Politechnika Świętokrzyska
Wydział
Mechatroniki i Budowy Maszyn
Centrum Laserowych Technologii Metali PŚk i PAN
Zakład Informatyki i Robotyki
Przedmiot:Podstawy Automatyzacji - laboratorium, rok III, sem. II,
Ćwiczenie nr 4
Dobór parametrów regulatora PID – symulacja komputerowa
1. Wstęp
Najprostszy układ automatycznej regulacji moŜna przedstawić za pomocą schematu
blokowego podanego na rys. 1.1. Na schemacie tym występują dwa bloki podstawowe,
a mianowicie obiekt regulacji i regulator, które są podstawowymi elementami najprostszego
układu regulacji. Pod pojęciem obiektu regulacji rozumiemy tę część układu automatycznej
regulacji, na której własności nie mamy wpływu, gdyŜ jest narzucona. Regulatorem zaś jest
pozostała część układu automatycznej regulacji o własnościach tak dobranych, aby
zestawiony układ posiadał wymagane własności. W obiekcie jednowymiarowym wyróŜniamy
następujące sygnały, sygnał regulowany y, sygnał regulujący x, sygnały zakłócające
.
,...,
,
2
1
n
z
z
z
Rys 1.1 Schemat blokowy typowego układu automatycznej regulacji
Sygnał regulowany lub sygnał wyjściowy y jest to ten sygnał, który mimo
zmieniających się warunków pracy obiektu, czyli jak mówimy mimo przychodzących
sygnałów zakłócających ma być utrzymywany stały w czasie lub zmieniać się według
określonej funkcji wyznaczonej sygnałem
0
x , zwanym sygnałem sterującym lub sygnałem
zadanym. Porównania sygnału regulowanego i sygnału sterującego dokonuje się w tzw.
węźle
sumacyjnym.
Otrzymana
w tym węźle róŜnica
y
x
−
0
, czyli tzw. sygnał błędu lub sygnał uchybu e , zostaje
wprowadzona na wejście elementu zwanego regulatorem. Zadaniem regulatora jest taka
zmiana sygnału regulującego lub sygnału wyjściowego x , aby sygnał błędu e był jak
najmniejszy, czyli aby sygnał regulowany y róŜnił się jak najmniej od sygnału sterującego
0
x .
Na wyjściu obiektu znajduje się tzw. węzeł informacyjny umoŜliwiający pobranie z wyjścia
obiektu sygnału regulowanego y potrzebnego do doprowadzenia tzw. pętlą sprzęŜenia
zwrotnego do węzła sumacyjnego.
Układ automatycznej regulacji tworzy więc tzw. układ zamknięty, przy czym chodzi w
tym przypadku o jego zamknięcie wspomnianą pętlą sprzęŜenia zwrotnego. W przypadku gdy
obiekt jest elementem wielowymiarowym, a więc o wielu sygnałach wejściowych
i wyjściowych, regulator musi być równieŜ wielowymiarowy. Schemat blokowy układu
automatycznej regulacji dla tego przypadku jest pokazany na rys. 1.2.
Klasyfikację układów automatycznej regulacji moŜna przeprowadzić biorąc pod
uwagę róŜne kryteria. Najczęściej spotyka się podziały dokonane ze względu na:
–
zadanie, jakie spełnia dany układ,
–
rodzaj występujących w nich elementów,
–
sposób pomiaru wielkości regulowanej.
Rys 1.2 Schemat blokowy wielowymiarowego układu automatycznej regulacji
Podział układów regulacji automatycznej, ze względu na zadania jakie spełniają,
moŜna przeprowadzić rozpatrując charakter sygnału sterującego. W tej grupie moŜna
wyróŜnić następujące typy układów:
- układy stabilizacji automatycznej,
W układach stabilizacji automatycznej sygnał sterujący ma stałą, raz nastawioną
wartość
const
x
=
0
. W procesie regulacji układ ma za zadanie utrzymywać stałą wartość
sygnału regulowanego y równą
0
x . Przykładami takich układów mogą być: układ regulacji
automatycznej prędkości obrotowej turbiny, napięcia generatora, temperatury pary i inne.
