Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

1

 
 
 
 

Logiczne podstawy prawoznawstwa 

 
 

Piotr Łukowski 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

2

 
 

 
 

WYKŁAD 8 

 

klasyczny rachunek kwantyfikatorów 

 
 
  

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

3

 

Ludwik Borkowski, Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa 1977, s.154 

(cienka ksiąŜka) 

 

Nie korzystamy z ksiąŜki Ziembińskiego! 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

4

Kwantyfikatory o ograniczonym zakresie  

 

∀

Q(x)

 P(x) 

↔

 

∀

x (Q(x) 

→

 P(x)) 

 

Przykład  
KaŜdy słoń ma trąbę = KaŜdy x jeśli x jest słoniem, to x ma trąbę.  

 

∃

Q(x)

 P(x) 

↔

 

∃

x (Q(x) 

∧

 P(x)) 

 

Przykład  
Pewien słoń ma trąbę = Pewien x jest słoniem i x ma trąbę.  
 

 
 

Uwaga: 
Ograniczenie kwantyfikatora działa jak określenie dziedziny. Wszystkie prawa rachunku 
kwantyfikatorów zachowują swą waŜność, gdy kwantyfikatory będą miały (konsekwentnie) 
ograniczony zakres.  

 

∀

x 

∀

y = 

∀

x,y  

∃

x 

∃

y = 

∃

x,y  

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

5

 

 

diagramy Venna 

zdanie prawdziwe 

zdanie fałszywe 

∀

x P(x) 

 

 

∃

x P(x) 

 

 

∀

x 

¬

P(x) 

 

 

∃

x 

¬

P(x) 

 

 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

6

Zadanie Wykazać:   
 
- niezawodność schematu rozkładu kwantyfikatora szczegółowego na koniunkcję  

∃

x (P(x) 

∧

 Q(x)) 

→

 

∃

x P(x) 

∧

 

∃

x Q(x) 

 

Przykład potwierdzaj

ą

cy (weryfikuj

ą

cy) 

(nie ma mocy dowodu)

: jeśli istnieje [jakaś] koszula w paski z 

zielonymi guzikami, to istnieje [jakaś] koszula w paski i istnieje [jakaś] koszula z zielonymi guzikami. 

 
- zawodność schematu  

(

∃

x P(x) 

∧

 

∃

x Q(x)) 

→

 

∃

x (P(x) 

∧

 Q(x)) 

 

Kontrprzykład (przykład obalaj

ą

cy, falsyfikuj

ą

cy) 

(ma moc dowodu)

: jeśli istnieje jakaś matka i istnieje 

jakiś ojciec, to nie znaczy Ŝe istnieje ktoś, kto jest jednocześnie ojcem i matką.

 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

7

Wyjaśnienie:  
 
Pojedynczy przykład potwierdzający dany schemat nie jest dowodem na jego niezawodność, 
gdyŜ poza nim moŜe istnieć inny przykład, który ten schemat obali (przykład obalający, czyli 
kontrprzykład). Siłę dowodu ma dopiero sytuacja, w której wszystkie moŜliwe przykłady byłyby 
przykładami potwierdzającymi. Naturalnie, siłę dowodu obalającego niezawodność schematu 
(czyli stwierdzającego jego zawodność) ma juŜ jeden przypadek obalający.  

 
 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

8

 
- niezawodność schematu wyciągania kwantyfikatora ogólnego przed alternatywę  

(

∀

x P(x) 

∨

 

∀

x Q(x)) 

→

 

∀

x (P(x) 

∨

 Q(x)) 

(załóŜmy fałszywość wniosku) 

 

Przykład potwierdzaj

ą

cy (weryfikuj

ą

cy) 

(nie ma mocy dowodu)

: jeśli kaŜda zebra ma paski lub kaŜda 

zebra ma cętki, to kaŜda zebra ma paski lub cętki.  

