje (krasnale istnieją), to nieprawdą jest, Ŝe Ŝaden krasnal nie ma czapki.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
(SeP
∧
Ex(S))
→
¬
SaP
Przykład potwierdzaj
ą
cy (weryfikuj
ą
cy)
(nie ma mocy dowodu)
: jeśli Ŝaden krasnal nie ma pistoletu i
jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to nieprawdą jest, Ŝe kaŜdy krasnal ma pistolet.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
10
(
¬
SiP
∧
Ex(S))
→
SoP
Przykład potwierdzaj
ą
cy (weryfikuj
ą
cy)
(nie ma mocy dowodu)
: jeśli nieprawdą jest, Ŝe pewien krasnal
ma chorobę weneryczną i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal nie ma choroby
wenerycznej.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
(
¬
SoP
∧
Ex(S))
→
SiP
Przykład potwierdzaj
ą
cy (weryfikuj
ą
cy)
(nie ma mocy dowodu)
: jeśli nieprawdą jest, Ŝe pewien krasnal
nie ma narzeczonej i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal ma narzeczoną.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
11
(SaP
∧
Ex(S))
→
SiP
Przykład potwierdzaj
ą
cy (weryfikuj
ą
cy)
(nie ma mocy dowodu)
: jeśli kaŜdy krasnal ma czapkę i jakiś
krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal ma czapkę.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
(SeP
∧
Ex(S))
→
SoP
Przykład potwierdzaj
ą
cy (weryfikuj
ą
cy)
(nie ma mocy dowodu)
: jeśli Ŝaden krasnal nie ma narzeczonej
i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal nie ma narzeczonej.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
12
Prawa konwersji
(konwersja to przestawienie podmiotu i orzecznika)
prostej
SeP
↔
PeS
1
SiP
↔
PiS
z ograniczeniem
(SaP
∧
Ex(S))
→
PiS
2
(SeP
∧
Ex(P))
→
PoS
1
2
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
13
Prawa obwersji
(obwersja to zanegowanie orzecznika i zmiana jako
ś
ci zdania)
(1) SaP
↔
Se-P (2) SeP
↔
Sa-P (3) SiP
↔
So-P (4) SoP
↔
Si-P
(1)
(2)
(3)
(4)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
14
Prawa obwersji konwersji
(obwersja zastosowana do prawej strony prawa konwersji)
prostej
SeP
↔
Pa-S
1
SiP
↔
Po-S
z ograniczeniem
(SaP
∧
Ex(S))
→
Po-S
2
(SeP
∧
Ex(P))
→
Pi-S
1
2
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
15
Prawa kontrapozycji
cz
ęś
ciowej
(kontrapozycja cz
ęś
ciowa = konwersja + zmiana jako
ś
ci + negacja orzecznika)
1
SaP
↔
-PeS
2
SoP
↔
-PiS
3
(SeP
∧
Ex(S))
→
-PiS
4
(SaP
∧
Ex(-P))
→
-SoP
1
2
3
4
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
16
zupełnej
(kontrapozycja zupełna = konwersja+ negacja orzecznika + negacja podmiotu)
1
SaP
↔
-Pa-S
2
SoP
↔
-Po-S
3
(SeP
∧
Ex(S))
→
-Po-S
4
(SaP
∧
Ex(-P))
→
-Si-P
1
2
3
4
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
17
Prawa inwersji
cz
ęś
ciowej
(inwersja cz
ęś
ciowa = negacja podmiotu + zmiana jako
ś
ci + zmiana ilo
ś
ci)
zupełnej (negacja podmiotu + negacja orzecznika + zmiana ilo
ś
ci)
1
(SeP
∧
Ex(P))
→
-SiP
2
(SeP
∧
Ex(P))
→
-So-P
1
2
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
18
Tryby sylogistyczne
Forma zdania kategorycznego, to funkcja zdaniowa zbudowana z jednej ze stałych „a”, „e”, „i”,
„o” i ze zmiennych nazwowych.