- układy nadąŜne,
W układach nadąŜnych sygnał sterujący x
o
jest nieznaną funkcją czasu. Zmiany
sygnału sterującego
0
x nie zaleŜą od procesu zachodzącego wewnątrz układu automatycznej
regulacji, ale są wywołane zjawiskami występującymi poza układem regulacji. Przykładem
takiego układu moŜe być radarowy układ nadąŜny, układ wspomagający ruch kierownicy
w samochodzie i inne.
- układy regulacji programowej,
Układ regulacji programowej jest szczególnym przypadkiem układu nadąŜnego.
Z regulacją programową mamy do czynienia wtedy, gdy sygnał sterujący zmienia się według
pewnego programu, określonego zadaną z góry funkcją czasu.
- układy regulacji ekstremalnej,
Regulację ekstremalną stosuje się wtedy, gdy przy zmianie wielkości regulującej
w pewnym momencie wielkość regulowana osiąga ekstremum. Zazwyczaj połoŜenie tego
ekstremum nie jest stałe, lecz ulega przesuwaniu, spowodowanemu obecnością sygnałów
zakłócających. Zadaniem układów regulacji ekstremalnej jest w takim przypadku
utrzymywanie wielkości regulowanej moŜliwie blisko wartości ekstremalnej.
2. Regulator liniowy PID
Regulator, to urządzenie w układzie automatycznej regulacji, które na podstawie
wejściowego sygnału błędu
)
(t
e
(rys. 1.1) kształtuje sygnał wejściowy układu
)
(t
x
,by
osiągnąć Ŝądany efekt regulacji. Sygnał błędu nazywamy równieŜ uchybem regulacji. Jest on
wyznaczany poprzez porównanie wartości zadanej
)
(
0
t
x
z sygnałem wyjściowym
)
(t
y
.
Praktyczne zastosowanie w przemysłowych systemach regulacji znalazł regulator PID.
Posiada on ciągłe wyjście i składa się z trzech róŜnych funkcjonalnie bloków:
•
proporcjonalnego (P),
•
całkującego (I),
•
róŜniczkującego (D).
PoniŜej przedstawiono transmitancję operatorową regulatora PID idealnego (2.1)
i rzeczywistego (2.2):
s
T
s
T
k
s
K
d
i
p
PID
⋅
+
⋅
+
=
1
)
(
,
(2.1)
1
1
)
(
+
⋅
⋅
+
⋅
+
=
T
s
s
T
s
T
k
s
K
d
i
p
PID
(2.2)
gdzie:
p
k
– wzmocnienie,
i
T
– czas zdwojenia (stała czasowa akcji całkującej),
d
T
– czas wyprzedzenia (stała czasowa akcji róŜniczkującej),
T
–stała czasowa.
Regulator PID cechuje prosta konstrukcja oraz duŜa uniwersalność zastosowań. Przez
lata dopracowano się równieŜ duŜej niezawodności układu. Znajduje on zastosowanie
głownie do stałowartościowej regulacji przepływu, temperatury, połoŜenia, prędkości,
ciśnienia, napięcia i innych. Podczas pracy regulator PID dąŜy do utrzymania zadanej
wartości sygnału regulowanego, zaleŜnie od wartości nastaw parametrów trzech bloków
funkcjonalnych. KaŜdy z tych bloków kształtuje sygnał wyjściowy przy uŜyciu ściśle
określonej funkcji – mówimy, Ŝe regulator ma określoną akcję. Parametry regulatora
nazywamy równieŜ nastawami.