 
 
- zawodność schematu  

∀

x (P(x) 

∨

 Q(x)) 

→

 (

∀

x P(x) 

∨

 

∀

x Q(x)) 

 

Kontrprzykład (przykład obalaj

ą

cy, falsyfikuj

ą

cy) 

(ma moc dowodu)

: jeśli kaŜdy dorosły człowiek jest 

kobietą lub męŜczyzną, to nie znaczy, Ŝe kaŜdy dorosły człowiek jest kobietą lub kaŜdy dorosły człowiek jest 
męŜczyzną (jeśli wszyscy dorośli ludzie są kobietami lub męŜczyznami, to nie znaczy, Ŝe wszyscy dorośli 
ludzie to kobiety lub wszyscy dorośli ludzie to męŜczyźni).

 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

9

- niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora ogólnego na koniunkcję  

∀

x (P(x) 

∧

 Q(x)) 

↔

 (

∀

x P(x) 

∧

 

∀

x Q(x)) 

 

 

Przykład potwierdzaj

ą

cy (weryfikuj

ą

cy) 

(nie ma mocy dowodu)

: powiedzieć, Ŝe kaŜda zebra ma paski i 

kopyta, to to samo, co powiedzieć, Ŝe kaŜda zebra ma paski i kaŜda zebra ma kopyta.  

 
- niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora szczegółowego na alternatywę 

∃

x (P(x) 

∨

 Q(x)) 

↔

 (

∃

x P(x) 

∨

 

∃

x Q(x)) 

(rozwaŜmy fałszywość jednej strony, potem 

fałszywość drugiej strony) 

 

Przykład potwierdzaj

ą

cy (weryfikuj

ą

cy) 

(nie ma mocy dowodu)

: powiedzieć, Ŝe istnieje słoń co ma 

trąbę lub skrzydła, to to samo, co powiedzieć, Ŝe istnieje słoń co ma trąbę lub istnieje słoń co ma skrzydła.  

 
 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

10

 

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 

Przypomnienie:  
tautologią klasycznego rachunku zdań jest  

 

¬

(p 

→

 q) 

↔

 (p 

∧

 

¬

q). 

 

 

zdanie prawdziwe 

zdanie fałszywe 

∀

x (P(x) 

→

 Q(x)) 

 

 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

11

 
- niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora ogólnego na implikację  

 

∀

x (P(x) 

→

 Q(x)) 

→

 (

∀

x P(x) 

→

 

∀

x Q(x)) 

(dowód nie wprost - zakładamy prawdziwość obu 

przesłanek: 

∀

x (P(x) 

→

 Q(x)) i 

∀

x P(x); oraz fałszywość 

wniosku 

∀

x Q(x). Mamy wówczas dwa przypadki, tak jak 

na rysunkach. W obu dochodzimy do sprzeczności - nie 

moŜe bowiem być tak, aby coś naleŜało do zbioru 

pustego.) 

 

 

Przykład potwierdzaj

ą

cy (weryfikuj

ą

cy) 

(nie ma mocy dowodu)

: jeśli kaŜdy kto jest zaszczepiony 

przeciwko ospie jest odporny na wirusa ospy, to jeśli kaŜdy jest zaszczepiony przeciwko ospie, to kaŜdy jest 
odporny na wirusa ospy.  

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

12

 
- niezawodność schematu  

∀

x (P(x) 

→

 Q(x)) 

→

 (

∃

x P(x) 

→

 

∃

x Q(x)) 

(załóŜmy prawdziwość obu przesłanek  

∀

x (P(x) 

→

 Q(x)) oraz 

∃

x P(x)  

- sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny)

 

 

Przykład potwierdzaj

ą

cy (weryfikuj

ą

cy) 

(nie ma mocy dowodu)

: jeśli kaŜdy kto jest zaszczepiony 

przeciwko ospie jest odporny na wirusa ospy, to jeśli ktoś jest zaszczepiony przeciwko ospie, to ktoś jest 
odporny na wirusa ospy.  

 
- niezawodność schematu  

(

∀

x (P(x) 

→

 Q(x)) 

∧

 

∀

x (Q(x) 

→

 S(x))) 

→

  

∀

x 

(

P(x) 

→

 S(x))

 

 

Przykład potwierdzaj

ą

cy (weryfikuj

ą

cy) 

(nie ma mocy dowodu)

: jeśli kaŜdy zaszczepiony przeciwko ospie jest odporny 

na wirusa ospy, i kaŜdy odporny na wirusa ospy moŜe bez ryzyka zachorowania kontaktować się z chorymi na ospę, to kaŜdy 
zaszczepiony przeciwko ospie moŜe bez ryzyka zachorowania kontaktować się z chorymi na ospę.  

