Wprowadzenie do fizyki
Mirosław Kozłowski
Mirosław Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Wprowadzenie do fizyki
Mirosław Kozłowski
Mirosław Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Część 1b
Dynamika punktu
materialnego w jednym
materialnego w jednym
wymiarze
Koniec
pokazu
Dynamika punktu materialnego
w R
1
cz. b
Slajd podsumowania
3
1.8 Ruchy harmoniczne
1.9 Podsumowanie. Dynamika punktu
materialnego w jednym wymiarze
Linki do stron WWW
Hyper Physics
Astronomy Picture of the Day
Space Photos and Images
1.8 Ruchy harmoniczne
Piękna muzyka stanowi jedno
z najgłębszych doznań estetycznych
człowieka. Począwszy od Pitagorasa ludzie
starają się zrozumieć na czym polega
piękno słuchanych utworów.
Ruchy w R1
5
piękno słuchanych utworów.
Na razie wystarczy, jeŜeli powiemy, Ŝe
powstanie doznań muzycznych jest
złoŜonym procesem psychofizycznym,
którego główna część przebiega w naszym
mózgu.
,
kx
F
−
=
Zajmiemy się teraz elementarnym
procesem drgań harmonicznych źródeł
dźwięku.
Szarpnięta struna drga zgodnie z
prawem Hooke’a:
Ruchy w R1
6
,
kx
F
−
=
gdzie F jest siłą przyłoŜoną do struny,
a x wychyleniem struny z połoŜenia
równowagi.
Zgodnie z II zasadą dynamiki
,
2
2
kx
dt
x
d
m
F
−
=
=
k = moduł spręŜystości; stały,
czyli
2
x
d
Ruchy w R1
7
czyli
,
0
2
2
2
=
+
x
dt
x
d
ω
gdzie
.
2
m
k
=
ω
Wzór w ramce jest podstawowym wzorem
opisującym drgania harmoniczne.
Dlaczego drgania? Bo jak łatwo sprawdzić:
( )
t
A
t
x
ω
sin
=
Ruchy w R1
8
lub ogólnej
( )
.
cos
sin
t
B
t
A
t
x
ω
ω
+
=
A więc podsumowując, mamy:
.
cos
sin
,
0
2
2
2
t
B
t
A
x
x
dt
x
d
ω
ω
ω
+
=
=
+
Ruchy w R1
9
.
cos
sin
t
B
t
A
x
ω
ω
+
=
Wzór w ramce opisuje ruch szarpniętej struny
lub ogólniej ruch oscylatora harmonicznego
(który drga ze stałą częstością
ω
).
JeŜeli struna jest stale „szarpana” z siłą F(t)
oraz drga w ośrodku (w powietrzu), które
stawia opór –cdx/dt (c = stała) to równanie
drgań struny ma bardziej skomplikowaną
postać:
( )
2
dx
x
d
Ruchy w R1
10
( )
.
2
2
t
F
dt
dx
c
kx
dt
x
d
m
=
+
+
Prawo
Newtona
Prawo
Hooke’a
Opór
ośrodka
Siła
zewnętrzna
Aby elegancko rozwiązać to równanie, tzn.
znaleźć x(t) musimy poznać funkcję
eksponencjalną e
t
oraz liczby zespolone.
Dodatek matematyczny
Ruchy w R1
11
Dodatek matematyczny
Ile wynosi pochodna funkcji a
t
, gdzie a jest
dowolną stałą?
Pochodna funkcji eksponencjalnej
RozwaŜmy funkcję:
( )
( )
,
ln
ln
,
a
t
t
y
a
t
y
t
=
=
Ruchy w R1
12
( )
( )
[
]
( )
.
1
ln
ln
,
ln
ln
dt
dy
y
dt
dy
dy
t
y
d
dt
t
y
d
a
t
t
y
=
=
=
Z drugiej strony
( )
[
]
[
]
.
ln
ln
ln
a
a
t
dt
d
dt
t
y
d
=
=
A więc
1 dy
Ruchy w R1
13
.
ln
ln
,
ln
1
a
a
a
y
dt
dy
a
dt
dy
y
t
=
=
=
czyli
[ ]
.
ln a
a
a
dt
d
t
t
=
Funkcję eksponencjalną definiują podstawy
Ruchy w R1
14
Funkcję eksponencjalną definiują podstawy
logarytmu naturalnego. Szukamy a, dla
którego
.
,
1
ln
1
a
e
a
e
a
=
=
→
=
Dla funkcji eksponencjalnej
[ ]
t
t
t
e
e
e
e
dt
d
=
=
ln
oraz
Ruchy w R1
15
oraz
[ ]
t
t
n
n
e
e
dt
d
=
dla dowolnego naturalnego n.