Trybem sylogistycznym nazywamy schemat wnioskowania spełniający dwa warunki:
1. Wstępują w nim dwie przesłanki będące formami zdania kategorycznego i ewentualnie
przesłanka o niepustości jakiegoś terminu. Wiosek jest teŜ formą zdania kategorycznego.
2. Wstępują w nim trzy terminy, przy czym podmiot wniosku występuje w jednej
przesłance, a orzecznik wniosku występuje w drugiej przesłance. Termin występujący w obu
przesłankach nie występuje we wniosku - jest on nazywany terminem średnim.
Mamy więc cztery moŜliwe figury trybów sylogistycznych:
I
II
III
IV
M P
P M
M P
P M
S M
S M
M S
M S
S P
S P
S P
S P
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
19
Poprawne tryby sylogistyczne
MaP
MeP
MaP
SaM
MeP
SaM
MaP
MeP
SaM
Ex(S)
SaM
Ex(S)
SiM
SiM
figura
I
SaP
SiP
SeP
SoP
SiP
SoP
PeM
PaM
PeM
SaM
PaM
SeM
PeM
PaM
SaM
Ex(S)
SeM
Ex(S)
SiM
SoM
figura
II
SeP
SoP
SeP
SoP
SoP
SoP
MaP
MeP
MaS
MiP
MaP
MaS
MoP
MeP
Ex(M)
MaS
MiS
Ex(M)
MaS
MiS
figura
III
SiP
SiP
SiP
SoP
SoP
SoP
PaM
PaM
PeM
MaS
PaM
MeS
PiM
MaS
PeM
Ex(P)
MeS
Ex(S)
MaS
Ex(M)
MiS
figura
IV
SiP
SeP
SoP
SiP
SoP
SoP
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
20
Zadanie. Sprawdź niezawodność następujących trybów sylogistycznych:
MeP
SaM
SeP
PeM
SiM
SoP
niezawodny
niezawodny
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
21
PeM
SaM
Ex(S)
SoP
PeM
MeS
SeP
niezawodny
zawodny
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
22
Dotyczy wszelkich rozumowań, nie tylko trybów sylogistycznych:
Rozumowanie jest poprawne, gdy nie jest w nim popełniony, ani błąd formalny (jest
poprawne logicznie), ani materialny (jest poprawne treściowo).
Błędem materialnym jest wykorzystanie w rozumowaniu przesłanki fałszywej, czyli
wzięcie jakiejś przesłanki fałszywej za prawdziwą.
Błędem formalnym jest zastosowanie zawodnego (niededukcyjnego) schematu
wnioskowania. Wówczas, wniosek nie wynika logicznie z przesłanek, ani na mocy
klasycznego rachunku zdań, ani na mocy klasycznego rachunku kwantyfikatorów, ani
na mocy klasycznego rachunku nazw.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
23
PaM
MaS
SiP
PaM
MaS
Ex(P)
SiP
zawodny
Brak zało
Ŝ
enia niepusto
ś
ci P - np. je
ś
li ka
Ŝ
dy pegaz
(P) ma skrzydła umo
Ŝ
liwiaj
ą
ce latanie (M), i ka
Ŝ
da
istota maj
ą
ca skrzydła umo
Ŝ
liwiaj
ą
ce latanie (M) mo
Ŝ
e
lata
ć
(S), to i tak nie wynika z tego,
Ŝ
e pewna istota
lataj
ą
ca jest pegazem.
Rozumowanie niepoprawne cho
ć
zastosowane do
prawdziwych przesłanek, bo niededukcyjne (z powodu
popełnienia bł
ę
du formalnego).
niezawodny
Istnienie
zało
Ŝ
enia
niepusto
ś
ci
P
gwarantuje
niezawodno
ść
trybu - nawet rozumowanie dotycz
ą
ce
pegazów jest wnioskowaniem logicznym: je
ś
li ka
Ŝ
dy
pegaz (P) ma skrzydła umo
Ŝ
liwiaj
ą
ce latanie (M), i ka
Ŝ
da
istota maj
ą
ca skrzydła umo
Ŝ
liwiaj
ą
ce latanie (M) mo
Ŝ
e
lata
ć
(S) i pegaz istnieje, to pewna istota lataj
ą
ca jest
pegazem.