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

13

 

- niezawodność schematu  

(

∀

x (P(x) 

→

 Q(x)) 

∧

 

∃

x (P(x) 

∧

 S(x))) 

→

  

∃

x 

(

Q(x) 

∧

 S(x)) 

 

Przykład potwierdzaj

ą

cy (weryfikuj

ą

cy) 

(nie ma mocy dowodu)

: jeśli kaŜdy zaszczepiony przeciwko ospie jest odporny 

na wirusa ospy, i pewien kominiarz jest zaszczepiony przeciwko ospie, to pewien kominiarz jest odporny na wirusa ospy. 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

14

Zamiana kwantyfikatorów  
 
niezawodne schematy:  

 

∀

x 

∀

y P(x,y) 

↔

 

∀

y 

∀

x P(x,y) 

∃

x 

∃

y P(x,y) 

↔

 

∃

y 

∃

x P(x,y) 

∃

x 

∀

y P(x,y) 

→

 

∀

y 

∃

x P(x,y) 

 

Przykłady potwierdzaj

ą

ce

:  

KaŜdy kaŜdemu wilkiem = KaŜdemu kaŜdy wilkiem.  
Ktoś kogoś kocha = Ktoś jest kochany przez kogoś.  

(P(x,y) moŜemy tu czytać, albo jako „x kocha y”, albo „y jest kochany przez x”) 

Jeśli ktoś jest ojcem kaŜdego człowieka, to kaŜdy człowiek ma ojca.  

 
 
zawodny schemat:  

 

∀

x 

∃

y P(x,y) 

→

 

∃

y 

∀

x P(x,y) 

 

Kontrprzykład

:  

To Ŝe kaŜdy kogoś kocha, nie implikuje tego, Ŝe ktoś jest kochany przez kaŜdego.  

 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

15

 

Identyczność 

 

zwrotność identyczności 

∀

x (x = x) 

symetryczność identyczności 

∀

x,y (x = y 

→

 y = x) 

przechodniość identyczności 

∀

x,y,z ((x = y 

∧

 y = z) 

→

 x = z) 

zamienialność w kaŜdym kontekście nazw tego samego obiektu 
(prawo toŜsamości Leibniza)  

∀

x,y (P(x) 

∧

 x = y) 

→

 P(y)) 

∀

x,y (P(x) 

∧

 

¬

P(y)) 

→

 x 

≠

 y)  

 

Uwaga:  
Mówienie o dwóch (a więc w domyśle dwóch róŜnych) identycznych obiektach, to jak mówienie 
o mniejszej lub większej połowie. Lepiej jest mówić (myśleć) o tym, Ŝe dwie róŜne nazwy a i b 
oznaczają ten sam obiekt: więc zamiast „a i b są sobie równe (są identyczne)” lepiej jest mówić 
„a jest tym samym co b”.  

 

Identyczno

ść

 jest trywialna! 

(zachodzi mi

ę

dzy obiektem a nim samym) 

 

Nietrywialn

ą

 relacj

ą

 jest podobie

ń

stwo, czyli identyczno

ść

 pod jakim

ś

 wzgl

ę

dem 

(np. ze wzgl

ę

du na jak

ąś

 cech

ę

 lub przynale

Ŝ

no

ść

 do jakiej

ś

 wspólnej klasy).  

„P” jest tu dowolnym(!) predykatem, 

który „gwarantuje” dowolność kontekstu 

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa 

 

16

 
Kwantyfikator jednostkowy  

 

∃

!x P(x) 

↔

 (

∃

x P(x) 

∧

 (

∀

x,y (P(x) 

∧

 P(y) 

→

 x = y))) 

 

Istnieje dokładnie jeden x taki, Ŝe P(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x taki, Ŝe P(x) oraz dla kaŜdego y, 
jeśli P(y), to y jest x-em.  

 
 
 

Negacja kwantyfikatora jednostkowego  

 

¬∃

!x P(x) 

↔

 (

∀

x 

¬

P(x) 

∨

 (

∃

x,y (P(x) 

∧

 P(y) 

∧

 x 

≠

 y)))