11/ 1
11. DRGANIA TŁUMIONE I WYMUSZONE
(4 strony)
DRGANIA TŁUMIONE
Drgania układu na który działa siła tłumiąca proporcjonalna do wartości prędkości, ale
przeciwnie skierowana
dt
dx
F
r
β
−
=
(tak jak na przykład siła lepkości) opisuje równanie:
2
2
d x
dx
m
kx
dt
dt
β
= − −
po uporządkowaniu przyjmuje postać:
2
2
0
2
0
d x
dx
x
dt
dt
γ ω
+
+
=
gdzie
m
/
β
γ
=
.
Równanie to ma dwa rodzaje rozwiązań, inne dla
ω
0
> γ/2
ι
inne dla
ω
0
> γ/2.
•
W przypadku, gdy
ω
0
> γ/2
rozwiązanie jest postaci
)
cos(
0
2
/
0
ϕ
ω
γ
γ
+
=
−
t
e
A
x
t
opisujące drgania o częstości
2
2
0
4
1
γ
ω
ω
γ
−
=
,
malejącej z czasem amplitudzie
/ 2
0
( )
t
A t
A e
γ
−
=
i przesunięciu fazowym
ϕ
0
.
Wartości A
0
i
ϕ
0
moŜna wyznaczyć z wartości początkowych wychylenia z połoŜenia
równowagi x
0
= x(0) oraz prędkości v
0
= v(0)
drgania tłumione
11/ 2
•
W przypadku gdy
ω
0
< γ/2
rozwiązanie jest sumą dwóch funkcji wykładniczych
t
a
t
a
e
A
e
A
x
2
1
2
1
−
−
+
=
gdzie
2
0
2
1
4
1
2
1
ω
γ
γ
α
−
−
−
=
oraz
2
0
2
2
4
1
2
1
ω
γ
γ
α
−
+
−
=
Ruch ciała w tym przypadku nie jest okresowy, mówimy, Ŝe jest to ruch aperiodyczny
Rozwiązanie typu (a)
występuje gdy v
0
jest
przeciwnie skierowane
do x
0
oraz
0
1
0
x
v
α
>
DRGANIA WYMUSZONE
Drgania wymuszone powstają w układzie pod wpływem zewnętrznego źródła energii o
zmieniającym się w czasie natęŜeniu np. drganie membrany głośnika pod wpływem
zmiennego pola elektromagnetycznego, drgania obiektu wywołane ruchem podłoŜa, drgania
w obwodzie elektrycznym wywołane zmiennym napięciem, drgania ładunków w atomach i
cząsteczkach pod wpływem zmiennego pola elektrycznego fali świetlnej.
Równanie drgań wymuszonych siłą F(t) i tłumionych siłą
dt
dx
F
r
β
−
=
jest postaci
)
(
2
2
t
F
dt
dx
kx
dt
x
d
m
+
−
−
=
β
lub w wygodniejszej postaci
m
F
x
dt
dx
dt
x
d
=
+
+
2
0
2
2
ω
γ
11/ 3
gdzie
m
/
β
γ
=
. Podstawiając siłę wymuszającą
)
cos(
0
0
ϕ
ω
+
=
t
F
F
otrzymuje się
rozwiązanie w postaci drgań o tej samej częstości co siła wymuszająca. Wychylenie ciała z
połoŜenia równowagi opisywane jest przez funkcję
)
cos(
0
0
ϕ
θ
ω
+
+
=
t
x
x
o
amplitudzie
(
)
[
]
2
1
2
2
2
2
2
0
0
0
/
ω
γ
ω
ω
+
−
=
m
F
x
i przesunięciu fazowym
θ
danym równaniem
2
2
0
tg
ω
ω
γω
θ
−
−
=
Kąt
θ
ma wartość ujemną dla wszystkich
ω
, co odpowiada wychyleniu
x
opóźnionemu w
fazie w stosunku do siły F .
dla
β
= 0
amplituda x
0
= C
a róŜnica faz ,
θ,
jest
równa 0 lub
−π
θ