Rozumowanie dedukcyjne cho
ć
niepoprawne, z powodu
popełnienia bł
ę
du materialnego, czyli wykorzystania
przesłanki fałszywej.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
24
Relacje
Definicja pary uporządkowanej
<a,b> = {{a},{a,b}}.
Wprost z definicji pary uporządkowanej wynika, Ŝe
•
<a,b>
≠
<b,a > (bo przecieŜ {{a},{a,b}}
≠
{{b},{a,b}}).
•
<a,b> = <c,d > wtw a = c i b = d.
Definicja trójki uporządkowanej
<a,b,c> = <<a,b>,c>.
Definicja n-tki uporządkowanej
<a
1
,...,a
n
> = <<a
1
,...,a
n-1
>,a
n
>.
Z definicji n-tki uporządkowanej wynika, Ŝe
•
<a,b,c> = <<a,b>,c> = <{{a},{a,b}},c> = {{{{a},{a,b}}},{{{a},{a,b}},c}}.
•
<a
1
,...,a
n
> = <b
1
,...,b
n
> wtw a
1
= b
1
, ..., a
n
= b
n
.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
25
Zdanie stwierdzające zachodzenie relacji R między obiektami a i b ma postać (róŜne notacje):
aRb
(a pozostaje z b w relacji R) (a jest w relacji R z b)
R(a,b)
<a,b>
∈
∈
∈
∈
R
(para uporządkowana <a,b> naleŜy do (jest w) relacji R)
Notacja druga i trzecia umoŜliwiają wyraŜenie relacji więcej niŜ dwuczłonowej:
R(a,b,c), R(a
1
,...,a
n
)
<a,b,c>
∈
∈
∈
∈
R, <a
1
,...,a
n
>
∈
∈
∈
∈
R
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
26
Definicja nieformalna relacji
Relacją nazywamy związek zachodzący pomiędzy przedmiotami określonego typu.
[dość kiepska definicja, bo jak na jej podstawie mówić np. o sumie relacji?]
Definicja relacji
Relacją nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów. Relacja jest n-argumentowa jeśli
jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego n zbiorów.
[dobra definicja]
Zatem
Relacja dwuczłonowa, to zbiór par uporządkowanych,
relacja trójczłonowa, to zbiór trójek uporządkowanych,
relacja czteroczłonowa, to zbiór czwórek uporządkowanych,
itd.
relacja n-członowa, to zbiór n-tek uporządkowanych.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
27
Przykład 1:
Jeśli L jest zbiorem [wszystkich] ludzi, to iloczyn kartezjański L
x
L jest zbiorem [wszystkich
moŜliwych] par uporządkowanych ludzi.
Wśród tych par są np. takie, Ŝe na pierwszym miejscu znajduje się człowiek posiadający
dziecko, a na drugim to właśnie dziecko. Wszystkie te i tylko te pary tworzą relację „bycia
rodzicem”:
aR
1
b wtw a jest rodzicem b.
relacja bycia rodzicem = {<a,b>
∈
L
x
L: <a,b>
∈
R
1
}
gdzie
R
1
⊆
L
x
L.
Dlatego poprawna definicja relacji mówi „tylko” o tym, Ŝe relacja jest [jakimś] podzbiorem
iloczynu kartezjańskiego pewnych zbiorów. To zaś jaką jest relacją zaleŜy od tego jakim jest
podzbiorem. Ma tu miejsce definicyjne utoŜsamienie bycia konkretnym podzbiorem iloczynu
kartezjańskiego z treściowo rozumianym byciem jakąś konkretną relacją.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
28
Przykład 2:
•
Relacją dwuczłonową R
1
jest „x jest rodzicem y-ka”. Zatem, jeśli a jest rodzicem b, to aR
1
b.
•
Relacją trójczłonową R
2
jest „x jest rodzicem y-ka w chwili z”. Zatem, jeśli a jest rodzicem b w
przedziale czasu do którego naleŜy chwila t, to R
2
(a,b,t).
