11/ 1
11. DRGANIA WYMUSZONE
(4 strony)
Drgania wymuszone powstają w układzie pod wpływem zewnętrznego źródła energii o
zmieniającym się w czasie natężeniu np. drganie membrany głośnika pod wpływem
zmiennego pola elektromagnetycznego, drgania obiektu wywołane ruchem podłoża, drgania
w obwodzie elektrycznym wywołane zmiennym napięciem, drgania ładunków w atomach i
cząsteczkach pod wpływem zmiennego pola elektrycznego fali świetlnej.
Równanie ruchu oscylatora z siłą wymuszającą
(*)
)
(
2
2
t
F
kx
dt
x
d
m
+
−
=
- jest równaniem niejednorodnym
Funkcja
)
(t
F
może być różnej postaci. Ponieważ dowolną funkcję okresową można
przedstawić w postaci szeregu Fouriera a funkcję nieokresową w postaci całki Fouriera
przeanalizujmy przypadek
)
cos(
)
(
0
t
F
t
F
ω
⋅
=
Sprawdźmy czy
)
cos(
t
C
x
ω
⋅
=
jest rozwiązaniem równania ruchu (*), czyli czy układ
porusza się w zgodnym rytmie z siłą wymuszającą:
)
cos(
)
sin(
)
cos(
2
t
C
a
t
C
v
t
C
x
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
=
podstawiając to do równania (*) otrzymujemy:
)
cos(
)
cos(
)
cos(
0
2
0
2
t
F
t
C
m
t
C
m
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
+
⋅
⋅
−
=
⋅
−
gdzie
m
k /
2
0
=
ω
jest częstością kątową drgań swobodnych. Po podzieleniu przez cos
ω
t
otrzymujemy warunek na C.
)
(
2
2
0
0
ω
ω
−
=
m
F
C
Funkcja
)
cos( t
C
x
ω
⋅
=
jest więc rozwiązaniem równania tylko dla wyznaczonej wartości C.
Masa m drga z częstością siły wymuszającej, a amplituda tych drgań zależy od
0
F
,
ω
i
0
ω
:
a)
Jeżeli
0
ω
ω
<
to
0
>
C
, przesunięcie jest tak samo skierowane jak siła.
b)
Jeżeli
0
ω
ω
>
to
0
<
C
, przesunięcie jest odwrotnie skierowane niż siła - przeciwna faza
Ponadto przy dużych wartościach
2
0
2
ω
ω
−
amplituda drgań maleje.
c)
Jeżeli
0
ω
ω
≈
to
∞
→
C
. Jeżeli częstość siły dobierzemy tak, aby była zgodna z
częstością drgań własnych to otrzymujemy bardzo duże amplitudy. Oczywiście nie można
osiągnąć
∞
→
C
ponieważ w rzeczywistym świecie istnieją siły oporu, których dotąd nie
uwzględniliśmy.
Drgania wymuszone z tłumieniem
Dodajmy teraz do równań siłę tarcia. Istnieje wiele sytuacji (siła lepkości w płynach, spadek
napięcia na oporze U=IR), gdy siła tarcia jest proporcjonalna do szybkości.
Równanie ruchu z siłą tłumiącą
dt
dx
F
r
β
−
=
jest postaci
)
(
2
2
t
F
dt
dx
kx
dt
x
d
m
+
−
−
=
β
;
Sprowadźmy to równanie do wygodniejszej postaci
11/ 2
m
F
x
dt
dx
dt
x
d
=
+
+
2
0
2
2
ω
γ
gdzie
m
/
β
γ
=
. Podstawiając siłę
)
cos(
0
0
ϕ
ω
+
=
t
F
F
otrzymuje się rozwiązanie w postaci
drgań o tej samej częstości co siła wymuszająca. Wychylenie ciała z położenia równowagi
opisywane jest przez funkcję
)
cos(
0
0
ϕ
θ
ω
+
+
=
t
x
x
o
amplitudzie
(
)
[
]
2
1
2
2
2
2
2
0
0
0
/
ω
γ
ω
ω
+
−
=
m
F
x
i przesunięciu fazowym
θ
danym równaniem
2
2
0
tg
ω
ω
γω
θ
−
−
=
Kąt
θ
ma wartość ujemną dla wszystkich
ω
, co odpowiada wychyleniu x opóźnionemu w
fazie w stosunku do siły
F
.
dla
β
= 0 amplituda x
0
= C a różnica faz ,
θ,
jest
równa 0 lub
−π
ENERGIA
Sumę energii kinetycznej i potencjalnej oscylatora nazwa się energią zmagazynowaną. Jej
wartość średnia w stanie ustalonym, kiedy amplituda się nie zmienia, jest stała.
>
<
+
>
<
>=
<
2
2
0
2
2
1
2
1
x
m
v
m
E
m
ω
podstawiając
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
1
,
sin
2
1
,
cos
ω
ω
ω
ω
x
v
t
x
v
x
x
t
x
x
>=
<
−
=
>=
<
=
θ
11/ 3
Otrzymujemy
(
)
2
0
2
0
2
4
1
x
m
E
m
⋅
+
>=
<
ω
ω
Na początku, po włączeniu siły
F
zachodzi gromadzenie energii i związany z tym wzrost
amplitudy drgań a następnie w stanie ustalonym układ pobiera energię tylko na pokrycie
występujących strat cieplnych. Siła wykonuje dużą pracę wprowadzając oscylator w ruch.
Aby go utrzymać w ruchu musi jedynie pokonywać tarcie. Jeżeli tarcie jest małe oscylator
może uzyskiwać bardzo duże energie.
Otrzymane rozwiązanie
)
cos(
0
0
ϕ
θ
ω
+
+
=
t
x
x
opisuje drgania w stanie ustalonym.
DRGANIA TŁUMIONE
Po wyłączeniu siły wymuszającej straty energii, które do tej pory były uzupełniane przez
pracę wykonywaną przez siłę wymuszającą F spowodują malenie energii zmagazynowanej.
Równanie będzie teraz :
0
2
0
=
+
+
x
x
x
ω
γ
•
W przypadku, gdy
ω
0
> γ/2
rozwiązanie jest postaci
)
cos(
0
2
/
0
ϕ
ω
γ
γ
+
=
−
t
e
A
x
t
i opisuje oscylacje o częstości
2
2
0
4
1
γ
ω
ω
γ
−
=
,
malejącej z czasem amplitudzie
2
/
)
(
t
o
e
A
t
A
γ
−
=
i przesunięciu fazowym
ϕ
0.
Wartości A
0
i
ϕ
0
można wyznaczyć z wartości początkowych wychylenia z położenia
równowagi x
0
= x(0) oraz prędkości v
0
= v(0)
drgania tłumione
Wielkość
T
T
t
A
t
A
γ
δ
)
2
/
1
(
)
(
)
(
ln
=
+
=
nazywamy logartymicznym
dekrementem tłumienia.
11/ 4
•
W przypadku gdy
ω
0
< γ/2
rozwiązanie jest sumą dwóch funkcji wykładniczych
t
a
t
a
e
A
e
A
x
2
1
2
1
−
−
+
=
gdzie
2
0
2
1
4
1
2
1
ω
γ
γ
α
−
−
−
=
oraz
2
0
2
2
4
1
2
1
ω
γ
γ
α
−
+
−
=
Ruch ciała w tym przypadku nie jest okresowy, mówimy, że jest to ruch aperiodyczny
Rozwiązanie typu (a)
występuje gdy v
0
jest
przeciwnie skierowane
do x
0
oraz
0
1
0
x
v
α
>