3. Dobór nastaw regulatora liniowego PID
Optymalizacja nastaw regulatora dla określonego układu regulacji bywa trudna i
uciąŜliwa. DuŜym ułatwieniem jest posługiwanie się charakterystykami logarytmicznymi
obiektu oraz regulatora. Właściwy dobór nastaw pozwala otrzymać Ŝądane wartości:
•
statycznego błędu regulacji
ur
C
,
•
przeregulowania
mr
C
,
•
czasu regulacji
rr
t
.
Rys.3.1 Sygnał wymuszający i odpowiedzi układu
)
(
1
t
r
– sygnał zadany,
)
(
1
t
c
– odpowiedź układu,
ε
±
– dopuszczalne odchylenieregulacji.
W wyniku zastosowania w regulatorze wyłącznie akcji proporcjonalnej otrzymujemy
regulator P. Wykorzystanie go nie eliminuje błędu statycznego, który zaleŜy od wielkości
wzmocnienia. Wielkość wzmocnienia wpływa równieŜ na szybkość działania oraz amplitudę
sygnału wyjściowego. Większy parametr
p
k
oznacza skrócenie czasu regulacji i wzrost
amplitudy przebiegu wyjściowego.
Regulator I otrzymujemy stosując wyłącznie akcję całkującą. Regulator ten reaguje na
wszelkie odchyłki wolnozmiennego sygnału regulowanego. Likwiduje do zera błąd statyczny
regulacji. Czas regulacji ulega wydłuŜeniu. Zwiększenie wzmocnienia z jednoczesnym
zmniejszeniem wartości stałej zdwojenia powoduje wzrost akcji całkującej regulatora.
Regulator D reaguje na kaŜdą zmianę sygnału regulowanego. Skraca czas regulacji.
Zmniejsza przeregulowanie.
Jak wcześniej wspomniano do doboru nastaw potrzebna jest znajomość charakterystyk
obiektu i regulatora. Niestety w wielu przypadkach moŜe stanowić to duŜą trudność.
W związku z tym opracowano metody przybliŜone, które nie wymagają znajomości
charakterystyk, a jedynie przeprowadzenia prostego doświadczenia. Sposób ten zwany jest
metodą
Zieglera-Nicholsa lub metodą inŜynierską. Polega on na podłączeniu do obiektu
regulatora nastawionego wyłącznie na akcję proporcjonalną z minimalną wartością
wzmocnienia
p
k
).
0
(
→
∞
→
d
i
T
i
T
Następnie naleŜy stopniowo zwiększać współczynnik
wzmocnienia do wystąpienia w układzie oscylacji niegasnących. Współczynnik wzmocnienia
dla oscylacji niegasnących określa się współczynnikiem wzmocnienia krytycznego
pkr
k
,
a okres oscylacji niegasnących okresem drgań niegasnących
osc
T
. Po dokonaniu pomiaru
współczynnika
pkr
k
i okresu
osc
T
moŜna wyznaczyć wartości nastaw dla poszczególnych
regulatorów:
•
regulator P:
pkr
p
k
k
⋅
=
5
.
0
;
•
regulator PI:
pkr
p
k
k
⋅
=
45
.
0
,
osc
i
T
T
⋅
=
85
.
0
;
•
regulator PID:
pkr
p
k
k
⋅
=
6
.
0
,
osc
i
T
T
⋅
=
5
.
0
,
osc
d
T
T
⋅
=
125
.
0
.
Reguła Zieglera-Nicholsa ma znaczenie pomocnicze. MoŜe stanowić bazę do wyprowadzenia
doświadczalnego właściwych nastaw regulatora w układzie rzeczywistego obiektu.
Wzmocnienie statyczne dla pętli otwartej układu wynosi:
0
0
)
(
=
=
s
s
GH
k
Metoda strojenia bazująca na wzmocnieniu krytycznym daje dobre rezultaty gdy spełniony
jest warunek:
20
2
0
<
<
pkr
k
k
4. Regulator PID - przykłady
Przykład 1
Za pomocą programu MatLab wyznacz charakterystyki regulatora PD
a) charakterystyka skokowa
transmitancja operatorowa regulatora PD rzeczywistego
+
+
=
1
1
)
(
Ts
s
T
k
s
G
d
,
(4.1)
gdzie parametry regulatora wynoszą:
;
3
=
k
;
7
.