•
Przykładową relację pięcioczłonową R
3
tworzą wszystkie takie piątki uporządkowane
<a,b,c,d,e>, w których
a jest dla c i d w przedziale czasu, do którego naleŜy chwila e rodzicem płci Ŝeńskiej,
b jest dla c i d w przedziale czasu, do którego naleŜy chwila e rodzicem płci męskiej
(czyli, c i d są dziećmi a i b w przedziale czasu, do którego naleŜy chwila e).
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
29
Dla relacji dwuczłonowych jest sens mówić o dziedzinie i przeciwdziedzinie relacji.
Dziedzina relacji R:
D
R
= {x: <x,y>
∈
R}
czyli
x
∈
D
R
wtw
∃
y xRy.
Przeciwdziedzina relacji R:
D
R
−−−−
= {y: <x,y>
∈
R}.
czyli
y
∈
D
R
wtw
∃
x xRy.
Pole relacji R:
P
R
= D
R
∪
D
R
−
.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
30
Przykład 3:
Dziedziną relacji R
1
jest zbiór wszystkich ludzi, którzy są rodzicem dla przynajmniej jednego
dziecka.
Przeciwdziedziną relacji R
1
jest zbiór wszystkich ludzi, dla których ktoś jest rodzicem.
Pytania do przykładu 3:
•
W jakiej chwili ktoś jest, a w jakiej ktoś nie jest rodzicem?
•
W jakiej chwili ktoś ma rodzica?
•
Czy przeciwdziedzina relacji R
1
jest równa zbiorowi wszystkich ludzi? Których ludzi?
Czy tylko tych, Ŝyjących?
•
Czy pole relacji R
1
jest równe przeciwdziedzinie tej relacji?
•
W jakim sensie ktoś jest rodzicem? W sensie biologicznym, czy w świetle prawa?
Odpowiedzi na te pytania zaleŜą, od tego jak zdefiniowana jest relacja R
1
, czyli od tego, które
konkretnie pary uporządkowane ją tworzą, a więc i od tego jak określony jest L - zbiór
wszystkich ludzi.
Niestety, zazwyczaj poprzestajemy na niedookreśleniach.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
31
Rodzaje relacji:
Niech R
⊆
Z
x
Z.
Relacją pustą jest:
R =
∅
(Ŝadna para uporządkowana nie jest w relacji R)
Relacją pełną w Z jest:
R =
Z
x
Z
(kaŜda para uporządkowana jest w relacji R)
Konwersem relacji R (relacją odwrotną do R) jest:
R
-1
= {<x,y>: <y,x>
∈
R}
Ograniczeniem relacji R w dziedzinie do zbioru A jest:
R
D|A
= {<x,y>: x
∈
A
∧
<x,y>
∈
R}
Ograniczeniem relacji R w przeciwdziedzinie do zbioru A jest: R
D-|A
= {<x,y>: y
∈
A
∧
<x,y>
∈
R}
Ograniczeniem relacji R w polu do zbioru A jest:
R
P|A
= {<x,y>: x
∈
A
∧
y
∈
A
∧
<x,y>
∈
R}
Iloczynem relacji R i S jest:
R
∩
S = {<x,y>: <x,y>
∈
R
∧
<x,y>
∈
S}
Sumą relacji R i S jest:
R
∪
S = {<x,y>: <x,y>
∈
R
∨
<x,y>
∈
S}
Iloczynem względnym relacji R i S jest:
R
•
S = {<x,z>:
∃
y (<x,y>
∈
R
∧
<y,z>
∈
S)}
R jest relacją lewostronnie jednoznaczną (R
L!
) jeśli:
∀
x,y,z ((<x,z>
∈
R
∧
<y,z>
∈
R)
→
x = y)
R jest relacją prawostronnie jednoznaczną (R
P!
) jeśli:
∀
x,y,z ((<x,y>
∈
R
∧
<x,z>
∈
R)
→
y = z)
R jest relacją jednoznaczną (R
!
) jeśli R jest lewostronnie jednoznaczną i R jest prawostronnie jednoznaczną.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
32
Przykład 4:
♠
Pustą relacją jest „x jest ojcem x”.