Co za wspaniała funkcja!
Ruchy w R1
16
Sherman K. Stein, Calculus and Analitic Geometry, McGraw-Hill 1987
RozwaŜmy ponownie równanie ruchu
oscylatora harmonicznego swobodnego,
dla dowolnej funkcji y(t):
( )
( )
.
0
2
2
2
=
+
t
y
dt
t
y
d
ω
(5)
Ruchy w R1
17
dt
Z następującymi warunkami początkowymi:
( )
,
2
,
0
0
0
=
=
=
=
t
t
t
y
dt
dy
( )
( )
( )
,
sin
2
cos
,
sin
cos
,
2
0
,
cos
sin
−
=
−
=
=
=
+
=
t
t
A
t
dy
t
B
t
A
dt
t
dy
B
y
t
B
t
A
y
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Ruchy w R1
18
( )
.
0
0
0
,
sin
2
cos
=
=
=
−
=
A
A
t
t
t
A
dt
t
dy
ω
ω
ω
ω
ω
( )
.
cos
2
t
t
y
ω
=
Z drugiej strony rozwiązanie równania (5) moŜemy
przedstawić tak (pamiętamy ):
( )
( )
t
y
dt
t
y
d
n
n
=
Stąd:
,
,
0
2
2
ω
α
ω
α
i
±
=
=
+
Ruchy w R1
19
,
,
0
ω
α
ω
α
i
±
=
=
+
gdzie = jednostka urojona
i ogólne rozwiązanie równania (5) ma postać:
1
−
=
i
( )
.
t
i
t
i
e
e
t
y
ω
ω
−
+
=
Bo, sprawdzając otrzymujemy:
( )
( )
( )
,
,
2
0
−
=
=
−
t
i
t
i
e
i
e
i
dt
t
dy
y
ω
ω
ω
ω
Ruchy w R1
20
( )
.
0
0
=
=
t
dt
t
dy
dt
A więc zgodnie z warunkiem początkowym.
Stąd wniosek:
(Leonard Euler w liście do Johna
Bernoulliego, October 18, 1740, Bazylea)
,
cos
2
t
i
t
i
e
e
t
ω
ω
ω
−
+
=
Ruchy w R1
21
.
2
cos
,
cos
2
t
i
t
i
e
e
t
e
e
t
ω
ω
ω
ω
−
+
=
+
=
Korzystając z równości
t
t
ω
ω
2
cos
1
sin
−
=
otrzymujemy:
,
2
sin
t
i
t
i
i
e
e
t
ω
ω
ω
−
−
=
Ruchy w R1
22
2
cos
2
t
i
t
i
e
e
t
i
ω
ω
ω
−
+
=
(waŜny i bardzo przydatny wzór),
oraz
.
2
sin
cos
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
e
e
e
e
e
t
i
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
−
+
+
=
+
−
−
Ruchy w R1
23
2
.
sin
cos
t
i
t
e
t
i
ω
ω
ω
±
=
±
Strona z zeszytu nastoletniego R. Feynmana
,
z ksiąŜki J. Gleicka, Genius, wyd. Abacus, London, 1992
Teraz wracamy do ogólnego równania struny:
(
)
.
0
θ
ω
+
=
+
+
t
i
e
F
x
c
kx
x
m
&
&
&
Rozwiązania szukamy w postaci:
Ruchy w R1
25
(
)
,
δ
ω
+
=
t
i
Ae
x
A nie zaleŜy od czasu.
Oznaczenie
.
Φ
=
−
δ
θ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
,
0
2
0
2
Φ
+
+
+
+
+
=
+
+
−
=
+
+
+
−
δ
ω
θ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
ω
ω
ω
ω
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
e
A
F
ci
k
m
e
F
e
Aci
kAe
e
mA
Ruchy w R1
26
Oznaczenie
.
Φ
=
−
δ
θ
(
)
.
sin
,
cos
,
sin
cos
0
0
2
0
2
Φ
=
Φ
=
+
−
Φ
+
Φ
=
+
+
−
A
F
c
A
F
k
m
i
A
F
ic
k
m
ω
ω
ω
ω
,
,
2
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
=
−
=
−
=
Φ
k
m
k
m
c
m
k
c
tg
Ruchy w R1
27
.
2
,
2
2
0
2
0
ω
ω
ω
γ
ω
−
=
Φ
=
tg
m
k
(
)
( )
( )
( )
(
)
,
1
,
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
−
+
=
=
+
−
F
m
k
c
F
A
A
F
c
m
k
Ruchy w R1
28
( )
(
)
(
)
.
2
1
,
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
2
ω
ω
ω
γ
ω
ω
ω
−
+
=
−
+
=
m
F
A
m
k
m
c
m
Amplituda drgań ma maksimum dla częstości
drgań siły wymuszającej:
.
