POCHODNA:

Niech

będzie przedziałem otwartym i funkcja

Jeśli dla pewnego

istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

to mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0. Z kolei punkt

nazywamy punktem różniczkowalności funkcji f. Wartość powyższej granicy nazywamy

pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem

Czasem używa się też

symboli:

PRZYKŁAD:

POCHODNA CZĄSTKOWA: Niech U będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej

i dane będą punkt

oraz funkcja

Jeżeli istnieje skończona granica

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji f w punkcie a względem zmiennej ak i oznacza

jednym z wyżej wymienionych symboli

TWIERDZENIE O POCHODNEJ FUNKCJI ODWROTNEJ: Twierdzenie o pochodnej funkcji

odwrotnej Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła i ściśle monotoniczna w przedziale X oraz

różniczkowalna w pewnym punkcie x0∈X, to funkcja do niej odwrotna x = g(y) jest
różniczkowalna w punkcie y0 = f(x0) i g'(y0) =1/f'(x0) , gdy f '(x0) ≠ 0.

TWIERDZENIE O POCHODNEJ FUNKCJI ZŁOŻONEJ: Jeżeli funkcja u = g(x) ma w punkcie x0

pochodną g'(x0) oraz funkcja y = f(u) ma w odpowiednim punkcie u0 = g(x0) pochodną

f '(u0), to funkcja złożona y = f(g(x)) ma w punkcie x0 pochodną określoną wzorem

y' = f '(g(x0))g'(x0).