♠
Pełną relacją jest „x jest przodkiem y lub x nie jest przodkiem y”.
♠
Konwersem relacji „x jest męŜem y” jest relacja „y jest Ŝoną x” (takŜe „x jest Ŝoną y” ☺ ).
♠
Ograniczeniem relacji „x jest rodzicem y” w dziedzinie do zbioru kobiet jest „x jest matką y”.
♠
Ograniczeniem relacji „x jest rodzicem y” w przeciwdziedzinie do zbioru osób płci Ŝeńskiej
jest relacja „x jest rodzicem y”, gdzie y jest córką x-a (nie „x jest córką y”, bo to byłby konwers
tej relacji).
♠
Relację „x jest rodzicem y” moŜna ograniczyć w polu do zbioru osób zameldowanych w
mieście Łodzi.
♠
Iloczynem relacji „x jest ojcem y” i „x jest młodszy od y” jest relacja pusta.
♠
Sumą relacji „x jest ojcem y” i „x jest matką y” jest relacja „x jest rodzicem y”.
♠
Iloczynem względnym relacji „x jest matką y” i „y jest Ŝoną z” jest relacja ... „x jest „kochaną
mamusią” z”.
♠
Relacja „x jest matką y” jest lewostronnie jednoznaczna.
♠
Relacja „x jest wicewojewodą y” jest prawostronnie jednoznaczna.
♠
Relacja „x jest wojewodą y” jest jednoznaczna.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
33
Rodzaje relacji (c.d.):
Niech R
⊆
Z
x
Z.
R jest zwrotna w Z
wtw
∀
x
∈
Z xRx
R jest przeciwzwrotna w Z
wtw
∀
x
∈
Z
¬
(xRx)
R jest symetryczna w Z
wtw
∀
x,y
∈
Z (xRy
→
yRx)
R jest przeciwsymetryczna w Z
wtw
∀
x,y
∈
Z (xRy
→
¬
(yRx))
R jest na wpół (słabo) przeciwsymetryczna w Z
wtw
∀
x,y
∈
Z ((xRy
∧
yRx)
→
x = y)
*
R jest przechodnia (tranzytywna) w Z
wtw
∀
x,y,z
∈
Z ((xRy
∧
yRz)
→
xRz)
R jest przeciwprzechodnia (przeciwtranzytywna) w Z
wtw
∀
x,y,z
∈
Z ((xRy
∧
yRz)
→
¬
(xRz))
R jest spójna w Z
wtw
∀
x,y
∈
Z (xRy
∨
yRx
∨
x = y)
* tradycyjną nazwą tej relacji jest „słabo antysymetryczna”
R jest relacją równowaŜności na Z wtw R jest zwrotna, symetryczna i przechodnia
R jest relacją porządkującą zbiór Z wtw R jest przeciwsymetryczna, przechodnia i spójna w Z.
R jest relacją częściowo porządkującą zbiór Z wtw R jest zwrotna, słabo przeciwsymetryczna i przechodnia w Z.
R jest relacją liniowo porządkującą zbiór Z wtw R jest częściowo porządkująca zbiór Z oraz jest spójna w Z.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
34
Przykład 5:
♠
Relacją zwrotną na zbiorze ludzi jest „x jest tego samego wzrostu co y”.
♠
Relacją symetryczną na zbiorze ludzi jest „x jest małŜonkiem y”.
♠
Relacją przeciwsymetryczną na zbiorze ludzi jest „x jest Ŝoną y”.
♠
Relacją słabo przeciwsymetryczną na zbiorze mizantropów-egoistów jest „x kocha y”. ☺
♠
Relacją słabo przeciwsymetryczną na zbiorze liczb jest „x
≤
y”.
♠
Relacją przechodnią na zbiorze ludzi jest „x jest przodkiem y”.
♠
Relacją przeciwprzechodnią na zbiorze ludzi jest „x jest synem y”.
♠
Relacją spójną na zbiorze liczb naturalnych jest „rok urodzenia x jest wcześniejszy niŜ rok
urodzenia y”.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
35
Uwaga oczywista 1:
Relacja, która nie jest symetryczna nie musi być przeciwsymetryczna, np. „x szanuje y”.