2
=
d
T
;
5
.
0
=
T
Rys. 4.1 Odpowiedz skokowa regulatora PD rzeczywistego
b) z wymuszeniem linowym
Transmitancja operatorowa regulatora PD idealnego:
)
1
(
)
(
s
T
k
s
G
d
+
=
,
(4.2)
gdzie parametry regulatora wynoszą:
;
2
=
k
;
7
.
0
=
d
T
Rys. 4.2 Wykres odpowiedzi regulatora na wymuszenie liniowe
Na wykresie naleŜy zaznaczyć krzywe: wymuszenia, odpowiedzi regulatora oraz
określić wykres akcji całkowania i akcji proporcjonalnej. Wskazać wartość czasu
wyprzedzenia
c) charakterystyki nyquista i bodego
Rys. 4.3a Charakterystyka bodego
transmitancji operatorowej (4.1)
Rys. 4.3a Charakterystyka nyquista
transmitancji operatorowej (4.1)
Przykład 2
Za pomocą metody Zieglera-Nicholsa naleŜy dobrać nastawy regulatora PID dla układu z
rysunku 4.4 o transmitancji:
+
+
=
s
T
s
T
k
s
G
d
i
p
R
1
1
)
(
.
(4.2)
Rys. 4.4 Sterowanie obiektem przy uŜyciu regulatora PID
Transmitancja układu zamkniętego z akcją całkującą
∞
=
i
T
oraz
0
=
d
T
.
p
p
k
s
s
s
k
s
X
s
Y
+
+
+
=
)
3
2
)(
2
(
)
(
)
(
(4.3)
Korzystając z twierdzenia Routha ustalamy wzmocnienie krytyczne
21
=
pkr
k
i okres oscylacji
6276
.
3
=
osc
T
. Wyliczamy nastawy regulatora PID zgodnie z punktem 3.
5. Budowa układów regulacji za pomocą Simulink’a
Simulink wchodzi w skład pakietu MatLab i za jego pomocą moŜna w sposób graficzny
budować i symulować schematy układów regulacji.
Simulinka wywołuje się w Matlabie poleceniem simulink.
Z okna Simulink Library Browser wybieramy elementy :
Step, Sum, PID Controller,
Transfer Fcn, Scope i rysujemy schemat blokowy jak na rys 5.1.
Rys. 5.1 Schemat układu sterowania
6. Przebieg ćwiczenia
a)
Proszę wykonać przykłady 1 i 2. (pełny tok obliczeń)
b)
Proszę wykreślić charakterystyki (nyguist, bode, skokowa) dla 4 regulatorów z
dodatku A. Proszę o dobre opisanie wykresów.
c)
Narysować i dobrać parametry regulatora P, PI, PID stosując metodę Zieglera-
Nicholsa (punkt 3) dla schematu 5.1.
Dodatek A
1. Regulator proporcjonalny P
( )
k
s
G
=
2. Regulator całkujący I
( )
s
T
s
G
i
1
=
3. Regulator proporcjonalno-całkujący PI
( )
+
=
s
T
k
s
G
i
1
1
4. Regulator proporcjonalno-róŜniczkujący PD
( ) (
)
s
T
k
s
G
d
+
=
1
5. Regulator proporcjonalno-róŜniczkujący PD rzeczywisty
( )
+
+
=
1
1
Ts
s
T
k
s
G
d
6. Regulator proporcjonalno-całkująco-róŜniczkujący PID
( )
+
+
=
s
T
s
T
k
s
G
d
i
1
1
7. Regulator proporcjonalno-całkująco-róŜniczkujący PID rzeczywisty
( )
+
+
+
=
1
1
1
Ts
s
T
s
T
k
s
G
d
i