2
2
2
0
γ
ω
ω
−
=
r
(Proszę to sprawdzić!)
Wartość amplitudy dla
2
2
0
2
γ
ω
ω
−
=
r
Ruchy w R1
29
Wartość amplitudy dla
równa się:
0
2
γ
ω
ω
−
=
r
(
)
[
]
.
2
2
1
2
2
0
0
γ
ω
γ
ω
ω
−
=
=
m
F
A
r
Na szczęście
W przeciwnym przypadku
Nieskończona amplituda drgań oznacza katastrofę
dla dowolnych układów drgających.
Wszystko uległoby zniszczeniu.
W związku z tym wróćmy na chwilę do wzoru
.
0
≠
γ
( )
!
∞
→
ω
A
Ruchy w R1
30
W związku z tym wróćmy na chwilę do wzoru
określającego amplitudę drgań:
( )
(
)
(
)
.
2
1
2
2
2
0
2
0
ω
ω
γω
ω
−
+
=
m
F
A
MoŜemy go zapisać tak:
( )
(
)
[
]
(
)
[
]
.
2
2
1
2
2
0
2
2
0
0
ω
γ
ω
ω
γω
ω
ω
ω
i
i
m
F
A
−
−
+
−
=
Ruchy w R1
31
MoŜna, bez przesady powiedzieć, Ŝe liczby
zespolone gwarantują stabilność układów
drgających, a więc gwarantują stabilność materii.
Podstawowe składniki materii:
atomy, cz
ą
stki, j
ą
dra atomowe s
ą
oscylatorami harmonicznymi.
Równanie ruchu, które opisuje te
układy, równanie Schrödingera jest
Ruchy w R1
32
układy, równanie Schrödingera jest
równaniem dla zespolonej funkcji
.
( )
t
r ,
r
Ψ
Wzory do zapamiętania
( )
(
)
.
dx
dg
dg
dF
dx
x
g
dF
=
Pochodna funkcji złoŜonej:
Pochodna iloczynu funkcji:
Ruchy w R1
33
( ) ( )
[
]
( ) ( ) ( ) ( )
.
dx
x
dg
x
f
x
g
x
d
x
df
x
d
x
g
x
f
d
+
=
=
Wzory do zapamiętania
( )
( )
( )
Pochodna ilorazu funkcji:
Ruchy w R1
34
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]
.
2
x
g
dx
x
dg
x
f
x
g
dx
x
df
dx
x
g
x
f
d
−
=
Ponadczasowe zasady zachowania
Zasada zachowania pędu:
(
)
.
0
2
1
=
+
+
+
N
p
p
p
dt
d
r
L
r
r
Ruchy w R1
35
dt
( ) ( )
(
)
.
0
=
+
x
T
x
V
dt
d
Zasada zachowania energii dla sił potencjalnych:
1.9. Podsumowanie
Dynamika punktu materialnego
w jednym wymiarze
a. Istnieją układy inercyjne.
W układach inercyjnych spełnione są
Zasady Dynamiki Newtona. Ziemia nie
Ruchy w R1
36
Zasady Dynamiki Newtona. Ziemia nie
jest układem inercyjnym, jednak
odstępstwo od inercyjności jest niewielkie
i dlatego na Ziemi Zasady Dynamiki są
spełnione z dość dobrym przybliŜeniem.
b. Istnieją siły potencjalne, to znaczy siły
spełniające warunek:
( )
( )
,
dx
x
dV
x
F
−
=
V(x) jest energią potencjalną. Przykłady sił
Ruchy w R1
37
( )
( )
( )
( )
.
,
2
,
,
2
2
1
2
1
x
g
m
x
V
x
k
x
V
g
m
x
F
x
k
x
F
−
=
=
=
−
=
V(x) jest energią potencjalną. Przykłady sił
potencjalnych:
( ) ( )
.
E
x
V
x
T
=
+
Zasada zachowania energii dla sił potencjalnych:
Ruchy w R1
38
.
2
1
stała
=
+
p
p
r
r
Zasada zachowania pędu w przypadku braku
sił zewnętrznych:
(
)
,
0
2
2
=
+
+
+
e
F
kx
dt
dx
c
dt
x
d
m
t
i
δ
ω
c. Oscylator harmoniczny:
Ruchy w R1
39
.
1
,
,
1
,
1
4
3
2
=
−
=
−
=
−
=
i
i
i
i
i
dt
dt
To jest ostatni slajd części drugiej rozdziału „Ruch
punktu materialnego w przestrzeni jednowymiarowej”.
MoŜesz:
•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,
•wrócić do materiału tego rozdziału,
•zakończyć pokaz.
40
Spis treści
Koniec
pokazu