Relacja, która nie jest, ani symetryczna, ani przeciwsymetryczna nie musi być słabo przeciwsymetryczna.
Bywają relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani słabo przeciwsymetryczne.
Przykładem takiej relacji jest „x kocha y” określona na zbiorze ludzi.
Uwaga oczywista 2:
Relacja, która nie jest przechodnia nie musi być przeciwprzechodnia.
Bywają relacje, które nie są ani przechodnie, ani przeciwprzechodnie. Przykładem takiej relacji jest „x jest
krewnym y” określona na zbiorze ludzi.
Gor
ą
ca pro
ś
ba
:
Nie twórzmy relacji nonsymetrycznych, jako takich, które miałyby nie być, ani symetrycznymi, ani
przeciwsymetrycznymi, czy teŜ relacji nontranzytywnych, które miałyby nie być, ani tranzytywnymi, ani
przeciwtranzytywnymi.
Tak jak nie tworzymy „równoległoboków samych” (choć takie pomysły istnieją tu i
ówdzie), które miałyby być tymi, które nie są, ani rombami, ani prostokątami. ☺
Skoro o człowieku nie
powie się, ani Ŝe jest parzysty, ani Ŝe jest nieparzysty, to nie znaczy, Ŝe trzeba mówić, Ŝe jest nonparzysty -
po prostu tych określeń nie uŜywa się mówiąc o ludziach. ☺
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
36
Przykład 6: Relacją równowaŜności na zbiorze uczniów szkół podstawowych jest „x jest
uczniem tej samej klasy szkoły podstawowej co y”.
Relacja równowaŜności na zbiorze Z jest podstawą podziału logicznego zbioru Z, na którym jest
określona. Człony tego podziału nazywają się klasami abstrakcji.
Klasę abstrakcji danej relacji równowaŜności R tworzą wszystkie te obiekty, które są ze sobą w
relacji R:
[a]
R
= {b
∈
Z: aRb}.
a jest reprezentantem swojej klasy abstrakcji. Dowolny element z danej klasy abstrakcji moŜe
być jej reprezentantem.
Wracając do przykładu: relacja równowaŜności przynaleŜności do tej samej klasy szkoły podstawowej
określona na zbiorze uczniów wszystkich szkół podstawowych jest relacją, która dzieli zbiór uczniów
wszystkich szkół podstawowych na klasy abstrakcji będące klasami tych szkół. KaŜdy uczeń danej klasy jest
reprezentantem klasy abstrakcji toŜsamej z tą klasą. Naturalnie, wspomniana relacja moŜe być określona na
zbiorze wszystkich uczniów jednej konkretnej szkoły podstawowej. Wówczas, dzieli ona na klasy abstrakcji
uczniów jedynie tej szkoły.
Inną relacją równowaŜności jest:
- relacja „x pozostaje na tym samym gospodarstwie domowym co y” określona na zbiorze obywateli RP.
- relacja „x jest rówieśnikiem y” określona na zbiorze ludzi.
- relacja „x jest sztućcem z tego samego kompletu co y” określona na zbiorze sztućców.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
37
♠
Relacją porządkującą (porządkującą liniowo) zbiór jest „x jest długiem hipotecznym
wpisanym do księgi wieczystej [nie] wcześniej niŜ dług y”. Istotnie, jest to relacja
przeciwsymetryczna, przechodnia i spójna w zbiorze długów hipotecznych danej księgi
wieczystej.
♠
Drzewo genealogiczne reprezentuje relację porządkującą nieliniowo:
porz
ą
dek liniowy
Relacja „x
≤
y” jest zwrotna, słabo
przeciwsymetryczna i przechodnia w
zbiorze punktów diagramu. Porządkuje
więc ten zbiór zgodnie z symboliką kresek:
punkt x połączony kreską z punktem y, jest
w relacji „x
≤
y”, jeśli x leŜy niŜej niŜ y.
porz
ą
dek cz
ęś
ciowy (nie jest porz
ą
dkiem liniowym)